تاریخ ریاضیات؛ جلسه: ششم
بسم الله الرحمن الرحيم
بحث در بحران دوم ریاضیات بود که مقدمات آن در قرن هفدهم فراهم شد و تا نزدیک صد سال، صد و پنجاه سال، دویست سال طول کشید و شاید تا نیمه دوم قرن نوزدهم حل شد، به‌طوری‌که اهل ریاضیات به حل آن قانع شدند. ولی اصل پیدایش آن برای آن‌ها خیلی زیبا بود و بحرانش هم برای آن‌ها خیلی ناراحت کننده بود. بحث در این بحران دوم بود.
قبلاً عرض کردم اگر کسی بخواهد در ریاضیات کار آزاد کند و بهره خوبی را ببرد، باید معضلات و بحران‌های ریاضی را یاد بگیرد. قبلاً به سه معضل باستانی ریاضی اشاره کردم. همچنین گفتم هر سال اعلام می‌کنند و جایزه می‌گذارند برای حل معضلات ریاضی. ولی بحران همان سه تا و چهارتا بود.
در معضلات به موردی برخورد کردم و گفتم چون مشخصه خاصی داشت، گفتم به آن اشاره کنم؛ در کل تاریخ ریاضیات آن سه مسأله، مشکل باستانی بود. بعد هم مسائل پیچیده مختلفی آمده بود. دیدم گفته‌اند در کلّ معضلات ریاضی در طول تاریخ ریاضیات بشر، از مشکل‌ترین معضلات (problem) ریاضی، قضیه دوم، قضیه آخر فِرما است. این هم نکته خوبی است.
پس سه معضل باستانی داریم. یکی هم ده‌ها معضل و مشکل ریاضی داریم که اگر بخواهند مشکل‌ترین آن‌ها را نام گذاری کنند به‌خاطر شدّت اختلافات و بیان‌هایی که برای حلش گفته شده و بعد فهمیدند که حل نشد -یعنی از نظر میدان بحث ریاضی خیلی افت و خیز داشته- همین قضیه دوم فِرما است.
فرما یک قضیه اول دارد که به نظرم حدس فرما می‌گویند. راجع به اعداد اول است. یک فرمولی برای اعداد اول ارائه می‌دهد که هر عددی این‌چنین باشد، عدد اول است. می‌گفتند حدس فرما در اعداد اول. آن قانون اولش بود. در زمان خودش هم منتشر شد.
قضیه دوم یا قضیه آخر، اصلاً در زمان خودش منتشر نشده، بعدها به‌عنوان حاشیه کتاب منتشر شده، اما در عالم ریاضیات برای ریاضی دانها خیلی سختی پیش آورده به‌نحوی‌که به آن این لقب را داده‌اند که مشکل‌ترین معضل تاریخ ریاضیات، قضیه دوم فرما است.
خلاصه قضیه دوم آن می‌تواند به‌صورت خیلی ساده‌ای در بیاید. در جبر یک اتحادهای جبری داریم، یک معادلات سیّاله داریم. این‌ها با هم فرق می‌کنند. اتحاد جبری برای هر عددی صادق است. چند اتحاد جبری را در کلاس‌های مدرسه حفظ می‌کنند و می‌خوانند. یک معادله است؛ طرفین معادله را به جای a و b هر چه بگذارید صدق می‌کند. یعنی شما می‌توانید هر جور عددی را بگذارید و معادله صادق شود. اسم آن هم اتحاد کذا و اتحاد کذا است. نمی‌دانم شش اتحاد بود یا چهارتا بود. ان شالله بعداً کسانی که بخواهند این را پی‌گیری کنند، پی‌گیری می‌کنند. این‌ها اتحادهای جبری بود. اتحاد و معادله برای هر عدد برقرار است. اما معادلات سیّاله برای هر عدد برقرار نیست. ولی درعین‌حال جواب‌های متعددی هم دارد.
مثلاً آن قانون معروف و قضیه فیثاغورس ٢a2+b2=c ، مجموع مربع مساحت دو ضلع مثلث قائم الزاویه، برابر بود با مربع وتر. ٢a یک مربع است؛ a ضرب در خودش، مربع یک ضلع است. ٢a2+b ؛ ٢ bمربع ضلع دیگر است. این دو مربع (٢a2+b) مساوی با ٢c است. c ضلع وتر می‌شود و ٢ cهم مربع وتر می‌شود. ببینید هر عددی را نمی‌توانیم در این بگذاریم؛ بگوییم هر عددی را به جای a و b بگذارید با عدد دیگری برابر می‌شود! معادلات سیاله این است که جواب های متعدد دارد اما باید پیدا شود و جاگذاری شود. در تاریخ ریاضیات شاید معادلات سیاله را بیشتر به دیوفانت اسکندرانی ربط می‌دهند که شاید از ریاضی دانان قرن سوم میلادی باشد.
یکی از مصادیق معادلات سیاله، همین قاعده فیثاغورس است؛ عددهایی که در آن هست به‌عنوان عددهای سه‌تایی فیثاغورسی است. یعنی عددهایی هستند که در این معادله صدق می‌کند. مثلاً اگر در (٢a2+b2=c)، a دو باشد؛ a2می شود دو ضرب در دو که چهار می‌شود. اگر b سه باشد؛ سه در سه می‌شود نه تا. چهار به علاوه نه تا، می‌شود سیزده تا. می‌بینید سیزده مربع روشنی نیست. اما اگر سه بگذارید، سه ضرب در سه می‌شود نه تا، دیگری را چهار بگذارید؛ چهار چهارتا شانزده تا؛ شانزده و نه می‌شود بیست و پنج. مربع پنج (پنج پنج تا) می‌شود بیست و پنج. خُب الآن دو، سه و سیزده، سه‌تایی فیثاغورسی نیستند. چون مربع کامل نمی‌شوند. اما سه و چهار و پنج، هستند. سه سه تا، نه تا. چهار چهارتا، شانزده تا. نه به علاوه شانزده، بیست و پنج می‌شود؛ پنج پنج تا، بیست و پنج تا. پس سه و چهار و پنج، در این معادله سیاله صدق می‌کنند. یعنی ٢a2+b2=c. سه به توان دو، به علاوه چهار به توان دو، مساوی با پنج به توان دو است؛ مساوی با بیست و پنج است. به این سه تای فیثاغورسی می‌گویند؛ معادله سیاله. در کل اعداد می‌گردند؛ سه تایی‌های فیثاغورسی هر عددی نیست؛ باید بگردند تا پیدا شوند. در تاریخ ریاضیات به این‌ها سه تایی فیثاغورسی می‌گویند. مثل سه و چهار و پنج که در اینجا ردیف شدند، موارد دیگری هم پیدا می‌شود.
اگر بگوییم a+b=c ، در اینجا هر عددی به توان یک است. یعنی a به توان یک، b به توان یک، مساوی با c . این، اعداد زیادی را شامل می‌شود. مثلاً ۵=٣+٢؛ اگر توان این‌ها یک باشد، معنایش این است که اگر یک مربع داشته باشید، به این معنا که در اینجا نیازی به مربع نداریم؛ -این‌که می‌گویم مربع، چون نگاه به توانِ یک آن می‌کنم و الا توان دو است که مربع را می‌آورد عدد ضرب در خودش می‌شود توان دو. توان یک نه؛ [توان یک] ضرب در خودش نیست- خلاصه شما می‌توانید یک عدد که توانش یک باشد را به مجموع دو عدد بشکنید. پنج را می‌شکنید و می‌گویید دو به علاوه سه. در توان یک خیلی روشن است که این کار ممکن است.
در مربع –یعنی به توان دو؛ نمای دو داشته باشیم- ممکن است. در قضیه فیثاغورس چه کار می‌کنیم؟ c2 را که مربع است و عددی به توان دو است، می‌گوییم می‌توانیم این مربع را به دو مربع دیگر تقسیم کنیم که آن دو مربع مساوی با این است. این هم واضح بوده و از قدیم از زمان فیثاغورس هم شناخته شده بود؛ ما می‌توانیم دو مربع داشته باشیم که مجموع آن‌ها با یک مربع سوم برابر باشد. به عبارت دیگر می‌توانیم یک مربع بزرگ داشته باشیم که آن را بشکافیم و تقسیم کنیم به دو مربع کوچک‌تر.
آن چه که قضیه آخر فرما بود و بعد به‌عنوان مهم‌ترین معضل تاریخ ریاضیات مطرح شد، به نظرم در همین اواخر و بعد از سال ٢٠٠٠ بعضی از جواب ها و حل‌های آن را پیدا کردند. و الا تا سال ٢٠٠٠ همین‌طور مانده بود؛ خود فرما در ١۶۶۵ وفات کرده است؛ این مطلب را در قرن هفدهم نوشته است. در این فاصله سیصد سال همین‌طور کل جهان ریاضی را به پرچالش‌ترین بحث و معضل ریاضی مشغول کرده است. حالا می‌گویند حل شده. نمی‌دانم مطلوب همه هست یا نیست. این‌طور می‌گویند که در این اواخر حل شده است.
خُب حالا چیست؟ خیلی ساده؛ به همین نحوی که گفتم سر مکعب برویم. شما یک مکعب کل را در نظر بگیرید. می‌خواهیم آن را به دو مکعب دیگر تقسیم کنیم؛ مکعب مستطیل نه؛ به مکعبی که تمام جوانبش همه مربع است. مکعب واقعی، نه مکعب مستطیل. یک مکعب واقعی داریم؛ یعنی به توان سه. c به توان سه را می‌خواهیم به دو مکعب دیگر تقسیم کنیم. یعنیa3+b3=c3 . قضیه آخر فرما از اینجا شروع شده که آن را بزرگترین معضل (problem) تاریخ ریاضیات گفته‌اند. بعداً بالاتر برویم و بگوییم an+bn=cn.
a1+b1=c1 مقبول همه بوده. a2+b2=c2 هم از قدیم مقبول همه بوده. آیا همین نما را بالا ببریم، می‌شود یا نمی‌شود؟ داریم یا نداریم که a3+b3=c3؟ a4+b4=c4 داریم یا نداریم؟ یعنی آیا می‌توانیم یک مکعب بزرگ که c3 را به دو مکعب دیگر تقسیم کنیم یا نه؟ مکعبی که به توان سه هستند ولی لازم نیست حتماً ضلع‌های آن برابر باشند؛ a3+b3=c3. این ممکن است که ما مکعبی داشته باشیم که آن را به دو مکعب دیگر تقسیم کنیم که وقتی آن‌ها را با هم جمع می‌کنند، آن مکعب بزرگ شوند؟ این ممکن هست یا نه؟ فرما در حاشیه کتاب حساب دیوفانتوس (آریثمتیکا؛ Arithmetica) نوشت. دیوفانتوس اسکندرانی کتابی دارد به نام آریثماتیک که به‌معنای علم حساب است. در حاشیه کتاب حساب او نوشت که من یک برهان خیلی خوبی دارم در این‌که محال است؛ ممکن نیست ما بتوانیم یک مکعب بزرگ را به دو مکعب کوچک‌تر تقسیم کنیم. مکعب‌های متساوی را نمی‌گوییم؛ به دو مکعب. مثل این‌که مربع وتر را که یک مربع بزرگ است، به دو مربع کوچک‌تر تقسیمش می‌کنیم که می‌تواند ضلعها برابر باشد یا نابرابر باشند. الآن گفتم سه تایی فیثاغورسی، ٣ و ۴و ۵ بود. یک مربع سه بود؛ سه سه تا. یک مربع چهار بود؛ چهار چهارتا. جمع نه و شانزده شد بیست و پنج، که مربع پنج است. آیا در مکعب‌ها هم این‌طور چیزی داریم؟ یعنی a3+b3=c3؟ ایشان می‌گوید من برهان دارم که نداریم. ولی برهانش را در هیچ کجای دیگری پیدا نکردند که نوشته باشد. لذا ریاضی‌دان‌ها مشغول شدند تا ببینند در ذهن او چه بوده. بعد هم در این سیصد سال مدام آوردند و آوردند. هر چه بیشتر تلاش کردند قضیه مهم‌تر و معضل مهم‌تر شد. دیدند که این تلاش‌های بی‌فایده است. ظاهراً در تاریخ هم می‌گویند این‌که می‌گوییم مهم‌ترین معضل تاریخ ریاضی است، به‌خاطر این است که تلاش‌های بسیاری کردند و دیدند به نتیجه نمی‌رسد. ولی ظاهراً این‌طور که در تاریخ آن دیدم، این اواخر، بعد از سال دوهزار حل شده است. حلی که مورد رضایت ریاضی‌دان‌ها بوده است. یعنی همین چیزی که او در این قضیه گفته سر رسیده است. یعنی فهمیدند که چنین چیزی نمی‌شود و محال است و نمی‌توانیم به آن برسیم. کلاً به توان‌های دیگر محال است؛ فقط توانی که می‌توانست این معادله سیاله را تشکیل بدهد، نمای یک و نمای دو است؛ درجه یک و درجه دو ممکن بوده. وقتی معادله درجه سه شد؛ نمای ما سه شد و به توان سه رفتیم؛ مکعب‌ها که شروع شد دیگر نه؛ دیگر نمی‌توانیم یک نمای مجموعی داشته باشیم که به دو نمای درجه مساوی خودش شکسته شده باشد.
علی ای حال چون در بین راه برخورد کرده بودم، گفتم مهم‌ترین معضل تاریخ ریاضیات را هم گفته باشم؛ چیزی که آن‌ها در کنار آن سه معضل باستانی معروف بوده و قدیمی بوده، می‌گویند.
این برای معضلات بود. در مورد بحران‌ها هم بحران دوم را عرض می‌کردم؛ مسأله تاریخ ریاضیات عالی در پیدایش حساب دیفرانسیل و انتگرال؛ مشتق و انتگرال، بی‌نهایت کوچک، بود. مقابل انتگرال جمع بی‌نهایت کوچک‌ها است. دیفرانسیل ما به التفاوت و فقط مقدار رشد متغیر را بیان می‌کند؛ نسبت رشد متغیر و تابع y به رشد و نمو متغیر مستقل بود. این مشتق بود. تاریخ آن را فی الجمله عرض کردم؛ پیدا شد و بعد به معضلاتی برخورد کرد. فاصله شده نمی‌دانم جلسه قبل چقدر از آن را گفتم.
در مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مقاله‌ای را دیدم. مقاله‌ای بود که ترجمه کرده بودند، دو مترجم آن آقای مقصودی و جهانی‌پور بودند. این‌طور یادم هست. مقاله خوبی است. می‌بینید در بعضی از مقالات چقدر زحمت کشیده‌اند و مطالعات زیادی پشتوانه آن است. همه این‌ها را در یک فایل پی دی اف می‌خوانید. عنوان مقاله این است: «تاریخچه بی‌نهایت کوچک‌ها و بی‌نهایت بزرگ‌ها».
در مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی آمده، مترجم هم این دو هستند. خُب اگر هر کسی حوصله کند و این مقاله را بخواند این روال پیدایش ریاضیات عالیه –مشتق وانتگرال- را توضیح داده. بعضی از عباراتی که بین او آمده، عباراتِ در ذهن‌نگه داشتنی است و اگر انسان یادش بماند خوب است.
یکی از اهل فن برای تاریخ این بحران گفته: این مشتق و انتگرال در تاریخ ریاضیات چهار گام برداشته است. قبل از کاشفین آن –نیوتون و لایبنیتس- سابقه‌ای دارد. در جلسه قبل کشف آن را گفتم. سابقه‌ای قبل از کشفش دارد؛ اصلاً اگر قبلی‌ها کار نمی کردند مجالی برای بعدی‌ها نبود. قبل از آن‌ها، در زمان این دو، و بعد از آن‌ها، و مرحله چهارم. چهار مرحله دارد.
قبل از نیوتون و لایبنیتس مشتق را به کار گرفته بودند، ولی هنوز کشفش نکرده بودند. فرما و دیگران نسبت رشد متغیر به‌عنوان دیفرانسیل و بی‌نهایت کوچک را به کار گرفتند، ولی نمی‌دانستند چه عنصر ریاضی مهمی است. آن‌ها که به کار گرفتند، زمینه ذهنی فراهم شد تا دو فرد مهم –نیوتون و لایبنیتس- آن را کشف کردند. از این مقاله نقل قول می‌کنم از قول یکی از ریاضی‌دان‌ها.
می‌گوید پس مشتق ابتدا به کار گرفته شد و بعد توسط نیوتون و لایبنیتس کشف شد.
بعد که کشف شد کاربرد بسیار وسیعی در ریاضیات پیدا کرد. پس این هم مرحله سوم شد؛ به کار گرفتن، کشف شدن، توسعه کاربرد و قدر آن را دانستن.
در مرحله چهارم تازه آن را تعریف کردند. اصلاً بحران هم برای همین بود. یعنی ریاضی‌دان‌ها چیزی را پیدا کرده بودند که اصلاً مبادی آن صاف نبود؛ مبانی علمی آن صاف نبود؛ اگر سر به سرشان می‌گذاشتند و آن‌ها را سؤال پیچ می‌کردند نمی‌توانستند جواب بدهند. اما می‌دیدند چیزی است! مثل کسی که یک آچارفرانسه‌ای پیدا کند یا انبر‌دستی خاصی پیدا کند، می‌بیند این چه کاربرد خوبی دارد. اما اگر به او بگویند خُب حالا این برای تو چه کار می‌کند که این کارها از آن بر می‌آید؟ خودش هم نمی‌داند. می‌گوید من می‌بینم از آن کاربرمی‌آید. وقتی از آن کار بر می‌آید من چه کار دارم ببینم مکانیسم آن چیست؟
لذا آن‌ها اول به کار گرفتند؛ کار گرفتنی که صرف شروع بود. بعد آن را به‌عنوان یک عنصر مهم ریاضی کشف کردند. بعد هم توسعه کاربردی در حوزه‌های بسیار وسیع پیدا کرد، تا آخر کار که این بحران‌ها پیش آمد آن را تعریف کردند. وقتی به تعریف دقیق آن رسیدند دیگر آرام گرفتند و بحران را حل کردند. این چهار مرحله برای آن پیش آمده است.
خود به‌کارگیری انتگرال خیلی قدمی بوده؛
همانی که در اصول اقلیدس معروف بوده به روش افناء. وقتی می‌خواستند حجم کره را حساب کنند، کره را به مخروط‌ها یا مُضلَّع‌های بسیار ریز تقسیم کرده بودند؛ می‌گفتند کره چیست؟ بی‌نهایت مُضلّع‌های ریزی که سر همه آن‌ها در مرکز به هم می‌رسد و در کنار هم چیده می‌شوند، قاعده آن‌ها هم محیط دایره است. وقتی این ریزها را بی‌نهایت حساب می‌کردند می‌گفتند خوب شد. شبیه آن را اگر بخواهید برای دایره در نظر بگیرید این است که می‌گویید دایره یک کثیر الاضلاع است. کثر الاضلاعی که ضلع آن چقدر است؟ بی‌نهایت ضلع دارد. مثلاً در دایره یک مربع رسم کنید. خُب معلوم است که این مربع محاط به دایره است. می‌شود دایره محیطی، مربع هم می‌شود مربع محاطی؛ داخل آن است. چهار ضلعی است که خیلی از آن کوچک‌تر است؛ مساحت این مربع از مساحت دایره محیطی خیلی کوچک‌تر است. اما همین مربع داخل دایره را یک پنج ضلعی منتظم کنید. می‌بینید این مساحت پنج ضلعی از آن مربع بیشتر شد؛ به دایره نزدیک شد. حالا شش ضلعی کنید؛ بالاتر ببرید؛ تا مثل فیثاغورس که نود وشش ضلعی کرد. در دایره یک نود و شش ضلعی منتظم رسم کرد و عدد پی را به دست آورد؛ نسبت بیست و دو به هفت. گفت محیط دایره بیست و دو هفتم است. به این صورت به دست آورد.
حالا ضلعها را بیشتر کنید. محیط نود و شش ضلعی منتظم دقیقاً با محیط دایره برابر نیست. دایره بیشتر است و آن کم‌تر است. خُب حالا بیشترش کنید. بگویید چندین تریلیون ضلع داشته باشد. کثیر الاضلاع منتظمی که چندین تریلیون ضلع دارد؛ خُب این دیگر خیلی نزدیک دایره است؛ فاصله‌ها بسیار کم می‌شود.
حالا همین‌طور اضلاع این کثیر الاضلاع منتظم را به بی‌نهایت ببرید؛ ولی محاط است. وقتی محاط است مدام ضلعها ریز می‌شود. وقتی ضلع او به بی‌نهایت میل پیدا کرد و در بی‌نهایت ضلع پیدا کرد، مساحت کثیر الاضلاع بی‌نهایت ضلعی، برابر است با مساحت دایره. خُب این حرف‌ها را می‌زنیم و همه هم از آن یک درک شهودی دارند. اما خُب یعنی چه؟ مگر ما کثیر الاضلاعی که بی‌نهایت ضلعی باشد، داریم؟! هر جا برویم بایستیم، همان جا است، عدد بی‌نهایت که نداریم. هر منتظمی که برسیم همان عدد است، بالاترش نیست. این رفتن به‌سوی بی‌نهایت، یک بیانی است؛ می‌گوییم مساحت دایره برابر است با یک کثیر الاضلاع منتظمی که بی‌نهایت ضلع دارد و محاط در دایره است؛ مشکلی هم نیست.
خُب اگر بخواهید مبانی و مبادی این را صاف کنید، چه می‌کنید؟ یعنی چه؟ ما چنین کثیر الاضلاع منتظمی را داریم یا نداریم؟! برای محاسبه حجم کره همین‌طور چیزی را در فضا درست کرده‌اند. آن حجم های بسیار کوچکی که سر آن‌ها در مرکز کره به هم می‌رسند ولی بدنه آن‌ها می‌رود و قاعده آن‌ها به محیط کره می‌رسد، گفتند اگر بی‌نهایت چنین حجمی را محاسبه کنیم، مساوی می‌شود با حجم کره. مثل همین‌جا که از مربع شروع کردیم و مدام اضلاع را زیاد کردیم، آن‌ها هم در کره، اول از یک حجم هرمی منتظم شروع می‌کنند و تا آن جا می‌روند که برود. این روش افناء در اصول اقلیدس بود.
جمع کردن این بی‌نهایت کوچک‌ها که حجم یک کره شود، همان انتگرال است. انتگرال جمع کردن بی‌نهایت کوچک‌ها است؛ به‌صورت ابتدائی این بود. خُب الآن پیشرفت کرده؛ اول انتگرال نامعین بوده و جلو آمده و بعد هم انتگرال معین در تکامل آن بوده. این برای سابقه انتگرال بود.
در سابقه مشتق نه، این‌طور که ریاضی‌دان‌ها می‌گویند در قدیم با آن خصوصیت نبوده؛ کارگیری آن هم نبوده، مکشوف هم نبوده. همانی که عرض کردم قبل از نیوتون آن را به کار گرفتند و این دو دانشمند آن را به‌عنوان یک عنصر ریاضی کشف کردند؛ بی‌نهایت کوچک. بی‌نهایت کوچکی که نمی‌خواهیم آن را جمع کنیم و انتگرال شود؛ بی‌نهایت کوچکی که می‌خواهیم به آن برسیم؛ از آن چیزی که نسبت بین دو نمو است، مشتق را به‌عنوان یک عنصر ریاضی کشف کنیم.
مشتق چیست؟ نسبت بین دو نموّ دو متغیر است.چرا؟ مشتق کجا است؟ بعداً شکل‌های آن را روی مختصات دو محوری کارتزین –مختصات دکارتی- که مقابل مختصات قطبی است، ببینید. وقتی در صفحه مختصات نگاه می‌کنید، کاملاً معلوم است که با همین قاعده فیثاغورس چرا مشتق، نسبت دلتای h به دلتای x است؟ x متغیر مستقل است، h تابع متغیر تابع است. وقتی در صفحه مختصات نگاه می‌کنید می‌بینید رشد متغیر وابسته –که تابع باشد- نسبت به نمو دلتای متغیر مستقل –که x باشد- تانژانت می‌شود. یعنی یک مثلث قائم الزاویه تشکیل می‌دهد که دلتای h، ضلع قائم و ایستاده این مثلث قائم الزاویه می‌شود، قاعده این مثلث قائم الزاویه دلتای x می‌شود. وترش هم حساب خودش را دارد که نسبت آن به دیگری، شیب می‌شود. مشتق، شیب خط مماس است. این حاصل بحث است؛ اول به کار گرفتند؛ یعنی خط مماس بر یک قوس و منحنی را به دنبالش رفتند؛ گفتند این خط مماس است؛ به‌کارگیری خط مماس در محاسبات.
شیب خط مماس را به‌عنوان مشتق، نیوتون و لایبنیتس کشف کردند. درجه شیب خط را؛ شیب وتر مثلث قائم الزاویه را به دست‌آوردند. چه طور به دست آوردند؟ گفتند نسبت دلتای h…؛ البته من می‌گویم دلتای y؛ h به‌خاطر ارتفاع آن بود. پنج-شش جور نماد برای مشتق دارند. خود نیوتون محور x و y را درست کرد. نسبت دلتای y به دلتای x مساوی با ÿ است. (روی y دو نقطه می‌گذاشت یا x که روی آن دو نقطه می گذاشت).
کار نیوتون سه مرحله داشته. چون او به‌دنبال لحظه‌ای بود. در جلسه قبل هم عرض کردم. لایبنیتس به‌دنبال کارهای مکانیک نبود؛ از حرکت بحث نمی کرد. خط مماس را داشت بررسی می‌کرد؛ او به دیفرانسیل تعبیر کرد؛ نسبت dy به dx. dy نمو متغیر تابع بود. dx نمو متغیر مستقل بود. در همین جدول مختصات عرض کردم dy یعنی ضلع قائم مثلث، و dx هم نمو متغیر مستقل می‌شود که قاعده این مثلث می‌شود. وتر این مثلث مشتق می‌شود؛ شیب خطی است که نسبت آن به این مساوی تانژانتی است که برای زاویه است، شیب را تعیین می‌کند. مثلاً اگر زاویه چهل و پنچ درجه باشد، مشتقش یک است. اگر تفاوت کند مشتقش دو می‌شود. در مشتق قواعدی هست که اگر در سایت‌ها بزنید می‌آید؛ قواعد کلی مشتق گیری. مثلاً مشتقی که برابر صفر است، مشتقی که برابر یک است، مشتقی که دو است. هر کدام قواعد خاص خودش را دارد.
علی ای حال نمادهای مختلفی هست. منظور من این است که اصل این‌که نسبت دو نمو به هم شیب خط می‌شود؛ همان خطی که خط مماس بود؛ گفتم فرما آن را به کار گرفت؛ این شیب را به‌عنوان مشتق و یک عنصر ریاضی، این دو دانشمند کشف کردند. لایبنیتس بیشتر بی‌نهایت کوچک را به کار می‌برد و نسبت آن دو به هم به‌عنوان دیفرانسیل. در مکانیک، نیوتون به‌عنوان فلوکسیون (fluxion) به کار می‌برد. فلاکس به‌معنای سیلان است. او می‌خواست به جای این‌که نقاط و هندسه را به کار ببرد، لحظه و حرکت را به کار ببرد؛ ما آنِ سیال می‌گوییم.
به‌صورت تطبیقی هم بگویم. در قدیم قبل از هندسه تحلیلی می‌گفتند طرف خط، نقطه است؛ طرف سطح، خط است. اما این تعبیری که بگوییم یک خط از بی‌نهایت نقطه تشکیل شده، یک تعبیری است که وقتی پیدا شد و به کار گرفته شد، دیدند فوائد به‌کارگیری آن خیلی زیاد است. ولو یک تعبیری بود که وقتی سؤال می‌کردند مسامحه‌ای بود. مثلاً اگر بگوییم یک سطح و یک مربع؛ مربع چیست؟ هر مربعی را در نظر بگیرید چهار ضلع دارد. یک ضلعش را که خط است در نظر بگیرید؛ آن را در مساحت مربع جلو ببرید. پس می‌گوییم سطح مربع از بی‌نهایت خط تشکیل شده است. مساحت خود خط چقدر است؟ هیچی. خود خط، لامساحة است؛ مساحت ندارد. پس می‌گوییم سطح، از بی‌نهایت خط تشکیل شده است.
حالا همین را در یک مکعب ببرید. یک جانب مکعب، مربع است؛ این مربع را در دل حجم مکعب جلو ببرید. بعد می‌گویید مکعب، از بی‌نهایت سطح تشکیل شده است. نمی‌گوییم بُرِش آن است (تعبیر قدیمی). این هم یک بیانی است که جدیداً پیدا شد. شروع کردند از آن استفاده کردند و دیدند عجب! چه چیز خوبی است! چقدر می‌توانند مسائل ریاضی را با آن حل کنند و جلو بروند. پس حالا خط، یک چیزی است که از بی‌نهایت نقطه تشکیل شده است. نقطه چیست؟ نقطه خودش طول ندارد. حالا یعنی چه؟ یعنی واقعاً یک خط، بی‌نهایت چیزهایی که طول ندارد در آن است؟! خُب این چیزی که طول ندارد چیست؟! می‌گویند همانی است که طول ندارد! چه کار داریم ببینیم چیست؟! ما می‌گوییم و ارائه می‌دهیم. پس ما یک خط داریم که واقعاً از بی‌نهایت نقطه‌ای تشکیل شده که طول ندارد.
شاگرد: در فلسفه می‌گویند بالقوه.
استاد: بله، بی‌نهایت بالقوه. الآن در اینجا اگر کم‌کم جلو برویم، می‌بینیم این بی‌نهایت بالفعل می‌شود. یعنی خط، از بی‌نهایت نقطه بالفعل تشکیل شده است. این مسیری که آنالیز کم‌کم برای بشر طی کرد…؛
افلاطون گرایی با پیشرفت آنالیز
لذا الآن می‌گویم بعد از این آنالیزی که پیشرفت کرد، افلاطون گرائی خیلی تفاوت کرده. یعنی الآن بشر چاره‌ای ندارد که بی‌نهایت بالفعل را بپذیرد.
بی‌نهایت ارسطویی: بی‌نهایت بالقوه
زمان ارسطو وقتی با بی‌نهایت برخورد می‌کردند در بی‌نهایت بزرگ، می‌گفتند ما بی‌نهایت بزرگ که نداریم، این یک چیز لایقفی است. یعنی هر چه بروی هست. وقتی هم ایستادی، ایستاده است. ما یک بی‌نهایت بزرگ نفس الامری نداریم، وقتی ایستادی ایستاده است. آن را با لایقفی حل می‌کردند. پس ما بی‌نهایت نداریم؛ بی‌نهایت به‌معنای لایقفی است. بی‌نهایت بزرگ، بی‌نهایت لایقفی است.
در جزء لایتجزی می‌گفتند ما جزء لایتجزی نداریم. ما برهان داریم. این را قبول داشتند. اما می‌گفتند به این معنا نیست که ما بی‌نهایت جزء داریم. این بی‌نهایت پتانسیلی است. قوه بی‌نهایت است. بی‌نهایت بالفعل نیست. روی مبنای ارسطو این را حل می‌کردند. می‌گفتند پس ما بی‌نهایت بالفعل نداریم. اگر تقسیم کنید؛ هر کجا در تقسیم کردن ایستادید می‌ایستد. می‌توانید تا بی‌نهایت تقسیم کنید اما خُب نکردید؛ هر کجا ایستادید، ایستادید. پس ما بی‌نهایت بالفعل نداریم.
بی‌نهایت بالفعل با پیشرفت آنالیز
این بحث‌های دقیق آنالیز و… که دنبالش آمد…؛ اول که آن را به کار گرفتند و جلو رفتند. بحرانش آمد و آن را حل کردند. الآن در زمانی به سر می‌بریم که همه بحث‌ها چکش خورده و بشر ناچار است که بگوید بی‌نهایت ریاضی بالفعل داریم. باید هم حرف بزند و جلو برود. این مقدمه‌ای را فراهم کرده تا افلاطون گرائی در مبانی فلسفه ریاضی، یک اهرم بسیار قوی داشته باشد.
همیشه عرض کرده‌ام که عقیده من این است که طولی نمی کشد که در فضای فلسفه ریاضی دیگر منطق گرائی، شهود گرائی، صورت گرائی، فرمالیسم، لجیسیزم و شهودگرائی براور، همه کنار می‌رود.
شاگرد: بخشی از آن‌ها. کلاً کنار می‌رود؟
استاد: بله، آن‌ها فلسفه ریاضی است. به‌عنوان فلسفه ریاضی کنار می‌رود و افلاطون گرائی فلسفه مقبول و صحیح بشر می‌شود. این آنالیز ریاضی بسیاری از مبادی کار را فراهم کرده، ولی باید بشر آن را بفهمد و به کار بگیرد. یعنی از بی‌نهایت بالفعل کارها می‌آید، تا بعداً افلاطون گرائی از دل آن، خودش را قشنگ نشان بدهد و مقبول کل بشر شود.
علی ای حال شروع کردند به بسط دادن این مفهوم؛ تا می‌گوییم خط چیست؟ می‌گویند خط متشکل از بی‌نهایت نقطه است. در مختصات دکارتی هم صفحه‌ای درست می‌کنیم؛ سریع محور x و y را رسم می‌کنیم و خیلی با خوشحالی می‌گوییم چهار بخش داریم. بخش دست راست بالا، دست چپ بالا و دست راست پایین، دست چپ پایین. عددهای محور x، اعداد حقیقی است؛ مثبت و منفی که صفر هم مبدأ مختصات است. y هم تابع آن است؛ به‌عنوان محور دومی که کل صفحه را سامان داده. با دو پارامترهای x و y، می‌توانیم هر نقطه‌ای را در این صفحه تعیین کنیم. روی خود محور x چقدر عدد داریم؟ بی‌نهایت. می‌گوییم اعداد حقیقی. روی خود محور y چقدر عدد داریم؟ باز بی‌نهایت. حالا ببینید اعدادی که با پارامتر x و y پیدا می‌شود که کل نقاط صفحه است؛ نه فقط روی دو خط و محورها، بلکه روی کل صفحه. دوباره ببینید چقدر می‌شود! همه این‌ها بی‌نهایت است!
خُب دکارت یک ابزار بسیار دقیقی را به دست این‌ها داد و شروع به تحلیل کردن کردند؛ روی مختصات رسم قوس‌ها و منحنی‌هایی که داشتند؛ روی محور بخواهند خط مماس را بر هر نقطه‌ای از منحنی و خم پیدا کنند. خط مماس را که با روش خودشان پیدا می‌کردند شیب آن خط، مشتق می‌شد. نسبت این به این؛ نسبت نمو آن به آن، سرعت لحظه‌ای در حرکت می‌شد. محور x در حرکت، همان محور t است. محور y آن یا مکان است یا سرعت است. معمولاً مکان می‌گیرند و در آن صفحه سرعت لحظه‌ای را به دست می‌آورند؛ تابع می‌شود؛ تابعش سرعت می‌شود.
حالا تفاوت بین سرعت و تندی، تفاوت‌های ظریفی است. ولی علی ای حال چون نیوتون به‌دنبال کار مکانیک بود و می‌خواست سرعت لحظه‌ای را به دست بیاورد، در تبیین سرعت لحظه‌ای به مشتق رسید؛ اسم آن را فلاکسیون گذاشت. همین، بی‌نهایت کوچک بود.
داشتم این را عرض می‌کردم؛ گفتیم خط، بی‌نهایت نقطه است. سطح، بی‌نهایت خط است. و حجم، بی‌نهایت سطح است. حالا همین را در حرکت بیاورید. این در کمّ متصل قار بود. همین را در کم متصل غیر قار بیاورید که مکانیک و علم حرکات است. می‌خواهید در حرکات پیاده کنید. می‌گویید مثلاً این حرکت را در پنج دقیقه رفته است. حالا می‌خواهید آن را مدام کوچک کنید؛ می‌گویید یک کیلومتر را در پنج دقیقه رفته، حالا می‌خواهیم ببینیم در نصف این چقدر رفته است. یا نیم کیلومتر را در چه زمانی رفته. رابطه این دو را ببینیم. وقتی مدام کوچک شود، در محوری که زمان است، می‌گوییم پنج؛ یعنی پنج دقیقه؛ پنج ساعت. محور t، زمان است. وقتی آن را کوچک می‌کنیم می‌گوییم این محور t ما از چه چیزی تشکیل شده؟ در محور x که خط بود و کم متصل قار بود، می‌گفتیم از بی‌نهایت نقطه هندسی تشکیل شده است. نقطه چه بود؟ بی‌نهایت کوچک بود. بی‌نهایت کوچکی که خط از آن تشکیل شده است. الآن وقتی محور ما محور زمان است؛ t است؛ کم متصل غیر قار است، حالا بگوییم از بی‌نهایت «آن» تشکیل شده است؛ «آن» چیست؟ لحظه. آن لحظه چیست؟ لحظه، بی‌نهایت کوچکی است که دیگر نمی‌توان آن را کوچک کرد. اسم این را فلاکسیون می‌گذاشت. فلاکسیون یعنی کوچک ترین تغییر. کوچک ترین زمانی‌که می‌توان یک تغییری را به ما عرضه بدهد. فلاکس، سیلان بود. فلاکسیون، اسم مصدر آن است؛ یعنی یک شارش. اگر بخواهیم اسم مصدر یک سیلان و تغییر را بگوییم…؛ دگرگونی می‌شود دگرش. نمی‌دانم دگرش را به کار می‌برند یا نه.
شاگرد: گردش.
استاد: گردیدن دور گشتن است. ما می‌خواهیم تغییر و دگرگونی را بگوییم. یک تغییری که از مکانی به مکان دیگر پیدا می‌کند. گردش، گردیدن است. یک دور می‌زند. ما می‌خواهیم کوچکترین تغییر را ببینیم. حرکت مکانی را در نظر بگیرید، می‌خواهد از این نقطه به‌آن نقطه برود. این «آن» در این نقطه است، «آن» بعد در نقطه بعدی است. می‌خواهیم به این صورت تطبیق کنیم. کم متصل غیر قار را می‌خواهیم نگاشت کنیم. تطبیق بدهیم روی کم متصل قار. می‌گوییم مثلاً این ماشین و این نقطه دارد روی محور t جلو می‌رود… . حالا من اول محور x را فرض می‌گیرم، بعد t را می‌آورم. شما محور x را مکان در نظر بگیرید. بگویید یک نقطه‌ای دارد از نقطه A به نقطه B می‌رود. در حال حرکت است از نقطه A به نقطه B. چطور می‌گوییم؟ می‌گوییم در هر «آنی» در یک نقطه است. «آنِ» بعد در نقطه بعد است. سکون را چه طور معنا می‌کردید؟ می‌گفتید اگر این متحرک و نقطه ما در «آن» بعد، در همان نقطه قبل باشد،این ساکن است. متحرک چیست؟ متحرک این است که در «آن» بعد، در نقطه بعد باشد. پس ما دو چیز داریم؛ «آنِ» بعد و نقطه بعد.
شاگرد: مشکل زنون پیش می‌آید.
استاد: بله، حرف‌های زنون می‌آید. ولی الآن روی آنِ سیال و بی‌نهایت کوچک می‌گوییم این خطی که دارد متحرک می‌رود تشکیل شده از بی‌نهایت نقطه. محور t و زمان ما از بی‌نهایت فلاکسیون، از بی‌نهایت «آن»، بی‌نهایت تغییرات کوچک تشکیل شده است. به ازاء هر آنی یک تغییر کوچکی هست. دیگر کوچک تر از آن نمی‌شود. از این نقطه به آن نقطه رفته است.
خُب حالا الآن ببینید؛ ما داریم سیر می‌کنیم که در متحرک همین‌طور برویم تا به یک سرعت لحظه‌ای برسیم. در یک لحظه ببینیم چه تغییری برای او صورت می‌گیرد؟ با چه آهنگی و با چه درجه‌ای از تغییر؟ مثلاً با چه شتاب و سرعتی؟ سرعت متوسط داریم،شتاب متوسط داریم، شتاب لحظه‌ای داریم و سرعت لحظه‌ای. این‌ها هر کدام چیزهایی است که وقتی مشتق و ابزار را پیدا کردند به‌راحتی مکانیک را محاسبه می‌کردند و جلو می‌رفتند. در چنین فضایی الآن دیگر برای ذهن شما روشن می‌شود که چرا وقتی محور t خیلی ریز می‌شد، نیوتون اسم آن را دگرش می‌گذاشت؟ اگر اسم مصدر تغییر را بگوییم…؛ تغییر یعنی از حالی به حالی رفتن. مثل غَسل است که غُسل می‌گوییم؛ حاصل شد شستن است. چیزی که تغییر می‌کند، اسم مصدر آن را تغیّر بگوییم؟ مثلاً کوچک ترین تغیّر. یا دگرگونی را دگرش بگوییم؟ کوچکترین دگرش. اسم آن را می‌توانیم دگرش بگذاریم؛ اگر آن را کوچک کنیم دیگر تغییر نیست. این صرفاً از نظر تعریف شهودیش است. حالا تعریف دقیق ریاضی آن را گفتم؛ این حرف‌ها را زدند و به کار هم گرفتند و چه مسائلش پیش آمد. تا نزدیک صد و پنجاه سال طول کشید که این‌ها بتوانند… .
الآن امروز مشتق و انتگرال را به دو مجموعه دلتا و اپسیلون…؛ وایراشتراس آخرین کسی بود که مهر خاتمه را به این زد؛ حدّ و بیان مشتق و انتگرال، توسط مجموع دو نامساوی اپسیلون کوچک‌تر از دلتا. این را عرضه کرد و دیگر کار را تمام کرد. یعنی دیگر همه قانع شدند. به این‌که الآن تعریف شد؛ الآن حسابِ خودش را پیدا کرد. مبانی دیفرانسیل و انتگرال مبانی حسابی شد؛ حسابیدن.
این را هم عرض کنم؛ در این گامی که جلو رفت، ریاضیات اول در مشتق و انتگرال به کار گرفته شد، بعدش کشف شد.
کشف آن در فضای هندسه بود. یعنی نیوتون و لایبنیتس مشتق و انتگرال هندسی شده (هندسیدن) را کشف کردند؛
بزرگان ریاضی که بعد آمدند آن را جبریدند؛ جبریدنِ مشتق و انتگرال. یعنی فضای آن را کاملاً جبری کردند. در این جبری‌ها هم پیشرفت‌های هنگفتی شد. آن وقتی که مشتق و انتگرال را به فضای جبر آوردند. در این زمینه خیلی کار کردند.
مرحله سوم، حسابیدن مشتق بود. اینجا بود که دیگر قانع شدند. حسابیدن توسط کسانی بود که متأخر بودند؛ کوشی و وایراشتراس. این‌ها کاملاً طبق اعداد طبیعی و مجموعه اعداد طبیعی جلو رفتند که می‌گویند حسابیدن. یعنی مبنای مشتق و انتگرال را علم حساب قرار دادند؛ نه جبر که قبلش بود و نه هندسه که در زمان کشفش بود. پس این بحران این سه مرحله را طی کرد تا برای آن‌ها حل شد. اول در فضای هندسه کشف شد، بعد در فضای جبر توسعه هنگفتی پیدا کرد و در آخر کار و در نهایت با حد و مطالبی که کوشی و وایراشتراس آوردند، به حسابیدن رسید. یعنی با مبنای علم حساب آن را کاملاً منظم کردند و تعریف کردند و همه قانع شدند.
لذا وقتی فضای جبر بود کلماتی به کار می‌رفت. بی‌نهایت کوچک ها زمان هندسه به کار می‌رفت. بعد که جبر شد، باز هم کاربرد داشت، فلاکسیون هم که بعداً فراموش شد. بیشتر بی‌نهایت کوچک ها را به کار می‌بردند. تا وقتی که به حسابیدن آمدند. در اینجا بی‌نهایت کوچک ها هم از ادبیات ریاضی رخت بربست. حالا دیگر کسی که مشتق و انتگرال می‌خواند نیازی ندارد که بگوید بی‌نهایت کوچک. او فقط همین کلمه تابع و… را دارد.
از چیزهای بسیار مهمی که در آخر کار شد، این بود که مشتق و انتگرال ابتدا در فضای متغیرها بود. معادله و متغیر. وقتی آن را جبری کردند، در فضای جبری شدن کشف شد که اساساً رابطه بین تابع ها است. محوریت مشتق و انتگرال بر تابع است، نه بر متغیر و معادله؛ تابع وابسته. این فضا جلو آمد تا به حسابیدن آمد. در حسابیدن خیلی رشد خوبی کرده بود. در فضای مبانی قرار دادن علم حساب برای مشتق و انتگرال، دیگر فضا کاملاً آماده شد که بی‌نهایت کوچک را برداشتند و حد شد. حد چه کار کرد؟ می‌گویند حد این وقتی که به بی‌نهایت میل کند… . به جای این‌که بگویند بی‌نهایت کوچک شود، می‌گویند میل به بی‌نهایت کند. وقتی این به بی‌نهایت میل کند حدش این است. مفهوم حد و به بی‌نهایت میل کردن و مراحل مختلف حد گیری که بود، برای پایان قرن نوزدهم است. وقتی قرن بیستم شروع شد این دیگر حل شده بود. خود همین وایراشتراس چند سالی به شروع قرن بیستم مانده بود وفات کرد.
شاگرد: این‌ها حلّ ریاضی است. حلّ فلسفی مسأله نیست. میل به بی‌نهایت، یک تعبیر صوری ریاضی خوبی است، اما از جهت فلسفی چیزی را حل نمی‌کند.
استاد: بله، ولی وقتی به حساب برگشت، حالا دیگر میل به بی‌نهایت را به‌عنوان یک مفهوم… .
شاگرد: تعریف مفهومی هست؛ مفهوم ریاضی به دست ما می‌دهد اما فلسفی نیست.
استاد: بله، میل به بی‌نهایت و بی‌نهایت کوچک شدن را دیگر کاری نداریم، که شما بگویید از نظر فلسفی معنا ندارد که بگوییم یک چیزی بی‌نهایت کوچک شد. چیزی که بی‌نهایت کوچک نمی‌شود. هر چه جلو بروید همین است. بی‌نهایت کوچک شدن یعنی چه؟! این‌ها کاری کردند که وقتی شما الآن حد گیری می‌کنید، نمی‌گویید وقتی بی‌نهایت کوچک شد. شما می‌گویید وقتی به بی‌نهایت میل کرد، یا وقتی به صفر میل کرد، حدش این است. میل به بی‌نهایت، حدش این است. شما آن حد را به‌عنوان یک عنصر ریاضی که از آن کار می‌گیرید، مهم می‌دانید.
قبلاً می‌گفتند وقتی به بی‌نهایت میل کرد صفر می‌شود. صفر را در معادله می‌گذاشتند. همین هم بود که پارادوکس پیش می‌آمد و معضلات و بحران پیش می‌آمد. بعد می‌دیدند صفر گذاشتند و کار پیش رفت. خیلی ابزار مهم ریاضی در دستشان آمد. اما در جاهایی به مواردی برخورد می‌کرد که پارادوکس پیش می‌آمد. در جلسه قبل هم پارادوکس‌های آن را عرض کردم. علی ای حال من به همه جوانب مطلب اشاره کردم.
شاگرد: طی مسیر بی‌نهایت یک چیز است و خود بی‌نهایت یک چیز. یک موقع مسیر بی‌نهایت را طی می‌کند، مثل اعداد. می‌گوییم این مسیر تا بی‌نهایت طی می‌شود. یک بحثی هم در تشکیک فلسفی داریم که می‌گویند به بی‌نهایت می‌رسیم نه به این معنا که مسیر ما بی‌نهایت است، مسیر ما صد است، بی‌نهایت نیست. اما خود نقطه صد بی‌نهایت است.
استاد: یعنی چه نقطه صد بی‌نهایت است؟
شاگرد: همان تشکیکی در وجود می‌گویند که وجود خداوند بی‌نهایت است… .
استاد: نه، بی‌نهایت وجودی… .
شاگرد: منظور من هم همین است. یعنی به یک نقطه‌ای می‌رسیم که خود آن نقطه بی‌نهایت است.
استاد: منظور از آن بی‌نهایت وجودی است. بی‌نهایت وجودی یعنی حد وجودی ندارد. بی‌نهایت در ریاضیات امر دیگری است. موضوع دو تا است.
شاگرد: در ریاضی با این نقطه بی‌نهایت کاری ندارند، با طی مسیر کار دارند.
استاد: بله، و با شمارشش. در حساب با شمارش سر و کار داریم. با کم منفصل سر و کار داریم. حسابیدن آنالیز یعنی آنالیز در بی‌نهایت کوچک و تقسیم‌بندی ها بر مبنای پیوستگی بود. وقتی حسابیدن شد، یعنی پیوستگی را از قاموس آن برداشتند؛ حسابیدن و حساب چیست؟ کم متصل نیست؛ یک، دو، سه و…؛ کم منفصل است. ریاضیات گسسته است. مشتق و انتگرال را با حسابیدن، یعنی با ارجاع آن به کم منفصل سر و سامان دادند. تا مادامی که در فضای پیوستگی و تشکیلات هندسه و … بود این مشکلات را داشت. مهم بودن این چیزها این است که آن را به علم حساب برگرداندند. علم حساب کم منفصل است. عدد است. موضوع هندسه، موضوع مکانیک، هر دو کمّ متصل است. قبلاً این را عرض کرده بودم. موضوع حساب، کمّ منفصل است. خُب بی‌نهایت در کم متصل چیست؟ همان بی‌نهایت انقسامی و بالقوه بود. بحث‌های آن را بر مبنای ارسطو دارند. بی‌نهایت در شمارش و در کمّ منفصل چیست؟ بی‌نهایت شمارشی لایقفی است.
پس موضوع مکانیک و هندسه، کمّ است. اما تا به فلسفه می‌آییم، موضوع فلسفه چیست؟ وجود است؛ نه کم. وقتی در فضای فلسفه می‌گوییم بی‌نهایت، این نه یعنی ده، دوازده و همین‌طور تا بی‌نهایت. این نه یعنی در کمّ متصل بی‌نهایت برود؛ اصلاً موضوع آن جا کم نیست. موضوع یعنی وجود. وجود هم کمال است. تا در فضای فلسفه بی‌نهایت می‌گوییم نباید موضوع را عوض کنیم و بعد به فضای ریاضیات برویم. در فضایی که موضوع بحث ما وجود است، می‌گوییم بی‌نهایت. این بی‌نهایت یعنی چه؟ یعنی حدّ وجودی ندارد؛ یعنی ماهیت ندارد. ماهیت حد وجودی است، در فضای فلسفه می‌گوییم بی‌نهایت.
شاگرد: درست است، ولی وقتی می‌خواهند سیر تشکیک را توضیح بدهند می‌گویند مدام عدم های در کنار وجود کم می‌شود. به این صورت توضیح می‌دهند. همین که شما می‌گویید حد زدن‌ها مدام کم می‌شود تا به بی‌نهایت می‌رسد. وقتی می‌خواهند این کم شدن را توضیح بدهند گویا ناچار هستند آن را در خط ترسیمی ولو فرضی ببرند. تعقل آن به این صورت ممکن می‌شود که بگوییم مدام کم می‌کنیم. از این کم کردن اول به ذهن می‌رسد که یک مسیر بی‌نهایت است، چون ما بی‌نهایت از آن کم می‌کنیم… .
استاد: صبغه فرمایش شما صبغه فلسفی است. یعنی بحث این بود که در سلسله علل طولی می‌گفتیم این سلسله علل طولی که تشکیک وجود را سامان می‌داد، وقتی از مرتبه پایین به بالا می‌رویم، خُب مرتبه بالاتری در طول آن است، این سلسله تا بی‌نهایت برود؛ واقعاً سلسله تا بی‌نهایت برود؛ یعنی مراتب بی‌نهایت باشد؛ نه این‌که مرتبه اعلا بی‌نهایتِ وجودی باشد.
شاگرد: این را در فلسفه نمی‌گویند.
استاد: نه، مجبور بودند این را ابطال کنند.
شاگرد: این نوع تشکیک تا بی‌نهایت غلط است.
استاد: چرا غلط است؟
شاگرد: قبول ندارند.
استاد: قبول ندارند؟ باید دلیل بیاورند.
شاگرد: می‌گویند به مرتبه نهایی نمی‌رسیم.
استاد: چرا نمی‌رسیم؟!
شاگرد: چون بی‌نهایت است؛ بی‌نهایت یعنی نرسیدن.
استاد: خُب یک سلسله مراتب داریم که بی‌نهایت است. در اینجا برهان می‌خواهیم. در اینجا به دو دلیل متوسل می‌شوند.
یکی این‌که می‌گویند در این مراتب مادون که بالا می‌رویم –مادون و پایین به بالا وصل است- تا بی‌نهایت برود؛ می‌گویند تسلسل محال است. خُب پس مجبور هستند در این‌که بگویند سلسله مراتب تشکیکی وجود به یک جایی ختم می‌شود –که آن واجب الوجود بالذات است- می‌گویند باید تسلسل باطل شود. خُب در ابطال تسلسل دوباره حرف دارند. تا به فضای ابطال تسلسل می‌روند حرف‌ها می‌آید. عده‌ای می‌گویند در سلسله علل وجودی تسلسل به این دلیل باطل است؛ بعد هم دلیل‌هایش را می‌آورند.
بیان دیگری دارند که طبق حکمت متعالیه می‌گویند ما اصلاً متوسل به تسلسل نمی‌شویم. ما می‌گوییم فقر وجودی. می‌گوییم کیان مراتب مادون، تحلیل فلسفی وجودی آن‌ها می‌گوید این مرتبۀ مادون، عین الربط است. خُب عین الربط به وجود مستقل، لحظه‌ای خودش را نشان می‌دهد. اصلاً ما نیاز نداریم مراتب را بالا ببریم و بعد بگوییم بالا بی‌نهایت است. چون عین الربط است، عین الربط بدون مقوّم نمی‌شود. پس بر هر مرتبه‌ای دست بگذارید همان جا دارد مقوّم خودش را نشان می‌دهد.
من همیشه به نمک مثال می‌زدم. می‌گفتم یک وقتی شما می‌گویید چرا این شور است؟ می‌گویید خُب آب شوری بوده که آن را در این ریخته‌اند. خُب می‌گویید چرا آب شور بوده؟ می‌گویید از قبل آب شوری بوده که در آن ریخته‌اند. دارید می‌گویید ما به العرض لابدّ ان ینتهی الی ما بالذات. جلو می‌رویم و می‌گوییم آن آخر کار چیست؟ می‌گوییم نمک را در آن ریخته‌اند. بعد می‌گویید نمک که ریختند آن شور شده است. چرا نمک شور است؟ می‌گویید شوری آن برای خودش است. یعنی ما بالعرض بود؛ آب بالعرض شور بود. آن را به نمکی رساندید که بالذات شور بود. ما بالعرض لابد ان ینتهی الی ما بالذات. من عرض کردم ما می‌توانیم این قانون را در مسائل تحلیل وجودی عوض کنیم. می‌گوییم ما بالعرض لابدّ ان یوضِح، ان یبیِّن، ان یبرِز ما بالذات فی نفس ما به عرضیته. نه ینتهی. خُب به چه صورت؟ همان اولی که می‌بینیم این ظرف برنج شور است، به جای این‌که بگویید چرا شور شد و بگویید آن آب شور بوده و در آن ریختیم، آن آب چرا شور شد؟ همین‌طور بروید تا به نمک برسید، همین‌جا می‌گوییم چرا برنج شور است؟ می‌گوییم شوری الآن هم برای برنج نیست. اگر آب هم ریختند شوری برای آب نبود. همین الآن آن چه که شور است، نمک است. یعنی فرد بالذاتی که شوری برای خودش است، همین الآن هم نمک است. پس ما بالعرضی نداریم. اصلاً ما بالعرض چیزی نیست جز این‌که در دل خودش ما بالذات را نشان می‌دهد. آن چه که موصوف است در دل هر ما بالعرضی، الآن بالفعل خودِ «ما بالذات» است. لذا می‌گفتند عین الربط یعنی چه؟ یعنی الآن با عین الربطی بودن خودش، مقوّم و قیوم و مستقل را نشان می‌دهد. نه این‌که یک سلسله درست کنیم و تا آخر برود.
منظور من این بود که علی ای حال در سلسله مراتب تشکیکی شما می‌گویید نیاز داشتند، که یا تسلسل را به کار بیاورند یا برهان عین الربط را بیاورند که بگویند چون این سلسله تشکیک در وجود است و این سلسله مراتب نمی‌تواند بی‌نهایت باشد، پس ما به اعلی المراتب می‌رسیم که آن اعلی المراتب بالاترین درجه وجود است و بی‌نهایت است. بی‌نهایتِ وجودی است. ما به صد رسیدیم، صدِ ما کم منفصل مراتب است. یعنی داریم با حساب می‌شماریم؛ یک، دو، سه و… . وقتی به صد رسیدیم، آن جا صد ما دیگر عدد نیست که بی‌نهایت شده باشد. صد ما به یک وجود رسیده است. بی‌نهایت او، بی‌نهایت عددی نیست. بی‌نهایت وجودی است. چرا؟ چون بحث ما در فلسفه، وجود است. یعنی مرتبه بشرط لا.
البته در حاشیه منظومه، متعدد یادداشت دارم. شاید یک جا هم نوشته ام «کانت هذه المسالة معضلة فی ذهنی مدة»؛ از چیزهای طلبگی است که در کنار منظومه ام نوشته ام! این ملازمه برای من صاف نمی‌شد. گفتم خُب سلّمنا؛ روی مبانی آقایان جلو می‌رفتیم. عین الربط است، سلّمنا که مراتب محدود است، سلّمنا که به اعلی المراتب رسیدیم، سلّمنا که اعلی المراتب واجب الوجود است؛ ما صرفاً می‌خواهیم با برهان جلو برویم. به اعلی المراتب رسیدیم که آن وجود اصیل است؛ مقوّم همه مراتب مادون است. خُب حالا فرض می‌گیریم این وجود اعلی المراتب محدود است، کجای آن به تناقض می‌خورد؟! یعنی چرا می‌گویید اعلی المراتب، چون اعلی است، باید وجوداً لایتناهی باشد؟! این ملازمه باید ثابت شود. وقتی استدلال است باید گام منطقی برداریم. این گام برداشتن برای من خیلی سخت بود؛ یعنی از اعلی المراتب بودن و وجوب وجود، چطور می‌خواهیم لایتناهی بودن را ملازم گیری کنیم؟! سؤال خیلی سختی برای من بود. بعد حل شده بود. آن جا نوشته بودم «کانت معضلة». یعنی شبهه ابن کمونه باید حل شود. ابن کمونه چه می‌گفت؟ می‌گفت دو واجب الوجود هستند، وجودشان برای خودشان است ولی متباین به تمام ذات هستند و محدود هستند. تمانع را پیش نمی‌آورد. تباین به تمام ذات دارند.
لذا حاج آقای حسن زاده از مرحوم حاج آقا حسین خوانساری پدر آقا جمال خوانساری نقل می‌کردند. حاج آقا حسین خوانساری را می‌گفتند استاد الکل فی الکل. این قدر بزرگوار بودند. در فقه، در فلسفه و همه چیز ما شاء الله سرآمد روزگار خودشان بودند. حاج آقا حسین خوانساری. آقای حسن زاده می‌فرمودند از ایشان نقل شده که اگر کسی بگوید من صاحب الزمان هستم، به او می‌گویم شبهه ابن کمونه را برای من حل کن، می‌فهمم خود امام زمانی! وقتی استاد الکل فی الکل این را بگوید!
البته آقای حسن زاده روی مبنای همین حکمت متعالیه و تشکیک وجود، می‌گفتند عزیز من آدم محضر حجت خدا برسد و بگوید شبهه ابن کمونه را برای من حل کن! این را که نزد من طلبه هم بیایید من برای شما حل می‌کنم! خُب ایشان این را می‌گفتند ولی در ذهن من بود که این‌طور نیست که ایشان به حاج آقا حسین بگویند. چون دو مبنا است. یعنی اگر شما می‌خواهید مبانی را عوض کنید خُب باید از آن مبانی بحث کنید؛ او قبول ندارد. شما روی مبنایی که خودتان دارید، می‌گویید حل است. اما روی مبانی ای که ایشان تشکیک داشتند و حرف داشتند، می‌گفتند اگر این مبانی سر نرسید شبهه پابرجاست.
علی ای حال لابه‌لای تاریخ مشتق و انتگرال نکات متعددی را عرض کردم. بعداً این‌ها نوشته شود و مستندات هم ذکر شود، ان شاء الله پر بار می‌شود.
والحمد لله رب العالمین