بسم الله الرحمن الرحيم

لوجیسیزم و مسئله صدق در ریاضیات - حميد وحید دستجردی

فهرست علوم
فهرست مباحث ریاضیات
افلاطونگرائي
لوجیسیزم و مسئله صدق در ریاضیات - حميد وحید دستجردی





فرهنگ

(ویژه فلسفه)

شماره ۱۱

پاییز ۱۳۷۱

لوجیسیزم و مسئله صدق در ریاضیات



نوشته: حميد وحید دستجردی

مقدمه

دستیابی به استنباطی صحیح از مفاهیم ریاضی یکی از عمده ترین اشتغالات بشر در طی ادوار تفکر بوده است. این اشتغالات که معمولا با بحرانهای بزرگ همراه بوده است همواره منجر به گشودن افق های جدیدی از معرفت ریاضی گشته است. نخستین بحران در تفکر ریاضی با کشف اعداد اصم توسط یونانیان در حدود ۴۵۰ سال قبل از میلاد آغاز شد. بحران دوم محصول مشکلات مربوط به مبانی متزلزلی بود که علم حساب دیفرانسیل و انتگرال در طی قرون ۱۷ و ۱۸ از دل آنها رشد کرده بود. پرسشهای مربوط به بینهایت کوچکها، مفاهیم حدی و غیر آنها بخش عمده فعالیتهای ریاضی این دو قرن را تشکیل می داد. از جمله کسانی که در این زمینه مطالبی منتشر کرده بود، فیلسوف انگلیسی اسقف بارکلی بود که در رسالهای مفهوم «بی نهایت کوچکها را از سنخ معجزات و اعتقاد به آنها را از

* متن حاضر، از سخنرانی آقای دکتر حمید وحید دستجردی در جلسه چهارم سمینار ادواری

فارابی (یکشنبه ۱۶ تیرماه ۱۳۷۰ ) تهیه شده است، مرکز تحقیقات فیزیك نظری و ریاضیات.

۲۱۵

فرهنگ

مقوله ایمان دانسته بود. سالها بعد بولزانو و وایستراس کوشیدند تا تعاریف دقیقی از مفاهیم اساسی علم حساب دیفرانسیل ارائه دهند. تئوری حدود وایستراس که مبتنی بر نظریه اعداد حقیقی کانتور و دد کنید بود جانشین بی نهایت کوچکها گشت.

تئوری مجموعه ها تولد خویش را مدیون همین تحولات مربوط به مبانی علم حساب دیفرانسیل می باشد. تئوریهای کانتور و دد کنید هر دو از نظریه مجموعه ها سود بردند.دد کنید، بعنوان مثال، با بهره گیری از مجموعه های بی نهایت اعداد گویا، اعداد حقیقی را تعریف و پیوستگی شان را اثبات نمود. یکی دانستن اعداد حقیقی با مجموعه هایی خاص (برشهای دد کنید) به روشن کردن ماهیت و رفتار آن اعداد کمک کرده، حساب و آنالیز را بر مبانی سازگارتری استوار نمود. علاوه بر یافتن مبانی محکم و قابل اعتمادی برای علم حساب، دستیابی به زبانی موجز و دقیق برای بیان تئوریهای ریاضی نیز مورد توجه فراوان قرار گرفت. منطق که تا این زمان در کنار گرامر و فن خطابه نشسته بود و در نتیجه برای قرنهای متمادی در پس انواع و اقسام ابهامات مدفون شده بود، بار دیگر منزلت حقیقی خویش را باز می یافت. در واقع می توان گفت که این کوششهای ریاضیدانان در حل مشکلات مربوط به مبانی علم خود بوده که سبب احياء منطق در زمانهای اخیر گشته است.

در این میان فرگه نیز که از عدم استنباط صحیح ریاضیدانان از اساسی ترین مفاهیم مورد استفاده شان به شگفت آمده بود در پی یافتن مبانی استوار و محکمی برای علم حساب بود. او بر آن بود تا حساب را به منطق تحویل کند و برای همیشه پایگاه مطمئنی برای ریاضیات فراهم نماید. بدین منظور فرگه ناچار بود به مفهوم مجموعه های بی نهایت تمسک جوید. با کشف پارادکس راسل برنامه فرگه عقيم ماند. کشف پارادکسهای تئوری مجموعه ها بحران سوم در مبانی ریاضیات خوانده شده است. برنامه تحقیقاتی فرگه (لوجيسیزم) توسط راسل و رایتهد دنبال شد و در سال ۱۹۱۰ منجر به چاپ کتاب عظیم «مبانی ریاضیات، گشت. در کنار

۲۱۶

لوجیسیزم و مسئله صدق در ریاضیات



لوجیسیزم دو مکتب فرمالیسم و شهودگرایی نیز پاسخهایی متفاوتی جهت حل مشکلات مربوط به مبانی ریاضیات عرضه داشتند، ولی ماهیت ریاضیات و این پرسش که حقایق ریاضی صدق خویش را مدیون چه واقعیتی هستند، هنوز پاسخ روشنی نیافته است. این مقاله عمدتا به بررسی مکتب لوجيسيزم بسنده کرده و بررسی مکاتب دیگر به فرصتی دیگر واگذار می گردد. اما قبل از پرداختن به این مسئله لازم است تا در اطراف پرسشی که لوجیسیزم درمقام پاسخگوئی به آن برآمده بود سخنی چند گفته شود.

١. سمانتیک و اپیستمولوژی: مسئله صدق در ریاضیات علوم ریاضی از دیرباز به عنوان قطعی ترین و يقينی ترین علوم شمرده می شدند. در حالی که قضایای تجربی همواره در معرض واژگونی قرار داشتند، کسی در این شک نداشت که مثلا «۷۰۵ ،۱۲ است» یا «مجموعه زوایای یک مثلث ۱۸۰ درجه است». حقایق ریاضی از این نظر در مرتبه بالاتری نسبت به جقایق تجربی قرار داشتند زیرا علاوه بر عینیت داشتن، بر خلاف قضایای علوم تجربی، واجد صفت ضرورت نیز شمرده می شدند. اما اگر قضایای ریاضی عینی و واقعی هستند، از چه حقایقی سخن می گویند؟ به عبارت دیگر، چه چیز صدق یک قضیه ریاضی را تضمین می کند؟ عینا همين پرسش در قلمرو قضایای تجربی نیز مطرح می شود: چه چیز عینیت این دسته از قضایا را تضمین می کند؟ مثلا می گوییم این یک حقیقت عینی است که خورشید به زمین گرما می بخشد. این حقیقت را از آن جهت عینی می دانیم که دو کره عظیم آسمانی، مستقل از تمایلات، خواسته ها و باورهای ما، دارای روابط فیزیکی خاصی با یکدیگر هستند. به تعبير دیگر این وجود و هویت مستقل موضوعات یک قضیه است که عینیت آنرا تضمین می کند. با چنین تلقی یی از مفهوم عینیت به پرسش خودمان درباره قضایای ریاضی برمی گردیم: قضایای ریاضی عینیت خود را مرهون چه هستند؟ چه چیزیست که، مثلا ۱۲۰-۷۰۵» را قضیهای صادق می سازد ؟ به تعبیری کلی تر،

۲۱۷

فرهنگ

ریاضیات درباره چیست؟ نخستین پاسخی که به ذهن متبادر می شود اینست که بگوئیم ریاضیات به مطالعه اعداد می پردازد همچنان که فیزیک به مطالعه اشیاء می پردازد. چنین تصویری از مسئله صدق در ریاضیات را رئالیسم می خوانند که با رئالیسم فیزیکی مشابهت تام دارد.

بدین ترتیب بنابر رئالیسم ریاضی، این اعداد و روابطشان با یکدیگر است که موجبات صدق و کذب قضایای ریاضی را فراهم می کنند. ریاضیدانان نیز معمولا دارای چنین تصوری از مسئله صدق در ریاضیات هستند. ظاهرا کار آنها کشف حقایق گوناگون در حوزه های مختلف ریاضی است. بنابراین چنین به نظر می آید که رئالیسم ریاضی نظریه ای کاملا شهودی و متناسب با عرف معمول ریاضیدانان است. اما متاسفانه، مانند سایر نظریات فلسفی، با کمی تامل در اطراف و جوانب آن کاستی ها و نقصهایش آشکار می گردد.

گفتیم ریاضیدانان درباره اعداد ، مجموعه ها، گروهها و روابط آنها با یکدیگر سخن می گویند و این روابط را کاملا مستقل از زبان، تفکر و باورهای خویش می دانند. اما این اعداد با مجموعه ها چه نوع موجوداتی و دارای چه خصوصیاتی می باشند؟ بنا بر نظری مشهور آنها اشياء و ذواتی مجرد abstract در برابر فیزیکی) فرض میشوند که خارج از قلمرو فضا و زمان قرار دارند. اما به نظر می آید که چنین امری معرفت ریاضی را ناممکن می سازد زیرا علم ما به حقایق عالم خارج از طریق حواسمان و بطور کلی تجربه حسی بدست می آید، در حالی که اعداد و مجموعه ها، بنابر طبیعتشان، نمی توانند با ما رابطه ای علی داشته باشند. بدین ترتیب به نظر می آید آنچه برای عینیت حقایق ریاضی ضرورت دارد، استقلال وجودی موضوعات آنها، علم ما به آن حقایق را ناممکن می سازد. قائلان به رئالیسم ریاضی می باید توضیح دهند که، بنابر مبانی آنها، معرفت ریاضی چگونه ممکن است.

۲۱۸

لوجیسیزم و مسئله صدق در ریاضیات



۱

- ۱- معمای بناسراف: تنش میان سمانتیک و اپیستمولوژی این اشکال معرفتی به رئالیسم ریاضی در سالهای اخیر بار دیگر و با قوت بسیار از جانب فیلسوف آمریکایی پل بناسراف مطرح شده است. بنا بر نظر بناسراف دونوع انگیزه کاملا متفاوت معمولا بر نظریه صدق ریاضی تاثیر گذاشته است. یکی تمایل به ارائه سمانتیکی یکنواخت برای کل زبان، به نحوی که سمانتیک قضایای ریاضی با سمانتیک قضایای زیان مشابه باشد و دیگری تمایلی ناشی از این اعتقاد که هر نظریه ای درباره صدق ریاضی می باید با اپیستمولوژی معقولی همراه باشد. می توان گفت که کلیه نظریات موجود درباره صدق، معمولا یکی از ایندو شرط را بنفع دیگری قربانی می کنند. نظریاتی که سمانتیک مشابهی برای قضایای ریاضی و قضایای تجربی ارائه می کنند معمولا معرفت ریاضی را امری غیرممکن می سازند و آن دسته که شروط صدق قابل حصولی را به معنای معرفتی آن به قضایای ریاضی نسبت می دهند قادر به توضیح این معنا که شروط یاد شده به چه دلیل شروط صدق آن قضایا هستند، نمی باشند. به گمان بناسراف هر نظریه قابل قبولی درباره صدق، مصداق، معنی داری و معرفت می باید کلیه قضایای زبان را در برگیرد ، نه این که توجه خود را تنها معطوف به دستهای خاص از آنها نماید. مثلا اگر نظریه ای معرفتی بتواند علم ما به اشیاء محسوس را توضیح داده ولی قادر به تبیین شناختمان از امور نامحسوس نباشد، نه تنها نظریه ای کامل و تمام نیست، بلکه ممکن است نادرست نیز باشد. همین نکته درباره تئوریهای سمانتیکی نیز صادق است. "

برای روشنتر شدن موضوع، جملات ذیل را در نظر بگیرید: (۱) حداقل سه شهر قدیمی تر از تهران وجود دارد. (۲) حداقل سه عدد کامل بزرگتر از ۱۷ وجود دارد. چنین به نظر می آید که این دو جمله دارای فرم منطقی ذیل هستند: (۳) حداقل سه F وجود دارد که دارای نسبت R با د هستند. در جمله (۳)، حداقل سه چیز وجود دارد سوری عددی است که توسط

فرهنگ

سور وجودی، متغیرها و اینهمانی بیان گشته است، «F توسط محمولی یک موضعی، R۱ توسط محمولی دو موضعی و «۵» نیز به وسیله اسم عنصر معینی در حوزه مدل مشخص می گردند. چنین بنظر می آید که (۳) بیانگر صورت منطقی (۱) باشد. در این صورت (۱) صادق خواهد بود اگر و فقط اگر متعلق اسمی که بجای «2» قرار می گیرد ، یعنی «تهران»، نسبت R (............... قدیمی تر از .........................) را با حداقل سه عضو حوزه مدل که محمول معرفی شده توسط F» (شهر) را ارضا می کنند، داشته باشد. جمله (۱) بدین ترتیب صادق خواهد بود زیرا حداقل سه شهر قدیمی تر از تهران وجود دارد. اکنون این سوال مطرح می شود که آیا (۳) فرم منطقی (۲) نیز بشمار می رود یا خیر. به نظر می آید پاسخ، در بادی امر، مثبت باشد زیرا دلیلی ندارد سمانتیک دیگری را برای سور عددی (۲) درنظر بگیریم. مع هذا کسانی که از لوازم افلاطون گرایی این کارگریزان بوده اند از تسری سمانتیک استاندارد فوق به قضایایی از قبیل (۲) خودداری ورزیده اند. عده ای شروط صدق قضایای ریاضی را همان استنتاج پذیری آنها از مجموعه اکسیومها دانسته اند. اما این نظریه هنگامی که با این اعتقاد همراه شود که کلیه گزاره های ریاضی (حساب) دارای ارزش صدق و کذب است، به طور کامل توسط قضایای ناتمامیت گودال ابطال می گردد. بناسراف این قبیل نظریات را ترکیباتی (combinatorial) می خواند. بنابراین نظریات، اسناد صدق و کذب به قضایای ریاضی تنها بر مبنای برخی حقایق نحوی (معمولا استنتاج پذیری از اکسیومها) امکان پذیر بوده و مفهوم صدق نباید بر حسب مفاهیم مصداق، ارضا و غیر آنها تعریف گردد.

در هر حال می توان نظریات مربوط به صدق جملاتی از قبیل (۲) را به دو

گروه تقسیم کرد. گروه اول شامل آن دسته از نظریاتی است که نحو و سمانتیک طبیعی و استاندارد را به قضایای ریاضی نسبت می دهند و گروه دوم نظریاتی را شامل می گردد که با داشتن انگیزه های غیر نحوی و غیرسمانتیک (مثلا اپیستمولوژیک) می کوشند شروط صدق دیگری را به قضایای مذکور نسبت

۲۲۰

لوجیسیزم و مسئله صدق در ریاضیات



دهند. هر یک از این دو گروه ویژگیهای خاص خود را دارند و نظرشان معطوف به یکی از دو عنصر اساسی یاد شده (سمانتیک و اپیستمولوژی) است. گروه اول بیشتر در پی آنست که نظریات مربوط به صدق ریاضی هماهنگ با نظریه عمومی صدق در سطح کل زبان باشد، به نحوی که معلوم باشد صفت نسبت داده شده بعنوان «صدق» به جملات، واقعا همان صدق است. این امر، بگمان بناسراف، تنها در صورتی امکان پذیر است که تفسیر سمانتیک ریاضیات به عنوان بخشی از تفسير سمانتیک کل زبان در نظر گرفته شود. به این معنا که هر تفسیر سمانتیکی که می خواهیم درباره اسامی خاص، محمولات و سورها در زبان طبیعی ارائه دهیم، باید شامل آن بخش از زبان که ریاضیات را دربردارد نیز باشد. این امر تنها در صورتی قابل تحقق است که (۳) بعنوان فرم منطقی قضیه (۲) نیز قلمداد گردد. به گفته بناسراف تنها یک نظریه صدق شرط یاد شده را برآورده می کند و آنهم نظریه صدق تارسکی است که مفهوم صدق را بر حسب مفاهيم مصداق و ارضا تعریف می کند. گروه دوم شامل نظریاتی می شود که تبیین معرفت ریاضی را بر سایر امور مقدم می داند. شکی نیست که ما دارای معرفت ریاضی هستیم و این علم، علم به حقایق ریاضی است. بنابراین هر نظریه ای که مدعی تبیین مفهوم صدق ریاضی است باید بتواند حصول معرفت یاد شده را توضیح دهد. اگر نظریه ای شروط صدقی را به قضایای ریاضی نسبت دهد که علم به تحقق آنها خارج از توانایی های معرفتی ماست، در این صورت شرط یاد شده را نادیده گرفته است. به تعبیر دیگر یک سمانتیک قابل قبول میباید هماهنگ بانوعی اپیستمرلوژی قابل قبول باشد. باید روشن شود شرایطی که تحت آن شرایط P صادق است چگونه با علم ما به P مرتبط می گردد.

یکی از بارزترین مصادیق این تنش میان سمانتیک و اپیستولوژی را می توان در همین مسئله صدق ریاضی یافت. از یک طرف برای ارضای شرط اول و با تعمیم تئوری تارسکی به قضایای ریاضی، شروط صدق آن قضایا به وجود ذواتی اشاره می کند که بنا بر قول مشهور، مجرد هستند و خارج از محدوده حواس و

۲۲۱

فرهنگ

تاثرات ما قرار دارند. این همان تفسير معروف افلاطونی از ریاضیات است که (۳) را فرم منطقی قضایای از قبیل (۲) می داند. با تعميم تئوری تارسکی، قضایای ریاضی مشمول همان قوانینی می شوند که قضایای تجربی و استنتاجهای ریاضی از همان قواعدی پیروی خواهند کرد که استنتاجهای معمولی. برای صورتبندی تئوریها در زبان منطق محمولات درجه اول لازم است بدانیم که کلیه لوازم منطقی اکسیومها قابل استنتاج نیز هستند. این معنا توسط قضیه تمامیت برای منطق محمولات درجه اول تضمین می شود. اگر تعميم تئوری صدق تارسکی به قضایای ریاضی انکار شود می باید کلیه این نتایج بکناری نهاده شده، پاسخهای جدیدی یافت گردد.

در عین اینکه تعميم تئوری صدق نارسکی به قضایای ریاضی و یکی دانستن قضایای (۱) و (۲) به لحاظ فرم منطقی اداری امتیازهای یاد شده است، اما همچنان که اشاره شد، معرفت ریاضی را ناممکن می سازد. بناسراف اضافه می کند که به گمان او بهترین تبیین علم تبیین به اصطلاح على است. بنابراین تبیین علی وقتی میگوئیم و به P علم دارد، حتما می باید میان P (یعنی مصادیق اسامی، محمولها و سورهای P و S رابطه ای علی وجود داشته باشد. به تعبیر دیگر ارتباط علی با متعلق علم از شرایط لازم حصول معرفت است. اندراج این شرط تحت مفهوم علم به دنبال انتقاداتی بوده است که فلاسفه از تعریف کلاسیک علم (اعتقاد صحيح موجه) ابراز کرده اند. به این نکته در پایان مقاله باز خواهم گشت. واضح است که با تحلیل علی از مفهوم علم نظريه افلاطون گرایی ریاضیات قادر به توضیح امکان معرفت ریاضی نخواهد بود زیرا بنابر آن نظریه واقعیت ریاضی مرکب از ذواتی مجرد (اعداد ، مجموعه ها...) است که به دلیل مجرد بودنشان نمی توانند با ما رابطه علی داشته باشند و این در حالی است که معرفت ریاضی وجود دارد. (منظور از علیت در اینجا رد و بدل شدن انرژی است و نه امکان فقری، فقر وجودی یا امثال آنها). در هر حال مشکل ریاضیات، به گمان بناسراف، ناشی از تنش میان بهترین تفسیر سمانتیک از مسئله صدق (تارسکی) و

لوجیسیزم و مسئله صدق در ریاضیات

بهترین تئوری معرفتی (تئوری علی) است. در یک کلمه، تعمیم تئوری تارسکی به ریاضیات و یکی دانستن فرم منطقی قضایای از قبیل (۱) و (۲) منجر به نظریه افلاطون گرایی از ریاضیات گشته که به دلیل اسناد شروط صدق خاص به قضایای آن علم، معرفت ریاضی را ناممکن می سازد.

مشابه این اشکال معرفتی به رئالیسم ریاضی را می توان در تئوریهای اخیر در

مورد مسئله مصداق (reference) نیز یافت. در اینجا مسئله عبارتست از اینکه یک اسم چگونه به مسمای خود راجع می شود. یعنی چگونه می شود که با بکار بردن یک اسم موفق می شویم درباره شئی معین و خاصی سخن بگوئیم. بنابر نظر فرگه هر اسمی با وصفهای معینی ملازم و همراه است که آن وصفها تنها توسط شئی خاص ارضا می گردند. مثلا سعدی معمولا با وصف معین نویسنده بوستان، یا نظائر أن ملازم و همراه است که وصف مزبور تنها به شخص خاصی در تاریخ راجع می شود (البته در اینجا نظریات گوناگونی وجود دارد که آیا یک اسم معادل کلیه وصف های معین ملازم با آنست یا اینکه تنها تعدادی از مهمترین آنها کفایت می کند. این مسئله نعلا مورد بحث ما نیست). نظریه فرگه طی سلسله مقالاتی در سال ۱۹۷۲ از جانب کریپکی مورد حمله قرار گرفت. او نشان داد که علم به وصف های معین برای اشاره به فردی خاص نه لازم است و نه کانی. مطابق تئوری او دلیل توفیق ما در اشاره به افراد به وسیله استعمال اسامی آنها این است که ما در طول یک سلسله على (تاریخی) واقع شده ایم که اسم مذکور در طی آن دست بدست گشته تا به گوش ما رسیده است. این سلسله در نهایت به شخص یا اشخاصی ختم می شود که در مراسم نامگذاری فرد مذکور شرکت داشته اند. معمولا عده ای در حکم تولید کنندگان و واضعان نحوه استعمال لغات و الفاظ عمل می کنند و عده ای در حکم مصرف کنندگان. این همان تقسیم کار زبانی است و دقیقا به دلیل حضور در حلقه ای از این سلسله علی - تاریخی است که ما می توانیم، بدون علم به وصف های معین، به فردی خاص اشاره کرده، درباره اش سخن بگوئیم (تئوری کریپکی برای پرهیز از موارد نقض البته، دارای تبصره های

۲۲۳

فرهنگ

بسیاری شده است که فعلا مورد بحث ما نیست). حال اگر «تئوری علی مصداق کریپکی را بپذیریم، در توضیح اینکه چگونه می توانیم به اعداد اشاره کنیم یا درباره شان سخن بگوئیم دچار اشکال می شویم. از یک طرف تئوری کریپکی ایجاب می کند که ما در طول یک سلسله علی که به نامگذاری اولیه ذوات ریاضی منتهی می شود قرار داشته باشیم و از طرف دیگر اعداد و مجموعه ها بدلیل مجرد بودنشان، نمی توانند با ما ارتباط على داشته باشند. نتیجه این خواهد بود که ما نتوانیم به اعداد اشاره کرده، درباره شان سخن بگوئیم، حال آنکه در ریاضیات سخن فقط از اعداد ، مجموعه ها و امثال آنها در میان است.

در کنار رئالیسم ریاضی (افلاطون گرایی)، قرن ما شاهد ظهور سه مکتب دیگر درباره طبیعت ریاضیات بود که اصول و مبانیشان همگی از انگیزه های اپیستمولوژیک و راههای پرهیز از مشکلات رئالیسم ناشی می شد. این مکاتب عبارتند از شهودگرایی، فرمالیسم و لوجیسیزم. مکتب شهودگرایی موضوعات ریاضی را مخلوقات ذهنی دانسته و در نزاع میان سمانتیک و اپیستمولوژی، جانب دومی را می گیرد. «صدقه عبارت می شود از «اثبات پذیری سازنده» و از اسناد صدق و کذب به قضایایی که هنوز اثبات نشده اند خودداری می گردد. مجموعه های کامل بینهایت (مثلا مجموعه اعداد طبیعی) غیر قانونی قلمداد شده و بالطبع بخشی از ریاضیات یا انکار شده و یا مورد بازسازی قرار می گیرد. فرماليسم ریاضیات را مجموعه ای از علائم بی معنی دانسته آنرا به نحو منحصر می سازد. این دو مکتب دارای نقائصی جدی هستند. به نظر نمی آید شهودگرایی با پدیدارشناسی ریاضیات (آن گونه که ریاضیدانان به موضوع خویش نظر کرده و در اطرافش به بحث می پردازد ) سازگاری داشته باشد و در واقع هدفش بازسازی ریاضیات است، تا آنجا که حتی بخشی از آن (مربوط به بینهایتها) را منکر می شود. فرمالیسم نیز، علاوه بر مشکلات دیگرش، بهیچ وجه توانائی آنرا ندارد تا توضیح دهد که چگونه این مجموعه عظیم از علائم بی معنی در عالم خارج کاربرد عملی پیدا می کند. در علوم تجربی برای آزمون تئوریها به سراغ

لوجیسیزم و مسئله صدق در ریاضیات



گزاره های مشاهداتی منتج از آنها می روند و این قبیل استنتاجها تنها به کمک ریاضیات امکانپذیر است. حال اگر ریاضیات تنها مجموعه ای از علائمی بی معنی باشد چگونه می توان گزارهای مشاهداتی را نتیجه تئوری مورد نظر قلمداد کرد و اگر گزارهای نتیجه تئوری نباشد چگونه می توان برای آزمایش تئوری به آن اعتماد کرد؟ مکتب سوم لوجيسيزم است که ذیلا در اطراف آن به تفضیل بحث خواهد شد. اما قبل از پرداختن به آن لازم است به اجمال به دو واکنش رئالیستی در قبال مشکلات یاد شده اشاره شود. این دو برگرفته از نظریات کواین و گودل هستند.

۱

- ۲- دو گرایش رئالیسنی: کواین و گودل کواین با مشکلات معرفتی اعداد و مجموعه ها آشناست، اما نظریه افلاطون گرایی را همچنان تنها نظریه قابل قبول درباره ریاضیات می داند. در عین حال او معتقد است که حصول معرفت ریاضی نیازی به ارتباط علی با ذوات ریاضی ندارد. معرفت ریاضی، به گمان او، به همان طریق حاصل می شود که معرفت علمی تئوری کواین در خصوص حصول معرفت ریاضی کل گرا (Holistic) است و از دو مقدمه تشکیل می شود. مقدمه اول همان تز دوهم است که بنابر آن هیچ فرضیه علمی به صورت منفرد و جداگانه تحت آزمایش واقع نمی شود. مقدمه دوم عبارتست از نز اجتناب ناپذیر بودن، ریاضیات که بنابر آن، صرف نظر از مرحله ای مقدماتی، نمی توان بدون استفاده از ریاضیات به اکتشاف علمی پرداخت. علوم طبیعی جز با تمسک به ریاضیات قادر به ارائه تبيينهایی عمیق نمی باشند. از تز دوهم و تز اجتناب ناپذیر بودن ریاضیات نتیجه می شود که با تایید تئوریهای علمی توسط صحت پیش بینی هایشان، ریاضیات - که بخشی از پیکره آن تئوریها را تشکیل می دهد. نیز تائید می شود. هیچ دلیلی وجود ندارد که تائیدهای مذکور را تنها محدود به علوم و قضایای تجربی نموده، ریاضیات را از حيطه شان دور نگاه داریم. ریاضیات بخش مهمی از پیکر قوانین طبیعی است و با انکار آن به عنوان علائمی بی معنی یا مجازی (آنچنان که مثلا فرمالیستها

۲۲۵

فرهنگ

می پندارند در واقع محتوای عینی آن قوانین را انکار کرده ایم. هیلاری پاتنم در این باره چنین می گوید:

همه ما بر این باوریم که قانون جاذبه عمومی حکمی عینی درباره اجسام (و نه فقط داده های حسی یا نتایج آزمایشگاهی) صادر می کند. قانون جاذبه چه می گوید؟ این قانون می گوید که اجسام به نحوی رفتار می کنند که نسبت دو عدد ملازم و مربوط به اجسام مساوی عدد سوم ملازم با آنهاست. اما چگونه چنین حکمی می تواند محتوایی عینی داشته باشد اگر قرار باشد اعداد و ملازمت ها (توابع) همگی اموری تخیلی و مجازی باشند ؟ این مانند اینست که گفته شود خداوند و فرشتگان وجود ندارند اما در عین حال این واقعیتی عینی است که خداوند فرشته ای را مسئول هر یک

از ستارگان قرار داده است. بنابر این از آنجا که فرض موجودات ریاضی برای فعالیتهای علمی ضروریست، می باید به آنها معتقد باشیم. تز اجتناب ناپذیر بودن ریاضیات، و در واقع استدلال کواین، همچنانکه هارتری فیلد اشاره می کند، مبتنی بر اصل داستنتاج به مقتضی بهترین تبيين» است. این همان استنتاجی است که شالوده معرفت تجربی ما را تشکیل می دهد و ساختمانی از قرار ذیل دارد. ابتدا با پدیده ای مواجه می شویم که در پی تبیینش بر می آییم: فرض کنید یکی از مفروضات تبیین ما ادعای C باشد و ما مطمئن باشیم بدون فرض C هیچ تبیینی موفق نخواهد بود. در این صورت ما دلیل کافی برای اعتقاد به C خواهیم داشت و یا به تعبیری دیگر اعتقاد ما به C مجاز خواهد بود. به طور کلی اگر حکم یا ادعایی نقشی غیر قابل انکار در تبیین مشاهدات ما داشته باشد در آن صورت صرف نظر از آنکه حکمی مشاهداتی باشد یا از ذواتی مشاهدهناپذیر سخن بگوید، اعتقاد ما به آن مجاز خواهد بود. این نوع استنتاج، استنتاجی است که وجود پدیده های نظری علم اتمها، الکترونها ...) معمولا با تمسک به آن به اثبات می شود. ادعای کواین و

۲۲۶

لوجيسیزم و مسئله صدق در ریاضیات

پاتنم اینست که در حالی که اعتقاد ما به الکترونها و نوترونها مبتنی بر استفاده از متدولوژی داستنتاج به بهترین تبيين» است، هیچ دلیلی وجود ندارد که همین متدولوژی موجب تجویز اعتقاد ما به موجودات ریاضی نگردد. زیرا، همچنان که اشاره شد، تئوریهای علمی نه تنها خود را به الکترونها و نوترونها که به اعداد و توابع نیز مفید می سازند. درست بهمان دلیل که استنتاج به بهترین تبيين ما را در اعتقاد به ذوات نظری فیزیک مجاز می دارد ، دقيقة بهمان دلیل موظف به اعتراف به وجود ذوات ریاضی هستیم. زیرا در هر دو حالت یک تبیین واحد دست اندرکار است. هارتری فيلد، یکی از مخالفين عمده رئاليسم ریاضی، معتقد است که برهان فوق (کواین- پانتم) از قوت بسیاری برخوردار است و در نتیجه، بعنوان یک نومینالیست، کوشیده است نشان دهد که علوم نیازی به استفاده از اعداد ، توابع و امثال آنها ندارند. کتاب علم بدون اعداد او نخستین گام در اجرای این برنامه بشمار می رفت. در این مقاله مجالی برای ارزیابی ادعاهای فیلد نیست. کافیست گفته شود که بسیاری معتقدند او تنها با پذیرش ذوات مجرد دیگری (مثلا نقاط زمان-مکان مطلق) توانسته است راهی برای حذف اعداد از امثال تئوری نیوتونی بیابد. مضافا بر اینکه او در تحقق اهدافش از مفروضاتی سود جسته است که تنها در چهارچوبی افلاطونی قابل قبول هستند، مانند فرض سازگاری ZFC. در هر حال فیلد خودش اعتراف می کند که هنوز دقیقا نمی داند چگونه می تواند اعداد را از کلیه تئوریهای علمی حذف کند. علو مرات

قبل از ترک نظریه کواین- پانتم، ذکر یکی دو نکته درباره آن ضروریست اولا تئوری معرفتی کواین، معرفت ریاضی را از خصوصیات سنتی اش عاری می کند، زیرا اگر علم ما به ذرات ریاضی تنها توسط نقشی که آنها در تئوریهای علمی بازی می کنند قابل توجیه باشد، در آن صورت معرفت ریاضی دیگر ماقبل تجربی نخواهد بود. نکته دوم اینست که ریاضیات نظری و غیر کاربردی کاملا خارج از حیطه تئوری معرفتی کواین واقع می شود. او خود اعتراف می کند که مانعی نمی بیند بخشی از ریاضیات نظری غیر کاربردی را سیستم های تفسیر نشده

۲۲۷

فرهنگ

صرفا نحوی بداند. در اینجا نظریه کواین دیگر با پدیدارشناسی ریاضیات هماهنگی ندارد. کمتر ریاضیدانی پیدا می شود که برای اطمینان از صحت فرضیاتش منتظر نتایج آزمایشگاهی بماند. بعلاوه، ریاضیات تقریبا در سطح کم و بیش تئوریک علوم تجربی وارد صحنه می شود، مثل وقتی که می گوئیم «عدد اتمی کلر ۷۹ است». و بنابر این از نظر معرفتی هم ارز سایر ادعاهای تئوریک علوم تجربی خواهد بود. در این صورت می باید حقایقی از قبیل ۱۲۰-۷۰۵» را نیز به لحاظ معرفتی حقایقی نظری و تئوریک قلمداد کرد که بنظر درست نمی آید. همانطور که پارسونر اشاره می کند تز کواین قادر به تبیین «وضوح و بداهته ریاضیات پایه نیست.

نوع دیگر از رئالیسم (افلاطون گرایی) ریاضی توسط کورت گودل، منطقی بزرگ این قرن مطرح شد که پدیدارشناسی ریاضی سازگار بوده و ظاهرة فاقد مشکلات رئالیسم کواینی است. گودل کاملا از تنش میان سمانتیک و اپیستمولوژی در نگرش افلاطونی به ریاضیات آگاه بود و همچنین اذعان داشت که موضوعات تئوری ترانسفینی مجموعه ها قطعا به عالم تجربه حسی تعلق ندارند.

اما با وجود دور بودن آنها از تجربه حسی، موضوع تئوری مجموعه ها را ادراک می کنیم. این از آنجا معلوم می شود که اکسیومها درستی و صدق خود را بر ما تحمیل می کنند. من نمیدانم چرا ما باید اطمینان کمتری به این نوع ادراک، یعنی شهود

ریاضی، داشته باشیم تا ادراک حسی. . بنابر این آنچه گودل برای حل مشکل معرفتی رئالیسم ریاضی پیشنهاد می کند، این است که با فرض قوهای ادراکی (شهود ریاضی) ما را به مبادله على با ذوات ریاضی را دارد. اشکال عمده این راه حل آنست که سخن از «تحميل صدق اکسیومها بر ما» مجاز و استعاره ای بیش نیست. باید توضیح داده شود که ما چگونه این ذرات ارتباط برقرار می کنیم. مع الوصف اشاره به شهود ریاضی به عنوان منبع معرفت با پدیدارشناسی ریاضیات سازگاری بیشتری دارد. و بنابر

۲۲۸

لوجیسیزم و مسئله صدق در ریاضیات



این تئوری گودل، برخلاف تئوری کواین، قادر به تبیین و توضیح بداهته ریاضیات پایه است. شهود ریاضی امریست که از جانب اکثر ریاضیدانان در توجیه اکسیومهایشان بدان تمسک می شود. البته شناسائی پدیدارشناسی فاصله زیادی با ارائه یک اپیستمولوژی دارد. برای اینکه پدیدارشناسی به اپیستمولوژی تبدیل شود نیاز به تئوری توجیه داریم به این مسئله در پایان مقاله باز خواهم گشت. اکنون به بررسی نسبتأ تفضیلی یکی از مکاتبی که کوشید چاره ای برای مشکل صدق ریاضی بیندیشد، می پردازیم. این مکتب همان لو جیسیزم یا منطق گرایی است.|

٢- لوجيسیزم همچنان که توضیح داده شد مکتب لوجيسیزم توسط فرگه و راسل پایه گذاری شد و بعدها با تغییرات زیادی به خدمت برنامه تحقیقاتی پوزیتیویست های منطقی در آمد. فرگه بر آن بود تا نشان دهد علم حساب قابل تحویل به منطق می باشد، بدین صورت که موضوع آن، یعنی اعداد، قابل تعریف بر حسب موضوعات منطقی محض بوده و قضایایش نیز از منطق قابل استنتاج است. لوجیسیزم فرگه (برخلاف راسل)، همچنان که مدی اشاره می کند، کاملا رئالیستی و افلاطونی است، زیرا از آنجا که منطق از نظر فرگه علمی عینی است، حساب نیز علمی عینی بوده که به تحقیق درباره ذرات و اشیائی عینی (اعداد ) می پردازد. پرسشی که لوجيسیزم در مقام پاسخگویی به آن برآمد همان چیزی است که تاکنون درباره اش سخن رانده ایم: دقیقا چه چیزی صدق قضایای ریاضی را تامین می کند؟ طبیعت ریاضیات چیست؟ برای حل مسائل مربوط به مبانی ریاضیات، فرگه و راسل کوشیدند تا آنرا به منطقه تحویل کنند. لوجیسیزم دارای دو ادعای عمده بود:

1- مفاهیم ریاضی بر حسب مفاهیم منطقی قابل تعریف اند. II- حقایق ریاضی از اصول منطقی قابل استخراج می باشند. در این بخش من خواهم کوشید به اجمال درباره این برنامه و تغییراتی که

۲۲۰

فرهنگ

ناچار شد جهت حل مشکلات خود بدانها تن دهد، سخن بگویم. ابتدا از ادعای نخست - تحويل مفاهیم ریاضی به مفاهیم منطقی۔ آغاز می کنم.

۲ - ۱ - تحويل مفاهیم ریاضی به مفاهیم منطقی پیش از فرگه و راسل، ریاضیدانان به اجمال نشان داده بودند که کلیه مفاهیم علم حساب قابل تعریف و تحویل) بر حسب اعداد طبیعی هستند. مشکل عمده استخراج اعداد طبیعی بود ، و نکته ای که فرگه را بر آشفته بود این بود که اکثر تعاریف ارائه شده درباره اعداد ، بدون التفات به مسئله متدولوژیک تعیین معانی الفاظ صورت گرفته است. رسم این بود که لفظ یک عدد (numeral) را از متن و مقامش خارج ساخته، آنگاه از معنی آن سوال می کردند.

تعاریفی که اعداد را معادل موضوعات روانشناختی ذهنی یا تنها علائمی بر کاغذ می دانند، همگی، به گمان فرگه، از نادیده انگاشتن مسئله متدولوژیک تعيين معانی الفاظ ناشی شده اند. از نظر او برای تعیین معنی الفاظ عددی می باید انواع جملاتی را که حاوی آنها بوده در نظر گرفت و نحوه های مختلف استعمالشان را از نظر گذراند. فرگه در اینجا اشاره به اصلی دارد که آنرا اصل زمینه معنایی (Context Principle) می خواند. مطابق این اصل هرگز نباید از معنی یک کلمه به صورت منفرد و در انزوا سوال کرد، بلکه می باید معنی آنرا در متن یک قضیه جستجو نمود. به تعبیر دیگر، هر نظریه موفقی در باب معنی دار بودن می باید توانائی آنرا داشته باشد تا سهم هر لفظ را در معنی (یا شروط صدق) جمله ای که حاوی آن لفظ است، مشخص نماید. این سخن بعدها توسط دیویدسون مبنای یک تئوری همه جانبه درباره معنی دار بودن گشت. پرسش از معنی الفاظ (و به اصطلاح قدیمی ترش ماهیت آنها) البته سابقه ای بسیار طولانی دارد که قدمتش به آثار افلاطون بر می گردد، یعنی آنجا که سقراط می پرسد علم چیست، زیبایی چیست و ... در واقع این پرسش از ماهیت و معانی الفاظ بود که آنچه را که امروزه پروسه یا فرایند «تحلیل» می خوانند به جریان انداخت. بعدها

لوجيسیزم و مسئله صدق در ریاضیات

تجربیون انگلیسی بصورتی مستمر به جستجوی معانی الفاظ برآمدند. کاری که فرگه کرد این بود که فرم سوال را با تمسک به «اصل زمینه معنایی، خود تغییر داد. به نظر او ابتدا می باید از معنای جمله برحسب شروط صدقش سوال شود و آنگاه از معنای کلمه مورد نظر بر حسب سهمی که در معنای جمله به عهده گرفته است. به عنوان مثال به جای اینکه مستقیما از معنای کلمه دانستن» سئوال شود ابتدا به جستجوی جملات یا جمله مانندهای اساسی یی بر می آییم که کلمه «دانستن» در آنها استعمال می شود، مانند مهارت ها (S می داند که چگونه فلان کار را انجام دهد، و گرایش های گزارهای S می داند که P). آنگاه سوال می کنیم که شرایط لازم و کافی برای صدق جملاتی از قبیل S می داند که P کدام اند. در اینجا شاهد انتقال از معنای الفاظ به معنای جملات حاوی آنها هستیم. همین استراتژی توسط راسل در تئوری وصف های معین» او که تعریفهای متنی نیز خوانده می شوند، به کار گرفته شد.

بدین ترتیب وقتی به سراغ اعداد می رویم، می باید صورت های مختلف جملاتی را که الفاظ اعداد (NUMERALS) در آنها استعمال می شوند، در نظر بگیریم. این الفاظ معمولا به دو صورت اسم خاص مانند «پنج» در جملات پنج عدد اول است، و ۱۲۰-۵۰۷» - یا صفت۔ مانند «پنج» در جمله حداقل پنج سیب روی میز وجود دارد، به ظاهر می شوند. بنابراین ما در راه پیش رو داریم. یا اینکه برای اعداد وصف صفت (یا به تعبیر دقیقتر وصف سور) قائل شویم یا اینکه آنها را اسامی خاص بدانیم که به موضوعات خاص راجع می شوند. فرگه معتقد است که الفاظ عددی اسم خاص هستند زیرا شرایط و ضوابط نحوی اسامی خاص را ارضا می نمایند. اسامی خاص بگفته او دارای شرایط نحوی ذیل اند.

الف) هیچ وقت با حروف تعریف نامعین همراه نمی شوند. این شرط البته

مخصوص زبانهائیست که دارای حرف تعریف هستند).

ب) حاوی هیچ متغير آزادی نیستند. ج) نمی توانند به صورت محمول در جمله ظاهر شوند. .

فرهنگ

د) می توانند در طرف چپ و راست علامت اینهمانی (ع) واقع شده و

تشکیل یک جمله را بدهند..

با توجه به ضوابط فوق الفاظی از قبیل «عدد پنج» و «ریشه مثبت دوه در عداد اسامی خاص در می آیند زیرا هیچ گاه با حرف تعریف نامعین همراه نشده، حاوی متغیر آزاد نبوده و به صورت معمول استفاده قرار نمی گیرند. بلکه بر عکس موضوع حمل صفات واقع می شوند و از طرف دیگر مصادیقشان (اعداد) مورد اشاره واقع شده و درباره شان احکام وجودی صادر می شود. مهمترین مشخصه الفاظ عددی اینست که با قرار گرفتن در طرف چپ و راست علامت اینهمانی تشکیل جملات کامل را می دهند و به تعبیر دیگر درباره شان احکام اینهمانی عددی صادر می شود. این نکته از آنجهت اهمیت دارد که تا زمانی که مسئله هویت چیزی روشن نشود (یعنی پرسش از هویت آن دارای معنی نگردد) نمی توان به آن اطلاق شیئیت کرد. بطور کلی اسناد شیئیت به یک چیز نه تنها مسبوق به توانائی ما در تمييز نوع آن چیز از سایر انواع است که همچنین مسبوق است به اینکه بتوانیم آن شیی را در صورت ملاقات مجدد شناسائی کنیم یعنی تصوری از مفهوم «همان شیی» داشته باشیم. احکام اینهمانی دقیقا بیانگر همین خصوصیتند و تئوری اعداد نیز مشحون است از احکام مربوط به اینهمانی های عددی از قبیل

۷۶۹

- ۶۳۰ ، و امثال آن. اینکه این قبیل قضايا احکام اینهمانی هستند تنها بدلیل وجود علامت (= نیست بلکه از آن جهت است که استناجهای حاوی آنها واجد صفات تقارن، انعکاس و متعدی بودن می باشند.

این شرایط همگی سبب می شوند تا مفهوم عدد طبیعی را مفهومی نوعی (Sortal) بدانیم که مصادیقش ذواتی مجردند. اینجا این مشکل پیدا می شود که درباره جملاتی که الفاظ عددی به صورت صفت (و نه اسم خاص) در آنها ظاهر می شوند چه باید بکنیم (مانند «حداقل سه سیب روی میز وجود دارد. در اینجا لفظ عددی «سه به نظر می آید بخشی از سور عددی (حداقل سه... وجود دارد باشد و نه یک اسم خاص. فرگه معتقد بود که بر خلاف شواهد نحوی ظاهری، این

۲۳۲

لوجيسیزم و مسئله صدق در ریاضیات

جمله حاوی سور عددی نبوده بلکه هنگامی که به نحو صحیحی تجزیه و بازسازی شود سور عددی جایش را به تابع عددی اعدد فلان و بهمان، همراه با اسم خاص «سه می دهد یعنی «عدد سیبهای روی میز بزرگتر یا مساوی سه است».

پس از روشن ساختن رفتار نحوی و سمانتیک الفاظ عددی، فرگه به بررسی و تحقیق در اطراف ذواتی می پردازد که این اسامی به آنها راجع می گردند. از آنجا که او در پی تعریف این الفاظ بر حسب مفاهیم منطقی است واضح است که ذوات مذکور می باید ذواتی منطقی باشند. برای روشنتر شاختن مسئله حكم ذیل را در نظر بگیرید: «دو مداد روی میز وجود دارد. واضح است که موضوع این حکم کمی نمی تواند موادی باشد که مدادها از آن ساخته شده اند زیرا مواد مذکور را می توان به چندین واحد و به انحاء گوناگون تقسیم کرد: دو مداد، ۷ جزء مداد

نوک-بدنه- پاک کن،...) میلیونها اتم والخ. آنچه این توصیفها را از یکدیگر متمایز می کند اینست که یکجا ما از مفهوم «اتم در این مجموعه از مواد فیزیکی سخن می گوئیم و در جای دیگر از مفهوم امداد در این مجموعه فیزیکی». بنابر این باید گفت محتوای یک قضيه عددی حکمی است که درباره مفاهیم می شود. البته شناسائی محتوای یک قضیه عددی (statement of number) به معنای شناسائی و تعریف خود عدد نیست بلکه: «عدد، قدر مشترک مفاهیم متفاوت است، مانند عدد ۲ که مفاهیم «مدادهای روی میز» و «عقربه های روی صفحه ساعته در آن شریکند. به تعبیر دیگر عدد دو مفهومی است که مفاهیم معینی تحت آن مندرج می شوند، یعنی یک مفهوم مرتبه دوم است. به دلیل آنکه الفاظ عددی همانند اسامی خاص رفتار می کنند و همچنین به علت آنکه مفاهیم می توانند دارای مصداق واحد بوده بدون اینکه یکی باشند، فرگه به جای استفاده از «مفهوم، مصداق آنرا در تعریف عدد اخذ می کند. بنابر این به جای اینکه بگوید

دوه مفهومی است که بر هر مفهوم همقوه با مدادهای روی میز، حمل می شود، آنرا معادل مصداق آن مفهوم می گیرد ، یعنی معادل مجموعه کلیه مفاهیم همقوه با امدادهای روی میزه. پس تعریف عدد از نظر فرگه چنین صورتی پیدا می کند:

يسسسس

عدد متعلق به مفهوم F = مصداق مفهوم «همقوه با F همتوه بودن» یا تناظر یک بیک را نیز می توان بدون اشاره به مفهوم عدد تعریف نمود. اخذ همین مفهوم تناظر یک بیک در تعریف عدد است که آنرا با روش شمارش روزمره ما (دو بدو نمودن افراد یک گروه با گروه دیگر) مرتبط کرده، تعریف یاد شده را از نظر شهودی موجه و قابل قبول می سازد. زیرا شکی نیست که درک ما از مفهوم عدد مبتنی بر روش ما در شمارش افراد یک گروه است. البته واضح است که شمارش بالقوه افراد نمی تواند جای خود عدد را بگیرد زیرا علاوه بر آنکه ما علائم (۲۰»، «دو»، «11» و...) را مصادیق (token) نوع مجرد «دو» می دانیم، هنگامی که از عدد ۲ سخن می گوئیم منظورمان کلیه جفتهای شمارش شده یا همه آنها که تا پایان این عالم شمارش می کنیم، نیست. ما در واقع داریم از مجموعه کلیه مجموعه های دو عضوی سخن می گوئیم و دامنه این مفهوم قطعا از آنچه بشر توانائی شمارشش را دارد بسیار وسیعتر است. بنابر این عدد دو به مجموعه جفت های شمارش شده راجع نمی شود بلکه به چیزی بسیار انتزاعی تر اشاره می کند. اشکال این تعریف اینست که عدد ۲ را به مجموعه بسیار بزرگی تبدیل کرده و همچنان که اشاره خواهد شد، راه را برای ورود پارادکس راسل باز می کند. این مشکل، البته، در تئوری اکسیومانیزه ZFC دیگر ظاهر نمی شود، زیرا در هیچ مرحله نمی توان مجموعه کلیه مجموعه های دو عضوی را تشکیل داد. در نتیجه در تئوری ZFC عدد دو معمولا با یک مجموعه دو عضوی مناسب (مانند اعداد ترتیبی فون نويمان {{ Q

, Q مشخص می شود. بدین ترتیب اعداد طبیعی به مجموعه هایی منحصر بفرد تحویل می گردند، یعنی هر عدد خاصی با مجموعه ای منحصربفرد مشخص می گردد (مانند مجموعه همه مجموعه های دو عضوی و الی آخر.)

با تعریف اعداد طبیعی به کمک مفهوم مجموعه ها، اعداد حقیقی نیز، مطابق برنامه لوجیسیزم، بر حسب همین مفاهیم تعریف می شوند. برای تعریف اعداد حقیقی فرض می کنیم که سلسله کسرها را در اختیار داریم. در این صورت

لوجيسیزیم و مسئله صدق در ریاضیات

بعضی از اعداد حقیقی، اعداد گویا، با این کسرها مطابقت پیدا کرده و مابقی، اعداد اصم، بنابر تعریف دد کیند، با «رخنه های این کسرها. از آنجا که هیچ کسری بازاء این برشها وجود ندارد آنها را «رخنه» می خوانند. بدین ترتیب بازاء هر عدد حقیقی رخنه ای در سلسله کسرها وجود خواهد داشت و از آنجا که هر برش منحصرا توسط طبقه پائینتر خود مشخص می گردد . راسل عدد حقیقی را به عنوان طبقه پائينتر برش در سلسله کسرها تعریف می کند. به عنوان مثال ۷۲ بعنوان مجموعه کسرهایی که مجذور آنها کمتر از دو است تعریف می گردد. بهمین ترتیب می توان سایر مفاهیم ریاضی (آنالیز) را تعریف کرد.

آیا با تعریف اعداد به کمک مجموعه ها طبیعت آنها مشخص شده است؟ گفتیم که فرگه رئالیست بود و اعداد را ذواتی مجرد می دانست که مستقل از زبان و تفکر ما وجود دارند. یکی دانستن اعداد با مجموعه ها برای او غير قابل اجتناب بود زیرا اگر قرار باشد حقایق مربوط به اعداد به حقایق منطقی منحل گردند در آن صورت بعضی «ذوات منطقی» نیز می باید در تعریف اعداد اخذ شوند و به نظر می آید که مجموعه های تنها کاندیداهای ممکن اند. راسل، اگر چه بتدریج از این نگرش افلاطونی دوری جست اما بطور کلی نسبت به توفیق لوجيسیزم در شناسائی طبیعت اعداد مردد بود. او در کتاب مقدمه ای بر فلسفه ریاضی (18 .p) اظهار می دارد که جای هیچ شبهه ای درباره مجموعه جفت ها وجود ندارد و تعریفش نیز دشوار نیست. اما ما معمولا چنین می پنداریم که مجموعه همه جفتها (به عنوان مثال) چیزی متفاوت از عدد دو است... عدد به هر معنای دیگری، یک هویت و ذات متافیزیکی است. او سپس اضافه می کند که بنابر این به احتیاط نزدیکتر است که به جای کشف طبيعت عدد دو به مجموعه همه جفت ها رضایت دهیم. بنابر این او منکر آنست که تحلیل منطقی توانائی کشف ماهیت اعداد را داشته باشد. تعاریف ارائه شده، از نظر او، تنها از نظر فایده عملی دارای ارزش می باشند.

گفتیم که برنامه لوجيسیزم از دو بخش تشکیل می شد یکی استخراج مفاهیم

فرهنگ

منطقی بود و دیگری استنتاج حقایق ریاضی از اصول منطقی. اکنون به بررسی توفيق لوجيسیزم در استنتاج حقایق ریاضی از اصول منطقی می پردازیم.

۲

- ۲ - استنتاج حقایق ریاضی از اصول منطقی علاوه بر منحل ساختن مفاهیم ریاضی به مفاهیم منطقی، لوجيسستها ناچار بودند نشان دهند که حقایق (قابل اثبات) ریاضی نیز از اصول منطقی قابل استخراج هستند. برای حصول این معنا نیاز به منطقی قوی وجود داشت و لوجيسستها تئوری مجموعه ها را بخشی از منطق قلمداد می کردند. این مسئله که آیا تئوری مجموعه ها می تواند جزئی از منطق باشد یا نه بعد، مورد بحث قرار خواهد گرفت. در حال حاضر بنا را بر این می گذریم که فرض مزبور خالی از اشکال است. بهر حال اندراج تئوری مجموعه ها در منطق منجر به پیدایش دو مشکل عمده برای لوجیسیزم گشت. امام

الف) در طی استخراج حقایق ریاضی از اصول منطقی لازم بود به اصولی

تمسک شود که بهیچ روی «منطقی» نمی نمودند. اینها عبارت بودند از:

اکسیوم بینهایت: بازاء هر عدد طبیعی عددی بزرگتر وجود دارد یا

بتعبیری دیگر یک مجموعه بینهایت وجود دارد در

(3) 0ex ۸ ( zcx) ze]

اکسیوم انتخاب: بازاء هر مجموعه حاوی مجموعه های جدا از هم و غیر تهی، (لااقل) یک مجموعه وجود دارد که با هر یک از مجموعه های عضو دقيقة در یک عضو مشترک است

(V relation R) (5 Function F) (FER A dom Fedom R)

اصول فوق هر دو از سنخ احکام وجودی بوده، وجود چیزی را در عالم تصدیق می کنند، در حالی که تصدیق وجود یا عدم چیزی در عالم در شأن منطق نیست. راسل بعدة درمانی برای این مشکل یافت که قضایای ریاضی را تبدیل به قضایای شرطی می کرد به این نحو که مقدم آنها همان اکسیومها بوده، تالی شان را

۲۳۶

لوجیسیزم و مسئله صدق در ریاضیات



نضایای مستخرج از آنها تشکیل می داد. این روش که بعدها به روش

اگر - آنگاهی، ( if

- thenism) شهرت یافت به اجمال در پایان این بخش مورد

بررسی قرار خواهد گرفت.

ب) مشکل دوم از این قرار بود که تئوری باصطلاح ساده و طبیعی (native) مجموعه ها که به گمان لوجيسیستها منطقا صحیح بود، نادرست و ناسازگار از کار در آمد. این واقعیت با کشف پارادکسهای کانتور و راسل برملا گشت. کانتور نشان داد که بازاء هر مجموعه ، مجموعه توانی آن (P

(

x، اعضای

بیشتری از به دارد یعنی ( x

<

P

( x . حال اگر مجموعه جامع (universal) یعنی مجموعه همه مجموعه ها را در نظر بگیریم، با توجه به آنچه گفته شد به مجموعه ای بزرگتر دست می یابیم و این نتیجه پارادکسیکالی است. پارادکس راسل پی آمد منطقی اکسیوم انتزاع مجموعه (Set Abstraction) یا دراصل شموله (Comprehension Principle) بود. بر اساس این اکسیوم بازاء هر صفت (1) مجموعه ای وجود دارد که اعضاء آن دارای آن صفت هستند، یعنی مجموعه (y) وجود دارد، بنحوی که ( xey

*

%

( x . برای رسیدن به پارادکس راسل کافی است صفت xex را در نظر بگیریم. بنابر اکسیوم فوق باید مجموعه ای (R) وجود داشته باشد بنحوی که xeR e xex. حال کافی است فرض کنیم R

=

x، در این

صورت خواهیم داشت ReR

• ReR . برای حل پارادکس های منطقی، راسل، «نظریه ساده انواع» را ارائه کرد. به موجب این نظریه اشیاء (ذوات) به انواع و مراتب متفاوت منطقی تقسیم می شوند، بنحوی که پائینترین مرحله آنها حاوی کلیه افراد، مرحله بعدی حاوی کلیه صفات (مجموعه ها) افراد است و مرحله بالاتر شامل کلیه صفات صفات مجموعه مجموعه های آنهاست و الی آخر.

۲۳۷

-

-

-

-

-

.................................... ه F

,

GF

, H :نوع ۳

.............................. پF G

, H :نوع ۲

.............................. F

.

G

.

H :نوع ۱

.........

a

,

b

,

c

, . . .

,

xyz

:نوعه

شرط دیگر آنست که حوزه فعالیت متغيرها باید تنها محدود به یک نوع (i) باشد

یعنی xley عبارتی درست ساخت است اگر و فقط اگر ۱+j

= i). این بدان معناست که قضایای مربوط به عضویت b در مجموعه و تنها در صورتی معنی دارند که نوع ا یک درجه از نوع پائینتر باشد. به عبارت دیگر بازاء هر صفت و، ((x)% به

3yi

*

1 7xi

( xi ey۰۱. بدین ترتیب پارادکس راسل حتى آغاز هم نمی شود زیرا جمله xlex دیگر جمله درست ساختی نخواهد بود. مجالی نیز برای پارادکس کانتور نخواهد بود زیرا اگر چه می توان در هر مرحله مجموعه جامعی تشکیل داد لکن دیگر مجموعه جامع همه مجموعه ها را نمی توانیم تشکیل بدهیم. اگر هر نوع K عضو داشته باشد، نوع بعدی ۲ عضو خواهد

داشت، اما این واقعیت به هیچ تناقضی منجر نخواهد گشت. : ولی راسل به نظریه ساده انواع بسنده نکرد زیرا علاوه بر پارادکسهای منطقی، پارادکسهای باصطلاح معنایی (سمانتیک) نیز وجود داشتند (مانند پارادکس دروغگو، ریچارد و غیر آنها). هدف راسل آن بود که کلیه پارادکسها را بیکباره حل کند. بدین منظور او «اصل دور باطل» را پیشنهاد کرد. بنابر این اصل هیچ کل نمی تواند حاوی اجزائی باشد که تنها قابل تعریف بر حسب آن كل باشند. او پیدایش همه پارادکسها را ناشی از نادیده گرفتن این اصل میدانست. واضح است که این اصل با معنی یا تعريف الفاظ سر و کار دارد تا با صدق و کذب قضايا و از این جهت باید آن را اصلی درباره معنی داری دانست. این مسئله باعث

۲۳۸

لوجیسیزم و مسئله صدق در ریاضیات

شد که راسل به جای اینکه جملاتی از قبیل (aea) را صرفا جملاتی کاذب بخواند، بی معنی قلمدادشان کند. این شاید یکی از دلایلی باشد که ذهن جمعی از فلاسفه این قرن را مجذوب مسئله معنی دار بودن یا نبودن الفاظ کرد. آنها به نظریه راسل درباره معنی داری به عنوان کشفی بزرگ نگریسته، بخشی عظیم از فعالیتهای فلسفی خود را معروف این نمودند تا مهملات را از زبان فلسفه طرد

کنند!

این مسائل باعث شد تا راسل به سمت نظریه انشقاقی یا شاخه شاخه انواع (Ramified theory of types) رو آورد. از آنجا که به گمان او هیچ صفتی نمی باید بر حسب عبارتی که به کلیه صفات، اشاره دارد تعریف شود. صفات متعلق به نوع ۱ باید به صفات مرتبه اول مرتبه دوم و غير آنها تقسیم شود. صفات مرتبه اول شامل آن دسته از صفات می باشند که در تعریف آنها عبارت کلیه صفات، اخذ نشده است. صفات مرتبه دوم حاوی آن دسته از صفات اند که در تعریف آنها عبارت کلیه صفات مرتبه اول اخذ شده باشد و الی آخر.

مرتبه ۳ مرتبه ۲

مرتبه ۱

...,

F

,

G

,

H

.

.

.

F

.

G

.

H

.

.

F

.

"

G

,

"

H

:نوع ۳

....... پ

F

.

G

.

H

.

.

F

.

G

.

H

..... پ F

.

G

. H :نوع ۲

... ,F

F

.

"

G

,

TH

.

F

.

G

,

,

'

H

,

G

, H :نوع ۱

همچنان که نظریه ساده انواع ما را از سخن گفتن درباره صفات بر حذر میداشت و تنها اجازه سخن گفتن درباره کلیه افراد یا کلیه صفات افراد را می دارد ، بهمین نحو سلسله مراتب یاد شده نیز ما را از سخن گفتن درباره کلیه صفات یک نوع بر حذر داشته، تنها اجازه سخن گفتن درباره همه صفات مرتبه اول یا همه صفات مرتبه دوم یک نوع خاص را می دهد.

اشکال اساسی نظریه انشقاقی انواع اینست که نه تنها مانع استنتاج

فرهنگ

پارادکس ها می شود بلکه استنتاج ریاضیات را نیز غیر ممکن می کند. همچنان که دیدیم اعداد حقیقی بر حسب صفات کسرها تعریف شدند، اما از آنجا که استعمال عبارت «بازاء کلیه صفات بدون اشاره به مرتبه ای معین ناممکن گشته است عبارت «بازاء کلیه اعداد حقیقی، تنها می تواند به اعداد حقیقی یک مرتبه خاص راجع شود. در نتیجه این انشقاق، بسیاری از مهمترین تعاریف و قضایای اعداد حقیقی از دست می روند. بسیاری از قضایای اساسی نه تنها قابل اثبات که حتی قابل بیان نیز نخواهند بود. بعلاوه واصل دور باطل قرار بود مانعی بر سر راه تعاریف غير محمولی impredicative definition (تعریف یک مفهوم بر حسب کلیتی که آن مفهوم بدان متعلق است) باشد حال آنکه بسیاری از مفاهیم

مانند مفهوم «کوچکترین کران بالایی») بدین گونه تعریف می شوند. برای رفع این مشکلات راسل اکسیوم تحول پذیری را طرح کرد تا به کمک آن مراتب متفاوت یک نوع را (از بعضی جهات) به پائینترین مرتبه آن تحویل کند. بنابر این اکسیوم، بازاء هر صفتی یک صفت محمولی متحدالمصداق وجود دارد، یعنی ( 7x

)

(

x

*

! x ) (3) (74). مخالفين لوجيسیزم بدرستی اظهار داشتند که نمی توان این ادعا را به عنوان اصلی منطقی پذیرفت و بعدها خود راسل نیز آنرا کنار گذاشت. شروشی و علوم انسانی و مطالبات شرای

۲ - ۳ - لوجيسیزم و مانور اگر - آنگاهی ( If

- Thenism) ان گفتیم که مشکل اساسی لوجیسیزم این بود که یک دسته از فرضهای اساسیش مانند اکسیومهای بینهایت، انتخاب و تحویل پذیری به نظر نمی آمد اصولی منطقی باشد یا بنحوی از آنها نتیجه شده باشد. این مشکل سبب شد تا راسل به احکام شرطی حاوی آنها روی آورد زیرا احکامی که آن فرضها را به قضایای منتج از آنها مربوط می کرد، از منطق قابل استخراج بودند. مثلا در حالیکه هیچ یک از اکسیومها و قضایای هندسه های مختلف از اصول منطقی قابل استخراج نمی باشد، احکام شرطی ای که آن اکسیومها را به قضایای مربوط به می سازد از

.

لوجیسیزم و مسئله صدق در ریاضیات



اصول منطقی قابل استنتاج اند. بدین ترتیب می توان گفت که هندسه به عنوان مجموعه ای از احکام شرطی از منطق قابل استخراج است. با توجه به این نکته راسل دیگر اصرار نورزید که اکسیومهای بینهایت یا انتخاب از منطق قابل استنتاجاند. آنچه را که می توان نتیجه کرد احکام شرطیبی است که مقدم آنها اکسیومهای یاد شده و تالی شان قضایای مستخرج از آنهاست که این البته از نتایج اقضيه استنتاج» است). با شرطی دانستن قضایای ریاضی، مشکلات برنامه لوجیسیزم را می توان برطرف نمود.

واضح است که تثبيت لوجيسیزم به کمک شرطی ساختن قضایای ریاضی صدق ریاضی را امری بسیار پیش پا افتاده می سازد. آنچه لوجیسیزم در پی انجامش بود عبارت بود از استخراج قضايا و اکسیومهای ریاضی از اصول منطقی و نه استخراج قضایای شرطی حاوی آنها به کمک «قضیه استنتاج.. در این صورت نه فقط ریاضیات قابل استخراج از منطق است بلکه، همچنان که کواین اشاره می کند، جامعه شناسی و علم اسطوره شناسی یونانی نیز از منطق قابل استنتاج اند. در واقع هر علم تجربی را که بتوان اکسیوماتیزه کرد می توان با شرطی ساختن قضایایش آنرا ، به کمک قضیه استنتاج، از منطق نتیجه گرفت. این همان پیش پا افتاده شدن مسئله صدق است. بعلاوه باید توضیح داده شود که چرا از میان امکانات متعدد ریاضیدانان تنها به بررسی یک سیستم اکسیوماتیک خاص می پردازند و اساسا، با شرطی دانستن قضایای ریاضی، پیشنهاد و ارائه اکسیومهای جدید چه معنایی می تواند داشته باشد. اینها پرسشهای است که مانور «اگر - آنگاهی» یا پاسخی به آنها ندارد و یا اگر دارد پاسخش مانند خود تئوری پاسخی کاملا موردی و استعجالي است.

نتیجه قبلا اشاره شد که لوجيستها تئوری مجموعه ها را به عنوان بخشی از منطق قلمداد می کرند. اما این ادعایی است که از جانب بسیاری مورد مناقشه قرار گرفته است.

۲۴۱

فرهنگ

کواین، به عنوان مثال معتقد است که یکی دانستن تئوری مجموعه ها با منطق ناشی از مبالغه در شبیه دانستن مفاهیم عضویت» («ع») و محموله است. منطق محمولات مرتبه بالاتر، بزعم کواین، در واقع همان تئوری مجموعه هاست که به واسطه نحوه تقریرش شباهتی ظاهری با منطق پیدا کرده است. از نظر او منطق در حد همان منطق محمولات درجه اول متوقف می شود و سورهای مرتبه بالاتر با

عه را نباید مفاهیمی منطقی قلمداد کرد. مشکل عمده لوجيسیزم توضیح این نکته بود که اکسیومهای تئوری مجموعه ها به چه معنا حقایقی منطقی اند. دیدیم که راسل خود به این امر اذعان داشت که اکسیومهای انتخاب و بینهایت را نمی توان از منطق نتيجه کرد. واقعیت اینست که راسل هرگز باندازه کافی به این نکته توجه نکرد که تئوری مجموعه ها منطق محض نبوده بلکه دارای اکسیومهای مربوط به وجود مجموعه هاست نکته ای که بعدها در تئوری اکسیوماتیک زرملو کاملا بر آن تصریح شد. حتی در قلمرو اپیستمولوژی نیز توفيق لوجيسیزم محدود بود. استخراج قضایای ریاضی از منطق، با جملات پایان ناپذیر و طولانی آن، دارایی چنان درجه ای از پیچیدگی شده بود که با تصور شهودی ما از ریاضیات بسیار بیگانه می نمود. در حل مشکل امکان معرفت ریاضی این گامی به عقب بود نه به جلو. بنابراین میتوان نتیجه گرفت که برنامه لوجيسیزم در تحقق اهدافش توفیق نیافت. موستوسکی این نکته را چنین بیان می کند:

واقعیت این است که هیچ منطقی که توانایی در برگرفتن کل ریاضیات را داشته باشد وجود نداشت. بدین ترتیب آنچه از این برنامه (لوجيسیزم) برجای ماند تنها تحویل ریاضیات به تئوری مجموعه ها بود. این را بدشواری می توان راه حل رضایت بخشی برای مسئله مبانی ریاضیات دانست زیرا از میان همه تئوریهای ریاضی، تئوری مجموعه ها خود بیش از بقیه به داشتن مبانییی استوار نیازمند است.۱

لوجیسیزم و مسئله صدق در ریاضیات



۳- بازگشت به معمای بناسراف در ابتدای مقاله به تفصیل درباره تنش میان اپیستمولوژی و سمانتیک در باب ریاضیات سخن گفتیم. در این بخش من خواهم کوشید تا با ارائه تئوری توجیه (Theory of justification) خاصی از توان اشکال معرفتی به رئالیسم ریاضی تا حدی بكاهم. بگمان من اشكال معرفتی بناسراف تنها از لحاظ ظاهر فقط به رئالیسم ریاضی مربوط است و متاسفانه بسیاری از فلاسفه، منجمله خود بناسراف، گمان می کنند این مشکل تنها به حقایقی مربوط می گردد که بدلیل مجرد بودنشان، از دسترس معرفتی ما خارجند. اما این سخن بهیچ وجه صحيح نیست. هنگامی که به مسئله معرفت و نحوه پیدایش آن بصورتی عمیقتر نظر شود، معلوم خواهد شد که امکان معرفت ریاضی همانقدر نیازمند تبیین است که امکان معرفت، على الظاهر بدون اشکال، تجربی.

گفتیم رئالیسم ریاضی با تعمیم سمانتیک تارسکی به قضایای ریاضی شروط صدقی را به آنها نسبت می دهد که ارضائشان تنها توسط ذواتی مجرد (اعداد، مجموعه ها ......) که از دسترس معرفتی ما خارجند میسر خواهد بود. با توجه به این مسئله، ایراد بناسراف به رئالیسم ریاضی از دو مقدمه تشکیل میشد:(۱) اعداد هویاتی مجردند که توانائی فعل و انفعال علی با ما را ندارند. (۲) تنها در صورتی می توانیم ادعا کنیم به حقیقتی علم داریم که میان آن واقعیت و حواس ما رابطه ای علی وجود داشته باشد. واضح است که با پذیرش این دو مقدمه معرفت ریاضی ناممکن خواهد بود. این در حالی است که ما به بعضی حقایق ریاضی علم و آگاهی داریم. از این مقدمات کذب نظریه رئالیسم ریاضی لازم می آید. برای رفع این اشکال پاسخهای متفاوتی ارائه شده است. از آن جمله به راه حل گودل اشاره کردیم که معتقد بود ریاضیدانان به کمک قوه ادراکی شهود ریاضی، بنحوی در تماس با این ذوات مجرد می باشند. اشکال راه حل گودل اینست که او بهیچ وجه روشن نمی کند ما به چه نحو با این هويات مجرد تماس برقرار می کنیم. در غیاب توضیح دقیقتری در این باب راه حل گودل

۲۴۳

فرهنگ

فاقد قدرت تبیین لازم خواهد بود. می توان احتمال داد که علت ارائه چنین راه حلى از ناحيه گودل تعهد او به تئوری على علم باتوجیه (The causal theory of knowledge and justification) بوده است. به تعبیر دیگر چون او ارتباط علی با حقایق خارجی را از جمله شرایط لازم حصول علم یا توجیه می دانست، ناچار شد «نوعی تماس با حقایق ریاضی را مفروض گیرد. اما چنین فرضی در واقع لازم نیست، زیرا تئوری علی علم یا توجیه تئوری باطلی است که حتی از جانب پیشنهاد دهندگان آن نیز کنار گذاشته شده است. در ادامه مقاله ابتدا دلایل انکار تئوری علی علم یا توجیه باجمال بيان گشته، سپس تئوری تو جیه دیگری پیشنهاد خواهد شد. دفاع از موجه بودن اعتقادات ریاضی، البته، به معنای حل مشکل اپیستمولوژی رئالیسم ریاضی نیست، زیرا یکی دو مسئله غامض همچنان باقی خواهد ماند. اما چنانکه اشاره خواهد شد این مسائل نه تنها دامنگیر معرفت ریاضی است که معرفت تجربی را نیز در بر می گیرد. معرفتهای ریاضی و تجربی، از این نظر، درارای منزلت واحدی هستند.

.

۳

- ۱- ابطال تئوری علی علم و توجيه دلیل اخذ شرط عليت در تحلیل یا تعریف علم (و عقیده موجه) را می توان در دو انگیزه مرتبط ذیل جست. اولی مربوط می شود به نارسائی های تعریف سنتی و استاندارد علم بر حسب اعتقاد صحيح موجه و دومی ناشی از الگو قرار دادن ادراک حسی برای حصول معرفت می باشد. در ادامه بحث، ابتدا نشان خواهم داد که هیچیک از انگیزه های فوق نمی توانند ضرورت اخذ شرط علیت را در تحلیل علم (عقيده موجه) توجیه کنند و آنگاه به ترسیم خطوطی کلی تئوری توجیه دیگری خواهم پرداخت.

از زمان ارائه موارد نقض گتیه در ارتباط با تحلیل سنتی S به P علم دارد کوششهای بسیاری صرف شده تا با اضافه کردن یا جانشین ساختن شرایطی جدید، راه ورود علم تصادفی و شانسی را سد کنند. یکی از این پیشنهادها

۲۴۴

لوجیسیزم و مسئله صدق در ریاضیات

توسط الوین گولدین و تحت عنوان «تئوری علی علم» مطرح شد که دارای ساختمان ذیل بود:S به P علم دارد اگر و فقط اگر (۱) P صادق باشد و (۲) S به P معتقد باشد و (۳) رابطه ای علی میان حقیقت P و اعتقاد S به P وجود داشته باشد. با ضمیمه ساختن شرط سوم گولد من توانست موارد نقض گتیه و امثال آن را توضیح دهد. اما خود او بسرعت دریافت که حتی تحلیل علی نیز راه را برای ورود علم تصادفی باز می گذارد. مورد نقضی که او پیشنهاد کرد از این قرار بود. اسمیت همراه پسرش در حال رانندگی در یک جاده کوهستانی است و در حین رانندگی مناظر اطراف را به او نشان می دهد. از آن جمله اشاره به انباری می کند که در فاصله نسبتا دوری از جاده قرار دارد. اسمیت تردید ندارد اتاقی که می بیند یک انبار است و در واقع نیز این اتاق یک انبار است. اما بدون آنکه اسمیت مطلع باشد در اطراف جاده ای که او رانندگی می کند ، انبارهای تقلبی زیادی وجود دارد. بنحوی که اگر او به یکی از این انبارها اشاره می کرد آنرا از یک انبار واقعی تمیز نمی داد. در اینجا کلیه شروط یاد شده در تعریف علم ارضا شده اند. اولا اتاقی که اسمیت به آن اشاره می کند یک انبار است، اسمیت به انبار بودن آن اعتقاد دارد و رابطه ای علی نیز میان این واقعیت و اعتقاد اسمیت به آن وجود دارد. مع الوصف اسمیت واقعة علم ندارد که انباری در آن نقطه وانع شده است زیرا علم او کاملا محصول تصادف و شانس بوده است. اگر او بیکی از و انبارهای تقلبی اشاره می کرد هیچگاه تقلبی بودن آنرا درنمی یافت.

دومین انگیزه هدف کلیتری را تعقیب می کند زیرا شرط عليت را نه تنها برای حصول علم که حتی برای اعتقاد موجه نیز ضروری میشمارد. دلیل این تعمیم نیز از الگو قرار دادن ادراک حسی ناشی می شود: اعتقادات ادراکی ما به دلیل آنکه محصول پروسه های علی هستند موجه می باشند بنابراین هر اعتقاد دیگری، منجمله باورهای ریاضی، نیز برای موجه بودن باید محصول پروسه های علی باشد. این استدلال متاسفانه صحیح نیست زیرا اگر چه در مورد باورهای ادراکی و مربوط به حافظه وضعیت از این قرار است، بسیاری از باورها و

۲۴۵

فرهنگ

اعتقادات ما حاصل استنتاج بوده و مستقیما حاصل نمی شوند. از آنجمله است اعتقادات مبتنی بر شهادت و گواهی (Testimony) اعتقادات مربوط به حوادث آینده، اعتقاداتی که متعلق آنها قضایای کلیه اند و امثال آنها. برای توجیه این قبیل باورها، شرط علی معمولا آنقدر تضعیف می شود که به رابطه ای منطقی مبدل می گردد. واضح است که تضعیف رابطه علی تا حد یک رابطه منطقی صرف دیگر محتوای چندانی برای مدعای نخست باقی نمی گذارد. از ملاحظات فوق می توان توجیه گرفت که برای حصول علم، بهیچ وجه ادراک متعلق آن ضرورت ندارد. این معنا بخصوص در مورد اعتقادات موجه صادق است زیرا یک اعتقاد موجه کاذب نیز می تواند وجود داشته باشد و این امری است که هیچ یک از تفسیرهای علی نمی توانند آن را توجیه کنند. هیچ باوری نمی تواند معلول واقعیتی باشد که وجود خارجی ندارد. با ابطال تفسير على علم و توجیه، استدلال بناسراف تا حدودی توان خویش را از دست میدهد زیرا موجه بودن باورهای ریاضی لازم نیست مسبوق به ادراک واقعیات ریاضی باشد. برای توجیه آنها می توان به سراغ تئوری دیگری رفت. قبل از ترسیم خطوط کلی تئوری مناسبی جهت توجیه باورهای ریاضی لازم است نخست توضیح دهم که چرا به جای ارائه تحلیلی از معرفت (Knowledge) ریاضی به مسئله توجيه (Justification) باورهای ریاضی پرداخته ام.

انا انا

انا اکران یکی از مهمترین اشتغالات اپیستمولوژی یافتن راههایی برای غلبه بر شکاکیت بوده است. شکاکیت معمولا به دنبال انکار قطع و یقین و اعتقاد به احتمال خطا در باورهای انسانها بروز می کند و بالنتيجه اعتبار کلیه ادعاهای معرفتی را زیر سوال می برد. یعنی حتی اگر P صادق باشد باز هم اعتقاد به P، به دلیل احتمال خطا، نمی تواند در مرتبه علم قرار گیرد. فرض کنید بصورتی کاملا تصادفی و از روی شانس اعتقاد به P برای ما حاصل شده و P نیز واقعا صادق باشد. در این صورت، به گفته شکاکین، مشکل می توان باور یاد شده را علم خواند زیرا بسادگی ممکن بود كاذب از آن در بیاید. تنها به دلیل خوش شانسی ما

۲۴۶

الوجیسیزیم و مسئله صدق در ریاضیات



بوده است که به اعتقادی صحیح دست پیدا کرده ایم. در هر حال احتمال خطاهائی از این قبیل است که مانع می شود ما بتوانیم مدعی علم به P شویم. برای ابطال شکاکیت، فلاسفه کوشیده اند تعاریفی را از علم عرضه کنند که دیگر جائی برای احتمال خطا باقی نگذارد.

از زمانی که گتیه ایرادهای خود را به تفسیر سنتی «علم» (اعتقاد صحیح موجه) ابراز کرد، تعاریف و تحلیلهای متفاوتی از آن ارائه شده تا امکان علم تصادفی را حذف نمایند. ولی هیچ یک از این تعاریف توفيق كامل نیافته است و با توجه به شکستهای مستمر این کوششها بعید می نماید که تعریف موفقی هرگز ارائه شود. شکاکیت از میان رفتنی نیست یکی از دلایل این بدبینی، بگمان من، می تواند از این قرار باشد.

توجیه امری است مقول به تشکیک. اعتقادات ما از درجات متفاوتی از توجيه برخوردار بوده و درجه توجیه یک اعتقاد بستگی به مقدار شواهد مربوطی که شخص در تحصیل باور خود به آنها نظر داشته است دارد. اینکه کسی موفق به در نظر گرفتن کلیه شواهد مربوطه نشده باشد بهیچ روی مانع از توجیه اعتقادات او نمی گردد. بنابراین می توان گفت تا زمانی که شخص (به لحاظ معرفتی) غافل از شواهد مربوطه نبوده باشد اعتقادات او مجاز و موجهند. این توجيه البته موقتی است زیرا با پیدایش اولین شاهد مخالف از اعتبار ساقط خواهد شد. بنابراین کاملا ممکن است که کسی بنحوی تصادفی اعتقادات موجهش را تحصیل کرده باشد زیرا شواهد مخالف تصادفا از نظر او پنهان مانده اند. از طرف دیگر اگر شخص کليه شواهد مربوطه را در نظر گرفته باشد در این صورت اعتقادات او نه بصورتی موقت که بنحوی قطعی و کامل موجه خواهند بود. این ملاحظات قطعة بر هر تحلیلی از علم که شرط توجیه را در تعریف آن اخذ می کند تاثیر میگذارد. زیرا اگر ما به دنبال توجیه موقتی باشیم، علم موقتی هم خواهیم داشت. بدین ترتیب «علم، مفهومی متاثر از اوضاع و شرایط گشته و، تحت بعضی از این شرایط، راه برای حصول علم تصادفی بازخواهد شد. در این صورت می باید

۲۴۷

فرهنگ

احتمال خطا و در نتیجه امکان شکاکیت را تصدیق کرد. اما اگر به دنبال توجيه قطعی و کامل باشیم به علم قطعی خواهیم رسید و دیگر جایی برای شکاکیت باقی نخواهد ماند. لكن بسیار نامتحمل است که ما بتوانیم کلیه شواهد مربوطه را در نظر بگیریم. در نتیجه می باید تصورمان را از توجيه تعديل نمائیم. اما تعدیل شريط توجیه، همچنان که گفته شد، علم را تابعی از شرایط کرده، در مواردی به حصول علم تصادفی منجر خواهد گشت. بهمین دلیل است که کلیه تئوریهای ارائه شده در باب تحلیل مفهوم علم که مفهوم توجيه موقتی را در معنای آن اخذ می کنند راه را برای حصول علم تصادفی باز می گذارند. این واقعیت امکان ارائه یک تعریف جامع درباره علم را که جائی برای علم تصادفی و شکاکیت باقی نگذارد بسیار نامتحمل می سازد. اما شکاکیت تنها یکی از اشتغالات اپیستمولوژی است و در مورد اهمیت آن نباید مبالغه کرد. در شرایطی که حصول علم قطعی (اعتقاد صحیح کاملا موجه) میسر نیست می باید به اموری پرداخت که تحقق آن در محدوده توان بشری است، یعنی حصول اعتقادات و باورهای موجه. اگر تحلیل دقیقی از علم برایمان ممکن نیست شاید بتوانیم معین کنیم که حداقل، تحت چه شرایطی باورهای ما موجه هستند. بهمین دلیل به جای پرداختن به مسئله تحلیل مفهوم علم، من به بررسی شرایطی می پردازم که تحت آن شرایط اعتقادات ما موجه خواهند بود. بدین منظور خطوط کلی تئوری توجیهی را ترسیم خواهیم کرد که نزد فلاسفه تئوری توجیه برپایه قابل اعتماد بودن (The Reliability theory of justification) نام گرفته است.

بنابراین تئوری، اعتقادی موجه است که حاصل پروسه معرفتی قابل اعتمادی باشد. بدین اعتبار اعتقادات ادراکی از آنجهت موجه می باشند که محصول پروسه ادراک حسی هستند، پروسه ای که در این عالم قابل اعتماد است. همچنان که اعتقاداتی که از سایر اعتقادات موجه دیگر نتیجه شده باشند موجه میباشند زیرا پروسه استنتاج پروسهای قابل اعتماد است. بعكس، باورهایی که محصول خیالپردازیهای آرزومندانه هستند موجه نمی باشند. پروسه قابل اعتماد پروسهای

۲۴۸

لوجيسیزم و مسئله صدق در ریاضیات

است که حداقل ۵۰% از اعتقادات حاصله از آن صادق باشد و این معنا کاملا با تصور ما از مفهوم «توجیه هماهنگ است زیرا مفهوم «توجیها نیز مفهومی مقول به تشکیک است. باید توجه داشت که تعیین میزان قابلیت اعتماد یک پروسه نیازی به پیشگوئی درباره چگونگی محصولات آن (از نظر صدق و کذب) ندارد. کافی است که مکانیزم نهانی آن پروسه مورد بررسی قرار گرفته و میزان توانایی و امیل (Propensity) آن به تولید باورهای صحیح سنجیده شود. به این ترتیب ما خواهیم توانست از میزان و درجه قابلیت اعتماد آن پروسه مطلع گردیم (این جا از مواردی است که نیاز اپیستمولوژی به روانشناسی آشکار می گردد. با توجه به این نکات اتئوری توجیه بر مبنای قابل اعتماد بودن، ساختاری از قرار ذیل خواهد داشت: اعتقاد S به P موجه است اگر و فقط اگر اعتقاد مذکور محصول یک پروسه معرفتی قابل اعتماد بوده و این توجیه از ناحیه اعتقادات دیگر و مورد تهدید قرار نگرفته باشد.۱۲

۳

- ۲ - توجيه اعتقادات ریاضی

اکنون به بررسی ارتباط مطالب فوق با تجویز اعتقادات ریاضی می پردازیم. قبلا گفتیم که مفاهیم علم و توجیه هیچ یک (بالذات) مفاهیمی علی نبوده و بنا بر این امکان تفسیری غیر علی از توجیه را نمی توان منتفی دانست. بدنبال آن و برای پرکردن خلا ایجاد شده خطوط کلی تئوری قابل اعتماد بودن توجیه ترسیم گشت. در مورد معرفت ریاضی وضعیت از این قرار است. قبلا هنگام بررسی تئوریهای کواین و گودل اشاره شد که تئوری معرفتی کواین با پدیدارشناسی ریاضیات هماهنگی ندارد و نمی تواند بداهت ریاضیات پایه را توجیه با تبیین کند. در مورد رئالیسم افلاطونی گودل وضع بعكس است. او نقطه عزیمت خود را از تجربه خود ریاضیدانان انتخاب میکند. شهود ریاضی به گمان او پروسهای است که ریاضیدانان توسط آن اکسیومهای ریاضی را فرض کرده، صحت و سقم آنها را در بوته سنجش قرار می دهند. همچنان که گفتیم گودل تحت تاثیر تئوری

۲۴۹

فرهنگ

على علم فرض کرد که ما از طریق شهود ریاضی بنوعی با ذوات مجرد ریاضیات در تماس هستیم ولی توضیح بیشتری در این باب ارائه نکرد. ولی شاید واقعا نیاز به چنین فرضی نیز نباشد. برای برپا ساختن تئوری یی برای معرفت ریاضی همینقدر کافی است که پدیدارشناسی آنرا شناسایی کنیم و این کار، همچنان که گودل اشاره می کند، یعنی تمسک جستن به شهود ریاضی.۱۳

معرفت ریاضی یا از طریق استنتاج قضایای ریاضی از اکسیومهانتیجه می شود و یا در مورد اکسیومها) با توسل به شهود ریاضی. البته بگفته گودل، چنین نیست که تمسک به شهود بتواند تکلیف همه فرضیات ریاضی را روشن کند. همچنان که حقایقی درباره اشیاء فیزیکی وجود دارد که قابل ادراک نیستند، حقایقی نیز درباره هویات ریاضی وجود دارد که شهودی نمی باشند. در هر دو حالت علم ما به این حقایق «دور از دسترس، از راه نقش آنها در تئوریها و توانائیشان در تبیین و سازماندهی داده ها حاصل می شود. بنابراین باید میان دو مرحله از حصول معرفت ریاضی تمیز داد. یکی مرحله ای است که در آن بسهولت می توان درباره یافته های شهود ریاضی به توافق رسید، یعنی توافق درباره صدق كذب فرضیات آسان می باشد و دیگری مرحله نظری تریست که اجماع دیرتر حاصل می شود. در این مرحله ممکن است باورهای ریاضی توسط داده های شهودی به صورت ناقص متعین گردند. این مرحله از معرفت ریاضی شبیه مرحله نظری علوم تجربی است، یعنی جایی که فرضیات ناسازگار توسط دستهای واحد از مجموعه داده ها به صورت ناقص متعین می گردند. به تعبیر دیگر هنگامی که فرضیات ناسازگار بگونه ای یکسان داده های تجربی را تبیین مینمایند.

در هر دو مرحله امکان خطا وجود دارد و این امر البته ملازمت تام با رئالیسم دارد. قبلا حقایق عینی را بر حسب استقلال آنها از زبان و نحوه ادراکات مان تعریف کردیم. در واقع این شکاف میان تجربه حسی و عالم خارج است که نمایانگر و علامت عینیت حقیقت است و دقیقا بهمین دلیل است که ادراکات حسی اغلب با خطا و اشتباه توامند. بهمین نحو عینیت حقایق ریاضی اقتضا

۲۵۰

لوجيسیزم و مسئله صدق در ریاضیات

می کند که ما قائل شویم آنچه در شهود بر ما معلوم گشته ممکن است خلاف امر واقع باشد. به عبارت دیگر امکان خطا، ملازمت تام با عینیت دارد.

سخنان فوق همگی درباره پدیدارشناسی ریاضیات بود. گفتيم شهود ریاضی پروسه ای است که ریاضیدانان با تمسک به آن صدق و کذب اکسیومهای ریاضی را معین می سازند. همچنین میان دو مرحله از شهود فرق گذاشتیم، یکی مرحله ای که شناسائی صدق و کذب اکسیومها آسانتر بوده، تحصيل اجماع خالی از اشکال است و دیگری مرحله نظری تری که در آن باورهای ریاضی توسط داده های شهودی به صورت ناقص متعین می گردند. اینها همه به پدیدارشناسی مربوط می شود و برای تبدیل آن به اپیستمولوژی لازم است نشان دهیم که باوردهای مذکور موجه نیز هستند. این معنا با توسل به تئوری قابل اعتماد بودن توجیه که کلیات آن ترسیم شد، قابل تحصیل است زیرا پروسه شهود ریاضی با توجه به آنچه قبلا گفته شد پروسهای قابل اعتماد بوده و نتیجتا اعتقاداتی که محصول آن هستند به لحاظ معرفتی موجه خواهند بود.۱

البته ما نمیدانیم اعتقاداتی که محصول تجربه های شهودی ما هستند چگونه به این خوبی با واقعیات ریاضی مطابقت دارند اما یک مکانیزم می تواند درست عمل کند بدون اینکه ما بدانیم چگونه عمل می کند. در هر حال این سوال بقوت خود باقی است که اگر تنها راه دستیابی ما به واقعیات ریاضی از طریق شهود است و اگر بدلیل مجرد بودن هویات ریاضی ادراک آنها ممکن نیست، در این صورت در غیاب روش مستقل دیگری جهت بررسی ادعاهای حاصله، چگونه می توان با به کارگیری پروسه شهود صحت و سقم آن ادعاها را معین کرد؟ از آنجا که مادر تجویز اعتقادات ریاضی به تئوری قابل اعتماد بودن، پروسه های معرفتی تمسک کرده ایم این پرسش را می توان اینگونه نیز مطرح کرد: چگونه می توان معین کرد که پروسه شهود ریاضی قابل اعتماد است؟ این سوال در واقع دارای دو وجه است. وجه نخست آن معرفتی و اپیستمیک است: در غیاب روش و آزمونی مستقل چگونه می توان معین کرد که پروسه شهود قابل اعتماد است؟ وجه

۲۵۱

فرهنگ

دوم طبیعتی متافیزیکی دارد: در صورت قابل اعتماد بودن پروسه شهود، چگونه می توان رقابلیت اعتماد، آن را توضیح و تبیین کرد؟ من در اینجا از دادن پاسخهای مستقیم به این پرسشها خودداری خواهم کرد و در عوض خواهم کوشید نشان دهم که عینا همين پرسشها را در مورد معرفت تجربی نیز می توان مطرح کرد. به تعبیر دیگر هدفم تصریح نکته ای است که تاکنون چندین بار به آن اشاره شده است: امکان معرفت ریاضی همانقدر نیاز به تبیین دارد که معرفت

تجربی

ابتدا از پرسش معرفتی آغاز می کنیم تا ببینیم که آیا این سوال در مورد ادراک حسی نیز مطرح می شود یا خیر، گفتیم که بنا بر تئوری قابل اعتماد بودن توجيه، اعتقادات ما موجه هستند اگر و فقط اگر محصول پروسه هایی قابل اعتماد باشند. در این صورت اعتقادات تجربی (حسی) ما از آن جهت که تجربه حسی پروسه قابل اعتمادی است موجه می باشند. واضح است که صحت این ادعا مسبوق است به اینکه بتوانیم درستی فرض ذیل را معین نمائیم: (1) تجربه حسی منبع قابل اعتمادی برای تولید ادراکات حسی است. نخستین پاسخی که به ذهن می رسد بی شک متوسل به سابقه این پروسه خواهد شد: باورهای مبتنی بر تجربه حسی اکثرا صحیح و مطابق با واقع بوده اند، بنابر این تجربه حسی باید پروسهای قابل اعتماد باشد. به عنوان مثال فرض کنید من، تحت شرایط طبیعی، متقاعد شوم که میزی در برابرم قرار دارد. این اعتقاد بی شک صحیح است اما ما این را از کجا می دانیم؟ کافی است، مثلا، از دیگران بخواهیم تا آنرا بررسی و تائید کنند. اما این روش نمی تواند آزمونی مستقل و غیردوری جهت سنجش (1) باشد زیرا برای انجام آن ناچار خواهیم بود به قابلیت اعتماد تجربه های حسی دیگران اطمینان و تکیه کنیم. می توانیم ترتیبی دهیم که از میز مزبور عکس تهیه شود. اما حتی در این روش نیز ناچار خواهیم بود آن عکسها را ببینیم و بنابر این باید بار دیگر قابل اعتماد بودن تجربه حسی را از قبل فرض کنیم.

ممکن است کسی راه غیرمستقیم ذیل را جهت اثبات (1) پیشنهاد کند: تنها

۲۵۲

لوجيسیزم و مسئله صدق در ریاضیات



در صورت فرض صحت باورهای حاصله از تجربه حسی است که ما می توانیم توافق عمومی در مورد باورهای ادراکی و موفقیت پیش بینی هایمان را توضیح دهیم. اما اعتبار این برهان نیز مسبوق به درستی ادعای (1) است زیرا تنها با تمسک به تجربه حسی است که می توان توفيق پیش بینی ها و توافق عمومی را تصدیق و شناسائی کرد. در کلیه این موارد برای اثبات قابلیت اعتماد تجربه حسی ناچاریم به صورت غیرمستقیم به آن اطمینان کنیم. (1) تنها بشرطی قابل اثبات است که ما راهی مستقل از توسل به تجربه حسی جهت تصدیق آن در اختیار داشته باشیم اما چنین چیزی ممکن به نظر نمی آید. بدین ترتیب به نظر میاید که قابل اعتماد بودن تجربه حسی را نمی توان بنحوی مستقل و غیردوری اثبات کرد. ویلیام آلستون این نوع دور را دور معرفتی (epistemic circularity) می خواند و بروز آنرا به طور کلی هنگامی می داند که جهت اثبات قابل اعتماد بودن پروسه های معرفتی ناچار می شویم به مقدماتی تکیه کنیم که آن مقدمات همگی محصول همان پروسه ها هستند. همین نوع از دور در مورد پروسه شهود نیز ظاهر می شود. هیچ روش مستقلی جز از طریق توسل به خود شهود ریاضی جهت اثبات قابلیت اعتماد آن وجود ندارد. ما تنها می توانیم با ملاحظه اصول تنظیمی از احتمال خطا کم کرده، توافق همگانی را گسترده تر بسازیم. البته در هر دو مورد باورهای تجربی و ریاضی، همچنان که اشاره شد، توجیه حاصله متوقی و قابل برگشت است.

. اکنون به سراغ پرسش متافیزیکی می رویم: فرض کنیم شهود ریاضی پروسهای قابل اعتماد است. در این صورت در غیاب رابطهای علی میان ما و هویات ریاضی چگونه می توان این قابلیت اعتماد را توضیح داد؟ به تعبیر دیگر چگونه است که باورهای حاصله از شهود ریاضی با واقعیات ریاضی مطابقت . دارند، در حالی که هیچ رابطه علی میان طرفین این نسبت وجود ندارد؟ بیاد داریم که برهان بناسراف (عليه رئالیسم ریاضی) متکی به تئوري على علم بود و گفتیم که تئوری مذکور امروز دیگر در میان فلاسفه خریداری ندارد. در عین حال

.

۲۵۳

فرهنگ

می توان اشکال بناسراف را به گونه ای بیان و تقریر کرد تا مسبوق به درستی تئوری على علم نباشد و این بگمان من پیام واقعی آنست. مشکل اصلی در اینجاست که هر مکانیزمی که توسط رئالیستها جهت حصول معرفت ریاضی فرض شود (على یا غیر علی) این نکته باید از جانب آنان روشن گردد که چگونه است که اعتقادات حاصله از آن مکانیزم حاکی از واقعیات ریاضی می باشند. به تعبیر دیگر قابلیت اعتماد این مکانیزم ها را چگونه میباید تبیین کرد؟ چگونه است که این مکانیزمها از واقعیاتی خبر می دهند که از هر نظر از دسترس و قلمروشان خارجند؟ این همان پرسش متافیزیکی است که آغازگر این بخش از سخنان بود: به فرض قابل اعتماد بودن پروسه شهود ریاضی، این واقعیت چگونه قابل توضیح است؟ هارتری فیلد نیز در تحلیلش از معمای بناسراف بهمین نتیجه می رسد، اما اضافه می کند که بگمان او چنین تبییني على الأصول ناممکن بوده و در نتیجه رئالیسم ریاضی تا حدود زیادی اعتبارش را از دست میدهد. به نظر من برای رهایی از چنین بن بستی تنها یک راه حل وجود دارد و آن اینست که به پیروی از لایبنیتس قائل به نوعی همسازی از پیش تثبیت شده، (

pre

- established harmony) میان واقعیات ریاضی و پروسه شهود گردیم. این تبیین قطعا از جانب فیزیکالیستهایی همچون فیلد مردود قلمداد میشود ، اما همچنان که ذیلا اشاره خواهد شد، عينة همین مشکل در مورد معرفت تجربی وجود دارد و آنجا نیز توسل به همسازی از پیش تثبیت شده تنها راه گریز از بن بست است. البته برای منظور این مقاله بهیچ وجه پذیرش این تبیین لازم نیست بلکه هدف عمده من آنست که نشان دهم مسئله امکان معرفت ریاضی همانقدر نیازمند تبیین است که معرفت تجربی.

پس پرسش را از اینجا آغاز می کنیم که معرفت تجربی چگونه ممکن است، یعنی چگونه است که باورهای تجربی ما با عالم خارج مطابقت دارند. ابتدا چنین بنظر می آید که ارتباط علی میان قوای ادراکی ما و عالم خارج به آسانی بتوانند توافق این دو را توضیح دهد، حقایق عالم خارج هنگام تماس ما با آنها در ذهنمان نقش می بندند و بنابراین جای تعجب نیست که میان علم ما و عالم خارج

۲۵۴

لوجيسیزم و مسئله صدق در ریاضیات



توافق و مطابقت وجود داشته باشد. اما این تصور صحیحی از نحوه حصول معرفت نیست. هنگام تفکر درباره عالم خارج ذهن ما از مرحله انفعالی پذیرش تاثرات حسی بسیار فراتر می رود. این نکته را می توان در دو مرحله توضیح داد.

نخستین مرحله، مرحله نظری و تئوریک معرفت است. یعنی هنگامی که ما بر مبنای داده های تجربی بسیار محدود به ساختن تئوریهایی می پردازیم که بهیچ وجه از آن داده ها نتیجه نشده، مع الوصف تصویری صحیح از عالم خارج به دست می دهند. بنابراین امکان معرفت نظری نیازمند توضیح و تبیین است و این امری نیست که صرف کپیه برداری از عالم خارج باشد. شکاف میان تئوریها و شواهد آنها بسیار وسیعتر از آنست که توسط نظریه های ساده لوحانه معرفت شناسی پر گردد. همانطور که تام نیگل می گوید حتی معرفت تجربی نیز می باید مبتنی بر پایه هایی ما قبل تجربی باشد. بخشی عظیم از بار فرضیه سازی بر دوش فعالیتهای ماقبل تجربی از قبیل صورتبندی و گزینش فرضیات است و تئوری امپریسیستی کپیه برداری از عالم خارج بهیچ وجه توانائی تبیین واقع نمائی معرفت نظری را ندارد.

مرحله دوم، مرحله حصول ادراکات روزمره است. حتی در این سطح نیز تصویر امپریسیستی کپیه برداری از عالم خارج ناقص است. درست است که ما اعتقادات خود را بر مبنای آنچه در تجربه حسی کسب کرده ایم حاصل می کنیم اما، همچنان که کانت می گوید، طبقه بندی این داده ها امری است مربوط به ما و در اختیار ما. مع الوصف با وجود دخالت ما در صورتبندی این باورها چنین اتفاق افتاده است که آنها تصویری واقعی از عالم خارج را به دست می دهند. این امر قطعا نیاز به توضیح دارد. برای روشنتر ساختن موضوع می توان مسئله قابل اعتماد بودن استقرا را مورد بررسی قرار داد. استقرا یکی از مواردی است که با توسل به آن اعتقادات ما از تجربه حسی فراتر می روند. بکمک استقرا ما به ساختن تئوریها پرداخته، می کوشیم به فهم طبیعت نائل گردیم. «استقرا، نشانداده است که پروسه بسیار قابل اطمینانی است: موارد مشاهده نشده معمولا مشابه موارد

۲۵۵

فرهنگ

مشاهده شده از آب درآمده اند. این واقعیت، بگفته واکر، بسیار شگفت آور است. می باید دلیلی درباره علت توافق طبیعت با سیستم اعتقادی ما پیدا کرد. این شگفتی با تقریر جدید گودمن از مسئله استقرا ابعاد جدیدتری بخود می گیرد. او نخست متذکر می شود که آینده ممکن است بانحاء مختلف با گذشته مشابهت داشته باشد و نحوه تشابه مسبوق است به اینکه ما اشياء را چگونه طبقه بندی کرده باشیم. ما معمولا اشياء را ، مثلا در مورد رنگهایشان، بر حسب مفاهیمی از قبیل «سبز»، «آبی» و غیره طبقه بندی می کنیم. اما به جای این مفاهیم کاملا ممکن بود از مفهومی چون «سابی استفاده کنیم، بطوری که با فرض زمان اختیاری T - مثلا نیمه شب امشب چیزی در زمان ، سابی است اگر و فقط اگر یا T> او آن شیئی سبز باشد و یا اینکه T < او آن شبی آبی باشد. در این صورت می توانیم بگوئیم علف فردا همرنگ علف دیروز است اگر همچنان سابی مانده باشد (یعنی اگر آبی باشد. اگر ما با مفهوم اسبزه کار کنیم با استفاده از اصل استقرا انتظار خواهیم داشت که علف فردا سبز باشد در صورتیکه اگر مفهوم

سابی» را به کار بریم، انتظار خواهیم داشت که آبی باشد. این بدان معناست که انتظارات ما بیش از هر چیز بستگی به نحوه طبقه بندی اشیاء از طرف ما دارند و البته هیچ ضرورتی ندارد که اشیاء را آنگونه که اکنون دسته بندی میکنیم دسته بندی کنیم. مع الوصف به نظر می آید طبیعت بگونه ای طراحی شده باشد که با انتظارات ناشی از طبقه بندیهای طبیعی ماتوافق و مطابقت داشته باشد. این تصادف شگفت آور قطعا نیازمند تبیین است.

همانطور که واکر اشاره می کند تئوری تکامل هیچ کمکی در اینجا نمی تواند بکند. ما نمیتوانیم بگوئیم که انتخاب طبیعی از آنجهت ما را ترجیح داده که مفاهیمی مانند «سابی را به کار می بریم زیرا اگر چه تئوری تکامل ممکن است از بین رفتن موجودات استعمال کننده مفهوم «سابی را که زمان 1 آن در گذشته ای دور قرار داشته تبیین نماید، اما بهیچ روی قادر نیست توضیح دهد که چرا هنگامی که T نیمه شب امشب است. ما بجای «سابی»، «سبز» را به کار میبریم.

۲۵۶

لوجیسیزم و مسئله صدق در ریاضیات

دلیل این امر آن است که هر دو گروه استعمال کنندگان «سابی» و «سبز» انتظارهای واحدی تا زمان T داشته و نتیجتا انتخاب طبیعی نمی توانسته میان آنها تفاوتی قائل شود. این نکته را می توان به این صورت نیز تعمیم داد. شکی نیست که ما توانائی تحصیل اعتقاداتی را درباره عالم داریم و برخی از باورهای نادرست ما شانس بقایمان را کاهش میدهند. اما بقول نیگل، بسیاری از باورهای ما هیچ ارتباطی با مسئله بقا ندارند. ما بر مبنای شواهد تجربی محدودی به انواع باورهای تئوریک از قبیل کیهانشناختی، ریاضی و غیر آنها دست پیدا می کنیم. آنچه لازم است بدانیم تنها این نیست که چرا این باورها را داریم بلکه مسئله اصلی آن است که چرا آنها تصویری واقعی از عالم خارج بدست می دهند. تبیین های تکاملی قوه نظریه پردازی ما بهیچ روی نمی توانند توانائی آنرا در دستیابی به حقیقت. توضیح دهند. تمسک به شانس و تصادف نیز نمی تواند فرضیه قابل قبولی در مورد توافق سیستم اعتقادی ما و عالم خارج باشد. حقیقت بسیار مهمتری باید در پس پرده باشند.

بدون فرض واقعیتی عمیق و اساسی، امکان معرفت بشری امری غير قابل درک می نماید. بینش من عقلی و ضد تجربه گرانی است، نه به این دلیل که قبول داشته باشم کشف مبنائی مطمئن برای باورهای ما به صورت ماقبل تجربی میسر است بلکه از آن جهت که معتقدم تا زمانی که فرض نکنیم باورهای ما ریشه در امری بسیار عظیم (و نه فقط بشری که از آن بیخبریم دارند، وجودشان بی معنی و غیر قابل توجیه می نماید، در حالی که این باورها واقعیتی غیرقابل

انکار دارند.۱ بنابراین مسئله توافق میان اعتقادات ما و عالم خارج هنوز در انتظار پاسخ بسر می برد. با استمرار توافق میان قوای ادراکی ما و عالم خارج و با توجه به شکست تئوریهای تجربه گرائی و تکاملی در تبیین این امر، یک راه حل قابل قبول این است که نائل به نوعی همسازی از پیش تثبیت شده میان آن دو شویم. این

۲۵۷

فرهنگ

راه حل را البته نباید به عنوان توضیحی قطعی درباره مسئله امکان معرفت به حساب آورد. هدف من تنها تصریح این نکته بود که مشکلی که در مورد معرفت ریاضی با آن مواجهیم مسئله ایست که در حوزه های غیر منتظره ای همچون معرفت تجربی، که محصول رابطه علی ما با عالم است، نیز وجود دارد . بررسی های فوق نشان داد که توافق میان واقعیات ریاضی و باورهای ما همانقدر نیازمند تبیین است که توافق میان عالم خارج و اعتقادات تجربیمان. بدین لحاظ، بگمان من، اشکال معرفتی بناسراف به رئالیسم ریاضی، یک مشکل همگانی است. هنگامی که مسئله خوب شکافته شود معلوم می گردد که تنش میان سمانتیک و اپیستمولوژی نه تنها مشکل زبان ریاضی که مشکل کل زبان طبیعی است.

از هنگام طرح مسئله صدق و مشکل معرفتی رئالیسم ریاضی تاکنون راه

زیادی را پیموده ایم. در پایان به این نتیجه رسیدیم که مشکل مزبور نه تنها مختص رئالیسم ریاضی که مشکل «رئالیسم، به طور کلی است. تعمیم یک مشکل البته بهیچ روی به جای پاسخ آن نمی نشیند و این نتیجه قطعا خوشایند اذهانی نخواهد بود که حقیقت را ، آنهم مورد معرفت یقینی و بینی همچون ریاضیات، امری آشکار می دانند. اما فلسفه کارش از قبیل همین تعميمهاست، یعنی زدودن غبار ساده لوحی و برملا ساختن طبیعت پیچیده واقعیت. فلسفه یک فعالیت است نه مجموعه ای از حقایق.

پرتال جامع علوم الان

پی نوشتها و مآخذ:

1- Benacerraf, P. (1973), "Mathematical truth“, repr. in Benacerraf and Putnam (eds)

(1983), Philosophy of Mathematics.

2- Kripke, S. (1972), "Naming and necessity" in Davidson and Harman (eds), Semantics

of Natural Language.

3. Quine, W. V. O. "Carnap and Logical truth", in Benacerraf and Putnam (eds) (1983)

۲۵۸

لوجیسیزم و مسئله صدق در ریاضیات



4. Putnam, H. (1975), "What is mathematical truth", in Mathematics, Matter and

Method.

5- Field, H. (1989), Realism, Mathematics and Modality.

6- Godel, K. (1947), "What is Cantor's continuum problem?" repr. in Benacerraf and

Putnam (eds) (1983).

7- Maddy, P. (1990), Realism in Mathematics.

8- Frege, G. (1884), The Foundation of Arithmetic.

۹- همانطوریکه کسانی نیز کوشیده اند عکس اینکار را انجام دهند، یعنی کلیه جملات را به

جملاتی که الفاظ عددی در آنها به صورت صفت با سور عددی استعمال می شود تحویل نمایند. از آن جمله دیوید بوستوك (Logic and Arithmetic) کوشیده است تا با ضمیمه کردن سورها در حوزه متغیرها بر مشکلات این برنامه غلبه کند. اما همچنان که کریسپین رایت اشاره می کند (

Frege ' s Conception of Numbers as objects) اولا روش بوستوك - در صورت موفقیت. نه تنها منجر به حذف کلیه اشارات به ذوات ریاضی که به حذف مدلول اسامی بی از قبيل «سقراط»، «لندن» و غیر آنها می انجامد. ثانيا، بوستوك در اجرای روش خود هم ناچار به تسویر برخود سورها و هم اشاره مشخص به آنها می گردد که در این صورت تفاوت تفسير او با تفسیرهای افلاطون گرا و رئالیستی از قضایای ریاضی تنها لفظی و صوری خواهد بود .

10- Mostowski, A. (1991): Thirty years of Mathematical Logic.

11- Goldman, A. (1976), "Discrimination and perceptual knowledge", the journal of

جامع علو در استان . 73

/

20

philosophy ۱۲- همچنان که گفته شد هدف در اینجا تنها طرح خطوط کلی تئوری توجیه بر مبنای قابل

اعتماد بودن است. اینکه چرا تئوری مزبور چنین ساختمانی دارد نیازمند پرداختن به مقدماتیست که فعلا از عهده این مقاله خارج است. بمنظور سهولت بیان از بسیاری از پیچیدگیهای تئوری مزبور صرف نظر شده است. برای بحثی تفصیلی در این باره نگاه کنید به

Goldman , A, Epistemology and Cognition

۱۳- تحلیل مکانیزم «شهود ریاضی» البته محتاج بررسی و تحقیقی همه جانبه و دقیق است و

گفتن ندارد که چنین تحقیقی برای منظور ما (توجیه باورهای ریاضی) اهمیت تام دارد. اما بدلیل محدودیتهای این مقاله بررسی آنرا به فرصتی دیگر موکول می نماییم.

۲۵۹

فرهنگ

. ۱۴. باید توجه شود که تاکید بر شباهت بیان ادراك حسی و شهود بهیچ وجه بمنظور القای این

تصور نبود که این دو پروسه به يك درجه قابل اعتماد هستند چون چنین چیزی صحت ندارد . تئوری توجیه بر مبنای قابل اعتماد بودن نیز هیچگاه ادعا نکرد که بعضی از پروسه های معرفتی باید از نظر درجه قابلیت اعتماد الگوی سایر پروسه ها باشند. همچنان که اشاره شد، مفاهیم توجیه و قابلیت اعتماد هر دو مقول به تشکیکند. درجات مختلف توجیه را حتی در محدوده یك پروسه واحد نیز می توان سراغ گرفت. اعتقادی که بر تجربه ادراکی دقیق و حساب شده ای مبتنی باشد از درجه توجیه بالاتری نسبت به باوری که محصول تجربه ای زودگذر و اتفاقی است، برخوردار است.

15- Alston, W. (1986) "Epistemic Circularity", philosophy and phenomenological

Research.

16- Walker, R.C. (1978', Kant.

17- Nagel, T. (1986), The view from Nowhere.

روش کار علوم انسانی و مطالعات فری

پرتال جامع علوم استان

۲۶۰