بسم الله الرحمن الرحیم

جلسه سوم-تاریخ و مباحث ریاضیات؛ اولین بحران ریاضیات: اعداد گنگ(٢)

جلسه سوم

بسم الله الرحمن الرحیم

بحثی که دنبال کردیم قرار شد که یک فکری بشود مطالعه ای بشود اطراف آن سه بحرانی که ادعا می کنند در ریاضیات هست یا یکی دیگر هم اضافه کنیم چهارمیش و مروری روی این ها بشود به خاطر این که زمینه فکر روی ده ها مسئله دیگر هست.دیروز بحثمان رسید به اینجا که مقولات عشر را که عرض کردم کم یکی از این مقولات است .مقولات عشر یعنی اجناس عالیه که دیگر بین خود این ها اشتراک ذاتی نیست، ماهیات متباینه، اجناس عالیه خب یکی از آن ها «کم» است.

 در کم صحبت شد و هم چنین در تقسیم بندی حکمت که در بخش کم، علومی مطرح بود مثل علم الحرکات، علم هندسه، علم حساب که هر کدام موضوع  خاص خودش را داشت و آن تقسیم بندی های قدیم و آن چه که عرض من دیروز رسید آخر کار، علم حساب بود arithmetic که محورش بر عدد بود و کم منفصل.

و عرض کردم که در این علم حساب سر و کار ما با عدد است و با عمل.عدد ساختارش را چند کلمه ای عرض کردم.به عنوان مدخلی که خود شما ان شاءالله ادامه اش را بگیرید مباحث مفصل ترش را ملاحظه کنید.یکی هم عمل بود .عمل یکی از مهم ترین بحث های اساساً منطق،فلسفه است و ریاضی هم که محورش روی عمل هاست و عمل ها را با نمادهای ریاضی امروزه به راحتی نشان می دهند.هر عملی را.عمل ها هم خیلی گسترده است.چهار عمل اصلی یعنی آن چهار عملی که حساب بر روی او بنا شده بوده از اول.چهار عمل اصلی.حالا یک ظرافت کاری در این عمل ها،تفاوت هایش هست که دیگر ان شاء الله برای بعد که خودتان فکر می کنید یا بعض یادداشت هایی  که شده آن هایی که مطالعه کنید پِیَش را می گیرید.

 عرض من رسید به این جا که عمل جمع و ضرب، منها و تقسیم.عمل تقسیم که بازگشتی از ضرب بود؛چه ضرب حسابی چه ضرب هندسی. این عمل تقسیم دم و دستگاهی به پا کرد در حساب قدیم به نام نسبت تناسب و این نسبت که فواید بسیار زیادی برای ریاضیدان ها داشت و به این سادگی حاضر نبودند دست از آن بردارند که حالا هر چه بیشتر مانوس بشود انسان می فهمد،یک دفعه با کشف اعداد گنگ فروریخت.بحران اول این است که یک دفعه این ها همه به هم ریخت.نسبتی که تعریف کرده بودند به عنوان یک مطلب قطعی ریاضی با آن سرو کار داشتند یک دفعه از دستشان گرفته شد و عرض کردم بعضی چیزها در تاریخ ریاضیات می گویند که من به نظرم درست نیست یا مثلا یک بزرگ نمایی ها شده است مثلاً می گویند مدتی فیثاغورثی ها و اصحابشان عدد رادیکال دو گنگ بودنش را کشف کرده بودند اما هر کس می فهمیدند این را پخش می کند او رامی کشتند.مثلا این خیلی بعید است که یک عده ای که عالمند، ریاضیدانند به عنوان حکیم دارند کار می کنند بگویند این یک سرّی است که در فضای ریاضیات کشف شده،ما بکشیم هر که او را...ولی گفته اند در کتاب ها  که مثلا می کشتند.حالا یک جا یک کسی دعوایی شده غیر از این است که بنا بر آن باشد.بله جزء اسرار ریاضی بوده یعنی همه سردر نمی آوردند که این یعنی چه؟این ممکن است،اما یک اقدامات این طوری که خلاف تعلیم و تعلم و پیشرفت است خیلی دور است.

علی ای حال این را هم می گویند که عدد نزد فیثاغورثی ها مقدس بود.اساس خلقت بود.وقتی عدد گنگ کشف شد این اساس خلقت زیر سوال رفت.گفتند این دیگر از تقدس افتاد.این هم معلوم نیست.این را من در جزوه  نکته ای در نقطه عرض کردم که می تواند عدد گنگ باشد، اما عدد فیثاغورثی و انواع دیگرش هم از تقدس نیفتد.این طور نیست که بگوییم چون عدد گنگ کشف شد این ها همه از تقدس افتاد.اصلا این طور نیست.

بحران اول:کشف اعداد گنگ

رادیکال دو

و نکته دیگری که شروع شد بحران اول،اولین عدد گنگی که می گویند کشف شد رادیکال دو بود.جذر 2.قطر مربع.وترِ مثلثِ قائم الزاویه با دو ضلع مجاور زاویه قائمه ی مساوی. هر مثلث قائم الزاویه ای که دو ضلع مجاور زاویه قائمه اش مساوی باشد، وترش رادیکال دو است.این وتر همان قطر مربع است.مربع را در نظر بگیرید.قطرش را رسم کنید.وقتی قطر مربع را رسم می کنید می شود دو تا مثلث قائم الزاویه که ضلع های مجاور زاویه قائمه با هم برابرند.چون مربع است، قطر هم وترشان است.طبق قاعده فیثاغورث، مربع این ضلع می شود یک.چون فرض بگیریم خودش است، یک. یک واحد مربع.ضلع دیگر هم مساحتش یک .قاعده فیثاغورث می گفت مجموع مساحت دو ضلع مجاور زاویه قائمه مساوی است با مساحت وتر.پس مجموع 1 به اضافه 1 می شود ٢.یعنی مربعِ قطرِ مربع،یعنی قطر مربع را اگر مربعش بکنید می شود ٢. ضلعش چه قدر است؟یعنی یک عددی که ضرب در خودش شده است شده ٢.لذا می گویند وترش رادیکال دو است.یعنی آن که اگر ضرب در خودش بشود، می شود دو.این رابطه رابطه ی خیلی روشنی است.ولی وقتی فضای علم جلو رفته به این ها رسیدند، مرحله مرحله جلو رفته است.امروزه ما خیلی روشن مثل نقل و نبات در ریاضیات می گوییم رادیکال دو می گوییم قطر مربع.با ضلع واحد.می گوییم وتر مثلث قائم الزاویه با دو ضلع مساوی مجاور زاویه قائمه.این ها همه گنگ است و حتی باز مثل نقل و نبات سایر عدد های گنگ را امروز می گویند.
عدد گنگ در ردیف ها.رادیکال دو خودش اول عدد گنگ بوده است.عددهای گنگ بعدی که چند تا معروفند الان  به حروف الفبا هم الان نقلش می کنند چیست؟عددهای گنگ متعدد مثلا سه تا عدد گنگ است که امروزه مرتب کاربرد دارد و با حرف بیان می شود:

سایر اعداد گنگ

عدد پی، عدد فی و عدد ای.سه تا عدد گنگ خیلی متداول و رایج.عدد پی عدد دایره است پیریا که نسبت محیط است به قطر دایره.

عدد فی نسبت طلایی است که در مقاله دوم اقلیدس نسبت طلایی مطرح شده است.در هر خطی شما در نظر بگیرید یک نقطه ای هست که آن نقطه نسبت طلایی را تشکیل می دهد و نسبت طلایی معادلش فی است که از اعداد گنگ است.
و عدد ای که می گویند عدد اویلر ریاضیدان یا از لغت دیگری است
عددِ ای(e) هم پایه لگاریتم طبیعی است عدد نِپِر به آن می گویند.لگاریتم طبیعی بحث های خودشان است که ای هم عدد گنگ خیلی پرکاربرد است و خاستگاهش هندسه نیست.

عدد پی عدد فی خاستگاهش هندسه بوده اشکال بوده مقادیر کم متصل بوده.اما عدد ای عددی است که خاستگاهش هندسه نیست.از تنظیمات هندسی برنخاسته که اگر مفصل ترش را خواستید مراجعه می کنید.

بی نهایت فشرده؛بی نهایت به اندازه کافی فشرده

امروزه دیگر مثل نقل و نبات دانش آموز ها دانشجوها با اعداد مختلف گنگ آشنا هستند.مثلا درکش برایشان ساده است که بگویند مثلا مجموعه اعداد حقیقی که از نظر قوت بی نهایت بیش از مجموعه اعداد گویاست.مجموعه اعداد گویا قوت بی نهایتیش هم توان است با مجموعه اعداد طبیعی.مجموعه اعداد طبیعی از یک شروع می شود می رود تا بی نهایت.اعداد شمارشی.مجموعه اعداد گویا همه اعداد کسری است.مجموعه اعداد کسری از عجایبش این است که متکاثف است.تکاثف یعنی فشرده.کاملا مجموعه اعضای اعداد گویا فشرده اند.یعنی هیچ دو عدد گویا نیست که روی محور شما تعیین بکنید بینش بی نهایت عدد گویاست.هر کدام از آن دو تا بی نهایت عدد  گویای بین این دو تا دوباره به غایت کوچک دوباره بینش بی نهایت عدد گویاست.این را می گویند اعداد گویا یک مجموعه فشرده یعنی هیچ جا بینش خالی پیدا نمی کنید مثل مجلس هایی که می گویند به صورت فشرده نشسته اند سوزن نمی افتد.اعداد گویا سوزن نمی افتد این  محور فشرده است.هر جایش می روید یک جای باریک دوباره می بینید بی نهایت عدد گویا بینش است.این مجموعه اعداد گویاست که فشرده است اما در عین حال می گویند فشرده است اما به اندازه کافی فشرده نیست.یعنی یک سوزنی می شود بیفتد همین که یک سوزنی می شود بیفتد می گویند به اندازه کافی فشرده نیست.

به اندازه کافی کدام فشرده است؟مجموعه اعداد حقیقی.R به آن می گفتند.real اعداد حقیقی.این مجموعه ها را همه امروز دارند می خوانند.پی مثلا جزء مجموعه اعداد گویا نیست با این که  مجموعه اعداد گویا فشرده بود اما پی جزء آن ها نیست، فی جزء آن ها نیست.ای جزء آن ها نیست رادیکال 2 رادیکال 3 رادیکال 5 جزء آن ها نیست.یعنی امروزه دانشجوها دانش آموزها می بینند مجموعه اعداد گنگی که گویا نیستند که در مجموعه اعداد حقیقی موجود هستند خیلی گسترده ترند از مجموعه اعداد گویایی که خودشان تازه فشرده اند.خیلی این مباحث جالب است در این طور دسته بندی که ...
می خواهم بگویم ریاضیات از آن بحران روز اول که یک رادیکال دو کشف شده بود به کجا رسیده است که الان این طور باورشان نمی شد آن نوابغ روز اول که آینده بشر این است که اعداد گنگ را این طور با آن سر و کار داشته باشند به این گستردگی.می گویند مجموعه اعداد حقیقی.حالا هر چه یادم می آید اشاره ای بکنم که بعدها ان شاءالله گوش دادید...

بهشت کانتور

یکی از چیزهایی که به آن می گویند: هیلبرت اسمش را گذاشته است بهشت کانتور.بهشت کانتور بحث راجع به همین مجموعه های بی نهایت ها و دسته بندی مراتبشان و اعداد ترانسفری است.اعداد ترانفسری اعداد بی نهایت ها مجموعه ها  و بی نهایت بودنشان را ایشان رده بندی کرده است به همان حرف الفبای عبری، اولین قوه بی نهایتکه اعداد طبیعی هستند را ایشان اسمش را گذاشته است الف صفر.الف صفر کاردینالش یک کاردینالی ست که اولین درجه ی بی نهایت است.الف صفر است یعنی در اعداد ترانفسری شروع کار است بعد هم اثبات می کند که به برهان قطری کانتور معروف است برهان خیلی خوبی است.آتئیست ها هم از این استفاده می کنند برای مقاصد پوچ خودشان در آن مقاله باخدایی گام به گام عرض کردم.
هم استدلال آن ها را آوردم و هم عرض کرده ام که ربطی به مقصود آن ها ندارد.علی ای حال با برهان قطری -در همین تاریخ ریاضیات هم هست- چه را ثابت کرده است؟ یک چیز عجیب.می گوید مجموعه اعداد گویا که فشرده است شما بین دو و سه عددی دیگر پیدا نمی کنید دو و سه در اعداد حقیقی.بینش چیزی نیست.اما هر دو عدد گویا بینش دوباره بی نهایت عدد گویا پیدا می کنید.این چیز کمی است چه قدر گسترده می شود.در عین حال برهان می آورد همین آقای کانتور در این برهان خودش که توان بی نهایتی مجموعه اعداد گویا با این فشردگی با توان بی نهایتی مجموعه اعداد طبیعی که می شمریم یک و دو سه برابر است.زور بی نهایتیشان چیست؟ لذا می گوید هر دو شمارا هستند شمارا یعنی تناظر یک به یک دارند.تناظر یک به یک در بی نهایت ها.این ها را فقط اشاره می کنم ان شاء الله بعدا نحوش را برهانش را ببینید اگر هم می دانید جلوتر مراجعه کردید که چه بهتر یاداوری است.از راه تناظر می گوید این ها همه شمارا هستند.

اما وقتی می رسد به مجموعه اعداد حقیقی می گوید نه دیگر.توان بی نهایتی مجموعه اعداد حقیقی که اعداد گنگ هم در آن هست این بیش از الف صفر است لذا اسمش را گذاشته است الف یک.الف یک می شود مجموعه اعداد حقیقی که این همه گستردگی و این همه مباحث برایش مطرح شده است.آن دیگر می گویند مجموعه اعداد حقیقیِ به اندازه کافی فشرده
یعنی غیر از این که هر دو نقطه اش بینش بی نهایت نقطه و عدد هست هیچ جای خالی هم بینش نمی توانید پیدا کنید و لذا ناشماراست.کانتور برهان خلف اقامه می کند این الف یک مجموعه اعداد حقیقی ناشماراست.یعنی دیگر با اعداد طبیعی هم قوه نیستند.این جا از همین  برهان خلف کانتور یک مبنای فلسفه ریاضی پیدا شده است.شهود گرایی در فلسفه ریاضیات

سه مبنا در فلسفه ریاضی

که سه تا مبنا دارد در منطق ریاضی و فلسفه زیاد از آن اسم می برند:
صورت گرایی، منطق گرایی Logicism،فرمالیسم آن یکی هم شهودگرایی مال براور.شهودگرایی همین است.برهان خلف کانتور را در اثبات الف یک مجموعه اعداد حقیقی می گوید قبول ندارم.باید حتما بسازیم تا اثبات کنیم به صرف برهان خلف اثبات نمی شود.این ها هم بحث های خوبی است که در قرن بیستم انجام شده است.حالا رفتم در حرف های دیگر ولی چون یادم می آید می بینم این هانکاتی است برای بعد می گویم.
عرض شد که سرو کار ما با عدد بود و عمل.عمل تقسیم.عمل تقسیم نسبت را پدید آورد.در زمان فیثاغورثی ها یکی از مهم ترین ابزارهای ریاضیات آن ها مسئله نسبت بود و تناسب امروز هم همین طور است.نسبت و تناسب ،یک حرفی می زند که کانه همه ریاضیات را گرفته است.اول یک تقسیم بندی راجع به  نسبت بکنم.

معانی «نسبت»

نسبت عام نفس الامری

مقولات عشر را که عرض کردم. ما یک نسبت به معنای مطلق رابطه داریم.یک نسبت داریم یک رابطه داریم که ورای مقولات است فوق مقولات است.مطلق رابطه.رابطه نفس الامری بین هر چیز و هر چیز می آید.بین کم و کیف می آید .بین جوهر و عرض می آید.این را هم ما اسمش را می گذاریم نسبت.و رابطه به معنای عام نفس الامری.مباحث بسیار ظریفی دارد خودش از لحاظ تحلیل و یکی از براهینی هم که در آن مقاله عرض کردم برهان فرارابطه است.آن جا که عرض کردم فرارابطه یعنی این رابطه.یعنی رابطه عام نفس الامری که ورای مقولات عشر است. اجناس عالیه بینشان می تواند رابطه می تواند برقرار باشد.رابطه نفس الامری که ما به الاشتراک ذاتی، دو تا جنس الاجناس ندارند.مثلا کم با کیف هردو جنس الاجناسند ما به الاشتراک در جنس ندارند.ما به الاشتراک ذاتی ندارند اما یک نحو اشتراکاتی نفس الامری وراء مقولی و ماهوی دارند.مثلا اگر به هر دو می گویید موجود  حالا یا وجود اعتباری یا اصیل بحث هایی است سر جای خودش. علی ای حال می بینیم یک نحو اشتراک دارند.هر دو در وصف امکان اشتراک دارند.ممکن الوجودند.کم ممکن الوجود است کیف هم ممکن الوجود است.در این وصف اشتراک دارند.بگویید امکان که جنس و ذاتی نیست، نباشد سلّمنا ولی خلاصه یک رابطه اشتراکی بینشان هست.این رابطه به معنای عامش را بگذاریمش کنار جای خودش.

نسبت مقولی

یک نسبت دیگر داریم نسبت مقولی است. یعنی در مقولات عشر هفت تا عرض داریم که به آن می گوییم اعراض نسبیه مقولات نسبیه.این جا هم نسبت به کار می بریم این نسبت دیگر در کم و کیف و جوهر نیست.فقط در هفت تا عرض است.این نسبت دارد نقش ایفا می کند این هفت تا مقوله نسبی هم در بدایه نهایه جوهر النضید این ها بحثش شده است.آن هم باز مقصود ما نیست. اصلا بیرون از کم است.هفت تا مقوله نسبی بیرون از کم است.آن را هم بگذاریدش کنار.

نسبت در ریاضیات:بازگشت عمل ضرب

بیایید وارد شوید درخصوص مقوله کم.وقتی وارد مقوله کم می شوید حالا در دل مقوله کم یک نسبت داریم.یعنی در عالم ریاضیات یک نسبت داریم خاص خود کم.نسبتی که بین مقادیر مطرح است نه نسبت بین دو تا جوهر نسبت بین زمان و مکان و جده و این ها.نه درست در مقوله کم نسبت مطرح است.این نسبت الان سرو کار ما با آن است.همان نسبتی که گفتم عمل تقسیم او را آورده است.عمل خیلی نقش دارد.عمل تقسیم بازگشت ضرب است.این عمل تقسیم باعث شده که در فضای مقادیر فقط نسبت مطرح شود.پس شما هر وقت در ریاضیات می گویید نسبت این مقدار با آن مقدار اصلا نباید ذهنتان برود به نسبت مقولات نسبیه یا نسبتی که به معنای رابطه نفس الامری عمومی است.خصوصا در عالم مقدار.خب این نسبتی که در عالم مقدار است یعنی چه؟یعنی بازگشت عمل ضرب.اگر یک مقداری در مقدار دیگر ضرب شود نسبت حاصل ضرب به یکی از این دو تا عامل های ضرب، می شود تقسیم.و این تقسیم را ما اسمش را می گذاریم نسبت.و لذا اگر می گویید نسبت شش به دو می گویید چند می شود؟ می شود سه.یعنی خارج قسمت، ضرب در مخرج مساوی با صورت.(خارج قسمت×مخرج=صورت)سه دو تا شش تا.صورت همیشه دارد تقسیم می شود مقسوم است.مخرج، مقسوم علیه است.کسر شش دو تا مساوی سه  آن سه خارج قسمت است که عمل ضرب را برعکسش کرده ایم این خیلی روشن است.

این عمل تقسیم آمد پیاده شد در مقادیر کم منفصل که عدد است و مقادیر کم متصل قار که هندسه است.حالا این بحران و این ها از کجا آمد؟
علی ای حال فضای ریاضیات وقتی دست به دست هم داد و این نسبت به عنوان یک عنصر ریاضی بسیار پرکاربرد و تناسب-گریز بزنم.ببخشید، 5 6 تا فصل است خلاصه الحساب 6 تا است؟ یادم نیست.یکی از فصل های خوبش، الاربعه المتناسبه است.الاربعه المتناسبه، تناسبی است که خودمان می گوییم.همه با آن انس دارند در کتاب ها.a به b مساوی با c به d
یا a به b مساوی با b به c که این را می گوییم میانگین هندسی.

ميانگین هندسی؛میانگین حسابی

میانگین ها بحث های خیلی خوبی دارد.میانگین حسابی همان معدل گیری است که می گویند معدلت چه قدر شد.چند تا عنصر را با هم جمع می کنیم به تعداد آن ها تقسیم می کنیم بر تعدادش.اما میانگین هندسی مربعی است که واسطه بین این هاست.نسبت a به b  برابر است با نسبت b به c.یعنی a به c، آ ضرب در c مساوی با b ضرب درb

  b (a*c=b*b)ب به توان دو که می شود مربع.این مربع b،b به توان دو را می گویند واسطه هندسی.چون ضربش هم به توان دوست.خلاصه واسطه ها انواع میانگین از بحث های خوب ریاضی است.در چنین فضایی حالا تناسب مطرح شده بود. الاربعه المتناسبه در خلاصه الحساب.

حالا بحران از کجا پیش آمد?برای این که ببینید بحران از کجا پیش آمد من یک مقدمه عرض می کنم.ببینید شما مثلا یک ستونی دارید در ساختمان.یک خودکاری هم دارید کنار دستتان گذاشته.اگر بگوییم که این ستون را مثلا به هفت قسمت مساوی تقسیم کنید بلند می شوید با فرض خودمان به هر وسیله ای به هفت قسمت مساوی این ستون را تقسیم می کنید.بعد می گوییم خودکار هم دستتان است این را هم به سه قسمت مساوی تقسیم کنید.خودکار تقسیم شد به سه قسمت مساوی آن هم آن ستون بلند به هفت قسمت مساوی تقسیم شد.حالا بگویید خب آن هفت این هم سه پس نسبت ستون به خودکاری که دست شماست هفت است به سه.درست حرف زدیم؟آن را تقسیم کردیم به هفت قسمت مساوی این را هم تقسیم کردیم به سه قسمت مساوی.پس نسبت هفت است به سه.درست گفتیم؟
شاگرد:نه
استاد:چرا نه؟
شاگرد:چون قسمت هایش فرق می کند.
استاد:چیزی را که تقسیم می کنند واحدهایش باید برابر باشند.عادّ مشترک داشته باشند.بله اگر بیایید خود این خودکار را شروع کنید روی ستون بغلطانید ببینید چند خودکار است؟ بعد می گویید من این خودکار را که روی ستون بردم دیدم تعداد دفعاتش مثلا شد 15تا حالا خوب شد.می گویید نسبت ستون به خودکار نسبت 15 است به یک.اینجا نسبت 15 است به یک .آنجا اشتباه کردید که گفتید نسبت هفت است به سه.چون هفت و سه آن واحد در سه خودکار واحدهایی است که آن را تقسیم کردیم.واحدهای در تقسیم ستون به هفت واحدهای مختلف است با این.غلط است که این دو تا را با هم بسنجیم.وقتی می توانید بگویید نسبت که یک عادّی هر دو را بشمارد.و لذا وقتی خودکار ستون را شمرد، پانزده تا حالا خوب است می گویید نسبت ستون به خودکار نسبت 15 است به یک.نسبت خودکار به ستون نسبت یک است به15.
حالا آمد و خودکار را گرداندید و رفتید شد 15.5.یعنی یک خرده ستون بلندتر است از 15تا ولی شانزده هم نیستاین جا باید چه کار کنیم؟الان راه چیست؟می خواهیم نسبت برقرار کنیم.نسبت این ستون با خودکار چند است؟15 که نشد چون بیشتر دارد.16 هم نشد چون باز ستون کم می آوریم.این جا مجبور هستیم واحد عاد را کوچکش کنیم.مثلااگر 15.5 است از این خودکار واحد را 30 میگیریم.نصف خودکار را می گیریم واحد.حالا می گوییم کل این ستون 30.
شاگرد: 31
استاد نه کل ستون
شاگرد: پانزده و نیم بوده می شود 31
شاگرد ٢: می شود 30 و نیم.15 تا می شود سی تا نیم یک نیم درست است؟یک دانه نیم هم بود می شود سی و نیم بله درست است.31
استاد:الان می خواهم بگویم آن 15 تایی که اول بود الان شد سی تا.یعنی نصف او کاره شد.حالا با نصف خودکار می رویم جلو وقتی رسیدیم به 15 چند تا نیم داریم؟سی تا آن باقی مانده اش هم نیم است می شود یک.می شود سی و یک.بعد می گوییم نسبت ستون به خودکار سی و یک به دو.دو چون الان خودکار را دوتایش کرده ایم.حالا آمده ایم و به جای این که آخر کار رسیدیم خودکار نصفش باشد ثلثش بود.یعنی 15 تا که بود،خب اینجا مجبوریم مخرج را وسیع تر بگیریم.عاد را کوچک می کنیم.حالا آمدیم باز کمتر شد این واسطه،خلاصه می رویم در دل اعداد تا برسیم به یک واحد خیلی کوچکی که می گوییم مثلاً این چند ملیون-از میلی متر هم برویم جلوتر-یک صدم میلی متر عادّ واحد شد.عاد واحدی که این ها را می شمارد.پس ستون نسبتش به این، فقط خودکار و عددش رفته بالا.همان طوری که آن جا یک شد دو می گوییم مثلا نسبت ستون به این خودکار نسبت 50 ملیون است به مثلا هزار.چون عاد ما کوچک شد ولی علی ای حال نسبت برقرار است.

نسبت متجانسِ متباین

خب این که الان ذهن شریفتان آماده شده من این مقدمه را به آن ضمیمه کنم.در عالم مقادیر که می خواهیم تقسیم کنیم اگر دو تا مقدار نامتجانس باشد نسبت برقرار نمی شود مثل سایر موارد.شما بین شیرینی با سیاهی نمی توانید نسبت برقرار کنید.متجانس نیستند. نسبت شیرینی به سیاهی چیست؟نسبتی ندارند غیر از آن نسبت عامی که الان تقسیم بندی کردیم.نسبتی ندارند چون متجانس نیستند در این فضای ما.بله می توانید بالعرض نسبت برقرار کنید.بگویید مثلا سیاهی چند درجه دارد شیرینی هم چند درجه دارد.این سیاهیش بیست درجه است آن ده درجه است.می گوییم نسبت بیست است به ده.این خود عدد را بالعرض مشترک فرض گرفتید بین دو چیزی که با هم تشارک ندارند.علی ای حال طرفین نسبت باید با هم متجانس باشند تا بتوانید بین این دو تا نسبت برقرار کنید.پس بین خط با سطح بین سطح با جسم تعلیمی با حجم نسبت برقرار نمی شود.همیشه بین دو تا خط نسبت برقرار می شود بین دو تا سطح نسبت برقرار می شود.نمی شود بگویند نسبت این خط به آن سطح چیست؟نسبتی ندارند.چون متجانس نیستند.این هم یک نکته خوب.

خب الان می آییم این جا ستونی که طول بود به عنوان یک خط با خودکاری که باز به عنوان یک خط طول بود متجانسند یا متجانس نیستند؟متجانسند لذا به راحتی بینشان نسبت برقرار کردیم با عاد مشترک.اما اگر نامتجانس باشند این عادی را که الان دنبالش هستیم ندارد.شما می گویید این خط چندتاست؟می گویید مثلا 5 سانتی متر.آن مربع چند تاست؟می گویید مثلا 7سانتی متر مربع.واحد این، مربع است واحد آن، طول است.عاد مشترک ندارند که بخواهد آن تقسیم بر این شود.در چنین فضایی دو تا خط عاد مشترک دارند.از عجایب کاری که اینجا کشف شد و بحران اول را صورت داد این بود.ارتکازاً همه ریاضیدان ها می گفتند خلاصه وقتی ما دو تا خط مستقیم داریم نسبت بین خط کوچک تر و بزرگ تر و کوچک تر و بزرگ تر  برقرار می شود.به چه معنا؟یعنی خلاصه می رویم تا به یک عاد کوچک بسیار ریز می رسیم که بزرگ تری را ملیون ها بار می شمرد کوچک تری را هزارها بار.باورشان نمی شد که ما می توانیم دو تا خط مستقیم داشته باشیم پاره خط.این دو تا متجانسند چون هردو خط مساویند اما متباییند.

 فروریختن دستگاه تناسب با کشف مقادیر متجانس ولی غیرمتشارک

متشارک، متباین؛متشارک یعنی عاد برایشان پیدا می شود ولو خیلی ریز.اما این ها رسیدند در پیشرفت ریاضی به دو تا خط که تا بی نهایت بروید جلو به یک جزء بسیار ریزی که حتی در بی نهایت عادِّ هر دو باشد و عدد صحیح، پیدا نخواهد شد.این واویلا بود.این معنایش چه بود؟معنایش این بود که نمی توانستید بگویید نسبت او به او.چون این نسبت الان وقتی شما واحد را خودکار می گرفتید می شمردید 15.5می شد مجبور بودید چه بگویید؟بگویید نسبت ستون به خودکار 15 به یک است ؟نه.15و خرده ای به یک است.تا یک عاد مشترک پیدا نمی کردید دقیقا نمی توانستید بگویید نسبت.نسبت خرده ای.در ریاضیات که خرده ای نیست.ریاضیات باید جواب روشنی به شما بدهد که مطلوب معلوم شود.درست شد؟کشف مقادیر متجانس اما غیرمتشارک.یعنی عاد مشترک ولو تا بی نهایت جلو بروید برای او پیدا نشود.این همه دم و دستگاه نسبت تناسب را به هم ریخت.

شاگرد: پس الان دو تا خطی که داریم اگر بی نهایت باشند حتما عاد مشترک دارند
استاد: نه پاره خطِّ محدود
شاگرد:حتی پاره خط محدود؟
استاد:بله اصلا فرض ما سر محدود است.بی نهایت را ول کنید در این فضا.اصلا اعجوبه کار همین است.خب حالا یک مثالی می توانید برای ما بزنید؟بله قاعده فیثاغورث برایشان معلوم بود.مجموع مربع دو تا ضلع برابر است با مساحت مربع وتر.حالا یک مربع رسم کنید قطرش را بکشید.مربع یک ضلع اگر فرض بگیریم یک واحد است.این یک واحد مربعش هم می شود یک در یک مساحتش می شود یک.آن ضلع مجاور آن هم یک.چون مساویند.مربع است دیگر.آن ضلع مجاور هم مربعش یک در یک، یک.پس دو تا مساحت  دارید هر دو یک متر مربع.فرض گرفتیم یک متر مثلا.قاعده می گوید پس مربع قطر مربع وتر این مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مساحت دو تا مربع.این دو تا مربع مجموعش چند می شود؟
یک ،یک می شود دو.پس مربع وتر ما مساحتش می شود دو.

مربعی که رسم می کنند در هندسه.شکل عروس مفصل،جلوی چشم همه است.این کتاب های ریاضی اگر یادتان باشد این کتاب های ریاضی تا چند سال پیش اگر یادتان باشد یک عکس حلزونی پشتش بود.این عکس را برداشتند حیف شده است عکس خیلی خوبی بود.از همین شروع می کردند.یک مثلثی بود با دو ضلع برابر قائم الزاویه.وترش را دوباره یک مثلث درونش رسم می کردند.با ضلع واحد یکیش.اما با ضلع قاعده همان وتر یعنی وتر قبلی می شد قاعده او.دوباره وتر جدید را رسم می کرد، دور می زد دیده بودید.یادتان است؟اگر عکسش باشد در کتاب های ریاضی سوم راهنمایی شاید بود.مثل حلزون است که دور می زند.عکس بسیار جالبی است.یعنی شما اگر این ها را به صورت قوس بیاورید روی محور اعداد ردیف همه اعداد گنگند.اعداد گنگی که مجذور کامل نباشند.رادیکال دو رادیکال سه همین طور می رود جلو.خیلی جالب با این فرض خودش.حالا اگر این عکس را ببینید و روی آن تامل کنید خیلی جالب است.در چنین فضایی شما الان یک قطر مربع دارید یک ضلع مربع.ریاضیدان ها رسیدند به این که بابا این ضلع مربع که چشممان دارد می بیند با این قطر مربع که این هم جلوی روی ماست در هر مربعی.دو تا خط متباییند.

متباین یعنی چه؟متباین یعنی اگر می خواهید بگویید نسبت قطر به ضلع باید عاد مشترک داشته باشند.تا بی نهایت اگر بروید به یک خط بسیار ریزی نمی توانید برسید که بگویید مثلا قطر اين میلیارد بار است ضلع هم اين میلیون بار است.کوچک تر است از او دیگرزاین بود که خیلی کشف عظیمی بود و بحران درست کرد چه بحرانی!تناسب را به هم ریخت.دم و دستگاه تقسیم تمام شد دیگر.تقسیم می گفتند وتر قطر مربع نسبتش به ضلع چند است؟همین الان ما که می گوییم 2 جذرش را بگیر.جذر 2 می شود ١/۴١۴ بروید عدد اعشاری تا بی نهایت.یعنی نمی رسید به صفر دائما باید بگویید تقریباً.تقریبا هم که تقسیم نشد.نسبت نشد.

لذا آمدند ریاضیدان ها الان این کار را می کنند عدد را می گویند با یک نماد ترکیبی.می گویند جذر دو ببینید خود دو را می آورند آنی که اگر ضرب در خودش بکنیم به توان دو برسانیم خودش ضرب در خودش می شود دو.چون مربعش را داریم.مربعش موجود است جلوی چشم ماست.ضلعش هم موجود است جلوی چشم ما.این را داریم همه.کاری هم نمی توانیم بکنیم در هندسه.چه عددی است؟عدد ندارد.آقای فیثاغورث فیثاغورثیان چه طور گفتید نظام عالم بر عدد است؟عدد مقدس است که همه عالم را ساخته است؟قطر مربع  جلوی چشم  ما هیچ عددی نمی تواند نشان بدهد ولوتا بی نهایت برویم.عددی نداریم.فقط باید بگوییم جذر دو.یعنی همانی که چیست؟می گوییم این که مبهم و مجهول است.نیست اصلا.می گوییم نه این که دارید می بینید.خطش را دارید می بینید.مربعی هم که تشکیل داده است دارید می بینید.اما قطر مربع را این وتر مثلث قائم الزاویه با دو ضلع واحد را نمی توانید بگویید چند است؟ چه عددی است؟هیچ عددگویا ندارد.حتی نسبت بین دو تا عدد نمی تواند باشد.

شاگرد:در برهانش هم نیست که نمی توانیم ببینیم.محال است.
استاد:برهان های متعددی دارد.اگر در اینترنت ببینید برهان گنگ بودن جذر دو، رادیکال دو، ریشه دو
شاگرد:مفادش این است که ما نمی توانیم برسیم؟چون مثلا بی نهایت است یا خودش محال است؟
استاد:نه اصلا محال است برهانش را ببینید.می گویند خلاصه باید یک جایی باید برسد که به صورت a b نشانش بدهیم.می گویند لازمه این که بخواهد جذر او باشد این است که a حتما زوج باشد b هم حتما زوج باشد و این خلف فرض است.از طریق برهان خلف می گویند اصلا محال است رادیکال 2 را به صورت نسبت دو عدد a,b نشانش بدهید.خلاصه a b یا زوج است یا فرد. از این که بیرون نیست.لازمه اش این است با برهانی که می گویند هردویش زوج باشد و وقتی هر دویش زوج بود کسر ساده ای که ساده ترین کسر باشد نیست.چند تا برهان برایش می آورند.عرض کنم که این ها سابقه هزار سال چه فکرهایی روی این ها شده.

حالا این بحران اول آن زمان خیلی مهم بود.الانش هم برای ما مهم است.یعنی خلاف یک نحو شهود ذهنی ساده است:خلاصه یک جایی می رسیم که خیلی خیلی ریز این ها را می شمرد.می گویند نه شما تا بی نهایت هم بروید به یک عاد مشترک ریز نخواهید رسید.مرحوم خواجه ریاضیدان بسیار قویی بودند غیر از این که فیلسوف و متکلمند.ریاضیدان بسیار قویند
اما دیگرانی داریم که فیلسوف بزرگی هستند اما ریاضیدان و هندسه دان نبودند سریع این ها را خوانده اند.من این ها را یادداشت دارم کتاب هایی که مال بزرگان حکمت است.اما دقیقا فرق تشارک و تباین را با تجانس نگذاشته اند الان با این بیانی که من عرض کردم در ذهن شما جا گرفت که دقیقا متباین یعنی متجانسند ولی متباین.حتما دو تا خط مستقیمند.نمی خواهیم مثلا نسبت برقرار کنیم بین یک خط مستقیم با یک خط منحنی که آن جا بگویی بابا هر چه ریز بشویم خط منحنی آخرش قوس است.خط مستوی عاد ریزش آخرش نمی شود.خب این یک اشکال است به این که اساسا خط مستقیم با خط منحنی تجانس ندارند.اما وقتی متجانس بودند قطعا مثل دو تا خط مستقیم روی صفحه.این جا دیگر یعنی چه که متباینند؟

متباین یعنی قطر مربع را بگذارید کنارش هم بگذارید ضلعش را،حالا جدا کنید.قطر مربع دو نقطه منحاز روشن دارد.قطر مربع،ضلع مربع هم دو تا نقطه منحاز روشن دارد.بگذارید کنار هم.می گوییم این دو تا خط متباینند.یعنی محال است شما یک خط بسیار ریز تا بی نهایت پیدا کنید که عاد مشترک هر دو باشد.

خب حالا برگردیم.ستون ما وتر مثلث است،ستون ما قطر مربع است.این که می خواهیم کنارش بگذاریم ضلع مربع است.آیا شما می توانید با خودکاری با نصف خودکاری با یک دهم خودکاری با یک ملیونیم خودکار بیایید بگویید نسبت این ستونی که قطر مربع است به این ستون پایینی که مثلا ضلع مربع است چند است؟نه دیگر تمام شد.دیگر نمی توانید نسبتی بدهید
این جا بود که تناسب و نسبت و تقسیم و همه این ها به هم ریخت.قابل تقسیم نیست.یک چیزی تهش می ماند.در جذرگیری هم من این ها را هم شکل هایش را کشیده ام در خلاصه الحساب نمی دانم عمل جذر رسیدیم یا نه.بله رسیدیم.جذرگیری را مباحثه کردیم فایل هایش هست.این که چه طور الان رادیکال دو وقتی جذر می گیرید تهش چیزی می ماند ترسیم کنید عمل جذرگیری را خیلی روشن است.تا بی نهایت هم عدد گنگ است نمی رسید به این که این مربع تمام شود.

الان امروزه برای همه روشن است.شما می گویید 5 5 تا 25 تا.مربع  25 خوب.سه سه تا نه تا.نُه خوب.این ها همه مجذور کامل است.هر مربعی که غیرمجذور کامل باشد وقتی می آیید جذرش را می گیرید تهش دو تا مربع کوچک باریک مثل نوار می ماند و این ها همین تا بی نهایت می ماند یعنی هر عددی که مجذور کامل نیست.عدد صحیح ضرب در خودش مجذور کامل است.الان 24 چه عددی ضرب در خودش شده شده بیست و چهار؟هیچ عددی نداریم.25 5 در خودش ضرب شده است اما 24 نداریم.اگر 24 جذرش را بگیرید تا بی نهایت دو تا باریکه می ماند در عمل جذرگیری شما.یعنی دلتان دیگر جمع باشد که یک عاد مشترک بین این با او نیست.عدد فی همین است.عدد فی یعنی هر پاره خطی یک نقطه در آن هست که این نقطه دو تا نسبتی که برقرار می کند در آن محیط بزرگ و با سه تا مربع و مساحت و این ها پدید می آید در نسبت طلایی.این نقطه گنگ است یعنی خط را به دو تا قسمتی که عاد مشترک ندارند تقسیم می کند.این را می گوییم نقطه طلایی.

شاگرد:در سطح و این ها هم می شود.
استاد:مربوط به سطح است ولی ما ابتدا روی نقطه تعیین می کنیم هر پاره خطی.نقطه واحد هم هست ولی از هر دو طرفش می شود.از این طرف خط طرف راستش نقطه طلایی داریم طرف چپش هم نقطه طلایی داریم.تا از کدام طرف مستطیل را بنا کنیم.یعنی این نقطه را شما با رسم دقیق با برهان هندسی تعیینش می کنید ولی بعد از این که تعیین کردید این نقطه دارد می  گوید.بابا پاره خط دست راست من با پاره خط دست چپ من عاد مشترک ندارند.به راحتی.مثل این که در مربع شما می گفتید ضلع او می گوید من با قطر خودم عاد مشترک ندارم.

این عجایب به پا کرد در عالم حساب.عرض کردم اصلا نسبت ها فرو ریخت.ریاضیدان نمی تواند بگوید نسبت قطر به ضلع.الان نسبت های مثلثاتی امروز ما همه دایره مثلثاتی در مدرسه ها بود.نسبت های مثلثاتی: تانژانت و سینونس و سکانت.که متمم آن کتانتژانت و کسینوس و کسکانت.که این ها شش تا نسبت های مثلثاتی هستند در دایره مثلثاتی رسم می شوند.شما می خواهید بگویید نسبت وتر به ضلع.دارید می گویید نسبت او به او.اگر این ها عاد مشترک نداشته باشد نسبت یعنی چه؟نسبت یعنی تقسیم بر او.تقسیم نمی شود.یک خرده تهش می ماند.شما نمی توانید تقسیم را انجام دهید.چون متباینند.با تباین چه طور می خواهید این را انجام دهید؟

خب در تاریخ ریاضیات ج 2 ص 316به نظرم اگر خواستید بعدا مراجعه کنید.در جلد اول هم چند بارگفته.زمان فیثاغورث گذشت خیلی طول کشید.بعد او افلاطون آمد شاگردی داشت ایودوکسس این مشکل را حل کرد برای فضای ریاضیات.یعنی این فاصله که می گویند از اسرار ریاضی بود.این فاصله ریاضیدان ها می گفتند که هیچ. ما نمی توانیم بگوییم نسبت این به این.اگر متباین باشند که نسبت نیست.چه کار بکنیم؟یعنی همه چیز به هم ریخته بود.

ایودوکسس آمد نسبت را به معنای جدیدی معنا کرد.نگفت این تقسیم بر او.اشاره فقط عرض می کنم.او به جای این که بگوید پاره خط الف تقسیم بر پاره خط ب مساوی با فلان عدد گفت اگر خط کوچک را ما دائما مضاعفش کنیم مضاعفش کنیم خلاصه یک وقتی از آن پاره خط بزرگ بیشتر می شود.الان اگر خودکار ما با ستون ما دو پاره خطی باشند که متباینند در واقع عندالله عاد مشترک ندارند،او این طور معنا کرد.گفت نسبت او به این یعنی چه یعنی اگر خودکار را روی این بغلطانیم یک جایی می رسد که خطی که از غلت او به وجود می آید از آن خط بزرگ بیشتر می شود.همین.یک چیز خیلی ساده ای است اما یک بحران عظیمی را با تعریف خودش حل کرد.بعد از این که هیودوکسس بحران را حل کرد تحریر اصول اقلیدس نوشته شد.یعنی اقلیدس توانست وگرنه قبلش نمی شد اصلا به هم ریخته بود.با ارائه این تعریف و این خصوصیات،حالا مقاله پنجم وششم اقلیدس به زیباترین وجهی نوشته شد.حالا بعدا عرض می کنم اگر فرصت کردید اصول  اقلیدس را نوارهایش را گوش بدهید بحثش بکنید خیلی کتاب عالیی است.مقاله پنجم وششمش راجع به  نسبت و انواعش و مباحثی که مطرح است و بعد رفته مقالات بعدی که از این ها همه استفاده کرده است.

حالا این توضیحات مفصل تری برای بحران اول.حالا دیگر الان چیزی در ذهنم نیست.این حاصلش شد.شما این تباین مقادیر را در ذهنتان پررنگ کنید.بسیاری از جاها وقتی می رسید به عبارات حتی از بزرگان د خودتان می بینید ولی اندازه ای که راه بیفتد و مطلب شروع شود هر چه در ذهنم باشد  عرض می کنم.