چهارشنبه 28 فروردین 1381
الصحاح - تاج اللغة و صحاح العربية؛ ج‌3، ص: 992
المُهَنْدِسُ: الذى يقدّر مجارِى القُنِىِّ حيث تُحْفَرُ، و هو مشتق من الهِنْداز، و هى فارسيَّة، فصُيِّرَتِ الزاىُ سيناً، لأنَّه ليس في شي‌ء من كلام العرب زاىٌ بعد الدال.
و الاسمُ الهَنْدَسَةُ. [هنداز – آب‌انداز]
======
دو نقطه که به هم وصل شوند --> هندسه
یک نقطه که به حرکت درآید --> مکانیک
----
حلّ اعضال اوّل در رساله‌ی اعضالات جناب میرداماد - قده – (به صفحه 6 و 7 اردیبهشت مراجعه شود) که به شکل «یه» من «جـ» اصول اقلیدس وارد شده که به نظر حقیر رسیده، این است: چون تصاغر حوادّ مستقیمة الخطّین به واحد متساوی نیست، هرگر به صفر نمی‌رسد و چون تعاظم حدبه‌ها در یک زاویه حدبیّه به واحد متساوی نیست، هرگز از صفر بیرون نمی‌آید و بعبارت دیگر، شروع زاویه که تعیین‌کننده‌ی آنست در مستقیمة الخطین همیشه بیش از صفر است ولی شروع زاویه در حدبیّه همیشه زیر صفر است یا صفر است. ح - م
----
در اصل موضوع دارد اصغر یصیر بالتضعیف مره بعد اخری اعظم من الاعظم و این کلمه‌ی تضعیف، نکته‌ی بسیار مهمّی در بر دارد ؛ یعنی به واحد متساوی پیش می‌رویم، نه اینکه عوض کنیم واحد را.
----
اگر دایره را بعنوان کم قارّ هندسی فرض بگیریم، تعیین رأس قطر و اخراج عمود از آن ممکن نیست و همیشه عمود یا از بیرون دایره اخراج می‌شود و یا از درون آن و اگر خط مستقیمی را با اثبات یک سر آن دور دهیم تا دایره تشکیل شود در اینجا تحقّق دایره حقیقی ممکن نیست و مسأله حرکت باید حل شود
----
مدّتی بعد از نوشتن این مطلب به بحثی در اسفار ج5 ص55 برخورد کردم که آخوند - قده - فرموده هیچوقت قوس که بوسیله‌ی فرجار زیاد می‌شود، مساوی شعاع نخواهد [بود] بلکه یا کوچکتر است و یا بزرگتر فراجع
------------------------------
دوشنبه 2 اردیبهشت 1381
صفر بعنوان رقم در خلاصة الحساب تصریح به آن شده است، امّا بعنوان عدد تصریح نیاز ندارد و پیدایش صفر بعنوان یک عدد، طبیعی بوده و شاهد اینکه هر چند در حساب و شمارش صفر نیست (بخلاف حرکت که تطبیق بر مسافت شودبلکه هر چه مبدأ مثل مختصات برای آن فرض شودمحتاج به عدد صفر است) لکن در نفس حساب هم عدد صفر هست ؛ وجود عمل تفریق در حساب است که گاهی نتیجه صفر می‌شود و بالاتر نماد هندی 10 است که هر چند ممکن بود برای عقد (مبنی) نماد تک‌رقمی (مثل X مثلاً در رومی) وضع کنند، امّا نماد دورقمی نشانه‌ی این است که این عدد مرز است و جمع کرده بین یکان صفر و دهگان یک و هر عقدی چنین است که مرز است، پس یکان صفر داریم هر چند در شمردن نیاز به آن نبود و با این بیان معلوم شد که صفر بعنوان رقم هم همان صفر بعنوان عدد است یعنی متّخذ از صفر عددی شده است صفر رقمی – [[در انگلیسی به صفر zero می‌گویند و وقتی به عنوان یک عدد است به آن nil (پوچ) هم می‌گویند و وقتی بعنوان رقم است oh هم می‌گویند و در زمینه‌های دیگر nought/naught هم می‌گویند (یعنی عدم و معدوم) از دائرة المعارف ویکی‌پدیا بخش انگلیسی:]]

Cardinal
(عدد اصلی)
0, zero, o/"oh", nought, naught, nil

Ordinal
(عدد ترتیبی)
0^th Zeroth, noughth

Factorization
(فاکتورگیری)
0

Divisors
(مقسوم علیه)
N/A

Roman numeral
N/A

Binary
0

Octal

0

Duodecimal
(دوازدهی)
0
Hexadecimal
0



th پسوند ترتیبی است مثل 9^th یعنی نهم و 0^th یعنی صفرم
–-
مثلاً 1th تلفظ می‌شود First نه one و همچنین 2th: second [اقول: تا آنجا که به خاطر دارم به نحو 1^st 2^nd نوشته می‌شوند]
-------
صفر در فرانسه chiffre همان صفر است متخذ از عربی و جالبتر لفظ cipher در انگلیسی است که سایفر تلفظ می‌شود
-----------------
سه‌شنبه ۳ اردیبهشت ۱۳۸۱
در صفحه (number)0 (نه صفحه O) دائرة المعارف ویکی‌پدیا در بحث اشتقاق (Etymology) صفر از عربی مقایسه بسیار جالبی بین تمام لغات اروپائی کرده که صفر می‌گویند فراجع -
------------
صفر به معنای پوچ نیست چون پوچ معنای نفسی است، بلکه بمعنای نبود و هیچ است ؛ نبود شیء یا کتاب و هیچ کتاب یا مداد مثلاً در لغت هم بمعنای خالی است که عدم ملکه است، بنابراین وقتی معنای مضاف بود مثل غیر و عدم و عکس و قبل و بعد و نظائر آن، تبیین مفاد آن به مضاف الیه است، پس صفر یعنی نبود هیچ کمیت یا شماره که این مفهوم بخودی خود عدد صفر است و وقتی همین مفهوم اضافه‌ی دیگری به رتبه‌ها پیدا کند، رقم می‌شود مثلاً ۰۰۰ یعنی در یکان هیچ کمیت نداریم و کذا در دهگان و صدگان بلکه خود عدد صفر نمادها دارد مثلاً ۰ و ۰۰ و ۰۰۰ همه نماد صفر هستند و می‌توان گفت اساساً رقم متخذ از عدد است (ولو در غیر صفر). پس صفرِ عددی از مثلِ تفریق واضح بوده و سپس بعنوان رقم استفاده شده و مهمّ آنست که برای یک مفهوم نمادگذاری شود مثلاً مجموعه‌ی تهی نمادی دارد، ابتداءً مجموعه‌ی تهی و صفر یعنی نبودِ مجموعه و نبودِ عدد ولی از آنجا که این نبود، اضافه به مضاف الیهی شده از ملکه یک نحو ثبوت کسب می‌کند که به خودِ آنهم مجازاً می‌گوئیم مجموعه و یا عدد بلکه وقتی در ارتباط با دیگران قرار می‌گیرد این مجاز ضروری و حکیمانه است مثلاً وقتی رابطه‌ی بین مجموعه پیامبران با معصیت‌کاران را در نظر می‌گیریم میگوئیم مجموعه تهی است و عضو آن عدد صفر است – شاهد آنکه عدد صفر سابق تکوینی بر رقم صفر است اینکه رومیها و یونانیها چون نماد برای عدد صفر نداشتند، در رقمها هم بکار نبردند و مشکلات عجیب در سیستم عددی آن‌ها بود – آیا مجسطی که رقم صفر را بکار برده یک عمل تفریق ساده‌ی ۲۶-۳۶ را انجام نمی‌داده و آیا این جز عدد صفر چیزی هست؟ [اقول: گویا عبارت چنین مراد بوده که: «آیا مجسطی که رقم صفر را بکار نبرده … تفریق ساده‌ی ۳۶-۳۶ ...»] ورود صفر در عالم ریاضیات بعنوان یک عدد وابسته به اعداد منفی نیست چون هم در تفریق جلوتر است یعنی تفریق ممکن در حساب و هم در مباحث حرکت و هر چه مبدأ دارد
----------------------
چهارشنبه ۴ اردیبهشت ۱۳۸۱
تقسیم بر صفر تعریف‌ناشده است و رمز آن اصل صفر در ضرب است. پس عدم تعریف به جهت تعریف تقسیم و اصل صفر در آن چون عکس ضرب است می‌باشد و لذا اگر در بینهایت کوچک که صفر نماد آن قرار می‌گیرد ولی اصل صفر در آن جاری نیست تقسیم بر صفر می‌تواند تعریف شود. (آیا ۰/۰ [صفر تقسیم بر صفر] چه منافاتی با اصل صفر دارد می‌تواند شبیه یک اتحاد ۰/۰ = a باشد لکن ۰/۰باید مساوی با یک باشد نه هر عدد دلخواه) [صفحه‌ی ۹ فروردین]
--------------------
پنج‌شنبه ۵ اردیبهشت ۱۳۸۱
آخوند در ج۵ اسفار ص۵۴ بحث و تتمیم دارند که مورد تأمل است. اشکال این است اگر بین دو زاویه مستقیمة الخطین و مختلفة الخطین نسبت اعظمیت و اصغریت است پس مساوات هم باید باشد و جواب دادند که اعظمیت و اصغریت مشترک لفظی است بین نسبت گویا و گنگ و وقتی نسبت گنگ باشد مانعی ندارد که متجانس نباشند فراجع تفصیل الکلام. اقول: تجانس و تخالف غیر از اشتراک و تباین در اصطلاح هندسه است ؛ دو خط متجانس است ولی خط و سطح مختلف است امّا در متجانس مثل قطر و ضلع مربّع یکی مُنطَق و دیگری گنگ است یعنی مشترک نیستند و متباین هستند و عادّ مشترک ندارند و لکن مهمّ این است که هر چند تناسب بین دو نسبت غیرمتجانس ممکن است یعنی تساوی نسبت دو خط با نسبت دو سطح به مساوات عددی که خارج قسمت است (فیثاغورثی) یا به مساوات ایودوکسسی که در مقاله خامسه آمده است تعریف آن، امّا نسبت بین دو غیرمتجانس ممکن نیست، هر چند بین دو متباین ممکن است و خواجه - قده - در اصول هندسه مکرّر تذکّر داده‌اند، پس نسبت بین قطر و ضلع ممکن است امّا نسبت بین یک خط و یک سطح ممکن نیست چونکه نسبت گنگی هم تعریف آن این است که «اصغر یصیر بالتضعیف مره بعد اخری (واحد متساوی) اعظم من الاعظم» و این امر بین خط و سطح مثلاً ممکن نیست. اکنون گوئیم که نسبت بین دو زاویه از حیث تجانس آنهاست که سطح باشد که هر دو مشترک هستند و اختلاف نوعی بین ضلعین است و سطح دو زاویه هر چند متباین هستند چون سطح مختلفة الضلعین گنگ است لکن متجانس هستند چون هر دو سطح هستند ولی چون یکی گنگ است نسبت مساوی هرگز نخواهند داشت و یا اعظم است و یا اصغر - پس عبارت اسفار ص۵۴ پائین صفحه که اشتهر که تجانس شرط است همان صحیح است و صاحب اسفار بین تجانس و تخالف و بین اشتراک و تباین فرق نگذاشته‌اند.
-------------------
جمعه ۶ اردیبهشت ۱۳۸۱
بقیه از صفحه‌ی ۲۸ فروردین: جواب میر - قده - در الصراط المستقیم ص۲۳۶ به بعد: در اشکال طفره اساساً اوّل آنِ حدوث، زاویه منفرجه حاصل می‌شود چون دائماً زاویه مستقیمة الخطین است (یعنی بالدقة در بدو حدوث زاویه‌ای نامتجانس به دیگری اضافه شده که در همان بدو منفرجه است) و جواب اصلی آنکه (ص۲۳۸) حقیقت زاویه مستقیمة الخطین با مختلفهما تفاوت دارد بالمهیة النوعیة، و اساساً مساوات بین این دو نوع زاویه محال است مطلقاً مثل اینکه می‌گوئیم خط هر چه اضافه شود مساوی یک سطح نخواهد شد و کذا سطح مساوی جسم نخواهد [شد]، بلی زاویه مختلفهما از حیث اینکه سطح است می‌تواند مساوی مساویتهما شود (فتأمل در جمله‌ی اخیره ح-م) و همین جواب را در جلد ۵ اسفار ص۵۳ از ایشان نقل کرده‌اند اما ظاهراً از کتابی دیگر غیر الصراط المستقیم باشد (در قبسات هم ظاهراً نیست) در اعضالات فرمودند در الصراط المستقیم و تقویم الایمان و رسالة جیب الزاویة و رسالة التشابه و التناسب جواب داده‌ایم – آخوند در ص۵۴ اسفار این اشکال و جواب را اضافه می‌کنند که اگر بین دو چیز نسبت اعظمیت و اصغریت بود لابدّ مساوات هم باید باشد و جواب می‌دهند (که در تأمل آن در صفحه قبل گذشت) که نسبت اعظمیت و … مشترک لفظی است بین برقراری نسبت بین متجانسین که لامحاله نسبت عددیه (مُنطَق و گویا) بین آن‌ها برقرار است و نسبت صمّیّه (گنگ) که نسبت عددیه بین بین آن‌ها نیست و عادّ مشترک ندارند و در دومی نسبت مساواة نیست. اقول (از اینجا معلوم می‌شود که مورد مناقشه است فرمایش اخیر جناب میر – قده – که از حیث سطح می‌توانند مساوی باشند چون نسبت سطحین لزاویتین هم نسبت گنگ است و سطح یکی نمی‌تواند مساوی سطح دیگری باشد و برهان آنهم از قرن ۱۹ اقامه شده است و نیز برای توضیح فرمایش آخوند گوئیم نسبت و تناسب فیثاغورثی، حقیقتاً تقسیم است و حاصل تقسیم هم عدد است مثلاً نسبت ۶ به ۲ مساوی است با ۳ امّا نسبت ایودوکسسی این است: اصغر یصیر بالتضعیف (یعنی با واحد مساوی) مرّة بعد آخری اعظم من الاعظم و در اینجا مساوات لازم نیست و تناسب هم مناسب با این معنی شده که در صفحه اوّل فروردین گذشت ح-م)
-------------
جواب خواجه – قده – منقول در الاعضالات به نقل از رساله الدحرجه‌ی ایشان این است که اصل موضوع یصیر اعظم من الاعظم در دو متجانس است و میر – قده – اشکال کرده‌اند پس چگونه نسبت اصغریت برقرار می‌کنید؟ جواب دوانی: زاویه بالذات مقدار نیست بلکه کیفیت عارض بر سطح است و طفره در اضافه کردن سطح بر سطح نیست بلکه مساوی با سطح دیگر می‌شود ولی کیفیت قائمه پیدا نمی‌شود و در مسیر حرکت کیفیتی حادث نشود، طفره نیست و میر – قده – اشکال کردند که اگر مساوی قائمه شود کیفیت هم تابع و بالعرض است.
--------------
شنبه ۷ اردیبهشت ۱۳۸۱
[ص۲۸ فروردین] قوسهای زاویه مستقیمة الخطین همه متشابه (یعنی متساوی از حیث قوس نه از حیث طول) هستند اما قوسهای زاویه مختلفة الضلعین نامتشابه هستند و لذا اصغر بودن یعنی قوسی دارد کوچکتر از قوس هر زاویه مستقیمة الخطین مثل اینکه می‌گوئیم (a ) / 1 کوچکتر از هر عدد کسری مثبت است پس رفع اعضال «یصیر اعظم من الاعظم» این می‌شود که نسبت بالدقة بین دو شخص نیست، بین دو متعلَّق آنهاست پس قوس مستقیمة الخطّین را کوچک می‌کنیم و قوسهای مختلفة الخطین را بزرگ می‌کنیم ولی چون قوسهای او بینهایت است هر چه یک طرف کوچک شود در طرف دیگر قوسی که کوچکتر باشد هست و قاعده‌ی اعظم من الاعظم در دو عدد یا مقدار شخصی و جزئی جاری است نه متغیر کلّی. پس نسبت دقیق این است: قوسی بطرف رأس زاویه که از قوسهای مختلفة الضلعین کوچکتر است از قوس مستقیمة الخطین که بالعرض می‌گوئیم او کوچکتر است و کذا در جواب از اشکال طفره گوئیم چون زاویه نیم‌دائره بینهایت قوس متفاوت دارد، وقتی قطر حرکت می‌کند، تمام این قوسها به ترتیب ( نه با هم) قائمه می‌شوند و رد می‌شوند به دلیل اینکه همان نقطه‌ای را که قوس روی محیط دارد اگر به نقطه‌ی تماس وصل کنیم، با این قطرِ به حرکت آمده، زاویه قائمه تشکیل می‌دهد دائماً و چون بینهایت قوسهای متفاوت زاویه نیم‌دایره هر کدام مقداری از قائمه کمتر دارد و زاویه مستقیمة الخطین هم تنها یک قوس بیشتر ندارد (قوسهایش متشابه و مساوی هستند) پس تنها یک زاویه‌ی مستقیمة الخطین است که می‌تواند هر قوس خاصّ طاویه نیم‌دایره را به قائمه برساند و قوسهای دیگر یا بزرگ‌تر از قائمه شده‌اند و یا هنوز کوچکترند بخلاف زاویه حدبیه که چون خود بینهایت قوس متفاوت دارد به ازاء هر قوسِ زاویه نیم‌دایره یک قوس مکمّلِ او لقائمه دارد –- مطلب دیگر آنکه مثل الکل اعظم من من جزئه اعظمیت بر فرض انطباق است که اصغر جزء فرضی اعظم می‌تواند باشد لکن در زاویه مستقیمة الخطین و غیر مستقیمة الخطین انطباق ممکن نیست و هر کدام چیزی دارد که دیگری ندارد پس چاره‌ای نیست که اصغریت و اعظمیت، وصف بحال متعلَّق باشدنه خود آن‌ها و بالعرض و المجاز به خود آن‌ها نسبت داده می‌شود مثل سرعت و زمان که متجانس نیستند لکن کم منفصل و عدد در آن‌ها وضع می‌کنیم و نسبت بالذات بین دو عدد برقرار می‌کنیم و بالعرض به سرعت و زمان نسبت می‌دهیم – (پس: دلیل عدم تجانس، داشتن بینهایت قوس منحصر بفرد در قبال داشتن قوسهای متساوی، و مصحّح برقراری نسبت بین دو نامتجانس (مجازاً) برقرار کردن نسبت (حقیقی) بین قوسهای آندو (که قابل انطباق بر هم هستند) مثل مصحّحیت عدد برای برقراری نسبت بین دو نامتجانس)\
---------------
یک‌شنبه ۸ اردیبهشت ۱۳۸۱
ظاهراً جناب میرداماد – قده – که در الاعضالات جواب خواجه – قده – را نپذیرفته‌اند به اینکه چگونه نسبت اصغریت برقرار می‌کنید، جواب خودشان تکمیل جواب خواجه – قده – است یعنی محور جواب بر اختلاف ماهوی دو زاویه است ولی دو حیث در آن فرض کرده‌اند تا مصحّح نسبت اصغریت باشد و آن حیث محاط بودنبه مستقیم و مستدیر و حیث سطح بودن که دومی مصحّح نسبت است و لذا قائل به تساوی هم در آن شده‌اند (لکن کتب تقویم الایمان و جیب الزاویه و تشابه و تناسب ایشان نزد حقیر نیست تا قطعی صحبت شود) لکن پس از اثبات گنگ بودن مساحت دایره، مساوات ممکن نیست و اختلاف نوعی دو زاویه مفرّی ندارد و مصحّح نسبت ما بالعرض بوده و نسبت بین قوسهاست.


.........
از بیان مذکور در پشت صفحه ظاهر شد جواب از اینکه کوچکترین زاویه حاده را علامت جزء لا یتجزی گرفته اند. چون خود زوایای حدبیه بی نهایت است به تصاغر دوائر و تعاظم آنها. پس خود دایره حدبیه مصداق عدم جزء لا یتجزی است. چون تا بی نهایت می تواند کوچک شود به بزرگ شدن دایره مماس با خط مستقیم لکن کوچکتر از هر زاویه مستقیمة الخطین است. چون مستقیمة الخطین یک قوس بیشتر ندارد [و] همه متشابه و متساوی از حیث درجات هستند ولی زاویه حدبیه بی نهایت قوس دارد که هیچکدام مثل هم نیستند ( پس تعبیرِ کوچکترین، شبیه استثنای منقطع است. مثل اینکه بگوییم کوچکترین عدد طبیعی کسری است که صورت آن کوچکتر از مخرجش باشد و حال آنکه کسر، عدد طبیعی نیست. یعنی حقیقت این حرف ما برگشت به این می کند که می گوییم: کسری که صورتش کوچکتر از مخرجش است کوچکتر است از هر کسری که صورت و مخرج آن مساوی است)
پس قوس های بی نهایت زاویه حدبیه است که سبب کوچکتر بودن او از هر زاویه که یک قوس بیشتر ندارد، شده است و همین امر ( بی نهایت قوس متفاوت داشتن) عین قول به تجزی تا بی نهایت است که مبتني بر نفی جزء لا یتجزی است. پس جالب است که دلیل آنها بر اثبات جزء، برهان بر عدم جزء لایتجزی است!

-----

دوشنبه 9 اردیبهشت
آیا از دور دادن یک دایره بر خط مستقیم، انطباق محیط آن با خط مستقیم حاصل می شود؟
آیا ر ن ی ( e u j ) اینچنین است(یعنی تمام قوس استیعاب میشود) یا ن ن ن ( u u u ) اینچنین است. یعنی بر نقاط تماس الماني پرش می کند و یا نقاط تماس فرضی منطبق می شوند. و چون نقطه فرضی بی نهایت است انطباق آنها چگونه متصور است؟
محیط دایره با مقدار پی بر محور اعداد، نه تجانس دارند و نه اشتراک. ولی مساحت دایره با مساحت مربع تجانس دارند اما اشتراک ندارند. ولی مساحت کره با مساحت دایره یا مربع نه اشتراک دارند و نه تجانس، ضلع و قطر تجانس دارند دون الاشتراک
قوس های دوایر متساویة هم تجانس دارند و هم اشتراک. به خلاف دوائر غیر متساویة که هیچکدام [را] ندارند. بلکه تنها در واحد خود و تعداد آن واحد (درجه) می توانند نسبت برقرار کنند.
زاویه مستقیمة الخطین و غیر مستقیة الخطین از حیث ضلع‌ها نه تجانس دارند نه اشتراک و از حیث سطح تجانس دارند ولی اشتراک ندارند

---------
شبهات:
1- شبهه تحقق جوهر فرد به اینکه اقوی دلیل امکان، وقوع است و آن زاویه حدبیه است که اصغر من جمیع الحواد است
2- شبهه طفره که عمود قطر با حرکت به طرف قطر، از حدبیه پرش می کند و یا قطر با حرکت خود از زاویه قائمه پرش می کند
3- شبهه خلف اصل موضوع (و یا اول من المقالة العاشرة) که یصیر الاصغر بالتضعیف مرة بعد مرة اعظم من الاعظم

جواب:

مقدمات:

1- نسبت مساوات (بالذات) در مقادیر به قابلیت انطباق است و رکن قابلیت انطباق دو چیز است: تجانس و اشتراک. ونسبت اصغریت و اعظمیت (بالذات) بین دو متجانس برقرار می شود و لو مشترک نباشند. چون و لو عادّ مشترک ندارند ولی عادّ یکی را می توان بر بعضی (جزئی) از دیگری منطبق کرد. اما وقتی تجانس نبود، چاره ای از واسطه قرار دادن کمّ منفصل و عدد و وضع کردن واحدی برای هر یک از نامتجانس نیست.
2- دو زاویه مختلفة و مستقیمة الخطین، از حیث اضلاع نا متناجس هستند ولی از حیث سطح و یا فاصله ی (طول) بین دو ضلع متجانس هستند. ( هر دو سطح مستوی دارند و فاصله بین ضلعها خط مستقیم است) و لو از همین حیث تجانس مشترک نباشند. پس نسبت اعظمیت و اصغریت ممکن است. هر چند مساوات ممکن نباشد در همین جهت تجانس
3- برقراری نسبت اعظمیت و اصغریت بین دو زاویه ی مستقیمة الخطین و مختلفة الخطین از حیث فاصله بین ضلعین که تجانس دارد، ممکن است که با قوس ( یا خط مستقیم ) انجام شود. پس این قوس مثل عدد در نامتجانس واسطه می شود تا نسبت بین نفس دو زاویه هم برقرار شود. بلکه مقوّم زاویه همین فاصله بین ضلعین است نه نفس ضلعین و نه سطح بین ضلعین ( این نکته مهم است)
4- فواصل بین دو ضلع در زاویه مستقیمة الخطین دائماً متشابه هستند و تشخیص این تشابه، اگر مقدار فاصله با قوس اندازه گیری شود، آسان است ( به خلاف اندازه گیری با وتر یعنی خط مستقیم) اما زاویه ی مختلفة الضلعین هیچ دو فاصله متشابه ندارد بلکه بی نهایت قوس بالفعل دارد که هیچکدام مساوی (متشابه) با دیگری نیست( بلکه یک دنباله نزولی تا بی نهایت به سوی رأس زاویه دارد) و لذا به ازاء هر زاویه مستقیمة الخطین که یک قوس بیشتر ندارد قوس بالفعل دارد و کذا به ازاء هر زاویة غیر مستقیمة الخطین، دیگر هم قوسی بالفعل دارد ( و این اساسی ترین مقدمات برای جواب از شبهات است)

اکنون در جواب گوییم (به ترتیب شبهات):
1- اساساً کوچکترین زاویه حاده نداریم بلکه سنخ زوایای غیر مستقیمة الخطین، قوسی کوچکتر از هر زاویه مستقیمة الخطین دارند.
2- زاویه قائمه در حرکت داریم به عنوان یکی از قوسهای بی نهایت
3- مثلاً کوچک شونده تنها یک قوس دارد ولی بزرگ شونده بالفعل بی نهایت قوس دارد که به طور نزولی به سوی رأی زاویه می رود. علاوه تضعیف واحد مساوی است و در شبهه واحد نامساوی است.

پایان صفحه دوشنبه 9 اردیبهشت
.