بسم الله الرحمن الرحیم

جلسه دوم تاریخ و مباحث ریاضیات؛ اولین بحران ریاضیات: اعداد گنگ

جلسه دوم

بسم الله الرحمن الرحیم

قرار شدآن سه بحران ریاضی را که در کتاب های تاریخ ریاضیات ذکر کردند یک مرور سریع داشته باشیم.

شاگرد:و چهارمی هم که خودتان فرمودید

استاد: بله چهارمیش هم ان شاء الله

بحران اول خیلی زوایای خوب و دقیقی دارد.و اتفاقا اگر ما بخواهیم ذهنمان در ریاضیات به نحو طبیعی رشد خودش را بکند. نخواهد که یک دفعه از پله ای اول برود صدم که رشد طبیعی هم نیست،همان طور که ذهن نوع بشر جلو رفته جلو برویم. که یعنی ما ببینیم بشر چه طور ریاضیات یاد گرفته؟ چه طور بحران اول پیش آمده؟ همین طور بیاییم تا قرن بیستم و بیست و یکم که نخواسته باشیم یک دفعه در تفکرات قرن بیستم، اجتهادی فکر کنیم-مانعی ندارد.ولی آن خود رشد طبیعی جامعه بشری و تاریخ ریاضیات چیز دیگری است.

فلذا بحران اول را هر چه رویش فکر بکنید هر چه تعمیق کنید و خوب درکش کنید برای درک ریاضیات، بعدی ریاضیات جدید هم عمیق تر هستید؛راحت تر هستید در درک عمیق مطالب امروزی؛به خلاف این که امروزی ها را آدم یاد بگیرد کمی طوطی وار می شود یعنی آن چه می گویند تصور می کند همراهی با آن ها می کند.لذا بحران اول از این ناحیه هر چه رویش تامل کنید فکر کنید زوایایش را تدقیق کنید جا دارد.لذا من هم با یک مقدمه کوتاهی آن چه اصل بحران اول بوده را عرض می کنم.

تا اندازه ای که من می دانم -که ما نه تخصصمان این حرف ها بوده و نه خیلی جدیتی ولو به صورت آماتوری در این زمینه ها به خرج ندادیم که بعد من قضیه اش را می گویم که چه قدر کوتاهی بوده -ولی این اندازه را به سهم خودم طلبگی فهمیده ام که اگر کار بکنیم خیلی فایده دارد،در آینده خوشحالیم و امثال من که کوتاهی کردند فهمیدند اشتباه کردند.

اقسام حکمت

دیروز هم عرض کردم خب این مقدمه را از این جا شروع کنم که در قدیم معروف است می گفتند حکمت ؛کل علوم را می گفتند حکمت.فلسفه و حکمت، کل علوم بوده است و مهد آن هم یونان و اسکندریه مصر که علوم را تدوین کردند و مانده است.البته تمام این علوم ریشه در وحی الهی دارد.انبیا علیهم السلام بودند که اصلا علوم را بین بشر راه انداختند و حضرت ادریس علی نبینا و آله وعلیه السلام می گویند سمی ادریسا لکثره درسه و تدریسه.واقعا خصوصیات حضرت ادریس که هرمس الهرامسه. هفت تا هرمس بودند .حضرت ادریس،راس هرمس. هرمسی هستند که همه علوم کأنه از وحیی که خدای متعال به ایشان کرده است.معلم بشر شدند. قبل از حضرت نوح بودند و این ها را بسطش دادند. آوردند.بعد و قبلش را آورده ام در فدکیه راجع به حضرت ادریس دارم در همان هرمس در فدکیه هست در بخش تراجم.عرض کنم که هم به نام اسم مبارک ادریس که نام مبارکشان است و هم هرمس هردوتایش را ظاهرا در تراجم گذاشتم.

خلاصه کل علوم می شده حکمت و حکمت می گفتند دو بخش است: نظری، عملی

عملیش که معروف بوده: تدبیر منزل، سیاست مدن، اخلاق. سه شعبه حکمت عملی

سه شعبه حکمت نظری: الهیات،ریاضیات، طبیعیات و البته ما بعد الطبیعیات،ما بعد الفیزیک ما بعد الطبیعه متافیزیک -که می گفتند نگویید متافیزیک یعنی ما وراء فیزیک متافیزیک یعنی مابعدالطبیعه به خاطر تدوین ارسطو که علم کلی را بعد از او قرار داده با توضیحات مفصلی که در کتاب ها هست- من این ها را اشاره ای رد می شوم.

خب طبیعیات در ماده است.الهیات تجرد تام دارد.ریاضیات می گفتند تصورش و بحثش تجریدی است اما تحققش در بطن ماده است.بینابین است ریاضیات علمی بوده بین الهیات و بین طبیعیات.این حکمت قدیم. کل علوم این طور دسته بندی می شده.ریاضیات پس یک بخشی از حکمت بوده است.

خود ریاضیات هم بخش های مختلف داشته است.خود mathematics که امروز به کار می برند.همان معنای چیزهایی که حالت آموزش دارد. در کارهای عقلانی، کلی، مسائل کلی نیست.در کارهای عقلانی کلی نیست.حالت تمرین دارد.ریاضه ارتاض یعنی تمرین مرتاض تمرین.ریاضیات یعنی تمرینیات؛یعنی آن هایی که صرفا با تعقل با تفکر کارش درست نمی شود.باید آستین بالا بزنند تمرین کنند. امتحان کنند. مسئله بدهند، بروند، برگردند، استاد یاد بدهد.این می شود ریاضیات به معنای کلیش.آن وقت شعبی داشته که عرض کردم mathematics هم همین است ظاهرا.لغت یونانیش یعنی آموزش.آن چه نیاز دارد آموزگار تمرین بدهد یاداوری بکند در تکنیکش در اقدامش در فهمش.این شده تمرینیات.

آن وقت این کلی ریاضیات شعب مختلفی داشته است. مثلا هندسه داشته حساب داشته Arithmetic که همان عدد، بر مبنای عدد است؛عدد شناسی که ما به آن می گوییم علم حساب.این ها دسته بندی هایی بوده درخود ریاضیات.

مقولات عشر

ولی آن چه الان می خواهم سریع به سرعت عرض کنم و بروم سر مقصودی که دارم این مقولات عشر که حتی مرحوم خواجه هم در جوهر النضید آوردند ومعلوم می شود که پرفایده می دیدند این ها را مقولات عشر. در مبانی تحلیلی هر چه دقت کنید اشکال بجا یا نابجا در مقولات عشر داشته باشید،در این که به ذهن نظم می دهد به مباحث نظم می دهد به علوم نظم می دهد یک نوع خاصی از نظم، این قابل انکار نیست.لذا مقولات عشر را اگر در ذهنتان همیشه حاضر کنید و مباحثی را که دارید گستردگی علوم طبق این نظم بدهید چیز قشنگی می شود.مقولات عشر جوهر یکی نه تا هم عرض.از نه تا عرض، هفت تایش اعراض نسبیه است.

هفت تا عرض نسبی سر جای خودش جوهر هم جای خودش که باز جوهر 5 قسم است بماند.می ماند دو تاعرضی که کم است و کیف.کیف هم که بحث خاص خودش و انواعی دارد که در کتاب های مختلف هست کلامی و غیرکلامی.می ماند کم.الان ما می خواهیم زوم بکنیم روی کم به عنوان یکی از مقولات عشر.مدخل بحث ما کم است.

کم

وقتی وارد کم می شویم به عنوان یکی از مقولات عشر می گوییم سه جور است:ابتدا دو جور است بعد یکیش باز دوباره...کم منفصل، کم متصل

کم متصل هم دو جور است:

کم متصل قار کم متصل غیرقار.

در این جا کم متصل می شود علم حساب Arithmetic از عدد صحبت می کند؛ عدد، کم منفصل.

آن لنگه اش می شود کم متصل.کم متصل غیر قار. می شود علم حرکات، مکانیک.کم متصل غیرقار، زمان و حرکت و این هاست .آن هم طیف وسیعی است که از قدیم بوده.علم مکانیک.الان هم هست خیلی گسترده هم شده است.علم الحرکات بوده است در همین مکانیک و علم الحرکات در الذریعه ببینید کتاب های قدیمی خیلی بوده است.یکی از پیشتازان مباحث این فن مکانیک خود ارشمیدس است که قدیمی بوده است.رساله هایش را مرحوم خواجه، دیگران تحلیل کرده اند.اسم هایش هم در الذریعه هست.این هم مال کم متصل غیرقار که ربطی به بحث ما خیلی ندارد.

ما می آییم کم متصل قار.کم متصل قار دو جور اساساً می شود:

١.یا در سطح مستوی کم متصل مستوی، صاف، مستقیم.می گفتند خط دو جور است: مستقیم، منحنی.حالا آن تقسیم بندی علمیش در سطح است.کم متصل قار در سطح صاف با خط مستقیم

.٢.کم متصل قار اما در سطح منحنی، خمیده،غیرصفحه،غیر سطح مستوی

هندسه؛اکر

این هم از قدیم دو تا شاخه مهم بوده است.

اگر کم متصل قار در خط مستقیم بوده در سطح مستوی و مسطح بوده در صفحه بوده می شده هندسه

اگر کم متصل قار در سطح منحنی بوده در سطح خمیده بوده خطوطی که روی صفحه رسم می شده همه انحنا داشتند می شده علم اُکَر.علم اکر که می خواندند رساله های متعددش را مرحوم خواجه و دیگران دارند.در الذریعه هم کتاب های متعددی برایش آمده است.علم بحث از کرات.

آن وقت حدس من این طور بود که مثلا پیدایش اولیه اش هم هندسه که کم متصل قار در صفحه بوده با خط مستقیم بوده در سطوح مستوی بوده،پیدایشش ازGeometry هندسه در مساحی زمین بوده است.می گویند هم اول جایی که شواهد هست که علم هندسه رشد کرده در مصر بوده در ساحل رود نیل.زمین های وسیعی بوده این ها را تقسیم بندی می کردند در آن زراعت می کردند.مساحی زمین الان هم همین اسم مانده.Geometry یعنی اندازه گیری زمین.هندسه هم یعنی اندازه هندسه معرب اندازه است.علم هندسه یعنی علم اندازه.اندازه گیری مساحی و مربوط به زمین بوده است.البته صافی که برای زمین درنظر می گرفتند برای تقسیم بندی زمین ها.این مبدأ علم هندسه به معنای علم مسّاحی، اندازه گیری

وجالب این است که در یکی از کتاب های خوب برای شناسایی مبادی علوم کتاب الفهرست ابن ندیم است.قدر کتاب الفهرست ابن ندیم را برای این طور مباحث خیلی بدانید.اتفاقا ایشان جیمترا همین Geometry که امروز به معنای هندسه می گویند ایشان همان زمان قدیم کتاب های هندسه را جیومترا جومترا به نظرم چنین اسمی در الفهرست است.اگر درست بگویم چون از حافظه دارم می گویم.منظور، این واژه هندسه یونانیش مساحی زمین این منظور من است.اندازه گیری زمین خب روی مستوی صورت می گرفته به حسب ظاهر.اُکَر کجا بوده پیدایشش؟علم هیات.یعنی وقتی در رصدخانه می نشستند که حرکات خورشید و ماه و سایر ستارگان را رصد کنند ثبت کنند در زیج قرار بدهند چه علمی پیدا شده؟از رصدخانه از آسمان از نگاه به آسمان علم اکر پیدا شده.چون در علم هیأت شما با یک کره سماوی مواجه هستید نه با یک صفحه مستوی.شما با حرکات منحنی مواجه هستید.کره آسمانی هم که الان می گوییم.این یک حدسی است که حالا یادم نیست به ذهن خودم آمده بود جای دیگر هم گفته اند یا نه.علی ای حال این یک دسته بندی سریع بود از علوم.اکر، هندسه، علم Arithmetic حساب که کم منفصل بود و مکانیک و سایرعلومی که در کیف و جوهر و این ها جای خودش دارد.

شاگرد:ببخشید کم منفصل که دو قسم شد ولی این طور هم می گویند دو بعدی و سه بعدی.حجم را هم اضافه می کنند.

استاد:بله نکته خوبی گفتید.الان خاطرم رفت که بگویم.ببینید در فضای دوبعدی سه بعدی درهر دوتایش می آید .یعنی شما وقتی می گویید کم متصل قار در صفحه مستقیم هندسه پدید آمد نه اکر.این هندسه خودش هندسه دوبعدی داریم که هندسه مسطحه به آن می گویند هندسه سه بعدی داریم که هندسه مجسمه به آن می گویند.در اصول اقلیدس هر دویش آمده است.

شاگرد:ولی سطح صاف است

استاد:ولی سطح صاف است مثل مکعب حتی کره.کره از حیث حجمش سه بعدی مجسم است.از حیث سطحش منحنی است.شما یک کره ای که ما توپ در نظر بگیریم حجم این توپ مربوط به هندسه اقلیدسی است.چون حجمش سه بعدی اقلیدسی است.اما سطحش را که در نظر بگیرید مربوط به هندسه دیگر.یعنی سطح منحنی شد.و لذااین نکته ای که شما گفتید مهم است.هندسه به عنوان هندسه دوجور داریم:

هندسه مسطحه یعنی هندسه دوبعدی

هندسه مجسمه یعنی هندسه سه بعدی

وقتی سطح منحنی شد مثل سطح روی توپ این جا دیگر چه؟بله این جا هم داریم هندسه منحنی غیرمسطح دو بعدی مثل محیط کره.محیط کره را وقتی شما می خواهید حساب کنید دوبعدی است.وقتی می گویید من می خواهم محیط روی سطح یک توپ را حساب کنم این محیط دو بعدی است یا سه بعدی؟دو بعدی است ولی سطحش منحنی است.مثلثاتی هم که رسم می شود اکر همین جاست مثلثات کرویند.مثلثات روی سطح صاف نیستند که مثلثات اقلیدسی باشند.مثلثاتی هستند روی کره..ولذا مثلثاتی که روی کره رسم می شوند با خط مستقیم که دوایر عظیمه اند دائماً مثلث زوایایش زائد بر 180 درجه هستند.به خلاف مثلث هایی که روی سطح مستوی در هندسه اقلیدسی رسم می شود دائماً زوایای مثلث مساوی 180درجه است.کما این که در هندسه هذلولوی که یکی از هندسه های نااقلیدسی است دائماً زوایای مثلث کمتر از 180درجه است.اصلا این قضایای پذیرفته شده در سه تا هندسه است:

هندسه های بیضوی ریمانی که الان می گویند کلا در آن ها مثلت دائما زوایایش از 180درجه بالاست

.در هندسه های هذلولوی دائماً زیر 180 درجه

در هندسه اقلیدسی در صفحه دائما 180درجه است.پس ما وقتی با سطح منحنی روبه رو شدیم هندسه ای داریم با شروع سطح منحنی.سوال این است سطح منحنی دو بعدی روشن است.سطح توپ،مساحت روی توپ را حساب می کنیم.آیا هندسه منحنی سه بعدی هم داریم یا نه؟چون قرار شد فضا و حجم توپ سه بعدی اقلیدسی باشد.حجم توپ با حجم مکعب از حیث حجم فرقی ندارد.چون محورxو y وz که در توپ در نظر می گیرید خطش خط مستقیم است نه خط منحنی.شما اگر روی سطح دوبعدی توپ یک محور مختصات رسم کنید بگویید محور x محور y طول و عرض به کره زمین بدهید خطی که رسم می شود در این مختصات خط منحنی است.اما اگر در دل توپ در حجم توپ یک مختصات سه بعدی محور xو y وz تشکیل بدهید خطش چیست منحنی است؟نه خطش مستقیم است.پس حجم کره را که شما حساب کنید مال هندسه اقلیدسی است ولذا در هندسه اقلیدسی شما حجم را حساب می کنید.

آیا هندسه سه بعدی منحنی داریم یا نه؟بله یکی از مهم ترین هندسه های نااقلیدسی که امروز وقت ریاضیدان ها را به خودش اشتغال داده همین است.می گویند فضای سه بعدی خمیده.فضای سه بعدی خمیده همین است که همین طور که ما وقتی روی زمین به خط مستقیم راه برویم ما اصلا مستقیم حرکت می کنیم ذره ای نه بالا می رویم نه پایین.ولی علی ای حال برمی گردیم جای اول چرا؟چون بستر مسیر ما کره زمین بوده.خودش دارد خط منحنی رسم می کند. شما اگر ماشینی را چهار تا چرخ هایش را جوشکاری کنید که سرسوزن نتواند این ماشین پیچ بدهد به خودش..دقیقاً 4 تا چرخش را با تراز مستقیم جوشکاری کنید.بعد این ماشین را موتور به آن بدهید که حرکت کند باید مستقیم برود.کجا سر می رسد؟همین طور مستقیم برود کره زمین را دور می زند برمی گردد سر جای اولش.آقا مستقیم رفت که؟بله مستقیم رفت ولی روی بستری حرکت کرد که آن سطح،سطح منحنی بود.ولذا خط مستقیم روی سطح منحنی یک مباحث گسترده خاص خودش را دارد.حالا همین جور چیزی در فضا متصور است یا نه؟شما یک سفینه ای را کاری بکنید دقیقا به خط مستقیم برود.نیرو را تنظیم کنید.ذره ای نه بالا برود نه پایین برود نه راست برود نه چپ.روی خط مستقیم این سفینه حرکت کند.اگر فضا اقلیدسی باشد این موتور جت بسیار قوی که این سفینه را می برد،می برد می برد تا برسد به دیوار دنیا تا آن جایی که می خواهد خارج شود.این طوری است دیگر اگر فضا اقلیدسی باشد.مثل حجم توپ باشد.شما یک توپ اگر در اندرون توپ یک موشکی را حرکتش بدهید به خط مستقیم برود کجا می رسد؟ به محیط توپ می رسد.چون فضای اندرون توپ فضای اقلیدسی است.فضایش خطوط مستقیم رسم می کند در دل توپ دارد واقعاً مستقیم می رود.اما اگر خود فضا سه بعدی منحنی باشد.یعنی وقتی دارید در فضا می روید خود فضا او را می پیچاند.لذا یکی از اصول نسبیت عام همین است.نسبیت عام می گوید فضایی دارید بیکران اما متناهی.یکی از زیباترین بحث ها

چه طور می شود که فضای بیکران اما متناهی؟می گویند چون فضا فضای هندسه سه بعدی خمیده است.شما هر کجا بروید به دیوار توپ نمی رسید.نمی توانید موشک درست کنید برود برسد به دیوار توپ.می توانید موشک درست کنید به خط مستقیم برود.اما خود فضا او را پیچش می دهد.بعد می بینید این سفینه برگشت سرجای اولش.مثل این که روی سطح دو بعدی حرکت می کند برمی گردد جای اولش.در فضای خمیده هم در فضا دارد حرکت می کند اما خود فضا مثل توپ نیست که برود برسد به محیط توپ.

چه طور رسم می شود؟رسم ندارد اینجا.فضای سه بعدی خمیده، نمی شود شکلش را بکشیم.فقط باید درکش کنیم که چه طور می شود.بله از سطح دوبعدی منحنی توپ کمک می گیریم برای توضیح فضای سه بعدی خمیده.
به نظرم یک کتاب دارد خود این صاحب نظریه ی نسبیت؛ انیشتین:نسبیت؛نظریه خاص و عام به قلم خودش است.نوشته است برای عموم مردم که بفهمند نسبیت چیست.آن جا می گوید اگر تلاش های ریاضیدانان در این صد سال اخیر نبود من اصلا نمی توانستم این نظریه را بدهم.چون اساس نظریه نسبیت عام من، بر اساس هندسه های نااقلیدسی است.فضایی که ما تا حالا سرمان می شد و هندسه دان ها بحثش می کردند هر کسی صحبت می کرد فضایش اقلیدسی بود ولوسطح کره سطح نااقلیدسی می شد.چون سطح توپ منحنی بود، اما فضای آن توپ، حجمش همه خط مستقیم بود.این که خود فضا خط را بپیچاند این یک هندسه خیلی عمیق تر و ظریف تری می خواهد که قابل ترسیم و کشیدن عکسش و این ها نیست.فقط با مثال باید درکش کنیم.بله با نمودار می شود.نموداری که طرف می فهمد با مختصات سه بعدی ریمانی، بیضوی تعیین می کنند.
25:19

خیلی خوب، حالا رفتیم...تذکری که دادید خوب بود من می خواستم عرض کنم یادم رفته بود.پس ما در کم متصل قار مستقیم دو هندسه داریم:مسطحه، مجسمه.
در کم متصل قار غیرمستقیم، باز دوباره دوتا هندسه داریم:
١.هندسه دوبعدی منحنی، در سطوح سطوح منحنی

٢.هندسه سه بعدی در سطوح منحنی

البته سطوح منحنی باز دوباره دو بخش است:سطوح منحنی مثبت و سطوح منحنی منفی
سطوح منحنی مثبت همین هندسه ریمانی و بیضوی و این هاست که از کرات صحبت می کند از تحدّب.سطوح منحنی خمیده منفی، هندسه هذلولوی است.هندسه ای که عرض کردم دائما زوایای مثلث کمتر از 180درجه است.هندسه هذلولوی خیلی عمری ندارد و این هندسه هذلولوی بود که اتفاقا کمرشکنی کرد برای هندسه اقلیدسی.اولین هندسه نااقلیدسی که کشف شد و آن فضای عجیب بحران چهارم که بعداً می خواهم عرض کنم پدید آمد کشف این هندسه هذلولوی بود.به عنوان اولین هندسه نا اقلیدسی و بعدش که سد شکسته شد این هندسه های نااقلیدسیِ بیضوی هم دائما پیشرفت کرد.البته این از مطالعات طلبگی ناقص من است.به عنوان سرنخ فقط خوب است.ممکن است کم بگویم،غلط بگویم این ها را به بزرگواری خودتان می بخشید مراجعه می کنید ولی سرنخی هست اندازه ای که من مطالعه کردم و می دانم.می خواستم سریع تر این مقدمات طی شود ولی مانعی ندارد.

اولین بحران در ریاضیات

اولین بحرانی که در ریاضیات پیش آمد.عرض کردیم که ریاضیات خیلی نیاز است و اگر بخواهیم کار بکنیم دو جهت حتما در ذهن ما از ریاضیات باشد:اطلاع بر مسائل ریاضی،بعد اجتهاد در ریاضیات.ذهن ما کنشگر بشود مثل این که ضرب را خودمان انجام می دهیم در مسائل ریاضی فکر کنیم شروع کند نقطه شروع فکر پایان فکر نتیجه بگیرد.این دومی خیلی خوب است به خصوص برای فضای طلبگی ما در آن تاریخ علم زنده می شود و خیلی چیزهای دیگر که همراهش است.در این فضا که چه کار کنیم که آن نحوه فعال شدن، کنشگر شدن ذهن ما برای ریاضیات کمک بکند من دو تا پیشنهاد دادم:

اولش معضلات ریاضی که عرض کردم الان در عربی و فارسی می گویند مسائل ریاضی که خیلی معضلات که مرحوم میرداماد داشتند به گمانم بهتر است.آن وقت سه تا معضلات باستانی بود که دیروز یک مروری عرض کردم و معضلات رایج که خیلی زیاد است.و الان هم در قرن بیست و یکم عرب ها می گویند مسائل الالفیه.یعنی آن معضلات ریاضی هزاره سوم که از سال 2000پیشنهاد دادند که هفت تا بوده.یکیش حل شده شش تایش هنوز مانده است.این از معضلات.

یکی دیگر فکر روی بحران های ریاضی است که در کتاب تاریخ ریاضیات سه تا می گوید بحران برای ریاضیات پیش آمده است و دیروز عرض کردم تامل و فکر روی بحران های ریاضی کارسازتر است. انفع است برای فضای ذهن طلبگی ما.این بحران حالا شاید هم چهار تا باشد که یکی همین هندسه های نااقلیدسی است.
بحران اول که خواستم توضیحش را با همین عرض کنم.بحران اول، شما باید فضای ریاضیات را در زمان فیثاغورثیان طوری در نظر بگیرید که تعلیمات ریاضی گسترده شده بود و مثلا از حضرت ادریس که شاید به چند واسطه ،فیثاغورث شاگرد شاگرد ایشان بود.تاریخش کمی مختلف است.نمی دانم فیثاغورث با چند واسطه به هرمس الهرامس می رسید.با یک واسطه بود؟کمتر بیشتر باید دوباره ببینم.شاید بعضی چیزها را در فدکیه آورده باشم.شما هم هرچه مطالعه کردید دسترسی پیدا کردید سریع در آن جا بگذارید که خودتان، دیگران استفاده کنند.

عرض کنم که این صحنه ای که آن زمان بود و علم حساب و هندسه پیشرفت هایی که داشتند برای فهم پیدا شدن بحران اول خیلی مهم است و درک بحران اول آن طوری که واقعا بحران بوده گاهی زوایایش بر بسیاری از بزرگان علما آدم می بیند مخفی مانده است.یعنی عدد گنگ که گفته می شود قدری آن طور که واقعا عدد گنگ را باید تصور کند آدم می بیند تصور دقیق صورت نگرفته.من در مباحثه خلاصه الحساب فایل هایش هست ولی یادم نیست که چه اندازه وارد این شدیم ولی خود شیخ بهایی وقتی می خواهند عدد اصم عدد گنگ را -که اصم یعنی کر ولی ما می گوییم گویا و گنگ، منطق و اصم- عدد اصم را می خواهند توضیح دهند با اَو می آورند.می گویندعددی که لا یکون له الکسور التسعه او لم یکن له جذر

می بینید «او» آنجا خیلی تعریف عدد اصم را با چالش مواجه می کند.و باید ببینیم فرق دارد یا ندارد.خیلی نیاز است که ما عدد اصم را به گونه ای که بحران اول سبب پیدایشش شده است یا او این بحران را پدید آورده درکش کنیم.عرض من این است که در این فضا من هندسه را فعلا می گذارم برای مرحله بعدش.اول حساب را می خواهم عرض کنم.چرا؟چون می خواهیم بگوییم عددگنگ.عدد، پس سرو کار ما با کم منفصل است نه با خط.خط را بعدش عرض می کنم.عدد گنگ.می خواهیم با او مواجه باشیم.باید اول ببینیم عدد چیست؟علم حساب و چیزی که نزد آن ها بود درسش را می خواندند چه بردی داشت چه برایش می گفتند و بعد بفهمیم که عدد گنگ یکدفعه وقتی پیدا شد چه بر سر این ساختار آورد.چرا عدد گنگ بحران بود؟ عرض کردم کشتی مشکلاتی درآن هست problems مثلا شیرش باز نمی شود.یک پیچش بسته نمی شود.این ها مشکلات در کشتی است باید برطرف شود اما بحران نیست.بحران آن است که دریا توفانی می شود.می گویند الان کل این کشتی نیم ساعت دیگر زیر آب غرق شده رفته.بحران در ریاضی این است.یعنی کل شالوده مباحث ریاضی به هم می ریخته است.چه طور بوده که وقتی عددگنگ پیدا شد؟ در کتاب های تاریخ ریاضی چیزهایی می گویند.من خیلی عقیده ندارم که این ها درست است.یک چیزی کوهی به مویی بوده.این ها خیلی بزرگش می کنند.مثلا از چیزهایی که در نوع کتاب های تاریخ ریاضیات می خوانید می گویند فیثاغورث -که البته این حرف هایش درست است لوازمش را می خواهم عرض کنم بزرگ نمایی شده-می گویند فیثاغورث و فیثاغورثیان عدد را یک امر مقدس می دانستند. امر ملکوتی می دانستند و اساس خلقت را بناشده بر عدد می دانستند.و عدد هم نزد آن ها یک عدد صحیح بود که ما می گوییم.عدد طبیعی از یک شروع می شود می رود تا بی نهایت.پس عدد یک امر مقدسی است که اساس عالم بر او بنا شده.یک عدد پیدا شود عدد گنگ که در این چیزی که ما آن را مقدس می دانیم اصلا جایی ندارد.خب این همه چیز را به هم می ریزد دیگر.شما چه طور گفتید این چیز مقدسی است ؟این عدد که آن ها اساس کارشان بود علم حساب را سر وسامان می داد.

حالا من یک چند کلمه راجع به این عدد و سامان دادن و علم حساب عرض کنم و راجع به عمل تا برویم ببینیم عدد گنگ و خصوصیاتی که داشت چه طور این ها را همه را به هم می ریخت.

قوام علم حساب:عدد،عمل

علم حساب که عرض کردمarithmetic علم عدد، عددی. مربوط به عدد و عمل عدد.قوامش به دوچیز است:

یکی خود عدد ماهیتش خصوصیاتش

یکی هم عمل چهار عمل اصلی که می گفتیم.روی عدد، عمل انجام می شود.هر دوتایش هم بحث های خیلی دقیق عمیق الان امروز که ما داریم در قرن بیست و یکم هستیم و ملیون ها کتاب ها در دسترس بشر است و فکر همه بشر جمع شده است،باز می بینیم مثلا مهم ترین دغدغه های منطق ریاضی فلسفه تحلیلی فلسفه قاره ای سایر رشته هایی که دارند فکر می کنند عدد چیست؟سر ماهیت عدد چه بحث هایی که مطرح می شود که عدد چیست؟آیا یک موجود مجرد است؟این خود عدد و یکی هم عمل.عمل با آن چیزهایی که در مباحثه ما بود عرض کردم عمل ها معمولا سر در می آورند از ثابت های منطقی.درک ثابت های منطقی و آن چیزهایی که ما به عنوان ثابت منطقی الان در منطق جدید می شناسیم سر و کار نزدیکی دارد با عمل. حالا function f بگویید.ما می گوییم تابع آن ها می گویند .function .تعبیر نزدیک تری است تعبیر آن ها تا تابع.تابع فقط به یکی از متغیرها اطلاق می شود.متغیرِ تابع، متغیرِ مستقل.و حال آن که تابع یک دستگاه است که متغیر تابع جزئی از آن است.حالا تسمیه در فارسی دیگر رایج شده است می گویند تابع.

قانون اساسی علم حساب

علی ای حال خود عمل خیلی نقش مهمی دارد.یک کار ذهن است.کار ذهن که انواعی دارد.مبادی انگیزه ها چیزهای مختلفی که سبب این کار ذهن می شود خیلی مختلف است.حالا من عرض می کنم عدد چیست؟ فعلا هر چه شما بگویید تعریف های مختلفش را می خواهم عرض کنم هر چه تعریف ارائه بدهید، عدد یک ساختار تشکیلاتی دارد که آن را با اسم قضیه اساسی علم حساب می شناسند.یعنی عدد است و ساختارش.ساختارش است و قضیه اساسی علم حساب.قانون اساسی علم حساب، قضیه اساسی علم حساب.

قانون می گفتند اما بعد از آن که خود حتی علم حساب هم به عنوان نظریه اعداد دیگر مطرح شد الان امروزه می گویند نظریه اعداد.در قرن بیستم یک خیزشی گرفتند از مطالب قبلی به سمت آکسیوماتیک کردن علوم. همه علوم را اصل موضوعی کنند و نظریه بر این مبنای اصل موضوعی برقراراست.علم حساب شد نظریه اعداد، روی مبنای اصل موضوعی و پیشبرد او.

خب الان عدد چیست؟عدد یک ساختاری دارد هرچه تعریفش بکنید که این ساختار وقتی شما به آن برسید به خصوص دیروز عرض کردم.یزد مشغول بودیم یادم نیست چه فکر های مختلفی در ذهنم بود. یک دفعه این قانون اساسی علم حساب بدون این که من بدانم ریاضیدان ها مطرح کردند همین طور واضح شد یک دفعه که چه قدر این نظم اعداد عجیب است.شما اگر عدد را بخواهید ساختمان بسازید وقتی به ساختمان نگاه می کنید یک وقت همین طور نگاه ترکیبی می کنید می گویید ببین این اتاق است این حیاط است.نگاهی کردید به اجزای یک اتاق ترکیبیاً.بعد می گویید یک است 2 است 3 است 4 است 5 است.اما یک وقت نگاه شما به یک ساختمان می رود به بلوک های یک ساختمان.بلوک ها یعنی آن ها که آجر است،آجر دیگر خودش تشکیل دهنده، سازنده یک ساختمان است.دیوار با آجر فرقش را اگر فهمیدید فرق بلوک ساختمان با یک بخشی از ساختمان را خیلی روشن می فهمید.بلوک سازنده اصلی است.این ها هستند که با هم دست به دست هم می دهند ساختمان را درست می کنند می شوند بلوک.

اعداد هم این طورند.یک بلوک ها دارند آن ها هستند که این ساختمان عدد را به پا می کنند.این خیلی جالب است.ما می گوییم بلوک هایش به چیست.٢=١+١و ٣=١+٢و۴=٣+١ و این ها بلوکند دیگر!نه. اعداد اول، بلوک های ساختار، اعداد اولند.عدد اول یعنی چه یعنی آن عددی که فقط از یک درست شده است.فقط قابل تقسیم است بر خودش و یک.یعنی با هیچ عدد دیگری در ارتباط نیست.این ها بلوک های اصلیند.و الا چهار چیست؟ چهار فقط خودش نیست و یک.دو تا یک.دو تا، ببینید.وقتی شما چهار را می خواهید بگویید از دو استفاده می کنید یا عدد دیگری، دو تا یک، دو تا دو.دو به توان دو، می شود چهار.چهار عدد اول نیست.دو تا بلوک اصلی او را درست کرده اند.حالا این ها مباحث خیلی ظریف و قشنگی است.ان شاء الله اگر فکر کردید که چه بهتر تکرار می شود و الا بعدا چک می کنید.از این جا می بینیم که عدد اول وقتی می خواهید بگویید اگر بگویید 5 مجبورید بگویید 5 تا یک.فقط خودش را به کار برده اید.اگر می گویید 7 می گویید هفت تا یک.تمام.اما اگر می گویید هشت می توانید بگویید هشت تا یک، اما می توانید بگویید دو تا چهار.چهار تا دو. این ها را می توانید به کار ببرید برای هشت.یعنی هشت، بلوک هایی دارد که برمی گردد به آن اعداد اول.

خب پس عدد اول یعنی بلوک های اصلیه نظام اعداد.اقلیدس هم در اصول اقلیدس اثبات کرده اعداد اول بی نهایتند.برهان خیلی عالی تا حالا هم همه قبول دارند هیچ کس هم خدشه نکرده.اعداد اول بی نهایتند و شماره هم دارند.یعنی مثلا از چیزهای خیلی جالب این است که عدد بیست و سه که خیلی جاها کاربرد عجیبی دارد عدد دهم است.شما اگر بلوک ها را ردیف کنید یعنی زیر عدد اول شماره بگذارید.دهِ بلاکی، دهِ واقعی، دهی که عدد اول است بیست و سه است.مثلا نوزده عدد نهم است.همین طور اعداد اول یک بحث گسترده ای دارد.این ها بلوک هایی است.

قانون اساسی علم حساب این است که شما هر عددی را دست رویش بگذارید اگر عدد اول است که خب فقط از یک درست شده.اگر عددی غیر اول است بلوک های سازنده معین دارد به طریق واحد.محال است این را تغییرش بدهید.یعنی مثلا عدد هشت را در نظر بگیرید. بلوک هایی که او را درست کرده است از اعداد اول،از عامل های اول فقط یک است و دو.تمام.هشت چیست؟ هشت را فقط یک و دو درست کرده است.تمام.شش چه طور؟

شاگرد:چهار همین طور

استاد:شش چه طوری است؟ دو تا بلوک عدد اول درستش کرده اند خلاص.دو و سه.۶=٢*٣ بله می توانید بگویید یک و شش .یک و شش که در هر عدد اولی هست، اما به عنوان عامل اولی که شش را درست کند غیر از خودش و یک که در هر عددی هست چیست؟دو است و سه.دو ضرب در سه.دو به توان یک ضرب در سه به توان یک.جالب این است که هر عددی شما دست بگذارید عامل های اولش که او را درست می کنند ترتیبش را ممکن است به هم بزنید.بگویید دو سه تا بگویید سه دو تا.لذا در تعریف قانون حساب می گویند ترتیب مهم نیست.اما عامل ها به یک نحو واحد این عدد را درست می کنند.ممکن نیست غیر از این باشد.این حالا من دارم می گویم همین طور هم که می گویید مقداری مستصعب به ذهن می آید.اما من یادم است آن وقتی که به ذهنم آمد دیدم خیلی برای من لذت بخش بود که اصلا این طوری است.ولذاست که هر عدد اولی اگر فقط ضرب در خودش بشود تا بی نهایت هم جلو بروید با هیچ عددی در ارتباط نیست.مثلا هفت، اگر بگویید هفت هفت تا -اگر بگویید دو هفت تا، دارید از دو تا عامل اول استفاده می کنید دو و هفت.سه هفت تا از سه و هفت-اما اگر گفتید هفت هفت تا، دوباره ضرب در هفت، هفت به توان ده، هر چه عدد از این حاصل بشود با هیچ عدد دیگری ارتباط ندارد.چون فقط از هفت درست شده است.

آدم باورش نمی شود.اما بابا 5 بار که هفت در خودش ضرب بشود شاید یک عددی بشود که قابل تقسیم بر دو است و بر سه است و بر 5 است.ابدا.عددی که با ضرب، مضرب هفت است فقط ،و از هفت درست شده فقط هم هفت.هفت خالص و لذا السبع المثانی یک وجه قشنگی پیدا می کند.سبع مثانی همه اش هفت است آیا سبع مثانی یعنی دو هفتم سه هفتم که می شود مضارب هفت در اعداد دیگر؟اما اگر هفت باشد و فقط مضربش هفت باشد و لذا آن روایت کافی بود که من در مباحثه های دیگر هم عرض کردم.حضرت فرمودند ایمان ۴٩ جزء است. تاکید امام علیه السلام روی عدد ۴٩.هفت به توان دو است۴٩.رفته تا مرز ۵٠. امابه هیچ وجه با هیچ عدد دیگری ارتباط ندارد الا هفت و البته یک که یک همه اعداد به او مربوط است.خلاصه این قانون اساسی علم حساب است که ساختار عدد را سامان می دهد.

خب بنا شد علم حساب دو چیز داشته باشد.یکی عدد و ساختارش که قوامش به قانون اساسی علم حساب بود.یکی هم عمل

تنها عمل صورت گرفته روی اعداد:عمل جمع

عمل هم برای خودش دم و دستگاهی دارد.انواعی از آن را من اینجا بالای بیست عمل فهرست کرده ام و هر چه باز جلوتر بروید عمل های مختلف، که امروز عمل را آن قدر تجرید کرده اند که می گویند تابع. هر جور عملی را تابع می گویند با آن گستردگی که تابع دارد در برنامه نویسی در منطق در جاهای مختلف خیلی گسترده شده.ولی خب ساده ترین عملی که ما روی عدد می خواهیم انجام دهیم را می خواهم عرض کنم.این طور به ذهن می آید عدد، آن نزدیک ترین عملی که با او هست و عمل واقعی روی او هست عمل جمع است.به نظرم یک جایی دیدم که تمام این سی پی یوهایی که الان کامپیوترها دارند کار می کنند تمام پردازششان روی مبنای عدد دو، -عدد مبنای دو را دارند کار می کنند:صفر و یک است دیگر. یک، ده.یکش یک است،دهش هم دو است.با صفر و یک کار می کنند و حالا چهار بیتی و هشت بیتی که بایت می شود چهار بیت و هشت بایت چهار بیت است- برای این که بتوانند عدد را سامان بدهند

خب این ها را در خلاصه الحساب به نظرم عرض کردم.فایل هایش.مثلا آن هایی که دیروز هم عرض شد جای فایل هایش هم که مباحثه کردیم مثلا مسئله اعضال اول رساله اعضالات میرداماد را به نظرم در مباحثات دو جا آوردیم.یکی در تحریر اقلیدس که مباحثه می کردیم در همان شکل مقاله ثالثه.آن جایی که اقلیدس اثبات می کند که این زاویه مماس از هر زاویه حاده مستقیمه الخطّی کوچک تر است.آن جا این اعضال را مباحثه کردیم تصویری هم ظاهرا هست اگر خواستید تفصیلی بیشتر ببینید آنجا.یکی هم در مباحثه شوارق که جزء لا یتجزی را بحث می کردیم آن جا هم رسید یکی از ادله جزء لا یتجزی همین خط مماس بود که آن جا هم راجع به همین اعضالی که میرداماد فرموده این جا بحث کردیم.اگر خواستید بعدا مراجعه کنید فایل هایش پیدا شود بتوانید ببینید که چه در مباحثه گذشته.الحمدلله این تحریر اقلیدس غیر از این مباحثه آشفته ما که فایده ای ندارد جز وقت گذراندن،شنیدم من خودم گوش ندادم ولی آن فایل های تدریس خیلی خوبش هست.اگر خواستید هر کدام از این کتاب ها فایل های تدریس خیلی خوبش هست

خب عمل،این عرض من.در این سی پی یو ها هم پردازشی که صورت بگیرد پایه همه پردازش ها عمل جمع است.فقط پردازشگر با این بیت ها و با این بایت با عمل جمع همه کار خودش را انجام می دهد.چندین سال پیشتر دیدم خواستید بیشتر تحقیقش به عهده خودتان.گمانم این بوده قبل از این که این ها را ببینیم اساسا ریخت عدد به عنوان کم منفصل وقتی با آن مواجه می شوید.تنها عملی که می توانید روی او انجام دهید عمل جمع است.وقتی می گویید یک و دو ،فقط می توانید بگویید یک و دو که واو منطقی که در منطق ریاضی هم می گوییم یکی از عملگرهاست. واو منطقی خودش همین جمع است.جمعی که به کم منفصل اعمال می شود.

بازگشت تفریق به جمع

منها بعد از جمع است.بعد از این که می گویید یک و دو بعد می گوید حالا برگرد.یک را از دو بردارد.منها یک نحو بازگشت آن عمل جمع است والا طبیعتا اول عملی که صورت می گیرد روی عدد عمل جمع است.عمل جمع خب حساب خاص خودش را دارد و اساس حساب روی عمل جمع است.

ضرب حسابی

ضرب چیست؟ضرب، ما دو جور ضرب داریم:

١.یکی ضرب حسابی داریم

٢.یکی ضرب هندسی

ضرب حسابی همان دوباره جمع است.همان شمارش است.عدد طبیعی اصلی، کارش شمارش است.یک و دو وسه.دو تا سیب دارد می شمارد.ضرب حسابی هم می گویید دو تا سه.همان طور که می گویید دو تا سیب.می شود دو تا.حالا سه تا سیب را با هم جمع کنید می گذارید در یک بسته.سه تا سیب را یک جای دیگر جمع می کنید بعد می گویید دو تا سه تا سیب.دو سه تا.این ضرب حسابی.یعنی خروجیش هم عدد است و یک عدد است مثل سایر اعداد.این را می گوییم ضرب حسابی.یعنی ضربی که در حقیقت دارد جمع می کند دو تا سه را.با هم دارد جمع انجام می دهد.خب این ضرب حسابی مانعی هم ندارد به کار هم می رود.

بعدش هم می تواند تقسیم هم طبق او صورت بگیرد.وقتی می گویید شش تقسیم بر دو یعنی آن دویی را که رفتیم دو سه تا گفتیم شش تا، حالا آن حاصل جمع تقسیم بر همان سه می شود دو یا تقسیم بر دو می شود سه.

ضرب هندسی

اما یک ضرب مهمی بوده از قدیم که الان با آن کار داریم در فضای بحران اول ضرب هندسی است.در ضرب هندسی ما با عناصری روبرو هستیم که مقدارند.مقدارها جنس های مختلف دارند.جنسی که اصلاً طوری متباین است که نمی توانید بین این جنس با آن جنس نسبت برقرار کنید.در هندسه ما نقطه داریم که از آن شروع می شود بعد می گویید خط بعد می گویید سطح بعد می گویید جسم، جسم تعلیمی.سطح با خط هر دو مقدارند اما مقداریند نامتجانس.تجانس در آن ها نیست.چون می گوییم خط دو سانتی.خط دوسانتی بیشتر است یا یک سطح یک سانتی؟یعنی یک سانتی متر مربع سطح. واحد سطح چیست؟ سانتی متر مربع است با این که همه ما مانوسیم.این خط بزرگ تر است یا آن سطح؟هم جنس نیستند که بینش نسبت کوچک تری بزرگ تری برقرار کنیم.چون نامتجانسند نسبت بینشان برقرار نمی شود.خب سطح یک مربعی بزرگ تر است یا حجم یک مکعبی؟ بابا حجم سه بعدی است.مقدار است اما مقداری که نامتجانس است با سطح.شما نمی توانید بینش نسبت برقرار کنید.بله می توانید پل بزنید عدد برایش درست کنید.بگویید این دو آن هم دو بعد بگویید عدد دو با او برابر است.این واسطه شد.نسبت نشد بین دقیقا خود این ها

.ضرب هندسی این جا خودش را نشان می دهد.ضرب هندسی یعنی وقتی می گویید دو ضرب در سه دو یعنی یک خط طولی ضرب در سه نه یعنی خط را بکش برو بشود شش متر.اگر بگویید دو در سه در هندسه بگویید دو سه تا یعنی یک پاره خط دو سانتی را سه تا خودش به آن اضافه کن برود جلو بشود شش سانت این همان حسابی است دوباره.ضرب حسابی است.دو تا سه تا.ضرب هندسی این است که می گویید دو -یعنی «دو»ی خط است- با سه، سطح درست کند؛ یک مقدار نامتجانس متباین از آن مقدار قبلی تولید کند.این عمل، عمل ضرب مختص هندسه است.وقتی در هندسه می گویید دو سه تا نه یعنی شش تا متر.یعنی شش متر مربع.که اصلاً شش متر نیست .سطح درست کرده است.اگر در شش متر مربع،شما بگویید شش متر بعد طرف منتظر باشد که طول شش متری به او بدهید، دارد اشتباه می کند. چرا؟ چون ضرب هندسی انجام داده اید و ضرب هندسی عملی است جدای از ضرب حسابی.برای خودش کار انجام می دهد ولذا وقتی همین ضرب هندسی سه تایی شد می گوید سه وجب در سه وجب در سه وجب بیست و هفت وجب به شما نمی دهد طولاً.بیست و هفت وجب به شما می دهد حجماً.می گویید حجم او بیست و هفت وجب مکعب است.ببینید چه قدر عمل مهم است.عمل ضرب هندسی دارد خلق می کند یک مقدار جدید را از نوع نامتجانسی که با این عمل شما انجام دادید.خب حالا ما برگردیم به حساب

در کم منفصل شما اگر می گویید ضرب جز شمارش چیزی نیست.در فضای کم منفصل شما خط ندارید تا سطح درست کنید.در کم منفصل هر چه عمل جمع و ضرب و هر چه انجام دهید خروجیش یک عدد است.که شما با خط هم می توانید نشانش بدهید یک عددی. عددگنگ جایگاهش کجاست؟ چه بود؟چه طور پیدا شد؟ الان می خواهم این ها را که عرض می کنم بعد ببینید بحرانی که به پا کرد چه بود؟

مجموعه های بسته؛مجموعه های نابسته

یک توضیح دیگر عرض بکنم.وقت تمام شد؟پس بقیه اش خلاصه می ماند ولی این نکته را عرض می کنم برای مقدمه.ببینید یکی از چیزهایی که الان امروز ،مجموعه ها، ما خیلی با آن آشنا هستیم و کارساز است بسته بودن و نابسته بودن است.عدد را که شما در نظر بگیرید عدد صحیح مثبت را، اعداد طبیعی را نسبت به عمل جمع می گویند بسته.یعنی ممکن نیست اعضای این دو تا را با عمل جمع رویش کاری انجام بدهید خروجیش حاصل جمع بیرون این مجموعه باشد.هر دو عدد را با هم جمع کنید خلاصه در همین مجموعه است.

سه و پنج، هشت. هشت بعدش می آید.مجموعه اعداد طبیعی نسبت به عمل جمع بسته است.یعنی هر عمل جمعی روی اعضای این مجموعه انجام دهید عضوی از خود این مجموعه هست.اما همین اعداد حسابی، اعداد طبیعی نسبت به عملِ منها بسته نیست.یعنی اگر روی دو تا عمل منها انجام دهید خروجی این منها عضوی از این است؟الان می گویید مثلا ٢-۶-٨ عمل منها بود دیگر انجام دادید می شود چند؟می شود صفر.صفر که در عدد نبود.اعداد طبیعی که از یک شروع می شود نسبت به عمل منها نابسته است.یعنی گاهی خروجی این ها چیزی می شود که شما را محتاج می کند به یک چیزی بیرون از مجموعه و اتفاقا جالب این عمل ها این است که هرچه عمل ها گسترش پیدا کرده ریاضیدان ها را با یک فضاهای جدیدی از اعداد مواجه کرده.

صفر چه زمانی جزو اعداد آمده است؟قدیمی آمده. در حساب هم ما با صفر کار داریم-حالا مثلا در مکانیک در حرکات-در شمارش ما از یک شروع می کنیم یک دو سه.اما در حرکت ازچه شروع می کنیم؟ تا می خواهیم بگوییم حرکت آغاز شد می گوییم از یک آغاز شد؟حرکت از صفر آغاز می شود.یعنی شما به محض این که بروید در فضای مکانیک با صفر کار دارید.نقطه شروع، صفر است نه یک.اما در ریاضیات چون سرو کار شما با شمارش عدد است از یک شروع می کنید اما وقتی عمل را روی او اعمال می کنید محتاج می شوید خروجی عمل شما به صفر.چهار تا داشتیم چهار تا از آن کم کردیم شد هیچ.هیچ که در شمارش ما نبود.مجبوریم پس یک عدد به عنوان صفر اضافه کنیم.حالا بیایید بگویید چهار منهای شش،می خواهیم چهار، شش تا از آن برداریم منفی دو.منفی دو در حساب نداریم.در علم حساب بما هو حساب، منفی این طوری ابتدا نبوده.گفتند این عمل درست نیست.نمی توانی که از 4 شش تایش را برداری تمام.4تا را می توانی 4 تایش را برداری بشود صفر اما شش تا نمی توانی برداری.اما وقتی علم جبر آمد این را جبران کرد.علم جبر چون سروکارش با متغیرها بود با اشیا بود عدد منفی به راحتی آمد.

عدد منفی در قرآن

عدد منفی را خود قرآن کریم حتی یاد می دهد.فلبث فیهم الف سنه الا خمسین عاماً می شود چه قدر؟حضرت نوح هزار سال الا خمسین عاما می شود نهصد و پنجاه.خوب می فرمود نهصد و پنجاه.می گوید هزار الا پنجاه.الان ما در اصطلاح ریاضی امروز الا خمسین را می گوییم عدد علامت دار.گفتیم قدر مطلق مثلا سه قدر مطلق دارد.اما همین سه ای که قدر مطلق است علامت دار می شود مثبتِ سه(٣+) منفیِ سه(٣-).قرآن می گوید خمسین داریم قدر مطلق است یکی خمسین مثبت داریم یکی الا خمسین.این الا دقیقا علامت منفی است.دارد یاد می دهد که عدد منفی را الا خمسین ما یک عدد داریم به عنوان الا خمسین.الا خمسین یعنی چه ؟خودش یعنی عدد علامت دار منفی.منفی پنجاه.دارد کار انجام می دهد این جا.یعنی هزار به اضافه منفی 50 یا هزار منهای 50 که خود منها در این طور جاها عملی است که می تواند علامت بشود.در جای خودش این بحث آمده.

حالا این که می خواستم بگویم در نکته پایانی این بود که بسته بودن را فقط می خواستم مقدمه قرار بدهم برای بحث های بعدی.تقسیم، منها بسته نیست.ضرب چه طور؟عمل ضرب در مجموعه ها باز بسته است.یعنی هر دو عددی در خودش ضرب کنید حاصل ضرب جزئی از آن است.تقسیم چه طور؟تقسیم بازگشت ضرب است.آیا آن هم بسته هست یا نیست؟ظاهرش این است که بسته نیست مثل منها.از تقسیم دل تقسیم در زمان فیثاغورثی ها که اعداد را کار می کردند از اعمال چهار عمل اصلی از اعمال تقسیم بر اعداد، یک دستگاه عظیمی به پا شد.به نام نسبت و تناسب.که ما امروز با عدد کسری می شناسیم.پس عدد کسری یک بخش عظیمی بود از ریاضیات و حساب زمان آن ها که از اعمال عمل تقسیم بر اعداد صورت گرفت.عمل جمع بسته بود.عمل ضرب هم بسته بود.عمل منها نابسته بود ولی دستگاه عظیمی به پا نکرد.بعدا در جبر جبر که پیدا شد توانست خیلی کار انجام دهد.اما خود زمان فیثاغورثی ها با اعمال عمل تقسیم روی اعدادی که داشتند دستگاه عظیمی به پا شد که اسمش بود نسبت و تناسب.خدا می داند فیثاغورثیان با این تناسب و با این نسبت چه چیزها انجام می دادند و الان نوع کارهایی که بشر دارد انجام می دهد با تناسب دارد انجام می دهد با نسبت انجام می دهد.ضرب طرفین و وسطین، چه قدر کار می آید که در کلاس ها هم بحث بود.

این مقدمه باشد حالا ببینیم این نسبت و تناسبی که از اعمال عمل تقسیم روی اعداد صورت گرفت با کشف عدد گنگ که همه این ها را به هم ریخت چه طور مرتبط می شود.البته با ضمیمه هندسه که از هندسه هنوز چیزی عرض نکردم.ارتباط هندسه با بحران اول که قطر مربع و این هاست

.و الحمد لله رب العالمین