بسم الله الرحمن الرحيم
افلاطون گرائی در فلسفه ریاضیات-سهراب علوی نیا
فهرست علوم
فهرست مباحث ریاضیات
افلاطونگرائي
لوجیسیزم و مسئله صدق در ریاضیات - حميد وحید دستجردی
افلاطون گرائی در فلسفه ریاضیات-سهراب علوی نیا
افلاطون گرائی در فلسفه ریاضیات
سهراب علوی نیا
دانشگاه شهید بهشتی
چکیده:
می خواهیم بدانیم که آیا موجودات ریاضی (مانند تابع و عدد) تحقق عینی دارند یا ساخته ذهن ما هستند؟ آیا می توان گفت که موجودات ریاضی، اشیائی در عالم مثال افلاطونی اند. فرگه در أوائل قرن گذشته به نوعی افلاطون گرایی افراطی در فلسفه ریاضی روی آورد. گودل و کواین
راه او را دنبال کردند، ولی ریاضی دانانی چون هیلبرت به هیچ وجه آن را نپذیرفتند. به عقیده آنها
در ریاضیات وجود داشتن" به معنی عدم تناقض است. دامنه ریاضی (454 .Poincone
, p )
این جدال به دوران ما کشیده شد و مسأله صدق ریاضی به مسأله روز تبدیل شد. مقاله بناسراف تحت عنوان صدق ریاضی در ۱۹۷۳ به اعتباری، نقطه عطف این ماجرا است. منظور از این تحقیق مقایسه این آراء و طرح دلايل له و عليه هر کدام از آنهاست.
واژگان کلیدی: افلاطون، افلاطون گرایی، ریاضیات، فلسفه ریاضی، هیلبرت، گودن، فرگه.
***
***
درآمد: مسأله این است که ریاضیات درباره چیست؟ مثلا اعداد چیستند؟ آیا اگر حیاتی در جهان وجود نداشت باز هم این اعداد وجود داشتند؟ ما غالبا در مورد ماهیت حقایق ریاضی به فهم متعارف متوسل می شویم و می گوییم کار ریاضی دان مطالعه حوزه های
۱۰۱ پژوهشنامه علوم انسانی مختلف مانند نظرية اعداد، نظریه گروهها و نظريه مجموعه ها است. از این دیدگاه، همانطور که فیزیک درباره اشیاء فیزیکی است، ریاضیات هم درباره موجوداتی معین مثل عدد، مجموعه و تابع است که واقعا وجود دارند؛ بنابراین، چون احکام ریاضی درباره واقعیت اند، یا صادق اند یا کاذب؛ ولی به محض اینکه کمی عمیق تر به مسأله نگاه می کنیم با مشکلات فراوانی روبرو می شویم. مسأله این است که این موجودات چه ماهیتی دارند؟ کجا هستند؟ اگر قول افلاطون را قبول کنیم که موجودات ریاضی متحيز در زمان و مکان خاصی نیستند، چگونه می توانیم آن ها را بشناسیم؟
بعضی از ریاضی دانان وقتی به این مخصصه دچار می شوند عقب نشینی می کنند و صورتگرا می شوند و می گویند" در ریاضیات کار ما فقط بازی با نمادهای بی معنی است. شاید برای ریاضیدان حرفه ای اهمیتی نداشته باشد که چنین موضع دوگانه ای اتخاذ کند و به اصطلاح در روزهای هفته افلاطونی و در تعطیلات آخر هفته صورت گرا باشد، ولی فیلسوف ریاضی نمی توانند چنین برخوردی را بپذیرد.
افلاطون گرائی ساده این است که عقیده داشته باشیم موجودات ریاضی به صورت مثالی یا آرمانی در عالم مثال، تحقق عینی دارند و ازلی و ابدی اند. از این دیدگاه، اعیان ریاضی از وجود ما مستقل و احکام ریاضی پیشینی و ضروری اند، ولی افلاطون گرایان اخیر نظیر کواین و پاتنم عینیت موجودات ریاضی را مبتنی بر رابطه ریاضیات و علوم
طبیعی می دانند. از آنجا که کاربرد ریاضیات در فیزیک اجتناب ناپذیر است و فیزیک درباره واقعیت عینی است، پس ریاضیات هم به عالم عینی مربوط می شود. موضوع این است که با این بیان ریاضیات نیز مانند فیزیک می شود و دیگر پیشینی و ضروری نیست.
ما در فیزیک، موجودات نظری مشاهده تا پذیر مانند پایون و کوارک داریم، وجود آنها را چگونه توجیه می کنیم؟ وجود اشیاء ریاضی را نیز می توان به همین ترتیب توجيه کرد. این واقعیت گرایی را در مورد اعیان ریاضی و موجودات مشاهده ناپذیر فیزیکی واقع گرائی علمی می خوانیم و در مقابل واقع گرائی ساده قرار می دهیم. گودل سؤال اساسی تری را پیش می کشد و می پرسد که اصلا چرا ما به وجود اعيان طبیعی عقیده
افلاطون گرانی در فلسفه ریاضیات ۱۰۷ داریم. ماهیت یک شیء فیزیکی و به اصطلاح كانت ماهیت شیء في نفسه برای همیشه مكتوم است. ما فقط به نمودها و پدیدارهای عالم دانش حضوری داریم؛ فقط به رنگ و بو و طعم و سایر ارتسامات و انطباعات حسی خود دسترسی بی واسطه داریم و وجود شیء فیزیکی را به عنوان بهترین تبیین این ارتسامات فرض می کنیم.
به نظر گودل، منطق و ریاضیات مانند فیزیک بر مبنای اصول موضوعه با محتوای عینی و مضمون واقعی بنا شده اند. فرض وجود مجموعه ها همان قدر مشروع است که فرض وجود اعیان طبیعی. ما همان طور که برای تبیین ادراک حسی خود فریضه وجود اعیان طبیعی را پیش می گیریم، برای توجیه و تبیین یک نظام ریاضی نیز وجود مجموعه ها را فرض می کنیم؛ بنابراین، همان طور که ادراک حسی ما منشأ شناخت هستی فیزیکی است، شم و شهود ما نیز چنین نقشی را در شناخت ریاضی ایفا می کند. گودل حتی آن دسته از حقایق ریاضی را نیز که بر خلاف شم و شهود ما هستند عینی می داند و این باور را با اعتقاد به عینیت موجودات مشاهده ناپذیر فیزیکی قابل مقایسه می داند. به نظر او در ریاضیات نیز مانند فیزیک، وقتی اصل موضوعی فاقد بداهت شهودی باشد باز می توانیم صدق آن را به دلیل کارآیی اش در اثبات نتایج تصدیق پذیر قبول کنیم. روشا
و علوم انسانی و مطالعات اور برهان اجتناب ناپذیری کواین | پانتم، مبتنی بر اجتناب پذیری کاربرد ریاضیات در علوم طبیعی است. علم بدون ریاضیات، تصورپذیر نیست؛ پس ما ملزم به قبول اشياء ریاضی هستیم، یعنی فرض وجود آنهابرای بهترین تبیین و توجیه ما از پدیدارهای هستی ضروری است. البته توجیه این نحله از واقع گرائی ریاضی مستلزم اثبات رابطه میان علوم طبیعی و ریاضیات است. در اینجا می بینیم که افلاطون گرائی معاصر با افلاطون گرائی ساده تفاوت بارزی دارد. ولی تلقی فیلسوف معاصر از افلاطون گرائی به هیچ وجه چنین نیست. ریاضیات بدان دلیل راجع به واقعیت عینی است که در بطن نظریه علمی قرار دارد و به همین جهت مانند تمام نظریات علوم تجربی نه قطعیت و ضرورت دارد و په مقدم بر تجربه است.
بالا به
۱۰۸
پژوهشنامه علوم انسانی
اشکال این دیدگاه آن است که فقط به بخشی از ریاضیات مربوط می شود که در علوم
تجربی کاربرد دارد. بخشی از ریاضیات معاصر کاربرد ندارد و بنابراین برهان اجتناب ناپذیری کواین | پانتم در مورد این بخش از ریاضیات پذیرفتنی نیست. کواین فقط آن قسمت از ریاضیات را عینی می داند که در علوم طبیعی مورد نیاز است. به نظر او پی آمدهای ترانسفینی ریاضیات متناهی فقط به دلیل سادگی دستگاه مطرح می شوند. ایرادی
که به نظریه کواین می گیرند این است که اولا اکثر ریاضیدانان قبول نمی کنند که توجيه ادعاهای آن ها مبنی بر آزمایشهای فیزیکی است؛ ثانية تز کواین فقط ریاضیاتی را توجیه می کنند که در سطوح بالا وارد نظریه پردازی علمی می شوند، ولی مقبولیت ریاضیات مقدماتی نظیر "4=2+2" را تبیین نمی کند.
از وجهی می توان خود افلاطون گرایی را به دو نحله تقسیم کرد: افلاطون گرائی عینی و افلاطون گرایی ساختاری. از دیدگاه نخست، اشیاء انتزاعی ریاضی در خارج از زمان و مکان وجود دارند و قضایای ریاضی به توصیف این اشیاء می پردازند. فرگه و گودل به این نحله متعلقند. افلاطون گرایان ساختاری معتقدند که نظریات ریاضی توصیف الگوها ساختارهای انتزاعی ریاضی اند که غیر فیزیکی، غیر ذهنی، فراز مانی، فرامکانی هستند. آنها این ادعا را که قلمرو انتزاعی مورد بحث مجموعه ای از اشیاء است رد می کنند.
مطابق افلاطون گرایی ساختاری، یک نظریه ریاضی درباره دستگاه خاصی از اشیاء انتزاعی نیست بلکه توصیف یک ساختار انتزاعی است. به عقیده پارسونز، در ساختارگرایی، اشیاء ریاضی خواص ذاتی ندارند و فقط روابط آنها با یکدیگر مطرح است. (303-Parsons
, P ) از آنجا که ما امروز عموما" ریاضیات را علم ساختارها یا الگوهای ریاضی می دانیم و به خواص ذاتی موجودات ریاضی - اگر واقعا" چنین موجوداتی وجود داشته باشد - توجهی نمی کنیم، این نحله از افلاطون گرایی اهمیت خاصی پیدا می کند.
هیچ نظریه ای را نمی توان به محض مقایسه با واقعیت ارزیابی نمود. یکی از راههای بررسی یک نظریه، مقایسه آن با نظریات رقیب است. برای فهم عمیق تری از افلاطون
افلاطون گرانی در فلسفه ریاضیات
۰۹
گرایی نگاهی به مکاتب آن می اندازیم.
افلاطون گریزی را نیز می توانیم به دو دسته اصلی تقسیم کنیم: افلاطون گریزی رئالیستی و افلاطونگریزی غیر رئالیستی. دسته اول می گویند که نظریات ریاضی به وصف اعیان انتزاعی نمی پردازند، بلکه اشیاء انضمامی (زمانی - مکانی) را توصیف می کنند. دسته دیگر بر این باورند که نظریات ریاضی در باره هیچ چیز نیستند و به عبارت دیگر مضمون واقعی ندارند. از دیدگاه دسته اول، ریاضیات درباره اشیاء فیزیکی است. بارزترین مدافع این نحله جان استوارت میل است که عقیده دارد گزاره های ریاضی کلی ترین قوانین طبیعت اند. مثلا" "3=2+1" به ما می گوید که اگر یک شیء فیزیکی را به دو شیء دیگر اضافه کنیم، سه شیء فیزیکی خواهیم داشت. این جمله هیچ حرفی از اشیاء انتزاعی نمی زند، چون به نظر میل اصلا اشیاء انتزاعی وجود ندارند. تعبیرات مختلفی از دیدگاه نحله دوم یعنی از افلاطون گریزی غیر رئالیستی شده است. یکی از آنها، قرارداد گرایی است. به نظر قرارداد گراها، راستي جملات ریاضی، راستی تحلیلی است. مثلا" جمله " 3=2+1" مانند جمله "همه مردان مجرد ازدواج نکرده اند." است و صدق آن مبتنی بر معنی واژه هائی است که در آن به کار رفته اند. تعبیر دیگری از این نحلة فكری، اگر - انگاه گرایی ( if
_ thenism) یا قیاس گرایی (deductivism) است. از این دیدگاه، صدق قضایای ریاضی به صورت اگر A آنگاه T" است که در آن A مجموعه ای از اصول موضوعه و Tقضیه ای است که بر پایه آن اصول اثبات می شود؛ مثلا اگر اصول موضوعه پیانو صادق باشد، قضية "3=2+1" ضرورت صادق است؛ به عبارت دیگر، جملة "3=2+1" قضیه ای از دستگاه صوری حساب پیانو است. از تعبیرات دیگر افلاطون گریزی غیر رئالیستی تلقی ویتگنشتاین از ماهیت قضایای ریاضی است. او در رساله بر این باور است که قضایای ریاضی همانگویی اند و در دوره اخیر تکامل اندیشه اش این قضایا را قاعده یا معیار می انگارد و من در مقالات دیگری به تفصیل در این باره بحث کرده ام. (علوی نیا، ص ۷۹ و بعد؛ ماونس، ص ۲۰ و ۵۸ - ۵۹) نیازی نیست که در اینجا آنها را تکرار کنم فقط لازم به یاد آوری است که برهان اجتناب
۱۱۰ پژوهشنامه علوم انسانی ناپذیری کوین به کلی رای ویتگنشتاین را تخطئه می نماید.
افلاطون گرایان کلاسیک: فرکه، گودل اغلب فلسفه افلاطون را ستایش می کنند ولى نظرية مثل او را متعلق به موزه تاریخ فلسفه می شمارند. ریاضیدانان تمایل بیشتری به افلاطون دارند و از آنجا که دائما" با عدد، تأبع، چند جمله ای و چیزهایی از این قبیل سر و کار دارند به این فکر می افتند که شاید این چیزها هم وجود مستقلی برای خود داشته باشند. ممکن است مسئله را به این صورت مطرح کنیم. ما در فیزیک از اشیاء فیزیکی صحبت می کنیم، اشیائی مانند میز و کتاب. موضوع مورد مطالعه ریاضی دان چیست؟ شاید جواب دهند که او به مطالعه اشياء ریاضی مانند عدد و تابع می پردازد. مسئله این است که اعیان فیزیکی، انضمامی هستند ولی اشیاء ریاضی، انتزاعی و مجردند. شناخت اشیاء فیزیکی بر پایه ادراکات جسمی است که از طریق آلات حسی مانند چشم و گوش حاصل می شوند. در شناخت موجودات مجرد و انتزاعی ریاضی چنین امکانی نیست. بدین جهت بسیاری از فلاسفه و ریاضی دانان واقعیت موجودات ریاضی را انکار نموده و گزاره های ریاضی را تهی از مضمون عینی و محتوای تجربی می دانند. مثلا ویتگنشتاین ریاضیات را به دو بخش کاربردی و محض تقسیم می کند و میگوید که ریاضیات کاربردی همان فیزیک است و
ریاضیات محض هم حرفی از عالم نمیزند. (32-31.Einstein
, P ) حلقه وینی ها قضایای
ریاضی را همانگویی (tautology) یا معلوم متكرر و تهی از مضمون عینی می انگارند.
افلاطونگرانی ساده
ما میان سیب های مختلف شباهتی می بینیم و گاهی می گوییم: چیزی در میان آنها مشترك است. حالا ممکن است بپرسند آن چیز مشترک چیست. افلاطون گفت که شیء مشترک، مثال سیب است. این مثال، صورت کامل سیب با نمونه اعلای آن است و سیب های واقعی معمولی نمونه هایی از آن امثال اعلی هستند. مسأله این است که ما از
افلاطون گرانی در فلسفه ریاضیات
۱۱۱
کجا به مثل آگاهی پیدا می کنیم؟ به نظر افلاطون ارواح جاودانه ما قبل از ورود به این عالم از مثل آگاهند، ولی به محض ورود به این جهان گذشته ها را فراموش می کنند؛ بنابراین، از دیدگاه افلاطون یادگیری صرفا یادآوری است و روش درست تدریس روش سقراطی است که در آن معلم واقعیات را بیان نمی کند بلکه با سؤالات پی در پی شاگرد را وادار می نماید که مطالب گذشته را به یاد آورد. مثلا افلاطون در رساله منون سقراط را نشان میدهد که به دانش آموز کمک می کند فقط آنچه را قبلا می دانسته به خاطر آورد.
نظريه افلاطون از جهتی شگفت انگیز و از جهتی دیگر مهمل است. بدان لحاظ شگفت آور است که اگر آن را بپذیریم می بینیم قلمرو وسیعی را در بر می گیرد و بسیاری از مشکلات فلسفی ما را جواب می دهد. مثلا نشان می دهد که آنچه در همه سیبها مشترک است چه ماهیتی دارد؟ شناخت ما به چه طریق حاصل می شود؟ ریاضیات درباره چیست؟ به عنوان مثال، وقتی در باره دایره صحبت می کنیم به نظر نمی رسد که موضوع صحبتمان دایرة خاصی که بر روی کاغذ کشیده ایم باشد. چنین دایره ای فقط به دایره مورد نظر نزدیک است. در ریاضیات منظور ما از "دایره" یک دایره کامل است که در هیچ کجای این عالم مادی وجود ندارد. ( Plotto
, Book IV) پس در اینجا طبیعی است که ما به مثل جاودانه افلاطونی توجه کنیم. از جهت دیگر می بینیم که مجردات عالم مثال افلاطون متحيز در هیچ زمانی و مکانی نیستند و بدین دلیل فهم معنی عبارات موجود مجرد"، "روح ابدی" و "تذکار افلاطونی" دشوار است، ولی ما در فلسفه ریاضیات نیازی نداریم که همه عقاید افلاطون را بپذیریم. فقط می توانیم وجود مثل، به خصوص مثل ریاضی و امکان دسترسی به آن را قبول کنیم.
افلاطون گرایی فرگه به نظر فرگه تصورات و انطباعات ذهنی ما موجوداتی روانشناختی اند. او مضمون این تصورات را "اندیشه" می خواند. اندیشه نه از اعیان عالم طبیعی است و نه از تصورات
| |
| لا لا
15 همه
اعلان
[
۱۱۲ پژوهشنامه علوم انسانی ذهنی بلکه از عالم مثال افلاطونی است. مثلا اندیشه ای که با قضیه فیثاغورث بیان می شود جاودانه است و صدق آن از این که ما آن را بدانیم یا ندانیم مستقل است. اگر کسی این قضیه را کشف نمی کرد باز هم صادق بود. به قول فرگه این اندیشه مانند سیاره ای است که قبل از اینکه کسی آن را دیده باشد وجود داشته است. (523.Erege
, P ) به عبارت دیگر، قضایای ریاضی صادق یا کاذبند ولی این صدق یا کذب ربطی به آگاهی ما از آن ندارد، و می توان گفت که صدق ریاضی بخشی از واقعیت عینی است. فرگه به انتقاد از صورت گرایی اولیه می پردازد. به نظر او ریاضیات نمی تواند درباره نمونه هایی از نمادهای منفرد باشد، بلکه در باره انواع یا طبقاتی از نمادهاست.
سلسله ای مانند }}}} { شامل پنج نمونه مجزاست که همه آنها از یک نوعند. می بینیم که نمونه ها، انضمامی اند ولی انواع، مجرد و انتزاعی هستند. ممکن است خود این نمونه ها نمادهایی بی معنی باشند، ولی انواع به هیچ وجه چنین نیستند.
از طرف دیگر، حتی اگر ریاضیات را مانند بازی شطرنج یک بازی بی معنی با
مهره های بی معنی تلقی کنیم، فرا۔ نظریه یک بازی نمی تواند بی معنی باشد؛ به عبارت دیگر فرا۔ ریاضیات بی معنی نیست. مثلا فرض کنید بگوییم "برهان فلان قضیه پنج مرحله دارد" با "با شاه و دو اسب نمی توان طرف مقابل را مات کرد. این جملات فرا۔ قضیه هایی درباره بازیهای ریاضیات و شطر نجند و کاملا با معنی اند. شاید همانطور که فرمالیست ها می گویند بازی شطرنج و یک دستگاه صورت ریاضی بازی هایی بی معنی باشد ولی فرا- قضیه هایی که درباره این بازی مطرح می شوند، بی معنی نیستند و محتوا و مضمون عینی دارند.
افلاطون گرایی گودل به نظر گودل مجموعه ها و سایر موجودات ریاضی، اشیائی واقعی هستند که از تعاریف و ساختمان های ریاضی ما مستقل اند. او ریاضیات را با فیزیک مقایسه می کند و می گوید:
درست به همان دلیل که ما وجود اشیاء فیزیکی را می پذیریم موجودات ریاضی را هم قبول
افلاطون گرانی در فلسفه ریاضیات
۱۱۳
میکنیم. یعنی همانطور که برای تبیین ادراکات حس خود وجود اعيان طبیعی را فرض می نماییم، پذیرش واقعیت اشیاء ریاضی هم برای تأسیس یک نظام قابل قبول ریاضی ضروری
(Godel, Russells mathematicallogic, P,456_7).com
ما ادراکی حسی از مجموعه ها نداریم ولی چاره ای هم نداریم که چیزی شبیه این
ادراک را در مورد مجموعه ها بپذیریم.
من دلیلی نمی بینم که ما به این نوع ادراک، یعنی شهود ریاضی، اطمینان کمتری از ادراک حسی
داشته باشيم. (483 .
Golde
,
What is captar .
.
.
P
)
مطابق نظر گودل ما می توانیم اشیاء ریاضی را با چشم ذهن شهود کنیم. البته اصطلاح
چشم ذهن ( mind
' s eye) یک استعماره است، ولی ما چاره ای جز استعمال این استعماره نداریم؛ به عبارت دیگر، همان طور که با ادراکات حسی از فضای فیزیکی اطلاع حاصل می کنیم به فضای موجودات ریاضی نیز به طریقی مشابه آن، یعنی از راه شهود ریاضی دسترسی پیدا می نمایم.
همانطور که قضایای اولیه ادراک حسی - مانند "علف سبز است" - دارای بداهت حسی هستند، می توانیم بگوئیم قضایای ساده ریاضی مانند "12=7+5" نیز دارای بداهتی شهودی اند. ما احساس می کنیم که باید قضية "12=7+5 " را بپذیریم. باور ما بدين قضيه مبتنی به شم و شهود است؛ به اصطلاح می گوییم قضیه مذکور دارای بداهت ذاتی است. این موضوع یکی از وجوه تفوق افلاطون گرایی بر سایر نحله های فلسفه ریاضی مانند قراردادگرایی است. به نظر قراردادگراها ریاضیات مانند یک بازی شطرنج است که با قواعد خاصی در مورد نمادهای ریاضی انجام می شود. در اینجا، افلاطون گرایی در راستای این واقعیت روانشناختی است که ما احساس می کنیم بازی با مهره های شطرنج به صلابت و استحکام قضية "12=7+5" نیست. مسأله این است که ما می توانیم ادراک حسی معمولی خود را توجیه و تبیین کنیم ولی هیچ اطلاعی از نحوه کار چشم ذهن نداریم. حالا ببینیم که دقیقا از ادراک حسی معمولی چه می دانیم؟ البته به جنبه فیزیولوژیک این فرآیند واقفیم، ولی درباره خود ادراک و نحوه تکوین باوری که مثلا
۱۱۴ پژوهشنامه علوم انسانی به وجود یک کتاب پیدا می کنیم چیزی نمی دانیم. مثلا من کتابی را روی میز می بینم. ابتدا فوتونها از کتاب می آیند و وارد چشم من می شوند. در آنجا واکنش هایی صورت می گیرد و علامتی از عصب نوری به بخش بصری پوسته مخ فرستاده می شود و امثال آن اینها جنبه فیزیولژیک قضیه است. موضوع این است که هیچ کس تا به حال نحوه تکوین
خود ادراک و نحوه شکل گیری باور را روشن نکرده است. اینکه چگونه یک فرآیند فیزیولژیک به باور تبدیل می شود، رمز و راز بزرگی است. این، در واقع همان مسأله قدیمی رابطه ذهن و عین است که کما كان لا ينحل باقی مانده است. رازگونگی این مسأله درست مانند آن است که نمی دانیم چگونه موجودات ریاضی سبب تكوين معتقدات ریاضی ما می شوند. البته اگر می توانستیم هر دو راز را بدانیم خیلی خوب بود ولی به هر حال جهل ما در مورد موجودات ریاضی بیشتر از نا آگاهی ما از اعیان طبیعی نیست.
اصلا این ادعا که ما به مکانیسم ادراک حسی معمولی کاملا واقفیم ولی از مکانیسم شهود ریاضی بی اطلاعیم، ربطی به مسأله مورد بحث ندارد. بینیم ادعای افلاطون گرا چیست؟ او می گوید ما از نظریه و پراتیک ریاضی آگاهی داریم و این واقعیتی است که نیاز به تبیین و توضیح دارد. بهترین تبیین این است که بگوییم اعیان ریاضی وجود دارند و ما می توانیم با چشم ذهن آنها را بینیم. این استدلال شبیه موضوعی است که در برابر بار کلی مطرح شد. ما می دانیم که کتاب روی میز است و باید توضیح دهیم که این شناخت از کجا حاصل می شود. بهترین تبیین این است که بگوییم کتاب واقعا وجود دارد و باعث ارتسامات و انطباعات ذهنی ما می شود. آیا در اینجا لازم است که ما مکانیسم ادراک حسی را به تفصیل بیان کنیم تا استدلالمان اقناعی باشد؟ نه! دانشمندان قبل از اینکه فتوترا کشف کنند این استدلال را عليه بار کلی پذیرفتند. اینکه افلاطون گرا نمی تواند مکانیسم رؤیت با چشم ذهن را با دقت و صراحت بیان کند به هیچ وجه خللی به استحکام استدلال او وارد نمی کند.
از طرف دیگر، درست است که ما رابطه مستقیم با موجودات ریاضی نداریم، ولی
پوزیترون و الكترون را هم بی واسطه نمی شناسیم. به نظر گودل اصول موضوعه یک
افلاطون گرانی در فلسفه ریاضیات ۱۱۵ دستگاه ریاضی حدس هایی هستند که دارای مضمون عینی اند و با نتایج خود آزموده می شوند. بدین اعتبار، یک دستگاه ریاضی مانند فیزیک است. ما فرضیه ای را به عنوان یک حدس مطرح می کنیم و نتایجی از آن استخراج می نماییم که در آزمایشگاه تأييد يا تکذیب می شوند. اگر این نتایج صادق بودند باور ما به آن فرضیه بیشتر می شود و اگر کاذب از آب در آمدند آن فرضیه را رد می کنیم. مسأله ای که پیش می آید این است که آزمون و ارسی یک فرضیه به این سادگی نیست، چون یک فرضیه کاذب می تواند نتایج صادقی داشته باشد؛ به صرف اینکه نتایج حاصل از یک فرضیه صادقند، آن فرضیه
محقق نمی شود. تاریخ نظريه مجموعه ها هم این مطلب را نشان می دهد.
برهان اجتناب ناپذیری کوان / پاتنم
دید
آیا ریاضیات برای علم تجربی ضروری است؟ به عبارت دیگر، آیا کاربرد ریاضیات در علوم طبیعی اجتناب ناپذیر است؟ این موضوع، مسأله اصلی مورد نزاع نامگرایان و واقع گرایان است. پاسخ کو این و پاتنم به این مسأله مثبت و پاسخ هارتری فیلد منفی است. گزاره "دو سیب در سبد است" را در نظر بگیرید. به نظر می رسد که برای بیان این گزاره ها راهی جز استفاده از عدد 2 نداریم ولی با کمی توجه می بینیم که می توان مضمون آن را بدون توسل به حساب بدین صورت بیان کرد:
و ((
Px
&
Py
&
xy
&
(
Pzz
=
Xvz
=
y
) د ax ayz که در آن P به معنی "سیبی در سبد است" می باشد. به نظر فیلد تمام علوم را می توان بدون
استفاده از عدد به همین ترتیب ارائه نمود. البته او قدرت اکتشاف ریاضیات یا نقش روانشناختی آن را برای فیزیک انکار نمی کند، ولی می گوید که ریاضیات برای علوم طبیعی ضروری نیست. |
کواین و پاتنم در مقابل فیلد قرار می گیرند و می گویند چون گزاره های ریاضی برای علوم طبیعی ضروری اند، باید صادق باشند و برای اینکه صادق باشند باید اشیائی نظیر مجموعه، تابع و عدد واقعا وجود داشته باشد.
۱۹۹
پژوهشنامه علوم انسانی
أيمن.
استفاده از نظريه تسوير در مورد موجودات ریاضی در علوم طبیعی و صوری اجتناب ناپذیر است.... این مطلب ما را وادار می کند که وجود اشیاء ریاضی را بپذیریم. البته ابتکار اولیه این نور استدلال با کو این است که سالها بر اجتناب ناپذیری تسویر روی موجودات ریاضی اصرار ورزیده و انکار وجود اشیائی را که از پیش فرض های روزمره ما هستند، خلاف صداقت علمی دانسته است. (57.Putnam
, P ) مطابق معیار کواین - که پاتن آن را تأیید کرده است . وقتی می پذیریم که جمله ای صادق است و هیچ راهی هم برای بیان آن به طریق دیگری که بتوانیم عبارت حاوی سورش را حذف کنیم نداریم، ملزم هستیم که وجود این اشیاء ریاضی را قبول کنیم. به عبارت دیگر، ریاضیات برای علم ضروری است و صداقت علمی ایجاب می کند که بپذیریم اعداد و سایر موجودات ریاضی تحقق عینی دارند. |
فیلد در برابر این افلاطون گرایی به نوعی نام گرایی روی می آورد. او مدعی است که ریاضیات برای علوم طبیعی ضروری نیست و فقط مدلهایی ارائه می نماید که در آن عالم یا بخشی از آن باز نمایی می شود. به نظر فیلد ما می توانیم بدون استفاده از ریاضیات هم به همان نتایج منطقی برسیم. اشکال کار در این است که در اینجا مفهوم نتیجه منطقی به منطق مرتبه دوم متعلق است و منطق مرتبه دوم را نمی توان به روش بازگشتی، اصل موضوعی کرد؛ به عبارت دیگر، در اینجا "نتیجه منطقی" اصطلاحی شناختی است. شاید بتوان استنتاجات نحوی را (که زنجیره ای از نمادهای بی معنی هستند) نامینالیستی دانست، ولی بدون شک این مطلب در مورد استنتاجات معنی شناختی درست نیست. این استنتاجات مبنی بر مفهوم صدق به معنی "صدق در همه مدلها" هستند، که متعلق به نظریه مجموعه هاست. از نظر کواین منطق مرتبه دوم همان نظریه مجموعه ها است که به لباس دیگری ارائه شده است. (68.Quine
, P )
برهان معرفت شناختی بناسراف اگر نظریة علی شناخت را بپذیریم، می توانیم بگوییم برای اینکه چیزی شناخته شود باید
افلاطون گرانی در فلسفه ریاضیات ۱۱۷ بين فاعل شناسا و موضوع شناسایی رابطه ای علی برقرار شود. از آنجا که اعیان مجرد عالم مثال، فرا - مکانی و از نظر علی بی اثرند، نمی توانیم با آنها رابطه ای داشته باشیم. نتیجه ای که میگیریم این است که حتی اگر اعیان مذکور وجود داشته باشند نمی توانیم هیچ شناختی از آنها داشته باشیم؛ پس رأي فيلسوف افلاطونی باطل است. این ایراد مبتنی بر نظریه علی شناخت است که این روزها، به خصوص از طرف معرفت شناسان طبیعی، مورد تأیید قرار گرفته است. |
بدین بیان، شناخت ریاضی نمی تواند درباره اعیان مجرد باشد و باید آن را به طریق دیگری توجیه نماییم. این شیوه استدلال دست کم به سکستون امپیریکوس بر می گردد و
بیان جسدید آن در مقاله
کلاسیک 1973 نوشته بناسراف ارائه شده
است. ( 403
. 420 .Benacerraf , P ) خلاصه برهان معرفت شناختی بناسراف این است که معنی شناسی رسمی تارسکی در ریاضیات با نظرية على شناخت قابل تلفیق نیست. این برهان را تقریبا می توانیم بدین صورت بنویسیم:
.. ما انسانها موجوداتی کاملا زمانی به مکانی هستیم یعنی متحيز در زمان و مکان
خاصی هستیم؛
٢. اگر اشیاء انتزاعی ریاضی وجود دارند، خارج از زمان و مکانند؛
٣. با دو مقدمة فوق و بنا بر نظریه علی شناخت، اگر اشیاء انتزاعی ریاضی وجود
دارند، ما نمی توانیم شناختی از آنها داشته باشیم؛
۴. پس اگر افلاطون گرایی ریاضی درست باشد، ما نمی توانیم از ریاضیات شناختی
داشته باشیم؛
۵، ما دارای شناخت ریاضی هستیم؛
. بنابراین، افلاطون گرایی باطل است. به بیان دیگر، اگر اشیاء ریاضی خارج از زمان و مکانند، از نظر علی بی اثرند، یعنی نمی توانند با هیچ چیز رابطه ای علی داشته باشند؛ بنابراین، با ما هم چنین رابطه ای ندارد. حالا اگر ما نظرية على شناخت را به عنوان بهترین نظریه قبول داریم، به هیچ وجه
وا
L
۱۱۸
پژوهشنامه علوم انسانی
نمی توانیم شناختی از موجودات ریاضی به دست آوریم.
در پاسخ بناسراف، یک راه این است که نظریه علی شناخت را رد کنیم، یعنی مثال نقضی برای آن پیدا کنیم؛ به عبارت دیگر، در جهان فیزیکی موردی بیابیم که این نظریه صدق نمی کند. اگر نشان دهیم که از یک واقعه فیزیکی آگاهی داریم ولی هیچ رابطه على با آن نداریم، در آن صورت حکم مورد نظر خود را ثابت کرده ایم؛ این مثال نقض، تجربه ذهنی اینشتاین، پادیسکی وزن است. فرض کنیم با تجربه یک ذرۂ بنیادی دو فوتون در دو جهت مخالف به طرف آشکار ساز هایی که در دو طرف یک دستگاه نصب شده اند حرکت نمایند. آشکارسازها دارای صافی های پلاریزاسیون هستند که جهت اسپین فوتونها را نشان می دهند. تئوری و تجربه نشان می دهد که حالت اسپین دو فوتون به یکدیگر وابسته است. یعنی اگر اسپین یکی از آنها به طرف بالا باشد. اسپین دیگری به طرف پائین خواهد بود، ولی ما هرگز نمی توانیم پیش بینی کنیم که چه اسپینی در کدام طرف دستگاه حاصل می شود. در اینجا، نکته مهم وابستگی کامل دو فوتون است. ممکن است بگوییم که اندازه گیری در یک شاخه دستگاه سبب می شود که نتیجه حاصله در طرف دیگر چنان شود؛ ولی این مکان با توجه به نظریه نسبیت خاص منتفی می شود؛ چون هیچ اثری نمی تواند با سرعتی بیش از سرعت سیر نور منتقل شود؛ یعنی این دو اندازه گیری خارج از مخروط نوری یکدیگر واقع می شوند و بنابراین هیچکدام از آنها بر دیگری تأثیری نمی گذارد. ممکن است فرض کنیم که عامل مشترک پنهانی در موقع تولید این زوج فوتون در کار است که سبب وابستگی آنها به یکدیگر می شود. این نتیجه ای بود که اینشتاین، پادلسکی و رزن گرفتند و این علت مشترک را متغییر موضعی پنهان خواندند. ولی بنابر کارهای جان بل، وجود چنین متغیر پنهانی محال است؛ چون نتایج تجربی و پیش بینی های نظری مبتنی بر فرمالیسم هایزنبرگ نیز خلاف آن را نشان می دهد؛ بنابراین، ما به یک مثال نقض آشکار در مورد نظریه علی شناخت رسیده ایم. البته ممکن است کسی نظریه نسبیت خاص را قبول نکند و بگوید که یک علامت می تواند با سرعتی بیش از سرعت سیر تور فرستاده شود یا ممکن است که نتایج کارهای
افلاطون گرانی در فلسفه ریاضیات
۱۱۹
جان بلی را درباره متغير موضعی پنهان رد کند، ولی پذیرش این چیزها آسانتر از قبول نظریه نسبیت خاص و نتایج کارهای جان بلی نیست. وقتی ما نظریۂ علی شناخت را رد
کردیم دیگر مانعی در راه شناخت اعیان انتزاعی نخواهیم داشت و مشکل عدم دسترسی به موجودات مجرد ریاضی منتقی خواهد شد. از طرف دیگر اگر تعبیر کپنهاگی فرمالیسم هایزنبرگ را بپذیریم، می بینیم که مسأله ای در بین نیست. شگفت انگیز ترین ره آورد نظریه هایزنبرگ این است که عمومیت اصل علیت را مورد شک قرار می دهد و تمام تعصباتی را که از زمان نیوتن بر قلمرو فیزیک حاکم بوده است فرو می ریزد. راسل، ص ۷۹) در فیزیک کلاسیک، قوانین اساسی ضروری تلقی می شوند و تحلیل آماری فقط وسیله ای عملی برای کار کردن با دستگاههای پیچیده است و جنبه نظری ندارد؛ یعنی در آن جا آمار به منظور تسهیل کار یا به دلیل ناآگاهی ما مطرح می شود، ولی هایزنبرگ دیدگاه آماری را اصل قرار می دهد و انگاره وجوب علی را رد می کند؛ به عبارت دیگر، ما در طب، اقتصاد و سایر علوم اجتماعی و حتی در مکانیک آماری کلاسیک به دلیل پیچیدگی موضوع و ناآگاهی خود به آمار متوسل می شویم، ولی قوانین اساسی هستی را واجب و ضروری می انگاریم. در نظریه کوانتومی با یک رشته قوانین آماری برخورد می کنیم که از نا آگاهی ما ناشی نمی شوند بلکه مبین ساختار اساسی عالمند.
پرتال جامع علوم انسانی
صورت گرایی هیلبرت و تخیل گرایی فیلد صورت گرایی اولیه با کار فرگه در ۱۸۸۴ به کلی در هم شکسته شد. ( Frege
,
Arithmetic the Fundations) جنبه کانتی صورت گرایی هیلبرت آن را از صورت گرایی قبل از او متمایز می سازد. از نظر كانت زمان و مكان صور ادراک حسی هستند. ما اشياء را در قالب زمان و مکان تجربه می کنیم. خود زمان و مکان دارای وجودی مستقل و جدا از ما نیستند و واقعیت عینی ندارند. پس به اعتباری می توانیم بگوئیم که ما آنها را خلق می کنیم. هندسه به شهود ما از مکان، و حساب به شهود ما از زمان مربوط می شود. البته حدی برای حرکت ما در فضا نیست. هر چه جلو می رویم، باز می توانیم قدمی جلوتر
۱۲۰ پژوهشنامه علوم انسانی بگذاریم و هر تعدادی از وقایع را هم که تجربه می کنیم، همیشه ممکن است واقعه دیگری را تجربه نمائیم، ولی هر مرحله را که در نظر بگیریم میگوئیم که تا آن مرحله فقط قدمهای محدودی برداشته ایم و وقایع محدودی را تجربه نموده ایم؛ بنابراین زمان و مکان مورد شناسایی ما دارای محدودیت ذاتی اند. از نظرگاه كانت تنها بی نهایت مجازی بی نهایت بالقوه (potential infinity) است نه بی نهایت بالفعل (actual infinity) از آنجا
که زمان و مکان به اعتباری مخلوق ما هستند، پس خواص آنها را به صورت پیشینی با ما قبل تجربی می دانیم؛ بنابراین، یک ریاضی دان کانتی مانند هیلبرت بر این باور است که ما می توانیم حقایق ریاضیات متناهی را که مستقیما با ادراک حسی ما وابسته است با قطعیت بشناسیم. بدین ترتیب هیلبرت چهار چوب معرفت شناسی کانت را می پذیرد و آن را در مورد نمادهای ریاضی به کار می برد. به عنوان مثال، توالی نمادهای {}{}{ را به عنوان اشیائی که موضوع ادراک حسی ما هستند در نظر بگیرید. واضح است که وقتی سری های // و // را کنار هم بگذاریم به سری }}}}} می رسیم. حالا می توانیم این مطلب را بدین شکل بنویسیم: "ك=3+2". حقیقت مسلم مذکور، نه به عالم مثال افلاطونی تعلق دارد و نه موضوعی زبانشناختی است بلکه حقیقتی پیشینی درباره ساختار هر ادراک حسی است. کما و علوم انسانی و مطالعات در این
اگر ما به ریاضیات متناهی قانع بودیم این بیان هیلبرت توجیهی برای تمام ریاضیات می شد ولی هیلبرت می خواست که تمام ریاضیات کلاسیک را حفظ کند. بخشی از ریاضیات کلاسیک نظریه مجموعه های ترانسفینی است که هیلبرت درباره آن می گوید:
هیچکس نمی تواند ما را از بهشتی که کانتور برایمان آفریده است بیرون براند. (191 .Hilbert
, p )
از نظر تاریخی همه پارادکس ها و معضلات ریاضیات از موضوع "بی نهایت " ناشی شده است. از پارادکس های زنون ایلیایی گرفته تا مسأله بی نهایت کوچکها در قرن هفدهم و پارادکس های نظریه مجموعه ها در اواخر قرن نوزدهم در همه جا اشکال کار به "بی نهایت ریاضی" مربوط بوده است. هیلبرت میدید که در عالم طبیعی، مجموعه های نامتناهی یافت نمی شوند. از طرف دیگر اگر فرضیه اتمی را هم بپذیریم، باز
عفي
افلاطون کرائی در فلسفه ریاضیات
۱۳۱
از جنبه مفهومی، مشکل حل نمی شود. اشیاء بینهایت کوچک وجود عینی ندارند؛ چون امکان تقسیم پذیری هیچ شیئی بی نهایت نیست. از دیدگاه نظریه نسبیت عام نیز عالم، متناهی است؛ یعنی مثلا تعداد ستاره ها بی نهایت نیست؛ بنابراین، مفهوم بی نهایت نمی تواند مبتنی بر ادراک حسی ما باشد. هیلبرت می خواست که ریاضیات ترانسفینی را در چهارچوب ریاضیات متناهی کانتی بگنجاند، بدین معنی که قدرت، کارآیی و زیبایی خیره کننده ریاضیات کلاسیک را حفظ کنند و در عین حال به طریقی مطمئن شوند که دیگر هیچ پارادکسی پیدا نخواهد شد. هیلبرت می گوید: |
هدف نظر به من این است که یکبار و برای همیشه تطعيت روشهای ریاضی را ثابت
کنم. (184 .Hilbert
, p )
میلبرت ریاضیات را به دو دسته تقسیم کرد: بخش متناهی که به دلائل کانتی فوق، با معنی و صادق است؛ و بخش نامتناهی که بی معنی است و هیچ ارزش صدقی ندارد. به نظر او ؛ علی رغم اینکه قضایای ریاضیات نامتناهی بی معنی است، وقتی آن را به بخش محدود و متناهی ریاضیات به عنوان مکمل می افزاییم قضایای با معنی جدیدی استنتاج می نماییم. ریاضیات نامتناهی که هیلبرت آن را بخش آرمائی ریاضیات را می خواند، فقط ارزش ابزاری دارد و قضایا و برهانهای ریاضی را ساده می کند. نمی توانیم عناصر آرمانی را هر کجا که می خواهیم اضافه کنیم. افزودن عناصر آرمانی به منظور گسترش دامنه ریاضیات متناهی فقط به شرطی مجاز است که مایه تناقض نباشد؛ یعنی افزودن عناصر آرمانی مشروط به برهان سازگاری دستگاه است. هیلبرت اعداد موهومی و مجموعه های ترانسفینی را به عنوان نمونه هایی از عناصر آرمانی ریاضیات متناهی ذکر می کند؛ بدین ترتیب، ریاضیات را منبع دو نوع فرمول می انگاریم: یکی فرمولهای معطوف به قضایای ریاضیات متناهی و با معنی و دیگری فرمولهایی که به هیچ چیز دلالت نمی کنند و ساختارهای آرمانی نظریه ما هستند.
به نظر هیلبرت، ریاضیات درباره نمادهای بی معنی است، ولی ریاضیاتی که در اینجا مطرح می کند ریاضیات نامتناهی نیست بلکه ریاضیات متناهی است که مستقیما به
بینن.
۱۲۲
پژوهشنامه علوم انسانی
ادراک حسی اعیان انضمامی یعنی ادراک حسی نمادهای خود ریاضیات کلاسیک وابسته است. اگر ما نگران سازگاری نظریه مجموعه های ترانسفینی هستیم نمی توانیم از خود این نظریه برای بررسی سازگاری آن استفاده کنیم ولی می توانیم برای این کار به تکنیکهای ریاضیات متناهی متوسل شویم. یکی از روشهای اثبات سازگاری یک دستگاه، استفاده از برهان سازگاری نسبی است. مثلا سازگاری دستگاه هندسه های نا اقلیدسی در قرن نوزدهم به وسیله اثبات سازگاری یک مدل اقلیدسی آنها نشان داده شد. میلبرت هم برای نشان دادن سازگاری هندسه اقلیدسی، یک برهان سازگاری نسبی ارائه کرد و از اعداد حقیقی به عناون مدل استفاده نمود. برنامه هیلبرت را دیگران ادامه دادند و بدین ترتیب دژ محکمی در برابر افلاطون گرایی تأسیس شد تا اینکه مقاله ۱۹۳۱ گو دل این دژ را در هم کوبید.
بارزترین و روزآمدترین شاخه افلاطون گریزی غیر رئالیستی، نحله تخیل گرایی (Fictionalism) در ریاضیات است. از این دیدگاه، جملات و نظریات ریاضی همان معنای ظاهری خود را دارند و از این لحاظ تخیل گرایان به افلاطون گرایان شبیه اند. مثلا آنها می پذیرند که جملة "3 عدد اول است" درباره چیزی به نام عدد 3 است. نکته اصلی این است که وقتی می گوییم رمان اولیورتویست درباره پسر یتیمی به نام اولیور است، هیچ ضرورتی ندارد که قبول کنیم واقعا چنین پسر یتیمی وجود داشته است. در اینجا هم می گوییم اگر چیزی به نام عدد 3 وجود داشته باشد، در آن صورت آن چیز یک شیء انتزاعی است. اختلاف تخیل گرایان و افلاطون گرایان این است که تخیل گرایان قبول ندارند که واقعا چیزی به اسم عدد 3 وجود دارد؛ و بنابراین نمی پذیرند که جملاتی چون "3 عدد اول است" صادق اند. به نظر تخیل گرایان، نظریات ریاضی مانند داستانهای تخیلی اند. می گوییم: "رستم سهراب را کشت" یا "بابانوئل در قطب شمال زندگی می کند". این جملات راست نیستند؛ چون "بابانوئل" و "سهراب" (به صورتی که در شاهنامه آمده است) مصداق عینی ندارند. حالا، همانطور که بابانوئل وجود ندارند، عدد 3 هم از مضمون عینی تھی است. پس از این دیدگاه، اشیاء ریاضی وجود ندارند و بنابراین، اسامی
افلاطون گرائی در فلسفه ریاضیات ۱۲۳ خاص ریاضی هم الفاظی بی محتوی هستند. شاید این ادعای تخیل گرایان که می گویند قضایائی چون "3=2+1"كاذبند، عجیب به نظر آید. ولی از آنجا که آنها به اشیاء انتزاعی عقیده ندارند و ریاضیات هم درباره اشیاء انتزاعی است، طبیعی است که ریاضیات را مانند یک داستان تخیلی بیانگارند که قضایای آن صادق نیستند. شاید بپرسید که اگر "3=2+1" قضیهای کاذب است، چه فرقی با قضية كاذبی چون "3=2+2" دارد؟ موضوع این است که جمله "3=2+1" بخشی از یک داستان رسمی و شناخته شده ریاضی است، در حالی که "4=2+1" چنین نیست. به بیان دیگر هیچکدام از دو قضية 3= 1
+ 2 و 4=2+1 به خودی خود صادق نیستند. شاید بپرسید که اگر " 3=2+1" قضیه ای کاذب است، با قضیه کاذبی چون "4=2+2" چه فرقی دارد. موضوع این است که جمله "3=1
+ 2" بخشی از یک داستان رسمی و شناخته شده ریاضی است، در حالی که
"4=1
+ 2" چنین نیست. به بیان دیگر، هیچکدام از دو قضية " 3=2+1" و " 4=2+1" صادق نیستند. محمول صدق دیگری داریم که عبارت است از " در داستان ریاضیات صادق است. می توانیم این محمول را در مورد قضية "3=2+1" به کار بریم ولی نمی توانیم از آن در مورد "4=2+1" استفاده کنیم. (3-2.Field
, p ) البته این بیان نشان نمی دهد که از نظر هستی شناختی میان دو قضية " 3=2+1" و "4=2+1" فرقی وجود دارد. به نظر تخیل گرایان هر دو قضیه کاذبند، چون اساسأ خود ریاضیات را داستانی تخیلی می دانند. نکته مهم این است که ما داستانهای ریاضی مختلفی داریم. بعضی از آنها جزو داستان ریاضیات رسمی نیستند. حالا تخیل گرا باید توضیح دهد که چرا ما این داستان ریاضی خاص را به عنوان داستان رسمی بر می گزینیم و بقیه را که با آن متوافق نیستند کنار می گذاریم. جواب این سؤال دشوار نیست. دلیل آن کارآیی این داستان
خاص یا جنبه زیبایی شناختی آن یا جور بودن آن با "شیوه تفکر" ماست. شاید این نکته آخر، یعنی جور بودن داستان با شیوه تفکر ما، از جنبه کارآیی (پراگماتیستی) آن مهمتر باشد. مثلا ما، در حساب، نظریه ای را قبول می کنیم که با برداشتی که از عدد داریم جور دربیاید.
۱۲۴
پژوهشنامه علوم انسانی
نتیجه
منظور از افلاطون گرایی در ریاضیات این است که اشیاء ریاضی و جودی واقعی و مستقل از ما دارند. اشیاء ریاضی اصولأ با اعیان طبیعی ماند درخت یا اشیاء نامتعارف فیزیکی مثل پوزیترون فرقی ندارند. ما موجودات ریاضی را خلق نمی کنیم، بلکه آنها را کشف می نماییم و با قضایای ریاضی به توصیف آنها می پردازیم. از دیدگاه افلاطون گرایان در یک نظام ریاضی هر جمله در ست - ساختی یا صادق است یا کاذب، و آنچه این جمله را صادق یا کاذب می کند، اشیائی هستند که جمله مذکور بر آنها دلالت می نماید؛ یعنی صدق یک گزاره ریاضی، نه وابسته به ساختار ذهن ماست و نه وابسته به زبانی که برای بیان آن به کار می بریم بلکه مبتنی بر واقعیت عینی موجودات ریاضی است. بدین ترتیب، افلاطون گرایان برای توجیه مسئله صدق ریاضی مشکلی ندارند، در حالی که رقبای آنها در این باره با مشکلات زیادی مواجهند و به انواع چاره جویی ها متوسل می شوند. مثلا صورتگرایان ابتدا صدق ریاضی را با برهان یکی می دانستند اما وقتی گودل ثابت کرد که همیشه قضایای صادقی داریم که در یک دستگاه صوری اثبات پذیر نیستند، دیگر یکی انگاشتن صدق و برهان ممکن نبود. انسانی و مالیات کردی
افلاطون گرایان کلاسیک، مانند فرگه و گودی بر این باور بودند که موجودات ریاضی واقعیت عینی دارند. برهان اخیر کو این، مبنی بر اجتناب ناپذیری کاربرد ریاضیات در فیزیک، این نظر را تأیید کرد. به نظر کواین، واقعیاتی در جهان فیزیکی هست که فقط با جملاتی که به اعیان انتزاعی دلالت می کنند قابل بیانند، مانند بعضی از قضایای علوم طبیعی که فقط با فرمولهای ریاضی بیان می شوند. اگر واقعا چنین قضایایی وجود دارند، چاره ای نداریم جز اینکه وجود اعیان انتزاعی را بپذیریم. فیلد در مقابل او می گوید که ما می توانیم تمام علوم طبیعی را بدون استفاده از ریاضیات بیان کنیم. منظورش این است که اصولا می توانیم تمام نظریات فیزیکی را نامیناليزه کنیم. یکی از مشکلات این نحله فکری این است که تا به حال نتوانسته اند روش نامینالیستی را در مکانیک کوانتومی به
۱۲۵
افلاطون گرائی در فلسفه ریاضیات
کار برند. با بررسی و تقابل آراء افلاطونیانی چون فرگه، گودل و کواین با افلاطون گریزانی مانند هیلبرت اینشتاین و فیلد می بینیم که برهان قاطعی له یا علیه افلاطونگرایی در فلسفه ریاضیات نداریم.
منابع و ماخذ: راسل، برتراند. جهان بینی علمی، ترجمه سید حسن منصور. تهران: انتشارات دانشگاه تهران، ۱۳۵۵، ج ۲. علوی نیا، سهراب. مقایسه معرفت شناسی ریاضی ویتگنشتاین و کواین. تهران: انتشارات نیلوفر، ۱۳۸۰ ماو نس، هاورد. درآمدی بر رسالة ويتگنشتاین مترجمة سهراب علوی نیا. تهران: طرح نو، ۱۳۷۹.
Benacerraf, P. Mathematcal Truth. in Benacerraf, P. and putnam, H.
philosophy of Mathematics. Cambridge University Press, 1983.
Einstein, A. Sidelights on Relativity.
Frege, G.Thought: A Logical inguiry. Translated by Quinton, A., in klemke,
E.D.Essays on Frege University of Chicago Press. Frege, G. The Foundations of Arithmetic. Translated by J. L. Austin, Blackwell,
1989
روسی
و علو در انبار و مطالبات ان کی
Field, H. Realism, Mathematics and Modality, Blackwell, Oxford, 1989. Godel, K. Russell,s Mathematical Logic. In Benacerraf, P. & Putnam, H.
Philosophy of Mathemtics. Cambridge University Press, 1983.
Godel, K. What is Cantor is Continuum Problem, Op. Cit.
Hilbert, D. On the Infinite. in Benacerraf, P. & Putnam, H. Philosophy of
Mathematics. Cambridge University Press, 1983.
Plato's Republic, Book IV.
Putnam, H. Philosophy of Logic. Prentice Hall, 1970
Quine, W. V. O. Philosophy of Logic. Prentice Hall, 1970.
۱۲۹
پژوهشنامه علوم انسانی
پیش کیا معلوم استانی و مطاحات ریی
پرتال جامع علوم انانی