بسم الله الرحمن الرحيم
پژوهشهای فلسفی
فصلنامه علمی پژوهشی
سال ۱۲ شماره ۲۳ تابستان ۱۳۹۷
University of Tabriz-Iran Quarterly Journal of
Philosophical Investigations
ISSN (print): 2251-7960 (online): 2423-4419
Vol. 12٫No. 23٫summer 2018
چکیده
حسین بیات " دانش آموخته دکتری فلسفه علم دانشگاه آزاد اسلامی واحد علوم و تحقیقات، تهران
طبق تلقی براون از افلاطون گرایی که در اینجا به آن «افلاطون گرایی جدید» می گوییم ماهیت ریاضیات در قالب هفت مدعا قابل صورت بندی است. واقع گرایی تجرد، جزئیت شهودمندی پیشینی بودن خطاپذیری و توسعه پذیری در این مقاله تلاش شده است تا این دیدگاه بر اساس دو معیاری که خود براون لحاظ کرده است. یعنی مقبولیت اجتماعی و مقبولیت روش شناختی نقد و ارزیابی شود. میزان مقبولیت اجتماعی یک نظریه را می توان از روی فراوانی اشخاص موافق با آن سنجید اما مقبولیت روش شناختی یک نظریه به توانایی آن در حل بهینه مسائل مربوطه بستگی دارد. به زعم براون، افلاطون گرایی جدید از هر دو لحاظ بهترین نظریه فلسفی درباره ماهیت ریاضیات است. در این مقاله ضمن تقریر دقیق تر این دیدگاه آشکار میشود که به لحاظ مقبولیت نهادی می توان با براون هم رای بود. اما مقبولیت روش شناختی آن همچنان مناقشه آمیز است. زیرا دست کم دو مسئله دسترسی و مسئله یقین که گریبانگیر افلاطون گرایی اولیه بود در افلاطون گرایی جدید نیز همچنان حل نشده باقی مانده اند. تأکید این مقاله
بخصوص بر مشکلات دیدگاه براون در مواجهه با مسئله دوم است.
واژگان کلیدی افلاطون گرایی جدید مقبولیت اجتماعی مقبولیت روش شناختی، دسترسی، یقین
تاریخ وصول: ۹۵٫۱۲٫۶
تایید نهایی: ۹۶٫۲٫۲۶
**E-mail: hbayat53@gmail.com
نقد و ارزیابی افلاطون گرایی جدید..... 5
اندیشیدن در و درباره ریاضیات افزون بر نتایج و پیامدهای ریاضیاتی و علمی و فناورانه، متضمن طرح پرسش ها و مسائل فلسفی فراوانی است. پاسخ به این پرسشها و حل این مسائل نیز به نوبه خود مستلزم موضع گیری های معینی درباره ماهیت ریاضیات است. هر کدام از این مواضع را میتوان یک نظریه فلسفی درباره رياضيات نامید. معمولاً نظریه ای که نهادینه شده و یک سنت فکری معینی را به بار آورده باشد، اصطلاحاً یک مکتب فلسفی» می نامند. افلاطون گرایی به عنوان قدیمی ترین نظریه و مکتب فلسفی درباره ریاضیات و نیز به عنوان طبیعی ترین گرایش فلسفی ریاضیدانان در طول تاریخ فلسفه طرفداران فراوانی داشته و دارد. افلاطون گرایان می کوشند از یک سو پرسش ها و مسائل فلسفی درباره ریاضیات را در چارچوب افلاطون گرایی پاسخ دهند و از سوی دیگر به نقدهای ناظر به این چارچوب پاسخ دهند. این پاسخ ها گاهی متضمن جرح و تعدیل هایی در خود چارچوب افلاطون گرایی است. تاکنون جرح و تعدیلهای فراوانی در افلاطون گرایی ریاضیاتی به دست افراد مختلفی شکل گرفته است. گودل (۱۹۴۴)، مدی (Maddy) (۱۹۹۰) لینسکی (Linsky) و رانتا (Zalta) (۱۹۹۵) بالاکوٹر (Balaguer) (۱۹۹۸) و ثابت (Tait) (۲۰۰۵) از جمله افرادی هستند که قرائتهای مختلفی از افلاطون گرایی را پیشنهاد کرده اند. جیمز رابرت براون فیلسوف آمریکایی معاصر نیز یکی از همین افراد )Brown, 2008:184( » است. او تلقی خودش از ماهیت ریاضیات را افلاطون گرایی جدید ریاضیانی می نامد.
براون معتقد است که ریاضیدانان چه در شاخه های محض و چه کاربردی یک گرایش طبیعی به افلاطون گرایی دارند (53.Ibid) اما در عین حال اگر ناچار شوند تا جزئیات آن را توضیح دهند سردرگم می شوند؛ چرا که نین و توجیه افلاطون گرایی بر خلاف ظاهر ساده اش کار آسانی نیست (10 ,Ibid) بخصوص با توجه به استلزامات پیچیده ای که دارد منجر به مسائل دشواری شده است. به باور براون مسئله دسترسی و یقین از مهمترین مسائل پیش روی افلاطونگرایان است (15,Ibid) او تلاش می کنند، از یک سو نسخه ای سازگار و جامع از افلاطون گرایی ارائه دهد و از سوی دیگر با توسل به نسخه پیشنهادی خود، استدلال کنند که مسائل فلسفی مربوط به ریاضیات، بخصوص دو مسئله مذکور در افلاطون گرایی جدید قابل حل است. من در اینجا ابتدا تلقی براون از افلاطون گرایی جدید را به گونه ای تقریر خواهم کرد که مدعیات اصلی آن از صراحت وضوح و تمایز کافی برخوردار باشند. تأکید من بر این سه ویژگی از آن جهت است که خود براون در صورت بندی دیدگاه خود دقت کافی به خرج نداده است؛ به طوری که هنگام بررسی مولفه های اساسی أفلاطون گرایی جدید متوجه خواهیم شد که تقریر براون فاقد ویژگیهای مذکور است. مثلاً او انواع واقع گرایی و انواع خطا را از هم متمایز نکرده است. معنای جزئیت را به وضوح بیان نکرده است و مدعای توسعه پذیری» و شهود مندی را با عناوین معین صراحت نبخشیده است. پس از تقریر افلاطون گرایی جدید، در بخش دوم مقاله، به نقد و ارزیابی آن می پردازم و نشان میدهم که این نسخه از افلاطون گرایی گرچه در جامعه ریاضیدانان محبوب است اما همچنان در حل مسائلی که به عقیده براون مهم هستند، با دشواری هایی روبرو است.
به عقیده افلاطون میتوان با فرض وجود هستومندهای انتزاعی بسیاری از پدیده های زبانی و شناختی را تبیین کرد، از جمله سه دسته از پدیده های معناشناختی و معرفت شناختی که عبارتند از: ۱- معناداری نامهای کلی و قضایای کلیه ناظر به واقعیت فیزیکی و ریاضیانی - معناداری نامهای کلی و قضایای کلیه ناظر به ارزش اخلاقی و زیبایی شناختی - معرفت به حقایق کلی فیزیکی و ریاضیاتی و اخلاقی و زیبایی شناختی و نیز
6 پژوهشهای فسفی سال ۱۳، شماره ۱۳، تابستان ۱۳۹۷
پدیده های مهم دیگری که مستلزم تبیین موارد سه گانه پیش گفته اند از جمله تشخیص شباهتها، و ماهیت یادگیری و یاددهی آموزه ها او این هستومندهای انتزاعی را «ایده» یا «صورت» می نامد. به ازای هر نام کلی، یا هر وجه شباهتی یک ایده ازلی و ابدی و ثابت وجود دارد و هر مدعایی که در قالب جملات کلیه بیان شود اگر صادق باشد ناظر به یک واقعیتی است که در جهان ایده ها برقرار است. مثلاً نامهای اهن»، «عدالت» و «پنج» به ترتیب به ایده های آهن و عدالت و پنج دلالت می کنند و قضیه های آهن هادی الکتریسیته است». «عدالت وضعیتی است که در آن اشخاص بر اساس حقوق و شایستگی از امکانات بهره مند هستند» و «پنج» عدد اول است بیانگر حقایقی کلی درباره آهن و عدالت و پنج هستند و معرفت ما به این گزاره ها معرفت به این حقایق کلی موجود در جهان ایده ها است. معرفت راستین درباره این امور تنها در سایه و به موجبه معرفت به همین ایده ها امکان پذیر است. به باور افلاطون ما انسانها ایده ها را در زندگی پیشین خود ملاقات کرده ایم اما به محض تولدمان آنها را از یاد برده ایم یادگیری و معرفت ما درباره این حقایق کلی به معنای یادآوری یک یا چند تا از این ایده ها و ویژگی ها با روابطی است که در جهان ایده ها برقرار است.
افلاطون در تبیین دیدگاه خود درباره ماهیت ریاضیات ایده های اعداد و اشکال هندسی را مثال می زند و حتى عملاً نشان میدهد که یک برده جوان چگونه با پرسشهای هوشمندانه سقراط توانسته است یک مسئله معروف یعنی تضاعف مربع را حل کند. برده جوان که قبلاً هیچ آموزشی ندیده بود، طبق تبیین سقراط و افلاطون در واقع توانسته بود ایده مربع را به خوبی به یاد آورد ایده مربع همان واقعیت مجردی است که در همه مصادیق مربع سهیم است و ما اساساً شباهت مربعها را با وجود تفاوتهایی که در کم و کیف مادی شان دارند، با توسل به همین حقیقت مجرد تشخیص میدهیم. بنابراین ما وقتی در ریاضیات از اعداد و اشکال سخن می گوییم و قضیه ای را اثبات میکنیم در واقع درباره مدلولهای واقعی و البته انتزاعی آنها سخن می گوییم و حکم می دهیم. این دیدگاه از نظر براون از بدو پیدایش ریاضیات همواره به عنوان یک گرایش طبیعی در ریاضیدانان مطرح بوده
و همچنان نیز مطرح است. براون این تلقی از ماهیت ریاضیات را «افلاطون گرایی اولیه» (Original Platonism) می نامد و مدعی می شود که آن از دو بخش معقول و نامعقول تشکیل شده است و افلاطون گرایی جدید حاصل کنار گذاشتن بخش نامعقول و افزودن چند مؤلفه مهم است (2008:184,Brown بخش معقول این نظریه آن است که ما با پذیرش وجود برخی حقایق انتزاعی میتوانیم پدیده های فراوانی را تبیین و قابل فهم کنیم، به عبارت دیگر، افلاطون گرایی اولیه از قدرت تبیینی بالایی برخوردار است. اما در عین حال جنبه اسطوره ای آن، یعنی داستان ملاقات انسانها با ایده ها در زندگی پیشین و رابطه مرموز ایده ها با مصادیق معقول به نظر نمی رسد. به عبارت دیگر. بسیاری از پیش فرضهای هستی شاختی آن بسیار بزرگ و اجتناب پذیر هستند. دو پیش فرض مهم و در عین حال اجتناب ناپذیر این نظریه عبارتند از وجود واقعیتهای انتزاعی و وجود نوعی قوه شناخت که دسترسی مستقیم ما به این واقعیتها را میسر می سازد. افزون بر این دو پیش فرض افلاطون گرایی جدید استلزامات مهم دیگری نیز دارد که میتوان مجموع آنها را در قالب هفت مدعای اساسی زیر تقریر کرد.
ا مدعای واقع گرایی اشیاء خاصه ها و روابط ریاضیاتی کاملا واقعی اند یعنی اولاً موجودند و ثانیاً وجودشان مستقل از ذهن با آگاهی ما است. بر این اساس به لحاظ واقعی بودن فرقی بین یک درخت و عدد ۷ نیست. به بیان دیگر ما اعیان ریاضی یعنی اشیاء ریاضی از جمله اعداد اشکال مجموعه ها و ساختارها و خواص آنها و روابط بین آنها را خلق نمیکنیم بلکه کشف میکنیم براون گرچه از تغییر واقع گرایی هستی
نقد و ارزیابی افلاطون گرایی جدید..... 7
شناختی معناشناختی و معرفت شناختی استفاده نمی کند اما در توضیح دیدگاهش تلویحاً افلاطون گرایی جدید را
مستلزم واقع گرایی در هر سه ساخت می داند:
الف) واقع گرایی هستی شناختی داعیان ریاضی مستقل از ما موجودنده 12 ,Ibid) بر خلاف صورتگرایان که معتقدند ریاضیات چیزی جز علائم و رابطه بین آنها نیست و بر خلاف شهودگرایان که معتقدند
ساختمان های ریاضی موجودند اما مستقل از ذهن ما نیستند
. ب واقع گرایی معناشناختی معنا و صدق جمله ای مثل ۷>۵ را درست مثل معنا و صدق جملة «ماری عاشق نام است میتوان و باید فهمید (13,Ibid) یعنی اولاً همچنان که برای معناداری «ماری» و الانام» و «عاشقی، طبق نظریه ارجاعی معنا، باید ماری و نام و رابطه عاشقی وجودی مستقل از ذهن و زبان داشته باشند و آن نام ها بر این هستومندها دلالت حقیقی (literal) و نه استعاری (metaphorical) داشته باشند. معناداری ۷» و «۵» و «>» نیز متضمن وجود مستقل از ذهن و زبان هستومندهای ۵ و ۷ و رابطه بزرگتری است و آن نام ها بر این هستومندها دلالت حقیقی دارند. بر خلاف صورتگرایان که جز ویژگیها و روابط نحو شناختی هیچ معنایی برای ترمهای ریاضی قائل نیستند، یا سایر نا واقع گرایان که با همه تفاوتهایشان در انکار دلالت حقیقی ترمهای ریاضی مثل «7» و «۵» و «>» هم برای هستند. ثانیاً همچنان که ارزش صدق جمله «ماری عاشق نام است پیش از راستی آزمایی معین است و منتظر کشف است. ارزش صدق «۷>۵» نیز معین و منتظر کشف است. صدق جمله «ماری عاشق نام است مستلزم وجود رابطه عاشقی بین ماری و نام است یا به تعبیر دیگر مستلزم مطابقت این جمله با واقعیت موجود بین ماری و نام است. صدق جمله «۷>۵» نیز مستلزم وجود اجزاء آن و نیز مطابقت آن با واقعیت حاکم بین آن اجزاء است.
(ج) واقع گرایی معرفت شناختی به عقیده براون معرفت ریاضی ممکن است و مستقل از ساختار ذهن ما است. بر خلاف صورتگرایان که منکر معرفت گزاره ای در ریاضیات هستند یا شهودگرایان و پیروان
کانت که معتقدند معرفت ریاضی بر ساختار ادراکی ما با شهود محض ما از زمان استوار است. درباره
امکان معرفت ریاضی او تصریح می کند که ما معرفت ریاضی داریم و لازم است که آن را تبیین کنیم. بهترین تبیین آن است که امیان ریاضیاتی وجود دارد و ما می توانیم آنها را ببینیم» (16 ,Ibid)
استقلال معرفت ریاضی نیز به این معناست که صدق ریاضی مستقل از ذهن و زبان ما است و ما آن را کشف می کنیم. به عقیده براون صدق گزاره های ریاضی نه بر ساختار ذهن ما استوار است و نه بر نحوه به کارگیری زبان از دیگر سو او معتقد است که ما واقعیتهای ریاضی را کشف می کنیم
(Ibid,12) »نه جعل
2.مدعای انتزاع:
با تجرد اعیان ریاضی انتزاعی اند(13.Ibid) یعنی اولاً زمانمند و مکانمند نیستند.
و ثانیاً فاقد قدرت علی هستند. این تفاوت مهمی است که بین اعیان و حقایق ریاضیاتی و غیر ریاضیاتی برقرار است. ماری و نام به هر حال در یک زمان و مکان خاصی محقق شده اند بطوریکه می توان پرسید ماری و نام
کی و کجا موجود بودند یا هستند؟ و ماری کی و کجا عاشق نام شد یا به نام عشق ورزید یا خواهد ورزید؟ اما درباره ۷ و ۵ نمی توان پرسید که ۵ و ۷ کی و کجا موجود بودند با هستند یا خواهند بود؟ و رابطه بزرگتری کی
و کجا بینشان برقرار بود یا برقرار است یا برقرار خواهد بود؟
8 اپژوهشهای فسفی سال ۱۳، شماره ۱۳، تابستان ۱۳۹۷
3مدعای جزیت انتزاعی:
اعیان ریاضی در عین انتزاعی بودن جزئی اند (13,Ibid). یعنی فردیت و تشخص دارند. جزئی به این معنای خاص را نباید با جزئی به معنای عام خلط کرد. جرتی به معنای عام، عبارتست از یک فرد ملموس یا زمانمند و مکانمند جزئی در هر دو معنا نقطه مقابل کلی است تفاوت آنها در انتزاعی بودن یا انضمامی بودن است. جزئی به معنای عام انضمامی است؛ اما جزئی به معنای خاص، انتزاعی است. مفاهیم ریاضی دو دسته اند: مفاهیم جزئی که ناظر به اعیان جزئی انتزاعی منحصر بفردند و مفاهیم کلی که قابل صدق بر اعیان جزئی انتزاعی کثیرند. اولی مثل مفهوم ۲ و دومی مثل مفهوم عدد.
4 مدعای شهودمندی
انسان یا به طور کلی فاعل شناسای حقایق ریاضی واجد نوعی قوه ادراکی یا منبع معرفتی به نام قوه شهود است. قوه شهود که براون از آن تغییر میکند به چشم ذهن» (the minds eye)، امکان معاینه و کشف خواص و روابط مربوط به اعیان ریاضیاتی را فراهم می سازد. اعیان ریاضی از راه چشم ذهن قابل شهود هستند و از همین راه میتوان حقایق ریاضی مبنایی را حدس زد یا حقایق ریاضی
اثبات شده را به نوعی دید و شناخت اثبات ریاضی در حکم ابزاری است که چشم ذهن ما با مسلح شدن به آن می تواند حقایق دورتر یا ریزتری را ببیند (2008:14,Brown)
5مدعای پیشینی بودن:
معرفت ریاضی پیشینی است. یعنی بر داده های حسی استوار نیست. براون بین دو نوع تجربه تمایز قائل میشود تجربه حسی و تجربه غیر حسی تجربه حسی همان معنای مصطلح تجربه است. یعنی تجربه ای که بر دروندادهای حواس پنجگانه ناظر بر اعیان فیزیکی استوار است. اما تجربه غیر حسی بر دروندادهای چشم ذهن که ناظر بر اعیان انتزاعی هستند استوار است. تغییر ویژگیها و روابط اعیان فیزیکی یا
تفاوت و خطای حواس پنجگانه نقشی در معرفت ریاضی ندارند و به این معنا معرفت ریاضی، متأثر از تجربه حسی نیست و بنابراین پیشینی است (14.Ibid
6مدعای خطاپذیری:
استدلالی که برای یک مدعای ریاضی ارائه میشود ممکن است خطا باشد، اما در عین حال این امکان خطا خللی به نقش توجیهی آن وارد نمی کند به دیگر سخن، معرفت ریاضی یقینی نیست، زیرا همچنان که قوای ادراک حسی در معرض توهمات و خطاها هستند چشم ذهن نیز ممکن الخطا است. و بنابراین چه در حدس اصول موضوعه و مفاهیم چه در به کارگیری آنها و چه در دیدن مدعیات اثبات شده ممکن است چشم ذهن ما خطا کند و ما را به معرفتهای نادرست رهنمون سازد. این مدعا شاید مهمترین وجه تمایز افلاطون گرایی جدید از نسخه اولیه آن است (15 ,Ibid)
براون سه نوع خطا یا سه منبع خطاء را از هم متمایز میکند و معتقد است معرفت ریاضی به هر سه نوع خطا گرفتار است (24,Ibid)
(الف) خطا در به کارگیری اصول و قواعد یعنی خطاهای محاسباتی و منطقی ریاضیدانان در اثر غفلت یا کم دقتی مثل اشتباهی که وایلز در اثبات آخرین قضیه فرما مرتکب شد و حدود یک سال کسی
متوجه آن نشد. این نوع خطاها در اثبانهای مطول و رایانشی بیشتر به چشم می خورد.
ب) خطا در حدس اصول و مبانی خطا در حدسهای مینایی کاذبی که مدتها کسی متوجه کذب آنها نشده
باشد. مثال بارز این نوع خطا ایرادی است که در اصل تصریح نظریه مجموعه ها وجود داشت و راسل آن را با پارادوکس مشهورش آشکار کرد. بر خلاف صورتگرایان و قرارداد گرایان که معتقدند اصول موضوعه قراردادهای مستقل از هم و سازگار با هم و تمام هستند و برخلاف منطق گرایان و افلاطون گرایان اولیه که معتقدند آنها صدقهای بدیهی و مبنایی اند از نظر براون اصول موضوعه
نقد و ارزیابی افلاطون گرایی جدید..... 9
حدسهای موفقی هستند که فعلاً ابطال نشده اند (175 ,Ibid) بنابراین قضایایی هم که بر اساس
انها اثبات شده اند، لزوماً یقینی نیستند.
(ج) خطا در تعریف یا به کارگیری مفاهیم خطای ناشی از تعریف و به کارگیری مفاهیمی که هنوز به اندازه کافی منفح و دقیق نشده اند و امکان بروز تناقض با پارادوکس به موجب آنها منتفی نیست. یا به طور کلی خطایی که ریشه در تغییر مفهومی دارد (24.Ibid) مثل مفهوم همگرایی پیش از نیمه قرن نوزدهم با مفهوم مجموعه پیش از پارادوکس راسل با مفهوم چندوجهی پیش از مداقه های لا کاتوش
بنابراین با توجه به انواع خطاهایی که برشمردیم توجیهی که برای یک گزاره ریاضیاتی ارائه می شود ممکن است ابطال با تصحیح شود. در حقیقت همچنان که قوای ادراک حسی در معرض توهمات و خطاها هستند چشم ذهن نیز ممکن الخطا است و بنابراین چه در حدس اصول موضوعه و مفاهیم، چه در به کارگیری آنها، و چه در دیدن مدعیات اثبات شده ممکن است چشم ذهن ما خطا کند و ما را به باورهای کاذب رهنمون سازد. این مدعا شاید مهمترین وجه تمایز افلاطون گرایی جدید از نسخه اولیه آن است.
7مدعای توسعه پذیری:
مجموعه الگوها و فنون پژوهش ریاضی باز است. یعنی بر خلاف تصور کلاسیک، تنها الگوی تحقیق ریاضیاتی اثبات صوری کلاسیک نیست بلکه تعداد بیشتری از الگوها و فنون می تواند در خدمت تحقیق ریاضیاتی باشد. براون در توضیح این مدعا می گوید:
در تلقی افلاطون گرایانه هیچ ملاحظه ای وجود ندارد که بخواهد ما را در وجود و اثر بخشی ابزارهای نامتعارفی که در خدمت یادگیری در قلمرو ریاضیات هستند دچار تردید کند. اما مگر چه ابزارهای دیگری ممکن است در کار باشند؟ مثلاً درباره حدس هایی که چندین قضیه آشنا را تبیین میکنند یا درباره تعمیم های مستنتج از نمونه های فراوان رایانه بنیاد چه میتوان گفت؟ و به خصوص درباره تصاویر و نمودارها چه می توان گفت؟ در کنار اثبات های سنتی این شیوه های نامتعارف نیز ممکن است تمریخش باشند. (Brown, 2008: 15)
او هفت راه مختلف را بر می شمارد و تأکید میکنند که این تعداد میتواند افزایش یابد. افزون بر اثبات های کلاسیک صوری دانش ریاضی ممکن است از راه شهود استقراء استنتاج فرضیه ای - قیاسی، تصاویر، قطری - سازی و آزمایشهای فکری نیز به دست آید. براون بخصوص بر پذیرش نقش توجیهی تصاویر و آزمایشهای فکری تأکید می کنند (199) ,Ibid درباره آزمایشهای فکری نیز با چنین موضع گیری اکیدی روبرو هستیم (183) Ibid) دلایل براون در دفاع از نقش اساسی تصاویر و آزمایشهای فکری در ریاضیات، عمدتاً از نوع استنتاج بهترین تبیین (IBE) است. او با چند مورد پژوهی مثل تحلیل اثبات پولسانو برای قضیه مقدار میانی نشان میدهد که تصاویر و آزمایشهای فکری نقش تعیین کننده ای در تصمیم ریاضیدانان برای تأیید یک فرضیه قراریاضیاتی مثل حسابانی کردن آنالیز (30)(Ibid) یا انتخاب یک اصل موضوعه (33) ,Ibid) یا رد یک فرضیه ریاضیاتی مثل فرضیه پیوستار (192) Ibid دارد. گاهی نیز میکوشد مدعیانش درباره تصاویر و
آزمایشهای فکری را با برخی دلایل تمثیلی مقبول تر و دلنشین تر سازد. (44 ,Ibid) آنچه در قالب این هفت مدعا صورت بندی شده همان افلاطون گرایی جدید براونی است. نظریه ای که به باور براون بهترین تلقی را از ریاضیات در اختیار ما قرار می دهد. نظریه ای که گرچه هر کدام از مؤلفه های آن
10 پژوهشهای فلسفی سال ۱۳ شماره ۲۳زمستان ۱۳۹۷
پیشتر از سوی بسیاری از فیلسوفان از جمله لاکانوش راسل گودل و پوپر تصریحاً یا تلویحاً اشاره شده اما طرح آن به این شکل و توانا ساختن آن برای تبیین برخی فعالیتهای متاخر تر ریاضیدانان، مثل اثباتهای تصویری و آزمایشهای فکری از کارهای براون است. حال ببینیم این تلقی از ریاضیات تا چه اندازه قابل دفاع است؟
چگونگی ارزیابی نظریه های قسمی برای ارزیابی یک نظریه فلسفی مثل افلاطون گرایی ریاضیاتی جدید دقیقاً باید چه کاری را انجام دهیم؟ اجازه دهید این پرسش را ابتدا به شکلی کلی تر طرح کنیم چگونه یک نظریه را ارزیابی کنیم؟ به نظر میرسد که اگر نخواهیم گرفتار بی عملی با ترجیح بلا مرجح شویم، باید یک یا چند ویژگی را به عنوان معیار معرفی کنیم و هر نظریه ای را به هر میزان برخورداری از این ویژگی با ویژگیها واجد مقبولیت با مطلوبیت معرفی کنیم اما این معیارها کدام اند؟ پاسخ های مختلفی به این پرسش می توان ارائه کرد. یعنی بر اساس رویکرد فرافلسفی فیلسوفان معیارهای مختلفی قابل تصور است از معیارهای روش شناختی (مثل سادگی، دقت سازگاری درونی کارایی در حل مسئله قدرت تبیینی و گستردگی گرفته تا معیارهای جامعه شناختی و روانشناختی امثل قدرت اقناعی و پذیرش نهادی باید یک یا چند ویژگی را به عنوان معیار معرفی کنیم و نظریه را بر اساس آنها بسنجیم به این ویژگیها گاهی فضیلت نظری (Theoretical virtue) نیز میگویند 340 2000, Lycan پویر کواین سلارز ون فرانس و کوهن در ارزیابی مطلوبیت یک نظریه علمی چنین راهبردی را توصیف یا توصیه می کنند. البته با تفاوتهایی که هر کدام از این فیلسوفان در تفسیر و تعبیر مطلوبیت»، «معیار»، «ارزیابی و نظایر آن دارند. مثلاً مطلوبیت نظریه ها از نظر ون فراسن صرفاً به معنای کفایت تجربی آنها است نه صدق و نه حتی تقرب آنها به حقیقت با مثلاً معیارهای نظریه ارجح، از نظر کوهی چونان مجموعه ای باز و قابل تفسیر از ارزشها است. نه چونان مجموعه ای بسته و معین از قواعد (1977:381 Kuhn اما آیا این مناقشه آمیز بودن معیارها و دلایل حللی به امکان و اعتبار ارزیابی وارد نمی کند؟ پاسخ منفی است. زیرا همانطور که بسیاری از فیلسوفان علم تذکر داده اند، آنچه ارزیابی یک نظریه علمی را ممکن و معتبر میکند وضوح و معقولیت بررسی پذیری و قابل دفاع بودن معیارها است به مناقشه ناپذیری معیارها یا برقراری اجماع کامل بر سر آنها.
حال به پرسش قبلی بر می گردیم چگونه یک نظریه سعی مثل افلاطون گرایی جدید ریاضیاتی را ارزیابی کنیم؟ به نظر می رسد که راهبرد فوق یعنی توسل به معیارهای واضح و معقول او نه لزوماً مسجل يا متفق فيه). هنگام ارزیابی نظریه های فلسفی نیز قابل توصیه است. مثلاً فیلسوفان تحلیلی در ارزیابی نظریه های فلسفی معمولاً استدلال می کنند که آنچه اهمیت دارد توانایی نظریه در حل مسائل مربوطه است ( 1991 ,Sparkes (114) و چنین معیاری واضح و معقول است. اتفاقاً خود براون نیز در دفاع از نظریه افلاطون گرایی جدید به چنین معیاری متوسل میشود و ادعا می کند که این نظریه در حل مسائل مهم فلسفه ریاضی موفق تر است ( Brown 24 :2008). اما او پیش از آن به معیار دیگری نیز توجه دارد همدلی و موافقت طیف وسیعی از ریاضیدانان این معیار نیز واضح و معقول به نظر می رسد، گرچه شاید شهودگرایان یا حتی بسیاری از صورتگرایان و منطق گرایان با آن موافق نباشند. معقولیت این معیار از آن روست که می توان آن را به مثابه شاخص بداهت یا باورپذیری در نظر گرفت. در واقع خود براون نیز به این نکته واقف است و به آن اشاره می کند؛ همدلی طبیعی ریاضیدانان به یک نظریه فلسفی درباره ریاضیات مستلزم وجود ویژگیهایی همچون فهم پذیری و باورپذیری در ان نظریه است (15) lbid)
نقد و ارزیابی افلاطون گرایی جدید.....٫11
در کل می توان گفت دو معیاری که خود براون در ارزیابی افلاطون گرایی جدید به کار برده است. عبارتند از فراگیر بودن در جامعه ریاضیدانان و کارایی در حل مسائل فلسفی مربوطه این دو معیار را به ترتیب مقبولیت (Methodological acceptability) و روش شناختی (institutional acceptability) نهادی می نامم و در بخش باقی مانده مقاله دفاع براون از افلاطون گرایی جدید بر اساس آنها را مورد واکاوی و نقادی قرار میدهم. روشن است که افلاطون گرایی جدید را میتوان بر اساس معیارهای دیگری مثل سازگاری و قدرت نبینی نیز سنجید اما اولاً پرداختن به همه معیارها در یک مقاله مقدور نیست ثانیاً قصد ما اینجا بیشتر نقد و ارزیابی درونی است؛ یعنی بر اساس همان معیارهایی که نظریه پرداز خود بر آنها تأکید کرده است.
مقبولیت نهادی افلاطون گرایی جدید:
براون و بسیاری از فیلسوفان معتقدند که هیچ نظریه ای
به اندازه افلاطون گرایی در بین ریاضیدانان محبوبیت ندارد. به طوری که گویا گرایش طبیعی ریاضیدانان محض و کاربردی به افلاطون گرایی است 53 2008 ,Brown) توسل نا خودآگاه ریاضیدانان به گفتمان واقع گرایانه از یک سو و اظهار نظرهای صریح آنان درباره وجود عینی و انتزاعی هویات ریاضیاتی از سوی دیگر، گواه این محبوبیت است. براون به نقل قولهایی از هاردی لیتلوود و گودل اشاره میکند. مثلاً از نظر کودل پذیرش اعیان ریاضیاتی به همان اندازه و به همان دلیل معقول است که پذیرش اعیان فیزیکی زیرا هر دو نوع واقعیت خود را به ما تحمیل می کنند. به عبارت دیگر اگر فرض اجسام مادی برای تبیین ادراکات حسی ما لازم است. فرض اعیان ریاضی هم برای تبیین ادراک ریاضی ما لازم اند (12) Ibid).
هاردی نیز معتقد است هیچ فلسفه ای نمیتواند با ریاضیدانی که حاضر نیست به هیچ طریقی اعتبار ثابت و مطلق صدقهای ریاضیاتی را بپذیرد همراهی کند قضایای ریاضی صادق یا کاذب هستند و صدق و کذب آنها مطلق و مستقل از شناخت ما درباره آنها است. به تعبیری می توان گفت که صدق ریاضیاتی جزئی از واقعیت عینی است (2008:11.Brown)
این تنها عقیده براون و چند ریاضدانی که او نام می برد نیست. شواهد به نفع مدعای آنها بسیار است. بسیاری دیگر از صاحب نظران مثل هرمان ویل (Even Herman Weyl) ریاضیدان و فیزیکدان بزرگ آلمانی معتقدند که ریاضیدانان به موجب یک کشش طبیعی مایل اند با نگرش افلاطونی فکر کنند و هویات ریاضیاتی را به عنوان امور واقعی بپذیرند. به عقیده او این نگرش پیش برنده فرایند خلاقیت انسانی است و حتی اگر دیدگاه صادقی نباشد قطعاً مفیدترین و مثمر ثمرترین نگرش است 261 1992 ,Barrow البته مراد از مقبولیت نهادی در اینجا گرایش و همدلی و همرایی محسوس در میان اغلب ریاضیدانان است. و این گرایش لزوماً نه به معنای مقبولیت رسمی یا صدق آن است و نه حتی به معنای هواداری آشکار از آن این نکته اخیر را در این گزین گویه بهتر میتوان فهمید ریاضیدانان روزهای عادی افلاطون گرا هستند و یکشنبه ها صورت گرا جمله مذکور که به ضرب المثلی معروف در فرهنگ ریاضی در آمده است. گویا از آن دیویس و هرش است. به باور آنها افلاطون گرایی رویکرد ناخواسته و متعارف ریاضیدانان است به طوری که اگر به فعالیتهای آنها توجه کنیم خواهیم دید که نظر و عمل آنها افلاطون گرایانه است. اما از بیان آن ابا دارند و صادق نیستند.
اغلب نویسندگان با این موضوع موافقند که یک ریاضیدان طوری عمل می کند که گویا روزهای عادی هفته افلاطون گرا است و یکشنبه ها صورت گرا یعنی به هنگام فعالیت ریاضیاتی مثل کسی عمل میکند که یقین دارد با واقعیت عینی سر و کار دارد. مثل
12
اپژوهشهای فلسفی سال ۱۳ شماره ۱۳ زمستان ۱۳۹۷
کسی که در تلاش است خواص این واقعیتها را پیدا کند. اما هر وقت که به چالش گرفته شود تا یک توجیه فلسفی برای این واقعیت ارئه دهد. او ترجیح می دهد که وانمود )Davis and Hersh 1981321( .کند اصلاً به چنین واقعیتی اعتقاد دارد
دیویس و هرش سپس به نقل قولهایی از چند ریاضیدان معروف استناد می کنند. مثلاً ژان دیدونه، ریاضیدان معروف فرانسوی میگوید ما در مبانی قاتل به واقعیت ریاضیات هستیم اما وقتی فیلسوفان ما را با پیش کشیدن پارادوکس هایشان پرسش میگیرند قرار میکنیم و پشت صورت گرایی پنهان میشویم و می گوییم؟ ریاضیات چیزی جز ترکیب نمادهای بی معنا نیست پاول کوهن ریاضیدان آمریکایی هم تعییری بسیار شبیه به این را به کار میگیرد. (321) Ibid) اما به نظر می رسد که سخن گفتن از گرایش غالب ریاضیدانان به یک نظریه فلسفی تنها با انجام تحقیقات آماری مناسب امکان پذیر است شبیه کاری که دان مونک ریاضیدان آمریکایی و استاد دانشگاه کالوراد و انجام داده است. او مدعی است که جامعه ریاضیدانان را ۶۵ درصد افلاطون گرا
و ۳۰ درصد صورت گرا و ۵ درصد برساختگرا شهودگر تشکیل داده اند. (703 :1970 Monk) بنابراین اگر مقبولیت نهادی را به معنای گرایش متداول و طبیعی ریاضیدانان بگیریم شواهد کافی در دست داریم که نشان میدهند افلاطون گرایی مقبولیت نهادی دارد. اما آیا قرائت براون از افلاطون گرایی جدید نیز می تواند به همان میزان با بیشتر مقبولیت نهادی داشته باشد؟ به نظر میرسد که از این بابت تفاوت چندانی بین نسخه جدید و اولیه افلاطون گرایی وجود ندارد. زیرا اولاً آنچه افلاطون گرایی را جذاب کرده نگرش واقع گرایانه آن است و نسخه های مختلف از این بابت مشترک اند. ثانیا با توجه به روحیه علمی و اسطوره زدایی شده، با کمتر اسطوره ای انسان مدرن حذف بخش نامعقول افلاطون گرایی یعنی اسطوره ملاقات با ایده ها و رابطه مرموز ایده ها با مصادیق، محبوبیت آن را نخواهد کاست. ثالثاً این نوع مقبولیت با تصریح به مدعای شهودمندی و توسعه پذیری نیز کم نخواهد شد. چرا که افلاطون گرایی اولیه نیز متضمن این دو مدعا هست. رابعاً با توجه به شکست پروژه های مبانی ریاضیات و آگاهی بیشتر ریاضیدانان از احتمال خطاهای موردی و نظام مند در ریاضیات افزودن مدعای خطا پذیری نیز نمیتواند در مقبولیت نهادی آن تاثیر منفی بگذارد. این مدعای اخیر را می توان با نتایج پژوهشهای آماری نیز تقویت کرد. به عنوان نمونه میتوان به تحقیقات آماری ایزو هینزه اشاره کرد. او نظر ۴۰ ریاضیدان آلمانی را درباره شرایط پذیرش یک اثبات یا مدعای ریاضیاتی مورد واکاوی تجربی و آماری قرار داد و به این نتیجه رسید که اغلب آنها یک اثبات را به شرطی می پذیرند که خودشان هم مستقلاً بررسی کنند. یا به وسیله همکارانی که از اعتبار بالایی برخوردارند تولید شده باشد یا از زمان انتشارشان زمان طولانی گذشته باشد و هنوز تناقضی در آنها دیده نشده باشد. (2010:108 Heinze) این نتایج را می توان به معنای گرایش
ریاضیدانان به پذیرش خطاپذیری در ریاضیات در نظر گرفت.
البته در استناد به بررسیهای میدانی و آماری باید با احتیاط سخن بگوییم زیرا جمع آوری و تغییر داده ها نظریه بار است. مثلاً همین تحقیقات هینزه میتواند به معنای گرایش روانی ریاضیدانان آلمانی به برساختگرایی اجتماعی نیز تلقی شود. زیرا صدق و اعتبار مدعیات ریاضیاتی را به عوامل انسانی و اجتماعی وابسته کرده اند و روشن است که برساخت گرایی اجتماعی از نظریه های رقیب افلاطون گرایی و در تعارض با آن است. اما در هر حال بنا بر دلایلی نظری و برخی شواهد تجربی که گفته شد مدعای خطای دیری نمی تواند از مقبولیت نهادی
افلاطون گرایی جدید بکاهد.
نقد و ارزیابی افلاطون گرایی جدید.....٫ 13
مقبولیت نهادی یک نظریه شاید برای اصحاب جامعه شناسی و طرفداران برساخت گرایی در مطالعات علمیه
یک مؤلفه اساسی باشد؛ اما اگر نخواهیم علم را به تصمیم و گرایش روانی و اجتماعی اعضای جامعه قروبکاهیم چنین معیاری مطمئناً نمی تواند کافی باشد. بلکه انتظار می رود یک نظریه مطلوب شرط با شرایط روش شناختی
معین یا دست کم واضح و موجهی را نیز احراز کند.
مقبولیت روش شناختی افلاطون گرایی جدید
بنا بر آنچه درباره معنای مقبولیت روش شناختی
و نحوه سجش آن گفتیم اکنون باید مسئله با مسئله هایی را تعیین و تقریر کنیم که برای فیلسوفان ریاضیات حائز اهمیت است و سپس توانایی افلاطون گرایی جدید در حل آنها را بسنجیم این که کدام یک از مسائل فلسفی ناظر به ریاضیات باید در اولویت قرار گیرند خود به جهت پاسخهای مناقشه آمیزی که دارد، پرسش دشواری است و مطمئناً محل بحث آن اینجا نیست. اما خوشبختانه خود براون با اذعان به اهمیت دو مسئله مهم کار ما را راحت کرده است. براون مدعی است که افلاطون گرایی اولیه در حل دو مسئله مهم ناتوان است. و در عوض افلاطون گرایی جدید قادر به حل هر دو آنها است. این دو مسئله عبارتند از مسئله دسترسی درواقع او قصد دارد .)The problem of certainty( و مسئله يقين )The problem of access( با اثبات توانایی افلاطون گرایی جدید در حل این دو مسئله مقبولیت روش شناختی آن را نشان دهد. اما به نظر
می رسد که دلایل او مخدوش است و بنابراین افلاطون گرایی دست کم در مقایسه با افلاطون گرایی اولیه و در حل این دو مسئله توانایی لازم را ندارد و بنابراین فاقد مقبولیت روش شناختی است.
مسئله دسترسی طبق مؤلفه اول افلاطون گرایی جدید یعنی واقع گرایی اولاً هویات ریاضیاتی وجود دارند
و ثانیاً آنها انتزاعی اند یعنی زمانی مکانی نیستند و قدرت علی ندارند، ثالثاً معرفت ریاضیاتی چیزی جز معرفت به وجود و ویژگیها و روابط حاکم بر این هویات انتزاعی نیست. اما اگر ما نظرية على معرفت را، که نظریه متعارف و جا افتاده ای در معرفت شناسی است. بپذیریم آنگاه این مدعای هستی شناختی استلزامات معرفت شناختی غیر قابل دفاعی خواهد داشت زیرا مطابق با نظریه علی معرفت شخص S به گزاره P معرفت دارد اگر و تنها اگر یک رابطه علی بین این واقعیت که "P و باور S به P برقرار باشد. براون این تعارض را «مسئله دسترسی» می نامد و در عین حال ادعا می کند که چنین تعارضی ظاهری و قابل حل است. او برای پشتیبانی از این مدعا
مثال نقضی را پیش میکشد که در فیزیک کوانتوم با عنوان آزمایش EPR معروف است. بررسی و نقد مثال نقض براون فرض کنید که یک و پاشی در نقطه به انجام پذیرد و دو ذره فوتون، مثل 01 و 02 به دو سوی چپ و راست له حرکت کنند و نیز فرض کنید که در دو سوی 1 دستگاههای آشکار ساز
P و P به فاصله by و by از نقطه 1 تعبیه شده اند به طوری که به محض عبور 11 و 12 اسپین آنها را نشان می دهد. یعنی ما عملاً می توانیم ببینیم که هر کدام از ذره های 4 و 4 آیا اسپین بالا دارند یا پایین؟ هم نظریه و هم آزمایش به ما میگویند که اولاً خروجی دستگاهها همیشه هم بسته اند یعنی یکی از فوتون ها اسپین بالا و دیگری اسپین پایین دارد و ثانیاً هرگز از پیش نمیتوان گفت که کدام فوتون با اسپین بالا یا پایین از کدام سو چپ یا راست وارد خواهد شد. یعنی گویا با یک بی نظمی کامل مواجه هستیم اما چرا یک همبستگی کامل بین ذره های 11 و 12 برقرار است؟ یعنی چرا اگر یکی از آن دو اسپین بالا دارد دیگری لزوماً اسپین پایین خواهد داشت و برعکس؟ طبق بهترین فرضیه ای که تاکنون مورد پذیرش قرار گرفته است. اندازه گیری و تعیین اسپین در یکی از دو دستگاه سبب تعین اسپین دره دوم در طرف دیگر میشود و این آشکارا با نظریه نسبیت خاص در تضاد است. زیرا بر اساس این نظریه هیچ اثر علی نمیتواند سریع تر از نور حرکت کند. در حالیکه طبق آزمایش
14 | پژوهشهای فلسفی سال ۱۳، شماره ۲۳ زمستان ۱۳۹۷
مذکور اگر شخص S در سویه راست یعنی کنار P مشاهده کند که 1 اسپین بالا دارد، آنگاه بلافاصله می تواند نتیجه بگیرد که S2 در سویه چپ یعنی در کنار P2 مشاهده میکند که 12 داری اسپین پایین است. حال از دو حالت خارج نیست یا وضعیت (12) به موجب یک رابطه علی بی واسطه و سریع تر از سرعت نور با تراکنش با تعین یافته و S نیز بلافاصله و به موجب یک رابطه مشابه سریع تر از سرعت نور با وضعیت تعین یافته 112 پی به آن برده است. یا یک عامل اولیه پنهان در گذشته این همبستگی کامل را رقم زده است و به محض آگاهی از وضعیت 11 از وضعیت 12 نیز آگاه شده است. اما اولی با نظریه نسبیت خاص در تضاد است و دومی با نتایج یک آزمایش دیگر که پل انجام داده است. طبق آزمایش بل وضعیت اسپین دره ها تابعی از امتداد قرارگیری صفحات پولوراید یعنی افقی یا عمودی بودن P و P است. اگر هر دو صفحه عمودی یا افقی باشد نتایج EPR مشاهده و تایید میشود اما در حالت ناهمگون یکی افقی و دیگری عمودی) اسپین درات معلوم نمیشود گویا در این حالت ذرات از صفحات عبور نمی کنند. بهترین تبیین برای این مشاهدات آن است که بگوییم کل نظام آزمایش در تعیین اسپین مدخلیت دارد نه یک عامل پنهان در نقطه a (هی و والترز ۱۳۸۷، ۱۲۸۱ ملاحظه میشود که ما به وضعیتی معرفت داریم که نمیتوان با نظریه علی معرفت آن را تبیین
)Brown, 2008: 18( کرد
اما این استدلال براون قابل دفاع نیست؛ زیرا در صورتی آزمایش EPR ناقض نظریه علی معرفت است که أولاً نظرية على معرفت به نحو مطلق مدعی باشد که در همه مصادیق معرفت و بخصوص در همه مصادیق معرفت علمی بین مدرک و مدرک رابطه علی برقرار است مدعای اول و ثانیاً آزمایش مذکور از یک سو شهوداً مصداق معرفت باشد و از سوی دیگر قابل تبیین با نظریه علی معرفت نباشد مدعای دوم، در حالی که دفاع از این دو مدعا ناممکن است. زیرا نتایج آزمایش EPR به هیچ وجه شهوداً قابل درک و شناخت نیست بلکه به موجب یک تبیین علمی غیر علی (کوانتومی) قابل توجیه و شناخت است؛ و اگر بپذیریم که بخشی از معرفت ماه از جمله معرفت علمی ما به نتایج EPR به موجب یک رابطه غیر علی به دست آمده است. در این صورت مدعای اول نیز نادرست خواهد بود. بنابر این آزمایش EPR ناقض نظرية على معرفت نیست بلکه تنها مستلزم این نتیجه است که معرفت علمی، لزوماً با نظریه علی معرفت قابل تبیین نیست و دانشمندان برای تبیین معرفت علمی ناظر به پدیده هایی از نوع EPR باید از سایر نظریه های معرفت استفاده کنند؛ نظریه هایی که بر رابطه على بين فاعل شناسا و مدرک استوار نیستند. حال ببینیم توانایی افلاطون گرایی جدید در حل دومین مسئله مهم تا چه حد است؟
مستند یقین منظور از مسئله یقین تعارضی است که بین خطاپذیری و پیشینی بودن ریاضیات وجود دارد. براون طرح این تعارض را به فیلیپ کیچر (۱۹۸۳) نسبت میدهد و آن را این گونه تقریر می کنند.
به زعم فیلیپ کیچر (۱۹۸۳) افلاطون گرایی بنابر دلایلی مردود است. یکی از این دلایل عدم امکان معرفت پیشینی است. استدلال او ساده است یک اثبات بسیار طولانی را در نظر بگیرید آن قدر طولانی که بررسی آن حتی برای یک ریاضیدان خبره مادها به طول انجامد، حال آیا منطقاً احتمال خطا وجود ندارد؟ البته که دارد. پس با این حساب، نمی توان به یقین گفت که اثبات درست است و قضیه اثبات شده تا حدودی مشکوک خواهد شد. بنابراین نمی توان مدعی شد که معرفت به این قضیه به نحو پیشینی است ( Brown
2008: 19
نقد و ارزیابی افلاطون گرایی جدید...... 15
براون ابتدا این نقد را به اختصار وارد میکند که از دلایل کیچر حداکثر میتوان نتیجه گرفت که اثبانهای مطول ما را به قضایای پیشینی رهنمون نمیکنند اما این نتیجه را نمیتوان درباره قضایای مبتنی بر اثباتهای کوتاه تعمیم داد. اگر با کیچر همدل باشیم می توانیم این نقد براون را این گونه رد کنیم بله بنابر دلایلی که گفته شد تعارض خطا پذیری و پیشینی بودن تنها درباره قضایای مبتنی بر اثباتهای مطول صادق است اما مگر همین نتیجه نیز مدعای پیشینی بودن معرفت ریاضیاتی را مخدوش نمیکند؟ در هر حال وقتی ما می گوییم معرفت
ریاضیاتی پیشینی است مرادمان «همه» معرفتهای ریاضیاتی است نه «بعضی». نقد بعدی براون به این مقدمه مضمر در استدلال کیچر است؛ پیشینی بودن به معنای یقینی بودن است. حال آنکه چنین پیش فرضی نادرست است. اجازه دهید استدلال کیچر را به گونه ای بازسازی بکنیم که مدعای
براون آشکارتر شود:
. اگر افلاطون گرایی صادق باشد آنگاه معرفت ریاضیاتی پیشینی است.
اگر معرفت ریاضیاتی پیشینی باشد آنگاه معرفت ریاضیاتی یقینی است.
اگر معرفت ریاضیاتی یقینی است. آنگاه معرفت ریاضیاتی خطاناپذیر باشد.
معرفت ریاضیاتی لزوماً خطاناپذیر نیست چون قضایای مبتنی بر اثبانهای مطول خطا پذیرند.
پس افلاطون گرایی صادق نیست.
براون برای نقد این استدلال مقدمه دوم را رد میکند. او در واقع از موضع یقینی بودن و خطاناپذیری ریاضیاتی دست بر میدارد و خطاپذیری معرفت ریاضیاتی را به عنوان یکی از هفت مؤلفه افلاطون گرایی اصلاح شده به رسمیت می شناسد (15) Ibid) و در عین حال به پیشینی بودن معرفت ریاضیاتی و فادار می ماند. او برای رد مقدمه دوم تلاش میکند خطا پذیری و پیشینی بودن معرفت ریاضیاتی را جمع کند. باشه اشیل او برای جمع این دو ویژگی فرض وجود یک قوه ادراکی به نام «چشم ذهن» است. از نظر او با توسل به این قوه هم می توان درک غیر علی هستی مندهای ریاضیاتی را تبیین کرد و هم پیشینی بودن و در عین حال خطاپذیر بودن معرفت ریاضیاتی را توضیح داد اما به نظر می رسد که این ترفند او نیز قابل دفاع نیست.
بررسی و نقد اینه چشم ذهن به عقیده براون هویات ریاضیاتی را میتوان با چشم ذهن» «دید» یا «درک کرد. او توسل به استعاره چشم ذهن را بهترین راه بیان این واقعیت شناختی - متافیزیکی می داند. ایده اصلی آن است که ما همچنان که به قلمرو فیزیکی دسترسی حسی داریم. به قلمرو ریاضیاتی نیز . به نوعی دسترسی داریم (14) Ibid) او با این ایده به نوعی سعی دارد از استدلالی که در دفاع از امکان معرفت غیر علی ارائه کرده
بود و ما در بخش قبلی همین مقاله آن را نقد کردیم. حمایت کند.
پس ما همچنان که دارای شهود و ادراک حسی هستیم دارای شهود و ادراک ریاضیاتی نیز هستیم. ما همچنان که می بینیم آسمان آبی است با رشته سفید در اتاقک ابر چنین و چنان شکل و شمایلی دارند به طریق مشابه می بینیم که 3+2=5، یا مجموعه اعداد
زوج زیر مجموعه اعداد طبیعی است. به زبان استعاره ما چیزهایی را با چشم ذهن
Brown, 2008: 183( »می بینیم
از سوی دیگر براون مدعی است که با توسل به ایده چشم ذهن میتوان پیشینی بودن مدعای پنجم و خطا پذیری مدعای ششم را با هم سازگار کرد زیرا اولاً دیدن با چشم ذهن بر خلاف دیدن با چشم سر، نوعی تجربة مستقل از حواس فیزیکی است و به همان میزان پیشینی است. ثانیاً معرفت ما از طریق چشم ذهن گرچه
16 ٫پژوهشهای فلسفی سال ۱۳، شماره ۲۳ زمستان ۱۳۹۷
پیشینی است اما لزومی ندارد یقینی باشد. زیرا چشم ذهن درست مثل حواس تجربی دستخوش توهم و خطا است. (91) ,Ibid) ایده چشم ذهن سادگی و قدرت تبیینی خوبی دارد، اما تنها زمانی به کار یک واقعگرا می اید که افزون بر کارایی و فایده مندی مطابق با واقعیت هم باشد. یعنی دلایل قانع کننده ای بر صدق آن ارائه شده باشد. در حالیکه براون هرگز موفق به این کار نشده است. اگر بخواهیم تلاشهای براون برای دفاع از ایده چشم ذهن را بازسازی و صورت بندی کنیم میتوان گفت که او مجموعاً سه نوع استدلال به سود آن ارائه کرده است. یک استنتاج از بهترین تبیین و یک استدلال عملگرایانه برای دفاع از مدعای چشم ذهن موجود است» و یک استدلال تمثیلی برای دفاع از مدعای چشم ذهن امکان دسترسی به مجردات راه و نیز امکان جمع بین پیشینی بودن و یقینی بودن معرفت ریاضیاتی را فراهم می سازد. اما من به طور جداگانه نشان خواهم داد که هر سه
استدلال مخدوش و غیر قابل دفاع هستند.
استدلال عمل گرایانه براون هنگامی که درباره اهمیت تصاویر در ریاضیات بحث میکند در نهایت می گوید:
من خود نیک میدانم که سخن گفتن از چشم ذهن و دیدن هستی مندهای ریاضی» بسیار استعاری است. و از این بابت افسوس میخورم اما پشیمان نیستم اثباتهای تصویری به وضوح مؤثرتر از آن هستند که بتوان از آن ها صرف نظر کرد و بالقوه قدرتمندتر از آن هستند که نادیده گرفته شوند. 47 ,Ibid) در بررسی اهمیت آزمایشهای فکری در ریاضیات نیز دقیقاً از همین استدلال سود میبرد (205) ,Ibid لب کلام او در اینجا آن است که ما وجود چشم ذهن را باید بپذیریم چون با پذیرش آنها نقشهای توجیهی و انها سخشی تصاویر و آزمایشی ذهنی راحت تر و بهتر خواهیم پذیرفت. اما این نوع استدلال عمل گرایانه در بهترین حالت، فقط معقولیت فرضیه چشم ذهن را نشان خواهد داد. در حالیکه گفتیم یک واقع گرا به بیش از این نیاز دارد. او باید نشان دهد
که فرضیه چشم ذهن صادق است.
استدلال ربایشی با استنتاج بهترین تبیین میتوان گفت که مدعای براون از این قرار است. ما صاحب
معرفت ریاضی هستیم و نیاز داریم که این معرفت را تبیین کنیم؛ حال بهترین تبین آن است که اعیان ریاضی وجود دارند و ما میتوانیم آنها را ببینیم» همچنان که ما در مقابله با بارکلی چنین استدلال می کنیم می دانیم که فنجان روی میز است و نیاز داریم تبیین کنیم که این دانش چگونه پدید می آید؛ بهترین تبیین این است که واقعاً فنجانی وجود دارد و ما میتوانیم آن را ببینیم این فنجان است که دریافت حسی ما را سبب می شود. (16 ,Ibid) اما چنین تلاشی مسترم دور باطل است. زیرا ما باید از یک سو وجود امور انتزاعی را به موجب دسترسی از طریق چشم ذهن بپذیریم و از سوی دیگر وجود چشم دهن را از طریق فرض وجود انتزاعیات قبول کنیم! در حالیکه در استنتاج از بهترین تبیین باید وجود مشاهدات تبیین خواه به موجب ادراک تجربی، مسلم
باشند یا دست کم مناقشه آمیز نباشند.
استدلال تمثیلی چشم دهن مانند چشم سر یا به طور کلی ادراک حسی، دستخوش توهم و خطا است.
پس معرفت حاصل از آن نیز مانند معرفت حاصل از چشم سر خطاپذیر است. مقدمه این استدلال با بخش دیگری از سخن براون در تناقض است. براون تصریح می کند که معرفتهای حاصل از چشم ذهن، متاثر از تجربه نیست، یعنی پیشینی است. برای آشکار کردن این تناقض کافی است به معنای خطا پذیری توجه کنیم؛ اگر شخص S به گزاره P معرفت داشته باشد. به طوری که P را بر اساس باور B یا شاهد E موجه کرده باشد. انگاه گوییم معرفت S به P خطا پذیر است اگر و تنها اگر باور ناقض B مثل (B) یا شاهد ناقض E1 (مثل (2) منتفی نباشد. اما یک باور با شاهد چه زمانی نقض میشود؟ هرگاه S در تعامل با جهان به باورها یا شواهد جدید یا متفاوتی دست یابد. به عبارت دیگر خطاپذیری یک معرفت جز با تاثیر پذیری آن از تجربه قابل تصور نیست.
نقد و ارزیابی افلاطون گرایی جدید......٫ 17
بنابراین از یک سوء معرفتهای حاصل از چشم ذهن مثل معرفتهای حاصل از چشم سر خطاپذیر است. یعنی امکان شواهد با باورهای ناقض آن منتفی نیست از سوی دیگر معرفت های حاصل از چشم ذهن بر خلاف معرفتهای حاصل از چشم سر متأثر از تجربه نیست، یعنی امکان شواهد با باورهای ناقض آن منتفی است. اگر هر دو کار کرد چشم ذهن یعنی تولید محصولات خطاپذیر و تولید محصولات پیشینی را بپذیریم باید لوازم آن دو را نیز بپذیریم امکان شواهد یا باورهای ناقض آن منتقی است» و «امکان شواهد یا باورهای ناقض آن
منتفی نیست و این آشکارا تناقض است
افلاطون گرایی ریاضیاتی بسیار ساده همه فهم و الهامبخش است و همین ویژگی ها موجب شده است که نحوه اندیشه و عمل اغلب ریاضیدانان به طور طبیعی افلاطون گرایانه باشد. یعنی به اصطلاح، افلاطون گرایی جدید دارای مقبولیت نهادی با اجتماعی است. با این همه این نظریه فلسفی با دو ایراد مهم مواجه است:
1 با نظریه کلاسیک معرفت که متضمن رابطه علی بین مدرک و مدرک است. در تعارض است. زیرا افلاطون گرایی متضمن قبول هویات انتزاعی است و این نوع هویات فاقد قدرت على اند(مسئله دسترسی)
2 با خطا پذیری مدعیات ریاضیاتی که در قالب قضایا اثبات می شوند در تعارض است. زیرا افلاطون گرایی مستلزم پیشینی بودن معرفت ریاضیاتی است و پیشینی بودن به معنای استقلال از تجربه است و بنابراین تجربه جدیدتر با بیشتر نمیتواند منجر به ابطال شواهد شوند. و انتقای شواهد مبطل در واقع به معنای انتقای خطاپذیری است (مسئله یقین)
براون تلاش کرده است این دو ایراد را به ترتیب از طریق رد مدعای علی بودن معرفت و طرح مدعای
ادراک ،شهودی برطرف سازد. او برای این کار به ترتیب از مثال نقض (EPR) و تمثیل «چشم ذهن» استفاده کرده است. اما این تلاش او متضمن تعمیم های ناروا و دلایل ناکافی یا مخدوش است. یعنی، به اصطلاح، این
نظریه فاقد مقبولیت روش شناختی است.
پس در کل می توان نتیجه گرفت که افلاطون گرایی جدید گرچه واحد مقبولیت نهادی است. اما عاقد مقبولیت روش شناختی کافی است یا دست کم مقبولیت روش شناختی آن نیاز به اثبات دارد، زیرا هنوز مسئله
دسترسی و مسئله یقین در آن حل نشده است.
پی نوشت ها
. برای اطلاع بیشتر به این منابع رجوع کنید
Balaguer, Mark, Platonism and Anti-Platonism in Mathematics, 1998 Linsky, Bernard and Zalta, Edward N., Naturalized Platonism versus Platonized naturalism, 1995
Maddy, Penelope, Realism in Mathematics1990,
این دو مسئله در بخش دوم همین مقاله به تفصیل بیان شده اند.
. برای اطلاع بیشتر رجوع کنید به پویر در اسطوره چارچوب پوپر ۱۳۸۹: ۱۰۱) و کوهن در مقاله Kuhn, 1977: 380 عینیت، ارزشداوری و انتخاب نظریه
18 پژوهشهای تستی سال ۱۳ شماره ۲۳ نیستان ۱۳۹۷
منابع
گزارش کاملتری از این مسئله را مستقلاً در مقاله ای با عنوان بررسی نقادانه راه حل براون برای مسئله دسترسی پذیری تقریر کرده و آن را به نحو مفصل تری نقد کرده ام و در نهایت راه حلهایی نیز برای برطرف کردن آن ایرادها پیشنهاد کرده ام (رجوع کنید به بیات، (۱۳۹۵) د براون آزمایش بل را در کتابش توضیح نداده است. آنچه در اینجا بیان شد بر اساس نگارش دیوید بوم (۱۹۹۲ - ۱۹۱۷) از آزمایش EPR است. گزارش دقیق تر و فنی تر این آزمایش و آزمایش پل را می توانید در کتاب هی و والترز بیایید.
ينا سراف، پال (۱۳۸۲) مصدق ریاضی در ضیاء موحد، از ارسطو تا گونل مجموعه مقاله های
فستی منطقی، تهران هرمس
بیات، حسین (۱۳۹۵) «بررسی و نقد راه حل براون برای مسئله دسترسی پذیری، جستارهای قسمی پویر کارل (۱۳۸۹) اسطوره چارچوب، ترجمه علی پایا، تهران: انتشارات طرح نو
شماره ۲۹، بهار و تابستان ۹۵، ص ۵-۴۲
هی آنتونی و پاتریک والترز (۱۳۸۷) جهان کوانتومی توین مهندسی کوانتومی به زودی از راه می رسده
محمدرضا محجوب، تهران شرکت سهامی انتشار
Balaguer, Mark (1998) Platonism and Anti-Platonism in
Mathematics, Oxford: Oxford University Press. Barrow, John (1992) Pi in the Sky, Oxford University Press.
Benacerraf, P. and Putnam, H. (eds.) (1983) Philosophy of
Mathematics, 2nd edition, Cambridge: Cambridge University Press. Brown, J. R. (1997) "Proofs and Pictures", British Journals for
Philosophy of Science, 48:161-180. Brown, J. R. (2008) Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures, Rutledge.
Brown, J. R. (2012) Platonism, Naturalism, and Mathematical Knowledge, New York and London: Rutledge.
Davis, J. Phillip, and Reuben Hersh, 1981, the Mathematical Experience, Reprint Edition, Boston: Houghton Mifflin Company.
Goldman, A. (1967) "A Causal Theory of Knowing," in The Journal of Philosophy 64, no. 12 (Jun. 22, 1967), pp. 357-372.
Hanna Gila & others (Eds.) (2010) Explanation and Proof in Mathematics: Philosophical and Educational Perspectives, Dordrecht Heidelberg London New: Springer US.
Heinze, Aiso (2010) "Mathematicians' Individual Criteria for Accepting theorem and proofs: An Empirical Approach", In Explanation and Proof in Mathematics. Philosophical and Educational Perspectives, G. Hanna, & others, Springer: Berlin, Heidelberg, New York. pp. 101-111.
نقد و ارزیابی افلاطون گرایی جدید.....٫ 19
Kuhn, Thomas (1977) Objectivity, Value Judgment and Theory Choice, in First Philosophy: Fundamental Problems and Readings,
Andrew Bailey (Edi), 2002, Broadview Press, pp. 374-386.
Linsky, Bernard and Zalta, Edward N. (1995) "Naturalized Platonism versus Platonized Naturalism", Journal of Philosophy, 92(10): 525-555.
Lipton, Peter (2004) Inference to the Best Explanation, New York
and London: Rutledge. Lycan, W. (2000) "Theoretical (epistemic) Virtues" in Rutledge.
Encyclopedia of Philosophy, Edward Craig (ed.), v. 9, pp. 340-343, London: Rutledge.
Maddy, Penelope (1990) Realism in Mathematics, Oxford: Clarendon.
Maddy, P. (1990) Realism in Mathematics, Oxford: Oxford University Press.
Monk, J. D. (1970) "On the Foundations of Set Theory", American mathematical Monthly. 77, pp. 703-71.
Proudfoot, Michael (2010) the Rutledge Dictionary of Philosophy, Rutledge.
Rosen, Gideon (2012) "Abstract Objects", in The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.): #WayNeg http:٫٫plato.stanford.edu٫entries٫abstract-objects٫
Schaffer, Jonathan (2016) "The Metaphysics of Causation", in The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2016 Edition), Edward N. Zalta (ed.): http:٫٫plato.stanford.edu٫archives٫sum2014 ٫entries٫causation-metaphysics٫
Sparkes, A.W. (1991) Talking Philosophy: a wordbook. New York, New York: Rutledge.
Stiner, Mark (1973) "Platonism and the Causal Theory of Knowledge", Journal of Philosophy, 70٫3: 57-66.
پژوهشگاه علوم انسانی و مطالعات فرهنگی پرتال جامع علوم انسانی