بسم الله الرحمن الرحیم

جلسه پنجم-تاریخ و مباحث ریاضیات

تاریخ ریاضیات؛ جلسه 5

بسم الله الرحمن الرحیم

مقدمه

در جلسات قبل مروری بر تاریخ ریاضیات، معضلات و اعضالات ریاضی، بحران‌های ریاضی داشتیم. عرض کردم رمز این‌که ما در این مسائل ورود کردیم چه بود؛ به‌خصوص مطالبی که امروز می‌خواهم بگویم. همان جلسه اول گفتم یک سرنخی باشد تا دیگران شروع کنند و کار کنند. مثل مسائلی که از بحران دوم، در حسابان، مشتق و انتگرال و ریاضیات عالی، آنالیز و جبر و … که در دو-سه قرن اخیر پیشرفت خیلی زیادی بوده، ورود ما در این‌ها یا یک سر نخی است برای کسانی که اصلاً نمی‌دانند؛ راه می‌افتند و خودشان اصل مطالب را می‌بینند، یا برای عده‌ای است که می‌دانستند اما تذکر و یادآوری­ای است که دوباره برگردند و مراجعه کنند و به آن چیزهایی که می‌دانستند پیشرفت بدهند. همچنین برای کسانی که تخصص دارند؛ وقتی این عبارات را ببینند، جایی را که مطلب را نفهمیدیم تذکر می‌دهند. خود تذکر این‌که کسی مطلبی را اشتباه گفته، در پیشرفت همان مطالب کمک می‌کند. یعنی خلاصه یک ذهنی با یک چیزی مواجه شده، مثلاً تلقی اشتباهی داشته؛ البته ادعائی ندارم که من متخصص هستم؛ فقط برای راه افتادن می‌گویم؛ وقتی طرف می‌گوید اینجا تلقی شما اشتباه بوده، برای سائر ناظرین که این تذکر او را می‌بینند و تلقی اشتباه را می‌بینند، اوقع فی النفس است. دیگر آن‌ها این اشتباه را نخواهند کرد. دقت مطلب را بالا می‌برند.

لذا با این‌که ما نه ادعا داریم و نه عملاً تخصص در این مسائل داریم، ولی این چند نکته مجوز این می‌شود که ما این چند کلمه را بگوییم تا بحث راه بیافتد و دنبال آن جلو برود. ان شالله!

اهمیت بحث از معضلات و بحران‌های ریاضی

نکته‌ای که در جلسه اول عرض کردم را تکرار می‌کنم؛ اگر ما بخواهیم در ریاضیات فی الجمله پیشرفت کنیم و ذهنمان با آن انس بگیرد، وقتی در اطراف این معضلات ریاضی و مهم‌تر از آن بحران‌های ریاضی فکر کنیم و ببینیم چه بوده و چرا پیدا شده، یک بخش وسیعی از مطالب ریاضی را می‌دانیم. زمینه خوبی هم برای فکر کردنِ بعد دارد. و لذا انتخاب ما از این بحران‌های ریاضی برای این بوده؛ یعنی زمینه و بهانه خوبی است تا بتوانیم اطلاعات وسیع ریاضی را به‌طور عمیقی به دست بیاوریم و مهم‌تر این‌که ذهن ما در ریاضیات یک نحو کنشگر بشود و مجتهد باشد. در این‌ها اگر فکر کنیم مجبور هستیم مبانی را فهم کنیم و آن‌ها را اتخاذ کنیم.

بحران اول: بحران اعداد گنگ

خب بحران اول راجع به پیدایش اعداد گنگ بود.

بحران دوم: هندسه های نااقلیدسی

دومی را هم به لحاظ تاریخ اصلش و نه به لحاظ تاریخ وقوعش بیان کردیم که بحران‌های در هندسه بود که جلسه قبل گفتم.

اصل بحران هندسه­های نا اقلیدسی، پس از بحران ریاضیات عالی، مشتق و انتگرال، حسابان –حساب جامعه و فاضله- پارادوکس­ها و بحران بی‌نهایت کوچک ها بود. چون بی‌نهایت کوچک­ها در قرن هفدهم شروع شد، نضج پیدا کرد و بزرگان آن هم در اوایل قرن هجدهم وفات کردند. دو شخص مهمی که در بحران حساب ریاضیات عالی –مشتق و دیفرانسیل و انتگرال- از آن‌ها اسم می‌برند، نیوتون و لایبنیتس هستند. نیوتون انگلیسی بود و لایبنیتس هم آلمانی بود. در زمان آن‌ها این بحران پیدا شد؛ اواخر قرن هفدهم بود. این دو نفر در سال هزار و هفتصد و خرده‌ای وفات کردند. در ابتدای قرن هجدهم دیگر صحبتی نبود از این‌که این‌ها بخواهند کار علمی خود را ادامه بدهند.

تاریخی مختصر از هندسه اقلیدسی و نااقلیدسی

در سال 1716 لایبنیتس وفات کرد، و در 1727 هم نیوتون وفات کرد. اصل مطالبی هم که راجع به مشتق و انتگرال کشف کرده بودند، در اواخر قرن هفدهم بود؛ در سال هزار و ششصد یا هفتاد و این ها بود. ولی هندسه­های نااقلیدسی را لباچفسکی روسی پایه ریزی کرد. وفات او در 1856 بوده. در حدود 1830 یعنی نیمه اول قرن نوزدهم اوج گرفته بود. خلاصه برای هندسه­دان­ها حل شد که هندسه اقلیدسی هندسه مطلق نیست. و لذا قبلاً هندسه مطلق هندسه اقلیدسی بود؛ با اصل پنجم که اصل توازی بود. بعدش دیگر این‌طور نبود؛ اصل پنجم به‌عنوان یکی از اصول موضوعه و یکی از هندسه ها، در کنار هندسه اقلیدسی که در صفحه و سطح مستوی و مسطح مطرح بود؛ این یکی از هندسه ها شد، در کنار هندسه هذلولوی که همین روسی موسس او بود، و در کنار هندسه های بیضوی که ریمان آن را ادامه داد. این‌ها هندسه های نااقلیدسی هستند در کنار آن. و یک هندسه دیگری هم هست که به آن هندسه نتاری می‌گویند. در کتاب «هندسه های اقلیدسی و نااقلیدسی» به ترجمه آقای شفیعی­ها، آمده بود. در آن جلسه از این کتاب اسم بردم. مرحوم خواجه را اولین بار ذکر کرده بود.

خلاصه بخشی از هندسه­ها، هندسه نتاری است. هندسه بی‌طرف، هندسه مطلق. هندسه بی‌طرف یعنی هندسه ای که بین بیضوی و هذلولوی و اقلیدسی مشترک است. نسبت به اصل توازی بی‌طرف است. اصل توازی را مطرح نمی‌کند لذا مشترک بین همه آن‌ها است. در کتاب «هندسه های اقلیدسی و نا اقلیدسی»، هندسه نتاری یکی از فصول است، که مشترک بین همه هندسه­ها است. یعنی تقریباً همان حالی که هندسه اقلیدسی داشت که تنها هندسه بود، این هم یک هندسه ای است که بین همه مشترک است.

وجه تقدم ذکر بحران هندسه های نااقلیدسی

منظور این‌که حدوث بحران خیلی جدی در هندسه اقلیدسی، در نیمه اول قرن نوزدهم بود؛ 1830 که می‌نوشتند و پخش می‌کردند. تاریخ جالبی هم دارد. اما چرا من آن را بر بحران مشتق و انتگرال و بی‌نهایت کوچک ها جلو انداختم؟ به‌خاطر این‌که اصل توازی و هندسه اقلیدس قبلش بود. عدد گنگ در زمان فیثاغورس کشف شد؛ بحران اول. بحران دوم نوشتن اصول هندسه و اصول اقلیدس بود که اصل پنجم را اصل توازی قرارداد؛ به‌عنوان یک اصل موضوع و تقریباً به‌عنوان یک بدیهی. خود اقلیدس آن را به‌عنوان یک اصل موضوع که مسلم فرض گرفته بود، قرارداد. بزرگان هندسه بعد متوجه شدند و گفتند این نمی‌تواند به‌عنوان اصل موضوع باشد یا باید بدیهی باشد که نیست و یا این‌که به‌عنوان اصلی باشد که در جای دیگر ثابت شده باشد که ثابت نشده است. پس خودش نمی‌تواند به‌عنوان اصل موضوع باشد و بلکه باید به‌عنوان یک قضیه ثابت شود. قضیه آن را قبلاً عرض کردم. پس چون اصل توازی بعد از قضیه عدد گنگ، در فضای ریاضیات مطرح شده بود که دو هزار سال طول کشید و این بحران را داشتند و حل نشد، ولو آن اوج بحران در نیمه اول قرن نوزدهم بود، لذا من به‌خاطر ریشه آن، این را دوم گفتم. دومین بحران، هندسه های اقلیدسی و کشف هندسه نااقلیدسی در نهایت امر در نیمه اول قرن نوزدهم بود .

بحران سوم: بحران بی‌نهایت کوچک­ها

تاریخی مختصر از بحران بی‌نهایت کوچک­ها

اما بحران سوم در مباحثه ما؛ و بحران دوم در کتاب آشنایی با تاریخ ریاضیات که نوشته هاورد و به ترجمه محمدقاسم وحیدی اصل بود. دو جلد است. در جلد دوم، صفحه سیصد و شانزده، ایشان می‌گوید: «نخستین بحران در مبانی ریاضیات…»؛ شروع می‌کند عدد گنگ را می‌گوید. سپس می‌گوید: «دومین بحران در مبانی ریاضیات پس از کشف حسابان توسط نیوتون و لایبنیتس در اواخر قرن هفدهم پیش آمد».

الآن صحبت ما سر دومین بحرانی است که او در صفحه سیصد و شانزده جلد دوم مطرح کرده؛ چون هندسه های اقلیدسی و نا اقلیدسی را به‌عنوان بحران ذکر نکرده، این دومی می‌شود. ما دومین بحران را هندسه اقلیدسی و نا اقلیدسی مطرح کردیم، لذا مسأله بحران حسابان (Calculus) ، حساب جامعه و فاضله، مشتق و انتگرال، دیفرانسیل و انتگرال، که همه این‌ها ریاضیات عالیه است، بحران سوم در مباحثه ما می‌شود. حالا ما می‌خواهیم بحران سوم را مطرح کنیم.

کشف بحران سوم در نیمه دوم قرن هفدهم شروع شد، و کم‌کم خودش را به‌عنوان بحران نشان داد، به آن حساب ریاضیات عالی می‌گویند. نمی‌دانم در جلسات قبل گفتم یا نه. مرحوم حسین علی راشد از روحانیون خیلی موجه و فاضل بود. کتاب سخنرانی­های راشد هم چند جلد است. دو فیلسوف شرق و غرب را هم گفتم. ایشان در آن جا خیلی متواضعانه می‌گوید من ریاضیات عالی را نمی‌دانم؛ ظاهراً ریاضیات عالی در اصطلاح ایشان همین اطلاع تام بر مشتق و انتگرال و حسابان تا ریاضیاتی که در قرن بیستم مطرح شده بود. به ریاضیات در این دو-سه قرن ریاضیات عالی می‌گفتند. آنالیز در ریاضیات عالی بود که اطلاع داشتن آن را خیلی مهم می‌دانستند؛

شاگرد: در مقابل چیست؟

استاد: ریاضیات مقدماتی.

شاگرد: پس عالی، یعنی سطح عالی؟

استاد: بله. ریاضیات عالی در مقابل ریاضیات مقدماتی یا ریاضیاتِ جدا از محاسبات بی‌نهایت کوچک هاست. در لغت لاتین به بی‌نهایت کوچک­ها می‌گویند: «Infinitesimals». «infinite» به‌معنای بی‌نهایت است و «small» هم به‌معنای کوچک است؛ بی‌نهایت کوچک­ها. شروع این از قبل بوده؛ شروعش از باستان بوده. ولی خب به‌صورت کاربردی و وقوع آن به نحو مهم‌ترین شعبه در ریاضیات، در آخر قرن هفدهم شروع شد و بحران بعدش هم در قرن هجدهم خودش را کم‌کم نمود داد و در قرن نوزدهم شروع کردند که این بحران را حل کنند؛ به آن «حسابیدن آنالیز» می‌گویند. حسابیدن مطالب مشتق و انتگرال. این خلاصه تاریخ اجمالی آن.

نزاع نیوتون و لایبنیتس

حالا این‌که این چه چیزی است و پیدایش آن چه بوده، محورش همان بی‌نهایت کوچک ها است. لایبنیتس این را منتشر کرد، ولی نیوتون آن را کشف کرده بود ولی منتشر نکرده بود. بعد نزاع تاریخی مهمی شد. اهل ریاضی هم خیلی ناراحت هستند؛ از این‌که به دادگاه کشیده شد. نیوتون از او شکایت کرد. خیلی درگیری سنگینی شد. او می‌گفت اطلاعات من را تو دزدیدی و رفتی آن‌ها را پخش کردی. بعدها که دادگاه برگزار شد و الآن که تمام شواهد را بررسی کردند، گفتند اتّفاقاً هر دو از دو طریق جدا به این رسیده‌اند. لایبنیتس از طریق خط مماس بر منحنی یا خط مماس بر دائره به آن رسید که علمی نزدیک به مطالب هندسی می‌شود؛ هندسه تحلیلی یا در این فضاها؛ از طریق رسم نمودارها او به دنبالش بود. نیوتون هم از باب مکانیک و محاسبه سرعت لحظه‌ای و بحث‌هایی که در جاذبه، خودش داشت و حرکت شتاب دار و محاسبه سرعت لحظه‌ایِ حرکت شتاب دار به این رسیده بود. یعنی سرعت گاهی ثابت است؛ بیست کیلومتر در ساعت دارد می‌رود. گاهی سرعت شتاب دار است؛ یعنی درحالی‌که دارد سرعت می‌گیرد مدام بالا می‌رود.

شاگرد: حرکت در حرکت… .

استاد: بله، حرکت در حرکت است. یک نحو سرعتش دارد شتاب می‌گیرد.

می‌خواهند ببینند که این سرعت شتاب دار، در یک لحظه خاص چقدر است؛ سرعت لحظه‌ای. منظور از آن سرعت متوسط در یک قطعه کوتاه نیست. می‌گوییم در این قطعه کوتاه سرعت متوسطش این اندازه است؛ ده دقیقه قبل سرعت متوسطش در این قطعه کوتاه این بود. سرعت متوسط در یک بازه بسیار کوچک زمانی منظور نیست؛ سرعت لحظه‌ای یعنی ما به التفاوت و مشتق سرعت، در آن لحظه خاص را محاسبه کنند. نیوتون مشغول این بود؛ در فضای محاسبه سرعت لحظه‌ای به حساب مشتق رسید. بعد هم عرض کردم به دادگاه منتهی شد و کم‌کم ریاضی دان ها آن را بسط دادند، بعد هم آن را حسابیدند؛ به این معنا که به نگاشت بر مجموعه اعداد طبیعی آن را برگرداندند. کوشی (Augustin Louis Cauchy) و شخص دیگری به این‌ها سر و سامان دادند. این خلاصه تاریخ آن؛ برای تفصیل بیشتر خودتان مراجعه کنید.

جایگاه مفهوم تابع و حد در فهم بحران سوم

تاریخی مختصر از مفهوم مشتق، انتگرال و حد

آن چه که می‌خواهم عرض کنم، این است: وقتی شما با حساب بی‌نهایت کوچک­ها و حساب حسابان (جامعه و فاضله؛ جامعه، انتگرال است و فاضله آن همان حساب دیفرانسیل و حساب مشتق است) مواجه می‌شوید، با چند مفهوم مواجه هستید. اگر بخواهید این حساب‌ها و بحران آن‌ها را بدانید، تا تابع را ندانید نمی‌ توانید کار کنید. یکی مفهوم تابع است، یکی مفهوم حد است که الآن در کلاس‌ها اول تابع و حد را توضیح می‌دهند، بعد از این‌که دانش‌آموز و دانشجو، تابع و حد را فهمید، سراغ توضیح مشتق و انتگرال می‌آیند. ولی تاریخ پیدایش آن و این بحران، فرق داشته. اول تابع خودش را بین ریاضی دان ها نشان داد، بعدش حساب مشتق کشف شد. انتگرال هم بعدش آمد. ولی اصل پیدایش خود انتگرال در عالم حساب، ریشه طولانی داشت. الآن در اصول اقلیدس در آن بحثی که می‌خواهند حجم را محاسبه کنند، می‌گویند روش افناء. ارشمیدس داشت، قبل از او هم بود و اقلیدس هم دارد. خود روش افناء یک جور انتگرال است؛ انتگرال گیری است. این روش بوده ولی مشتق به نحو دیفرانسیل نبوده است.

کشف مشتق، قبلش بود. پیدایش انتگرال هم هزاران سال قبلش بود. ولی زمانی‌که ارتباط بین این دو معلوم شد، مربوط به اواخر قرن هفدهم می‌شود. اول مشتق بود و بعد هم انتگرال که در قرن هفدهم این‌ها به هم جوش خوردند. جامعه و فاضله؛ فاضله، ما به التفاوت رشد متغیر مستقل است. فاضله، جمع‌آوری این رشدها است؛ حساب جمع؛ انتگرال و مشتق. دیفرانسیل یعنی ما به التفاوت. در فارسی می‌گویند مشتق. وجه تسمیه این‌که در فارسی به آن مشتق می‌گویند را نمی‌دانم. باید از معلمین حساب در فارسی بپرسیم. کما این‌که در فارسی به «function»، تابع می‌گویند؛ متغیر مستقل و متغیر وابسته که تابع می‌شود. تابع به کل این جعبه سیاه و دستگاه اطلاق می‌کنند. این‌ها واژه‌هایی است که معادل سازی آن‌ها بعداً خیلی فایده دارد. به حد «limit» می‌گویند. آن هم بعدش پیدا شد، ولی برای این‌که بتواند به‌خوبی و بدون برخورد به بحران و پارادوکس باشد، حد را جلو می‌اندازند. تابع را هم جلو می‌اندازند و بعد مشتق و انتگرال را توضیح می‌دهند. این کلیاتی بود که به تاریخ و پیدایش و مفاهیمی که در آن دخیل است، مربوط بود.

معرفی کتاب «اشتباه استدلال­های هندسی»

اندازه‌ای که من می‌خواهم آشنایی ذهنی و طلبگی ما باشد و بعداً جلوتر برود، مطالبی را عرض می‌کنم تا زمینه ذهنتان باشد. قبلش این را عرض کنم شخص روسی کتابی نوشته به نام «اشتباه استدلال­های هندسی» که توسط معلم حساب پرویز شهریاری ترجمه شده. کتاب مختصری است. اگر کسی آن را مطالعه کند یا مباحثه کند، مثال‌هایی که زده و حل آن‌ها را ببیند، خیلی پر فایده است. اسم انگلیسی آن «Mistakes in Geometric Proofs» است؛ اشتباه­هایی که دربرهان­های هندسی پیش آمده. من قبلاً مطالعه کرده‌ام و یادداشت‌هایی کنار کتاب داشتم؛ مثلاً یکی از مثال­هایش این است که می‌گویند با برهان هندسی می‌گویند زاویه حاده با زاویه قائمه برابر است. زاویه قائمه با زاویه منفرجه برابر است. چطور می‌شود برهان بیاوریم و اثبات کنیم این زاویه با آن برابر است؟! نشان بده کجای آن اشتباه کرده‌ایم. یا آن جاهایی که به بحث ما مربوط می‌شود. فصل سوم کتاب و فصل دوم از مثال‌هایی که می‌زند تا بعداً حل کند، عنوان فصل این است: -مثال‌های فصل اول را در فصل دوم می‌گوید. به فصل سوم می‌آید و می‌گوید- «اشتباهاتی که به مناسبت مفهوم حد در استدلال‌ها به وجود می‌آید». بعد شروع می‌کند و می‌گوید محیط همه دایره ها یکی است. هر دایره ای ببینید محیط آن‌ها با هم برابر است. خب این معلوم است که غلط است. ایشان مثالش را می‌زند و جلو می‌برد تا بعداً آن را حل کند. همچنین مثال‌های دیگر. به نظرم در فصل اول که به حد مربوط نیست، ده مثال زده. در فصل بعدی هم مثال‌هایی زده است. خلاصه این کتاب، از کتاب‌هایی است که اگر کسی خواست کار فکری کند و در این جهت پیشرفت‌هایی داشته باشد، کتاب خوبی است.

پارادوکس زنون، عامل شکل‌گیری بحران سوم

اما برای آشنایی با این مباحث چیزی که بر ذهن من گذشته؛ کسی که اهل ریاضیات نبوده ولی شنیده و از دور در این مطالب سیری داشته، اگر آن سیر ذهنی خودش را بگوید بد نیست. برای این‌که از دیدگاه‌های غیر متخصص و دیدگاه آماتوری به مطالب ریاضیات نگاه کردن، آن هم برای خودش تاریخی دارد و گاهی هم دل نشین است. چه تلقی­های اشتباهی داشته و بعداً فهمیده چیزهای دیگری بوده. و لذا از این باب چیزی که بر ذهن خودم گذشته را عرض می‌کنم، تا به این نزدیک شویم که تاریخ چه بوده و اصل بحران چه بوده. فنّی­ترش هم حواله به شما، و ذهن­های جوانان که بعداً آن را ادامه بدهند و از این‌ها منتفع شوند.

اصل بی‌نهایت کوچک­ها، شروعش در مسائل فلسفی بوده. پارادوکس های زنون در حرکت و زمان، سبب این بوده که به بی‌نهایت کوچک ها و به حساب عالی مشتق و انتگرال ختم شود. اگر بخواهیم به بی‌نهایت کوچک ها انس ذهنی بگیریم، و فوائدی که دارد را ببینیم که بخشی از آن هم راجع به کمیت­های متناجس اما متباین مربوط می‌شود؛ دو خط با این‌که هر دو خط مستقیم هستند اما متباین هستند که قبلاً راجع به اعداد گنگ صحبت کردیم، وقتی بی‌نهایت کوچک ها را جلو بروید و از ناحیه دیگری به آن نگاه کنید، با این کاربردی که در پایان قرن هفدهم پیدا کرد، بیشتر آشنا می‌شوید.

در فضایی که به یک خط، بی‌نهایت اضافه می‌کردیم تا به یک برسد، یا بی‌نهایت از آن کم می‌کردیم تا به صفر برسد، نمی‌دانم از این صحبت کردیم یا نه. البته اگر روی اصل خود این بحث هر چه تأمل کنید خیلی خوب است. من الآن روند بی‌نهایت کوچک را توضیح می‌دهم.

معرفی دنباله ها

ببینید در کنار تابع، حد، مشتق و انتگرال که چهار مفهوم مهمی هستند، چیز دیگری داریم که ساده‌تر است؛ ولی باز با آن سر و کار داریم و در اینجا مطرح است. آن سری­ها و دنباله‌ها است. دنباله با تابع فرق می‌کند. ولی خب برای خودش دم و دستگاهی دارد. شما می‌توانید به یک خط روالی بدهید که دنباله بی‌نهایت درست کنید. یعنی پشت سر هم اعدادی می‌نویسید، همین که ریخت این اعداد را نگاه می‌کنید، می‌بینید این عدد تا بی‌نهایت ادامه دارد. یک سری بی‌نهایت است. دنباله است. اما با خواص و آثار خودش. مثلاً می‌گویید یک، دو، سه و تا بی‌نهایت می‌روید، همین که به این اعداد طبیعی نگاه می‌کنید می‌بینید که یک دنباله است. با روال خاص خودش تا بی‌نهایت می‌رود. یکی دیگر؛ می‌گویید یک، سه، پنج، هفت، وقتی این را هم نگاه می‌کنید می‌بینید این هم یک دنباله است. اما سری و دنباله اعداد فرد است. اما بعد می‌گوید دو، چهار، شش، در اینجا می‌گویید این دنباله اعداد زوج است. با آثار و خواص خاص خودش. حالا اگر من بگویم: یک، چهار، نه، شانزده، بیست و پنج، با این‌که اعدادی را می‌گویم ولی می‌گویید همین‌طور داری یک چیزی را می‌گویی. این یک دنباله نیست. اما اگر برگردید و یک دقتی کنید می‌بینید این هم دنباله است. دنباله مربّعات اعداد است. یعنی اعداد طبیعی اگر در خودش ضرب شود و به توان دو برسد به این صورت می‌شود. می‌شود یک، و بعد از یک، چهار می‌شود. چرا؟ چون یک ضرب در یک، یک می‌شود. اما بعدش که دو است، دو ضرب در دو می‌شود چهار. پس یک، چهار –که مربع دو است- نُه، شانزده، بیست و پنج، سی و شش، همین‌طور جلو می‌روید. این هم یک دنباله است. دنباله ای است که ادامه پیدا می‌کند.

دنباله بی‌نهایت و مفهوم تابع

حالا اگر یک پاره خط داشته باشیم؛ مثلاً فرض می‌گیریم یک سانت است. یک پاره خط یک سانتی را فرض می‌گیریم، با واحد یک. این را در نظر بگیریم؛ می‌خواهیم از نقطه صفر او به پایانش برسیم؛ از نقطه A به نقطه B برسیم. اول اضافه کنیم و سیر کنیم –فعلاً می‌گویم اضافه کنیم- و نصف این خط یک سانتی را جلو برویم، وقتی نصف آن را جلو می‌رویم به عدد یک دوم می‌رسیم. یعنی اگر پاره خط دو جا بود، وقتی ما نصف آن را برویم، نسبت یک دوم خط را رفته‌ایم و به نقطه یک دوم می‌رسیم. پس اول صفر بود. جلو رفتیم و به نصف این خط رسیدیم؛ به نقطه یک دوم رسیدیم. الآن نصفش را جلو آمدیم، بعد که خواستیم جلو برویم نصف این مقداری که قبلاً آمده‌ایم را جلو برویم؛ یعنی نصف یک دوم را جلو برویم؛ نصف یک دوم می‌شود یک چهارم. یعنی یک دوم ضرب در یک دوم، که یک چهارم می‌شود. روشن هم هست. یعنی الآن وقتی پاره خط را دو تا کردیم، دست چپ نصف می‌شود، اگر بخواهیم نصف آن بروید و نصف آن را نصف کنیم، کل پاره خط چهار قسمت می‌شود. پس نصف نصف یک چهارم می‌شود. پس یک چهارم جلو می‌رویم. چند بنویسیم؟ می‌خواهیم دنباله درست کنیم. صفر شروع کار ما بود. عدد بعدی یک دوم بود؛ بعدش چه عددی است؟

شاگرد: یک چهارم

استاد:یک چهارم که برگشتیم. نمی‌خواهیم برگردیم. می‌خواهیم جلو برویم. نصف نصف را اضافه کردیم، نصف نصف یک چهارم بود. حالا می‌خواهیم جلو برویم و این نصف را به آن نصفی که جلو آمده بودیم بچسبانیم. نصف نصف را به آن اضافه کنید. صفر شروعش بود. یک دوم عدد بعدی بود. بعد یک چهارم را به یک دوم اضافه کردیم. یک دوم خودش دوچهارم بود، یک چهارم هم به آن اضافه کردیم که می‌شود سه چهارم. پس عددهایی که جلو می‌رویم به این صورت می‌شود: صفر، یک دوم، سه چهارم. دنباله است؛ دارد جلو می‌رود.

بعد از سه چهارم چه عددی است؟ بعد از نصف چقدر جلو رفتیم؟ نصف نصف که یک چهارم بود. حالا می‌خواهیم نصف آن نصف نصف را جلو برویم. نصف یک چهارم می‌شود یک هشتم. کل خط هشت قسمت شده، نصف آن یک چهارم که یک هشتم است را می‌خواهیم جلو برویم. اگر به سه چهارم، یک هشتم را اضافه کنیم عدد بعدی چند می‌شود؟ هفت هشتم. یعنی الآن کل خط ما اگر هشت قسمت باشد، هفت هشتمش را جلو می‌رویم و آن جا می‌ایستیم. چون یک هشتم اضافه کردیم، هفت هشتم جلو رفته‌ایم.

حالا باز نصف یک هشتم را می‌خواهیم جلو برویم. نصف یک هشتم می‌شود یک شانزدهم. از هفت هشتم، یک شانزدهم جلو می‌رویم. اگر بخواهیم حساب کنیم باید کل خط را شانزده قسمت کنیم و حالا ببینیم وقتی یک شانزدهم جلو رفتیم، عدد بعدی چند می‌شود؟ می‌شود پانزده شانزدهم. الآن این دنباله را می‌نویسیم؛ صفر، یک دوم، سه چهارم، هفت هشتم، پانزده شانزدهم. اگر همین‌طور نصف یک شانزدهم –که یک سی و دوم می‌شود- را جلو برویم، عدد بعدی به دست می‌آید. چه زمانی به سرِ خط می‌رسیم؟ خط AB بود. یک واحد بود. چه زمانی به عدد یک می‌رسیم؟ هیچ وقت نمی‌رسیم. یعنی ما یک دنباله ای داریم که تا بی‌نهایت جلو می‌رود. عددش هم معین است. می‌توانیم آن را تعیین کنیم. نصف یک سی و دوم، یک شصت و چهارم می‌شود، و بعد یک صد و بیست و هشتم می‌شود. همین‌طور جلو می‌رود و اضافه می‌شود.

الآن این یک دنباله شد؛ دنباله بی‌نهایت. این چیزی که اول شما جواب دادید و بعد من گفتم می‌خواهم اضافه کنیم و یک چهارم فایده ندارد¹، همان ذهن شما اول برای خودش یک تابعی تشکیل داده بود. یعنی الآن وقتی می‌گویم نصف یک چهارم، یک هشتم می‌شود، وقتی یک هشتم را اضافه می‌کنیم عدد ما هفت هشتم می‌شود. اما چه چیزی هفت هشتم را به دست ما داده بود؟ یک هشتم. چون نصف یک چهارم، یک هشتم می‌شود.

به عبارت دیگر ما به دو چهارم، چقدر اضافه کردیم تا سه چهارم شد؟ یک چهارم. پس ما یک چهارمی داریم که اضافه کردیم. یعنی متغیر ما رشد پیدا کرده. توسط چه؟ توسط یک متغیر دوم که تابع است. حالا این را روی یک محور مختصات پیاده کنید. دنباله بی‌نهایت را با آن عددی که به ازاء آن اضافه می‌کنید در یک محور y قرار بدهید. مختصات چیست؟ محور xها داریم؛ من روی محور xها من دنباله را برای شما ترسیم کردم. روی محور xها شد صفر، یک دوم، سه چهارم، هفت هشتم و …، همین‌طور تا بی‌نهایت می‌رود و به یک نمی‌رسد. حالا به ازاء این می‌گویم وقتی به نقطه یک دوم رسیدیم، چقدر جلو آمده بودیم و به صفر اضافه کرده بودیم؟ یک دوم. خب این مقداری را که اضافه می‌کنیم روی محور y که به‌صورت عمودی است، به‌صورت نصف محور y (یک دوم) تعیین کنید. یک راست بالای نقطه­ی یک دومی که در محور xها جلو رفته بودیم بیایید. یعنی بالای سر یک دومی که روی محور xها بود، مساوی محور y یک نقطه بگذارید. می‌گویید این نقطه که بخشی از محور yها را نشان می‌دهد، چند است؟ یک دوم است. یک دوم بالای یک دوم. یعنی ما یک دوم جلو آمدیم و نقطه‌ای هم که بالای آن قرار می‌گیرد را اضافه کردیم. در محور xها دارد جلو می‌رود، یک دوم جلو آمدیم، در این دوره چقدر اضافه کردیم؟ یک دوم. خب در محور yها هم یک دوم را تعیین می‌کنید؛ روبه‌روی نقطه یک دوم. خب حالا گام بعدی این است: بعد از یک دوم، چقدر به یک دوم اضافه کردیم که شد سه چهارم؟ یک چهارم اضافه کردیم. اگر بخواهیم یک چهارم را روی محور yها نشان بدهیم، بالای یک دوم می‌رود یا زیر آن می‌رود؟ پایین‌تر می‌آید. چون نصفش است.

از اینجا جالب می‌شود. یعنی چون یک چهارم اضافه کردیم، اگر بخواهیم روی سر سه چهارم بیاییم و بالای آن توضیح بدهیم و از محور y درست بالای یک چهارم بیاییم و بگوییم به این عدد سه چهارم چقدر اضافه کردیم؟ یک چهارم. لذا نقطه را باید پایین‌تر بزنیم. در محور y یک چهارم پایین‌تر است. پس نقطه‌ای که به ازاء سه چهارم قرار می‌گیرد، نقطه یک چهارم روی محور y است.

حالا به بعدی می‌آییم. درست است که هفت هشتم روی محور yها جلو رفتیم اما به سه چهارم چقدر اضافه کردیم که هفت هشتم به دست آمد؟ چون سه چهارم روی حسابِ هشتم، چندتا بود؟ شش هشتم بود. چقدر به شش هشتم اضافه کردیم که شد هفت هشتم؟ یک هشتم. می‌خواهیم بالای سر هفت هشتم، بنویسیم یک هشتم به آن اضافه کردیم. یک هشتم را اگر بخواهیم روی محور y نشان بدهیم، باید نقطه را پایین‌تر بگذاریم.

پس متغیر x که مدام به آن اضافه می‌کردیم؛ یک دوم به آن اضافه شد، شد سه چهارم. سه چهارم به آن اضافه شد، شد هفت هشتم. دئبال آن یک تابع داشتیم. می‌گفتیم به متغیر اول ما که یک دوم بود، چقدر اضافه کردیم که شد سه چهارم؟ یک چهارم. یک چهارم می‌شود تابع متغیر که وابسته به او است. یعنی وقتی می­خواهیم اضافه کنیم، عدد یک چهارم دنبال او است، می‌توانیم بالای آن بنویسیم. زوج آن است. متغیر اول ما که x بود، از یک دوم رشد پیدا کرد و شد سه چهارم. سه چهارم یک تابعی دارد. یعنی یک چیزی در دلش هست که می‌گوید من همراه آن هستم و زوج او هستم. زوج سه چهارم روی این پیشرفت چیست؟ یک چهارم است. یعنی یک چهارم را اضافه کردیم و شد سه چهارم. باز متغیر سه چهارم را رشد دادیم، شد هفت هشتم. چه چیزی همراه او است که هفت هشتم را آورده؟ یعنی از شش هشتم که سه چهارم قبلی بود، آن را یک هشتم کردیم. یک هشتم آن را جلو بردیم. به این متغیری می‌گوییم که وابسته به متغیر اصلیِ مستقل است و خودش را روی محور y نشان می‌دهد. محور y کلاً محور تابع است. زوج های ما که تابع آن متغیر مستقل است، روی محور y رسم می‌شود. اگر دیدید عدد ما روی محور مستقل xها دارد جلو می‌رود، تابع های آن‌که یک چهارم، یک هشتم، یک سی و دوم می‌شود، روی محور yها دارد پایین می‌آید. دارد به محور x نزدیک می‌شود.

حالا اگر این نقطه ها را به هم وصل کنید؛ یعنی از یک دوم به یک چهارم که پایین‌تر است وصل کنید و همین‌طور جلو بیاورید و به نقطه یک هشتم وصل کنید، بعد به نقطه یک شانزدهم و همین‌طور به نقطه یک سی و دوم و نقطه یک شصت و چهارم وصل کنید، اگر این نقطه ها را که بالای سر عدد xها جلو می‌رود بگذارید و یک منحنی رسم کنید، این منحنی چه زمانی به خط x ما می‌رسد؟ هیچ وقت. در بی‌نهایت، به او بی‌نهایت نزدیک می‌شود، اما هیچ وقت هم به او نمی‌رسد. این‌ها عباراتی بود که در پایان قرن هفدهم بسیار تکرار می شد: در بی‌نهایت، بی‌نهایت به او نزدیک می‌شود. این کلمات را مدام به کار می‌بردند. یک عددی داریم که بی‌نهایت کوچک است، که در بی‌نهایت کوچک به این می‌رسیم که صفر می‌شود. پس در یک بی‌نهایت کوچکی که به اندازه بی‌نهایت کوچک شده، این خط به آن می‌رسد؛ می‌رسد به یک. این جور تعبیرات مسامحه‌ای در عالم ریاضیات بود و آن را به کار می‌گرفتند. البته برای آن‌ها فایده هم داشت. اما بعداً دیدند که از دل آن پارادوکس و تناقض بیرون می‌آید.

الآن با این مثالی که توضیح دادم، هم دنباله را گفتم، هم متغیر تابع را گفتم؛ رسم نمودار تابع را توضیح دادم؛ یعنی می‌بینید که برای ما یک تابعی به دست آمد. دنباله ای را هم تصور کردیم و متغیر مستقل و تابع هم روشن شد. مشتق را هم بعداً عرض می‌کنم.

درک شهودی از مسئله ازدیاد ابعاد

چیزی که می‌خواهم عرض کنم این است: اگر ما عددی داشته باشیم که مثبت باشد؛ بزرگ‌تر از صفر باشد. بُعدی داشته باشیم که واقعاً بُعد باشد. این یک مطلب واضح شهودی نیست که اگر بی‌نهایت بار، بُعدی را به بُعدی مثبت –عددی را به عددی- اضافه کنیم، عدد بی‌نهایت می‌شود؟! ارتکازا همه فوری می‌پذیرند.

شاگرد:منظورتان از صفر نقطه است؟

استاد: صفر نگفتم

شاگرد: نقطه منظورتان است.

استاد: من صفر نگفتم. نقطه را هم نگفتم. نه نقطه گفتم و نه صفر. بُعد را گفتم.

شاگرد: اگر بخواهید به آن اضافه کنید باید از یک جایی شروع کنید.

استاد: من شروع را نگفتم. من فقط اضافه کردن را گفتم.

شاگرد: به چه چیزی اضافه شود؟

استاد: الآن مهم نیست. نقطه صفری را فرض بگیرید و اضافه کنید. فعلاً نقطه شروع آن برای من مهم نیست. آن چه که مهم است، این است…؛ اطراف کتاب نهایه مطالبی را که در ضمن مباحثه به ذهنم می‌رسید، یادداشت می‌کردم. در بحث مقولات عشر وقتی به بحث کم رسیدند، یادداشت‌های مفصلی دارم. اگر خواستید، نوشته شود و پیاده شود. از چیزهایی که در ذهن من مطرح شده بود و در آن جا نوشتم و حل آن هم ظرافت کاری دارد، و در خیلی از جاها به درد می‌خورد، همین نکته است: ما یک کبرای کلی شهودی داریم که اگر آن را به هر کسی بگویید، قبول می‌کند. این است که ما یک عدد بزرگ‌تر از صفر را در نظر بگیریم، اگر به آن، عددی را اضافه کنیم که بزرگ‌تر از صفر است، و تا بی‌نهایت این اعداد بزرگ‌تر از صفر را اضافه کنیم، بی‌نهایت عدد به دست می‌آید و عددِ بی‌نهایت هم می‌شود. این برای عدد.

حالا به خط می‌آیم. اگر ما یک بُعد داشته باشیم؛ بُعد یعنی خطی که برای خودش یک فاصله‌ای را اشغال کرده(AB)؛ فضایی را اشغال کرده؛ سر آن دو نقطه است که این دو نقطه توسط آن بُعد به هم وصل شده است. اگر ما به یک بُعد، بی‌نهایت بُعد دیگر اضافه کنیم، حاصل می‌شود بُعدِ بی‌نهایت. یک خط بی‌نهایت می‌شود. نقطه شروع آن به فرمایش شما صفر است. ولی خلاصه به‌عنوان شروع یک بُعد کوچکی را در نظر گرفتیم، در ادامه بی‌نهایت بُعد دیگر به آن اضافه کردیم، می‌شود بُعد بی‌نهایت؛ می‌شود یک خطّ بی‌نهایت. این کبرای کلی است. یعنی وقتی بی‌نهایت بُعد را به هم ضمیمه کنیم، بُعدِ بی‌نهایت می‌شود.

نقض ادراک شهودی در ازدیاد تناقصی

خب این کبری در ذهن من بود؛ روی آن هم فکر می‌کردم، دیدم به مشکلاتی برخورد می‌کند. به مواردی برخورد می‌کنیم که این‌چنین نیست. یک چیزی که الآن مطرح کردم، نقض همین کبرای کلی است. شما دیدید من نصف را گذاشتم و بعد نصف نصف به آن اضافه کردم. نصف نصف، بُعد هست یا نیست؟ بُعد است. من به بعدی که نصف بود، نصفش را اضافه کردم. پس بُعدی را به بُعدی اضافه کردم و تا بی‌نهایت هم این کار را ادامه دادیم؛ یعنی تا بی‌نهایت یک بُعدی را به بُعد قبلی اضافه کردیم. اما خب خصوصیت این بُعد این بود که تناقصی بود. نصف را اضافه کردیم، بعد نصف نصف را اضافه کردیم، بعد نصف نصف نصف را اضافه کردیم؛ ما تا بی‌نهایت بُعد را به بُعد اضافه کردیم اما نه تنها هنوز بُعدِ بی‌نهایت نشده بلکه به اندازه یک بُعد واحد هم نرسیده ایم. چون نصف او شد. به سر خط نرسیدیم. هنوز به یک هم نرسیده ایم. پس آن کبرای شهودی که سریع همه می‌پذیرند چه می‌شود؟ اگر ما بی‌نهایت بُعد را به هم ضمیمه کنیم، بُعدِ بی‌نهایت می‌شود. این را چطور جمع کنیم؟ در اینجا عملاً روی خط نشان دادیم که تا بی‌نهایت می‌روی و خبری نیست؛ یعنی هنوز به یک نرسیده ای! چه برسد به بعد بی‌نهایت! بی‌نهایت کجا بود، هنوز به یک نرسیده ای. ولی عملاً هم دیدم من دارم بی‌نهایت بار، بُعد اضافه می‌کنم. از آن طرف عقل می‌گوید اگر بی‌نهایت بُعد را به بُعد اضافه کنید، بُعد بی‌نهایت می‌شود. این را چه کار کنیم؟

راه حلّ این اشکال

اینجا است که بعضی از وقت ها کبریاتی را که شهودی درک می‌کنید، یک مطلب علمی، منطقی، ریاضی، فلسفی است که همه جا به درد می‌خورد و آن چیزی بود که ابن‌سینا برای مشهورات هم گفت. او در مشهورات گفت، چرا مشهورات هستند اما یقینیات نیستند؟ گفت مشهورات هم در اصل یک جور یقینیات هستند، فقط یک قیود مخفی ای دارند که اگر آن قید را آشکار کنید یقینی می‌شوند. آن قید، نیست. بله، وقتی آن قید مخفی می‌شود مشهورات می‌شوند و می‌بینیم در برخی از جاها خطا در می‌آیند. الآن هم این قضیه کبرای کلی به‌عنوان یک قضیه مشهوره خوب است. یعنی می‌گوییم اگر بی‌نهایت بُعد را به بُعدی اضافه کنید، می‌شود بُعد بی‌نهایت. اما یک قید دارد. آن قیدِ مطوی را نمی‌آوریم و به مشکل برخورد می‌کنیم. اینجا با حرف زنون و با پارادوکس و دنباله‌هایی که من گفتم، می‌گویید چه شد؟! من که بی‌نهایت بُعد اضافه کردم! خب آن قید چیست؟

اگر ما بی‌نهایت بُعد را به بُعد مساوی خودش اضافه کنیم، بُعدِ بی‌نهایت می‌شود. این قید را نمی‌آوریم و به نحو شهودی می‌گوییم بی‌نهایت بُعد است! از نظر ریاضی و علمی این قید را دارد. حالا دیگر می‌بینیم در اینجا دیگر نقض نشد. الآن ما بی‌نهایت بُعدِ مساوی را به هم اضافه نکردیم تا بگوییم چرا بُعدِ بی‌نهایت نشد. بلکه بُعدهای متناقص را اضافه کردیم. خب پس این تناقص در دنباله‌ها، در اضافه‌ها و در پیدا کردن حد و تشکیل تابع بسیار مهم است. یک چیز کمی نیست. باید ببینیم نظام یک دنباله به چیست.

الآن یک تابع درست کنید؛ مثلاً می‌خواهید اعداد طبیعی را روی محور xها قرار بدهید. اما تابع و مربع های آن را روی محور y تعیین کنید. مثلاً می‌گویید: یک روی محور x است، می‌خواهید مربع آن() را روی محور y نشان بدهید، در آن جا هم از محور y، یک بالای سر یک می‌آید. اما وقتی یک، دو شد، می‌خواهید مربّعش را روی نقطه بالاسرش در محور y تعیین کنید، در اینجا y، دو نمی‌شود. بلکه بالا می‌رود و می‌شود چهار. یعنی نقطه یک، رو به رویش یک بود، اما یک دفعه نقطه ی مقابل دو، چهار می‌شود و بالا می‌رود. خب اگر بخواهید نقطه هایی که روی مربع های هر عدد می‌گذارید، رسم کنید، یک خطی می‌شود که به سرعت بالا می‌رود. به سرعت اوج می‌گیرد. یعنی روی محور y، مثلاً صدتا صدتا، ده هزارتا می‌شود؛ در اینجا شما به صد رسیدید اما آن جا به ده هزار رسیده‌اید. به آن بالا بالاها رسیده است. همین تابع را می‌توانید برعکس کنید. یعنی بگویید محور x من دنباله مّربعات است. یعنی روی محور x، یک نوشته ام، بعد چهار، بعد نُه، بعد شانزده. x من این است. خب بعد می‌خواهم بگویم بالای هر عنصر x و متغیّر مستقل، تابع را بنویسم. تابع چیست؟ می‌گویم یکِ مربع که الآن در x قرارش دادم، ضلعش و آن چه که جذر این است، چند است؟ آن هم یک است. اما وقتی به عدد دوم روی محور x آمدم که عدد چهار است، جذرش چیست؟ دو است. روی محور x به چه صورت شد؟ پایین آمد. آن عدد من بعدش چهار است، برعکس می‌شود و مدام پایین می‌آید.

شاگرد: از یک می‌رود به دو. شیبش کمتر می‌شود.

استاد: درست می‌گویید. منظورم این بود که از چهاری که روی آن بود، پایین‌تر است. آن‌طور نیست که مثل قبلی یک دفعه اوج بگیرد. وقتی خود اعداد طبیعی را می‌خواهید به ازاء او بگویید، یک، شیب کمی دارد. چرا؟ چون آن‌ها سریع جلو می‌روند. اما این اعداد طبیعی که در فرض ما تابعِ مربّعات شدند این‌طور نیستند. وقتی آدم در رسم متغیر مستقل و تابع راه می‌افتد، می‌تواند همه این‌ها را پیش ببرد.

پارادوکس زنون

زنون چه کار کرد؟ زنون روی پارادوکس خودش گفت: اصلاً شروع حرکت ممکن نیست. چون وقتی می‌خواهیم از نقطه A به نقطه B برویم، باید ابتدا نصفش را برویم. خب وقتی می‌خواهیم نصف آن را برویم اول باید نصف نصف را برویم. بعد وقتی می‌خواهیم نصف نصف را برویم، باید نصف نصف نصف را برویم. همین‌طور تا بی‌نهایت برد. گفت ما تا بی‌نهایت به آن نقطه شروع نمی‌رسیم، پس ممکن نیست متحرک بتواند از نقطه شروع حرکت کند. یا از این طرف، اگر به نصف رسیده و می‌خواهد به نقطه یک برسید، در اینجا هم ممکن نیست به نقطه یک برسد. چون الآن روی نقطه نصف است، وقتی می‌خواهد به نقطه یک برسد، باید نصف نصف را برود و به سه چهارم برسد. هر چه نصف ها را تا بی‌نهایت برود، نمی‌رسد. پس به مقصد نخواهد رسید.

پاسخ به پارادوکس زنون

جواب این پارادوکس با این توضیحی که الآن گفتم حل می‌شود. اساساً در حرکت، آن و حرکاتی که هست، جزء لایتجزای حرکت قابل انقسام الی غیر النهایه نیست. به آنِ سیّالی می‌رسیم که تموّج پایه ی آن حرکت است. و لذا این‌طور نیست که تا بی‌نهایت بگویید باید نصفه نصفه برود، یک جاهایی هست که به یک واحدهای مساوی می‌رسید. یعنی واحدهای مساوی به هم ضمیمه می‌شود و به نهایت کار می‌رسید. یا با آن تموج پایه شروع می‌کند یا با انضمام این تموج های پایه به هم به پایان می رساند. لذا این مطلب در اشکال او حل می‌شود.

شاگرد: یعنی عقلاً قابل انقسام به بی‌نهایت هست، نه خارجا؟

استاد: بله.

معرفی کتاب «معجم الریاضیات»

وقت تمام شد، در پایان سخن این را هم عرض کنم؛ وقتی سر و کار شما با بی‌نهایت کوچک ها شد، می‌توانید از این بی‌نهایت کوچک ها برای ریز ریز شدن در آن‌ها و جمع‌بندی آن‌ها استفاده کنید. وقتی به بی‌نهایت کوچک می‌روید، مدام آن را جلو می‌برید، در اینجا مرتب با دو واژه سر و کار دارید؛ یکی دلتا است و یکی اپسیلون. اپسیلون و دلتا دو کلمه‌ای است که به کار می‌رود؛ اپسیلون برای عدد بسیار خرد و بی‌نهایت کوچک است. در همین المعجم فرانسه، انگلیسی، عربی هست؛ «معجم الریاضیات» دکتر علی مصطفی ابن الاشهر. به نظرم در لیبی چاپ شده است. این را یک آقایی زحمت کشیدند و آوردند. سه زبانه است. فرانسه، انگلیسی و عربی. انسان می‌تواند تطبیق آن را هم به فارسی انجام بدهد. از این می‌تواند خیلی استفاده کند.

در این کتاب، حساب جامعه، فاضله، اپسیلون و … را به‌صورت الفبایی دارد؛ هم انگلیسی آن و هم عربی آن هست. توضیحات متنش به‌صورت انگلیسی بیان شده. منظور من این است که دارم سر نخ­هایی را عرض می‌کنم تا بعداً مراجعه کنید.

در این فضای پیدایش حساب بی‌نهایت کوچک­ها بعد از این‌که پیش رفت…؛ در کتاب تاریخ ریاضیات هاورد که ترجمه وحیدی اصل است، ایشان در صفحه سیصد و شانزده توضیح می‌دهد؛ حدود صد سال بعد از اصل حساب مشتق و به تبع آن انتگرال…؛ ولو انتگرال از زمان فیثاغورس معلوم بود ولی ارتباط این دو معلوم نبود؛ این‌که مشتق، رسیدن به یک تابع پایه است و انتگرال هم از آن طرف است؛ این‌ها کاملاً به هم بسته هستند؛ کارِ معکوس کردن است.

روش افناء در اندازه‌گیری محیط و مساحت دایره

روش افناء را نگفتم. روش افناء در یک کلمه این است: مثلاً می‌خواهند کره را حساب کنند؛ این‌ها را به‌صورت مخروط های بسیار کوچک یا هرم های بسیار کوچک در می‌آورند و آن را به بی‌نهایت میل می‌دهند. مثل این‌که می‌خواهند مساحت دایره را حساب کنند، یک چند ضلعی منتظم محاطی درست می‌کنند و بعد به ضلعش اضافه می‌کنند. وقتی یک مربع در یک دایره باشد، محیط آن مربع و مساحت آن مربع را که از ضلعش به دست می‌آوریم، کم‌تر از دایره است. اما اگر این مربع، پنج ضلعی منتظم شود، شش ضلعی منتظم شود و همین‌طور اضافه شود…؛ ارشمیدس نود و شش ضلعی منتظم را حساب کرد و به عدد بیست و دو هفتم رسید. وقتی به این صورت‌حساب می‌کنند مدام دارد محیط آن منتظم و محیط آن دایره به هم نزدیک می‌شود. یعنی اگر شما یک منتظم را جلو ببرید دقیقاً همین دنباله ای که من گفتم می‌شود. دنباله اول، محیط و مساحت آن مربع است که به محیط و مساحت نهائی دایره نزدیک می‌شود. همین‌طور جلو می‌رود. پنج ضلعی، شش ضلعی، تا نود و شش ضلعی که برود، نزدیک تر می‌شود؛ می‌شود بیست و دو و هفت دهم. همین‌طور محاسبه می‌شود و جلو می‌رود تا نهایت که عدد پی است. آیا به عدد پی می‌رسیم یا نه؟ ریاضی دان ها نمی‌دانستند گنگ هست یا نیست؟ سال‌ها طول کشید.

به نظرم جلسه قبل رادیکال دو را عرض کردم؛ دو هزار سال پیش معلوم بود اما عدد پی تا قرن هجدهم معلوم نبود که گنگ هست یا نیست. علی ای حال ایشان می‌گوید تا حدود صد سال بعد از کشف این حساب، ریاضی دان ها داشتند از آن بهره‌برداری می‌کردند. با غرور تمام و با اشتیاق تمام. کم‌کم در فضای معلم‌ها و اساتید و بهره‌برداری ها، به پارادوکس ها برخورد کردند؛ به چیزهایی برخورد کردند که منطقی نبود و لوازم نا معقولی داشت. مجبور شدند برگردند و دوباره این را منظم کنند. وقتی برگشتند تا آن را منظم کنند، مفهوم حد پدید آمد. قبلش حد نبود. با فاصله طولانی، ریاضی­دان­ها از مشتق و انتگرال و بی‌نهایت کوچک­ها، بدون مفهوم حد، استفاده می‌کردند. بعد که خواستند معضلات را برطرف کنند مفهوم حد کشف شد.

خلاصه بحث

پس بحران دوم، بحران کاربرد بی‌سر و در بی‌نهایت کوچک ها در ریاضیات عالی – محاسبه مشتق و انتگرال-بود. رفع این بحران به این بود که حد را در محاسبه بی‌نهایت کوچک­ها آوردند که به آن می‌گویند: «حسابیدن» و از استعمال و کاربرد جزاف و بی‌سر و در بی‌نهایت کوچک­ها جلوگیری کردند و محدودیت ایجاد کردند. همه جا و هر کسی به هر بیانی نمی‌تواند از بی‌نهایت کوچک­ها استفاده کند و آن‌ها را به کار ببرد. پس این بحران دوم بود و رفع این بحران به مفهوم حد بود.

بحران چهارم: بحران مجموعه ها

بحران سوم می‌ماند که بحران مجموعه‌ها در قرن بیستم است. رفع بحران آن هنوز کامل نشده است. ان شالله اگر عمری بود بحران پارادوکس مجموعه‌ها را عرض می‌کنم که در اواخر قرن نوزدهم و اوائل قرن بیستم پدید آمد. خیلی روی آن کار شده است. الآن هم واقعاً پیشرفت‌های خیلی مهمی شده ولی الآن به این صورت می‌گویند که هنوز قانع‌کننده نیست تا کل جهان علم را بر یک محور واحد قطعی قرار بدهد؛ مثل حد نیست؛ وقتی حد درآمد، بحران تمام شد. در بحران مجموعه‌ها نظریات مختلفی داده شده، یک چیزی که کاملاً همه را خاطر جمع کند و به آخرین مرحله برسد، نمی‌دانم الآن شده یا نه. سال‌ها قبل که من راجع به این مطالعه می‌کردم، می‌گفتند هنوز به حل نهائی خاطر جمع نشده‌اند. ان شالله اگر زنده بودم در جلسه‌ای دیگر راجع به بحران سوم هم عرض می‌کنم.

والحمد لله رب العالمین

کلید: بحران ریاضیات، بحران هندسه اقلیدسی، بحران اعداد گنگ، بحران بی‌نهایت کوچک ها، بحران مجموعه‌ها، حد، مشتق، انتگرال، دیفرانسیل، پارادوکس زنون،