بسم الله الرحمن الرحیم

بینهایت ناشمارا

فهرست علوم

فهرست مباحث ریاضیات
مجموعه

مجموعه
بینهایت
بینهایت واقعی
بینهایت بالقوه
بینهایت شمارا
بینهایت ناشمارا
استدلال قطری کانتور

Convergent series----سری همگرا----متسلسلة متقاربة

Divergent series----سری واگرا----متسلسلة متباعدة

Countable set
Uncountable set

جلسه سوم تاریخ ریاضیات

بحران اول:کشف اعداد گنگ

رادیکال دو

و نکته دیگری که شروع شد بحران اول،اولین عدد گنگی که می گویند کشف شد رادیکال دو بود.جذر 2.قطر مربع.وترِ مثلثِ قائم الزاویه با دو ضلع مجاور زاویه قائمه ی مساوی. هر مثلث قائم الزاویه ای که دو ضلع مجاور زاویه قائمه اش مساوی باشد، وترش رادیکال دو است.این وتر همان قطر مربع است.مربع را در نظر بگیرید.قطرش را رسم کنید.وقتی قطر مربع را رسم می کنید می شود دو تا مثلث قائم الزاویه که ضلع های مجاور زاویه قائمه با هم برابرند.چون مربع است، قطر هم وترشان است.طبق قاعده فیثاغورث، مربع این ضلع می شود یک.چون فرض بگیریم خودش است، یک. یک واحد مربع.ضلع دیگر هم مساحتش یک .قاعده فیثاغورث می گفت مجموع مساحت دو ضلع مجاور زاویه قائمه مساوی است با مساحت وتر.پس مجموع 1 به اضافه 1 می شود ٢.یعنی مربعِ قطرِ مربع،یعنی قطر مربع را اگر مربعش بکنید می شود ٢. ضلعش چه قدر است؟یعنی یک عددی که ضرب در خودش شده است شده ٢.لذا می گویند وترش رادیکال دو است.یعنی آن که اگر ضرب در خودش بشود، می شود دو.این رابطه رابطه ی خیلی روشنی است.ولی وقتی فضای علم جلو رفته به این ها رسیدند، مرحله مرحله جلو رفته است.امروزه ما خیلی روشن مثل نقل و نبات در ریاضیات می گوییم رادیکال دو می گوییم قطر مربع.با ضلع واحد.می گوییم وتر مثلث قائم الزاویه با دو ضلع مساوی مجاور زاویه قائمه.این ها همه گنگ است و حتی باز مثل نقل و نبات سایر عدد های گنگ را امروز می گویند.
عدد گنگ در ردیف ها.رادیکال دو خودش اول عدد گنگ بوده است.عددهای گنگ بعدی که چند تا معروفند الان به حروف الفبا هم الان نقلش می کنند چیست؟عددهای گنگ متعدد مثلا سه تا عدد گنگ است که امروزه مرتب کاربرد دارد و با حرف بیان می شود:

سایر اعداد گنگ

عدد پی، عدد فی و عدد ای.سه تا عدد گنگ خیلی متداول و رایج.عدد پی عدد دایره است پیریا که نسبت محیط است به قطر دایره.

عدد فی نسبت طلایی است که در مقاله دوم اقلیدس نسبت طلایی مطرح شده است.در هر خطی شما در نظر بگیرید یک نقطه ای هست که آن نقطه نسبت طلایی را تشکیل می دهد و نسبت طلایی معادلش فی است که از اعداد گنگ است.
و عدد ای که می گویند عدد اویلر ریاضیدان یا از لغت دیگری است
عددِ ای(e) هم پایه لگاریتم طبیعی است عدد نِپِر به آن می گویند.لگاریتم طبیعی بحث های خودشان است که ای هم عدد گنگ خیلی پرکاربرد است و خاستگاهش هندسه نیست.

عدد پی عدد فی خاستگاهش هندسه بوده اشکال بوده مقادیر کم متصل بوده.اما عدد ای عددی است که خاستگاهش هندسه نیست.از تنظیمات هندسی برنخاسته که اگر مفصل ترش را خواستید مراجعه می کنید.

بی نهایت فشرده؛بی نهایت به اندازه کافی فشرده

امروزه دیگر مثل نقل و نبات دانش آموز ها دانشجوها با اعداد مختلف گنگ آشنا هستند.مثلا درکش برایشان ساده است که بگویند مثلا مجموعه اعداد حقیقی که از نظر قوت بی نهایت بیش از مجموعه اعداد گویاست.مجموعه اعداد گویا قوت بی نهایتیش هم توان است با مجموعه اعداد طبیعی.مجموعه اعداد طبیعی از یک شروع می شود می رود تا بی نهایت.اعداد شمارشی.مجموعه اعداد گویا همه اعداد کسری است.مجموعه اعداد کسری از عجایبش این است که متکاثف است.تکاثف یعنی فشرده.کاملا مجموعه اعضای اعداد گویا فشرده اند.یعنی هیچ دو عدد گویا نیست که روی محور شما تعیین بکنید بینش بی نهایت عدد گویاست.هر کدام از آن دو تا بی نهایت عدد گویای بین این دو تا دوباره به غایت کوچک دوباره بینش بی نهایت عدد گویاست.این را می گویند اعداد گویا یک مجموعه فشرده یعنی هیچ جا بینش خالی پیدا نمی کنید مثل مجلس هایی که می گویند به صورت فشرده نشسته اند سوزن نمی افتد.اعداد گویا سوزن نمی افتد این محور فشرده است.هر جایش می روید یک جای باریک دوباره می بینید بی نهایت عدد گویا بینش است.این مجموعه اعداد گویاست که فشرده است اما در عین حال می گویند فشرده است اما به اندازه کافی فشرده نیست.یعنی یک سوزنی می شود بیفتد همین که یک سوزنی می شود بیفتد می گویند به اندازه کافی فشرده نیست.

به اندازه کافی کدام فشرده است؟مجموعه اعداد حقیقی.R به آن می گفتند.real اعداد حقیقی.این مجموعه ها را همه امروز دارند می خوانند.پی مثلا جزء مجموعه اعداد گویا نیست با این که مجموعه اعداد گویا فشرده بود اما پی جزء آن ها نیست، فی جزء آن ها نیست.ای جزء آن ها نیست رادیکال 2 رادیکال 3 رادیکال 5 جزء آن ها نیست.یعنی امروزه دانشجوها دانش آموزها می بینند مجموعه اعداد گنگی که گویا نیستند که در مجموعه اعداد حقیقی موجود هستند خیلی گسترده ترند از مجموعه اعداد گویایی که خودشان تازه فشرده اند.خیلی این مباحث جالب است در این طور دسته بندی که ...
می خواهم بگویم ریاضیات از آن بحران روز اول که یک رادیکال دو کشف شده بود به کجا رسیده است که الان این طور باورشان نمی شد آن نوابغ روز اول که آینده بشر این است که اعداد گنگ را این طور با آن سر و کار داشته باشند به این گستردگی.می گویند مجموعه اعداد حقیقی.حالا هر چه یادم می آید اشاره ای بکنم که بعدها ان شاءالله گوش دادید...

بهشت کانتور

یکی از چیزهایی که به آن می گویند: هیلبرت اسمش را گذاشته است بهشت کانتور.بهشت کانتور بحث راجع به همین مجموعه های بی نهایت ها و دسته بندی مراتبشان و اعداد ترانسفری است.اعداد ترانفسری اعداد بی نهایت ها مجموعه ها و بی نهایت بودنشان را ایشان رده بندی کرده است به همان حرف الفبای عبری، اولین قوه بی نهایتکه اعداد طبیعی هستند را ایشان اسمش را گذاشته است الف صفر.الف صفر کاردینالش یک کاردینالی ست که اولین درجه ی بی نهایت است.الف صفر است یعنی در اعداد ترانفسری شروع کار است بعد هم اثبات می کند که به برهان قطری کانتور معروف است برهان خیلی خوبی است.آتئیست ها هم از این استفاده می کنند برای مقاصد پوچ خودشان در آن مقاله باخدایی گام به گام عرض کردم.
هم استدلال آن ها را آوردم و هم عرض کرده ام که ربطی به مقصود آن ها ندارد.علی ای حال با برهان قطری -در همین تاریخ ریاضیات هم هست- چه را ثابت کرده است؟ یک چیز عجیب.می گوید مجموعه اعداد گویا که فشرده است شما بین دو و سه عددی دیگر پیدا نمی کنید دو و سه در اعداد حقیقی.بینش چیزی نیست.اما هر دو عدد گویا بینش دوباره بی نهایت عدد گویا پیدا می کنید.این چیز کمی است چه قدر گسترده می شود.در عین حال برهان می آورد همین آقای کانتور در این برهان خودش که توان بی نهایتی مجموعه اعداد گویا با این فشردگی با توان بی نهایتی مجموعه اعداد طبیعی که می شمریم یک و دو سه برابر است.زور بی نهایتیشان چیست؟ لذا می گوید هر دو شمارا هستند شمارا یعنی تناظر یک به یک دارند.تناظر یک به یک در بی نهایت ها.این ها را فقط اشاره می کنم ان شاء الله بعدا نحوش را برهانش را ببینید اگر هم می دانید جلوتر مراجعه کردید که چه بهتر یاداوری است.از راه تناظر می گوید این ها همه شمارا هستند.

اما وقتی می رسد به مجموعه اعداد حقیقی می گوید نه دیگر.توان بی نهایتی مجموعه اعداد حقیقی که اعداد گنگ هم در آن هست این بیش از الف صفر است لذا اسمش را گذاشته است الف یک.الف یک می شود مجموعه اعداد حقیقی که این همه گستردگی و این همه مباحث برایش مطرح شده است.آن دیگر می گویند مجموعه اعداد حقیقیِ به اندازه کافی فشرده
یعنی غیر از این که هر دو نقطه اش بینش بی نهایت نقطه و عدد هست هیچ جای خالی هم بینش نمی توانید پیدا کنید و لذا ناشماراست.کانتور برهان خلف اقامه می کند این الف یک مجموعه اعداد حقیقی ناشماراست.یعنی دیگر با اعداد طبیعی هم قوه نیستند.این جا از همین برهان خلف کانتور یک مبنای فلسفه ریاضی پیدا شده است.شهود گرایی در فلسفه ریاضیات

****************
ارسال شده توسط:
حسن خ
Saturday - 30/12/2023 - 10:54

سایت ویکی پدیا

اعداد کاردینال

ر ریاضیات، اعداد کاردینال (به انگلیسی: Cardinal Numbers) (یا اعداد اصلی یا صرفاً کاردینال‌ها)، تعمیم اعداد طبیعی اند که جهت اندازه‌گیری کاردینالیتی (اندازه) مجموعه‌ها از آن استفاده می شود. کاردینالیتی یک مجموعه متناهی همیشه عددی طبیعی است که برابر با همان تعداد اعضای مجموعه می باشد. اعداد کاردینال ترامتناهی را اغلب با استفاده از حرف عبری ℵ $\aleph$ نمایش می دهند که به دنبال آن زیرنویسی^[۱] قرار داده می شود که توصیف کننده اندازه مجموعه‌های نامتناهی است.

کاردینالیتی را براساس تناظر دوسویه تعریف می کنند. دو مجموعه دارای کاردینالیتی یکسانی اند اگر و تنها اگر تناظر دوسویه ای بین اعضای آن دو مجموعه وجود داشته باشد. در حالتی که مجموعه ها متناهی باشند، کاردینال مجموعه هایی که با هم کاردینال برابری دارند برابر با همان مفهوم شهودی اندازه مجموعه است. در مواردی که مجموعه‌ها نامتناهی باشند، رفتار کاردینالیتی‌شان کمی پیچیده تر می شود. در قضیه ای بنیادی از گئورگ کانتور، نشان داده شده که ممکن است مجموعه‌های نامتناهی دارای کاردینالیتی های متفاوتی باشند، مثلاً در مورد خاص اعداد حقیقی، کاردینال این اعداد بزرگتر از کاردینال اعداد طبیعی است. همچنین ممکن است زیرمجموعه محضی از یک مجموعه نامتناهی دارای کاردینالی برابر با مجموعه اولیه باشد، در حالی که چنین حالتی در مورد مجموعه های متناهی هرگز رخ نمی دهد.

دنباله ترامتناهی از اعداد کاردینال وجود دارد:

0 , 1 , 2 , 3 , … , n , … ; ℵ 0 , ℵ 1 , ℵ 2 , … , ℵ α , … . $0,1,2,3,\ldots ,n,\ldots ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\$

این دنباله با اعداد حسابی شامل صفر شروع می شود (کاردینال‌های متناهی)، و سپس اعداد الف (کاردینال‌های نامتناهی از مجموعه‌های خوش ترتیب) در پی آن می آیند. اعداد الف توسط اعداد ترتیبی اندیس گذاری می شوند. تحت فرض اصل موضوع انتخاب، این دنباله ترامتناهی شامل تمام کاردینال ها می شود. اگر کسی آن اصل را رد کند، شرایط پیچیده تر خواهد شد، به گونه ای که وجود کاردینال‌های نامتناهی بیشتری غیر از الف‌ها تأیید خواهد شد.

مطالعه خود کاردینالیتی به عنوان بخشی از نظریه مجموعه‌ها مطالعه می شود. همچنین از آن به عنوان ابزاری جهت استفاده در شاخه‌های ریاضیات شامل نظریه مدل، ترکیبیات، جبر مجرد و آنالیز ریاضی مورد استفاده واقع می شود. در نظریه رسته‌ها، اعداد کاردینال تشکیل اسکلتی برای رسته مجموعه‌ها می دهند.

قوانین عدد کاردینال

اعداد اصلی از قوانین زیر پیروی می‌کنند:

۱. هر مجموعهٔ A متناظر با یک عدد اصلی موسوم به c a r d A $card{A}\!$ است و هر عدد اصلی a متناظر با مجموعه‌ای مانند A است که c a r d A = a $card{A}=a\!$ .

۲. c a r d A = 0 $card{A}=0\!$ اگر و فقط اگر A تهی باشد.

۳. اگر A یک مجموعهٔ ناتهی و متناهی باشد که A ∼ { 1 , 2 , 3 , . . . k } $A\sim {\big \{}1,2,3,...k{\big \}}\!$ (k یک عدد طبیعی است) آنگاه c a r d A = k $card{A}=k\!$ .

۴. به ازای دو مجموعهٔ دلخواه A و B, c a r d B = c a r d A $card{B}=card{A}\!$ اگر و تنها اگر A ∼ B $A\sim B\!$

عدد اصلی هر مجموعهٔ متناهی، برابر با یک عدد طبیعی است؛ و برای مجموعه‌های نامحدود اعداد ترامتناهی می‌شود:

0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ , n , ⋯ ; ℵ 0 , ℵ 1 , ℵ 2 , ⋯ , ℵ α , ⋯ . $0,1,2,3,\cdots ,n,\cdots ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\cdots ,\aleph _{\alpha },\cdots .\!$

که هم شامل اعداد طبیعی می‌شود و هم اعداد نامتناهی که هر ℵ α $\aleph _{\alpha }\!$ متناظر با یک مجموعه خوش ترتیب است. کوچکترین عدد نامتناهی ℵ 0 $\aleph _{0}$ است که برابر اندازهٔ مجموعهٔ اعداد طبیعی است.

همچنین، عدد اصلی متناظر با مجموعهٔ غیرقابل شمارش اعداد حقیقی برابر 2 ℵ 0 $2^{\aleph _{0}}\!$ است، که با c $c\!$ نشان داده می‌شود. اعداد اصلی

فرض پیوستار

بر طبق فرض پیوستار هیچ عدد اصلی ما بین ℵ 0 $\aleph _{0}\!$ و 2 ℵ 0 $2^{\aleph _{0}}\!$ موجود نیست پس داریم:

2 ℵ 0 = ℵ 1 $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$

سایت فرادرس

در نظریه مجموعه‌ها (Set Theory)، مفهوم عدد اصلی (Cardinality) یا کاردینالیتی برای یک مجموعه تعریف می‌شود. این عدد برای یک مجموعه متناهی (Finite Set) بیانگر تعداد اعضای آن است. این موضوع ساده، زمانی که مجموعه‌ها نامتناهی شده، مشکل شده و امکان مقایسه مجموعه‌ها را با توجه به تعداد اعضای آن‌ها مشکل می‌سازد. به این ترتیب بحث مربوط به عدد اصلی مجموعه یا کاردینالیتی مجموعه‌ها، یکی از مسائلی است که امکان مرتب‌سازی مجموعه‌ها را براساس تعداد اعضای آن‌ها فراهم می‌سازد.

عدد اصلی مجموعه یا کاردینالیتی

در ریاضیات، عدد اصلی مجموعه به صورت تعداد عناصر آن مجموعه مشخص می‌شود. برای مثال عدد اصلی برای مجموعه متناهی A={2,6,8}

‌ برابر است با ۳ زیرا مجموعه A دارای سه عضو است.

در اواخر قرن نوزدهم عدد اصلی برای مجموعه‌های نامتناهی تبدیل به یک مسئله برای دانشمندان و ریاضیدانان شد. این موضوع بخصوص توجه «جورج کانتور» (George Cantor) و «ریچاد ددکیند» (Richard Dedekind) را به خود جلب کرد.

آنان برای نمایش دادن تعداد اعضای یک مجموعه نامتناهی از نام‌گذاری استفاده کردند و بر این اساس توانستند رابطه بین تعداد اعضای دو مجموعه نامتناهی را مشخص کنند.

نکته: گاهی برای نمایش عدد اصلی یا کاردینالیتی مجموعه A

از نمادهایی دیگری نیز استفاده می‌کنند. این نمادها در ادامه معرفی شده‌اند. بدیهی است به کار بردن هر یک از آن‌ها معادل با عدد اصلی مجموعه A

است.

#A,n(A),card(A),|A|

عدد اصلی مجموعه و رابطه ترتیبی

هر چند محاسبه عدد اصلی برای یک مجموعه متناهی به سادگی صورت می‌گیرد ولی انتظار می‌رود که رابطه‌ای که بین اعداد اصلی چنین مجموعه‌هایی وجود دارد در رابطه ترتیبی روی عدد اصلی برای مجموعه‌های نامتناهی نیز صادق باشد. به این ترتیب تعریف‌ها زیر برای نشان دادن رابطه ترتیبی بین مجموعه‌های نامتناهی و اعداد اصلی آن‌ها پدید آمد.

تعریف تساوی بین عدد اصلی دو مجموعه

دو مجموعه A

و B را در نظر بگیرید. عدد اصلی مجموعه A را با |A| و عدد اصلی مجموعه B‌ را با |B|

نشان می‌دهیم. دو عدد اصلی این دو مجموعه را برابر می‌گوییم اگر بین اعضای این دو مجموعه بتوان یک تناظر یک به یک (One to One Correspondence) ایجاد کرد.

این امر به این معنی است که بتوان رابطه‌ای از A

به B «پوشا» (Onto) و «یک به یک» (One to One) پیدا کرد که هر عضو از مجموعه A را فقط به یک عضو از مجموعه B برده و برعکس هر عضو از مجموعه B را به فقط یک عضو از مجموعه A مرتبط کند. معمولا چنین رابطه‌ای را «دوسویی» (Bijective) می‌نامند. واضح است که تابع دوسویی، وارون‌پذیر (Invertiable) است.

چنین مجموعه‌هایی را «هم‌توان» (Equipotent) یا «هم‌عدد» یا «هم‌شمار» (Equinumerosity) می‌نامند و می‌نویسند:

|A|=|B|→A∼B

برای مثال با توجه به رابطه y=2x

و با توجه به تعلق مقادیر x به مجموعه اعداد طبیعی، به راحتی هم‌توان بودن بین مجموعه اعداد زوج و اعداد طبیعی با توجه به تعریف ارائه شده، نشان داده می‌شود. این امر در تصویر ۲ نشان داده شده است.

عریف کوچکتر یا مساوی بودن عدد اصلی مجموعه

اگر رابطه مجموعه A

به B

یک رابطه یک به یک باشد، آنگاه بین عدد اصلی آن‌ها رابطه زیر نوشته می‌شود.

|A|≤|B|

تعریف کوچکتر بودن عدد اصلی مجموعه

عدد اصلی مجموعه A

را کمتر اکید از عدد اصلی مجموعه B گویند اگر رابطه از A به B فقط یک رابطه یک به یک بوده و از A به B

، پوشا نباشد.

برای مثال مجموعه اعداد طبیعی (N

) را در نظر بگیرید. عدد اصلی این مجموعه نسبت به عدد اصلی مجموعه توانی اعداد طبیعی (P(N)

) که شامل همه زیرمجموعه‌های اعداد طبیعی است، کوچکتر اکید است.

فرض کنید رابطه مربوطه به صورت g(n)={n}

باشد که از مجموعه اعداد طبیعی (N

) به مجموعه توانی اعداد طبیعی نگاشت عناصر را انجام می‌دهد. از آنجایی که این رابطه، یک به یک بوده ولی پوشا نیست، خواهیم داشت:

| N |<| P(N) |

به همین روش می‌توان نشان داد که عدد اصلی مجموعه اعداد طبیعی از مجموعه اعداد حقیقی کوچکتر اکید است. این امر توسط «عناصر قطری کانتور» (Cantor's Diagonal Argument) یا «اثبات اولین شمارش‌ناپذیر کانتور» (Canrtor's First Uncountability Proof) نشان داده می‌شود.

نکته: توجه دارید که گزاره‌های گفته شده، صرفا یک تعریف هستند و احتیاجی به اثبات ندارند.

اگر بین دو مجموعه A

و B رابطه |A|≤|B| و |B|≤|B| برقرار باشد می‌توان نتیجه گرفت که |A|=|B|

. این گزاره را به صورت اصل انتخاب (Axiom of Choice) می‌شناسند.

|A|≤|B|∧|B|≤|A|→|A|=|B|

عدد اصلی مجموعه

بنا به تعریف‌هایی که در قسمت قبل ارائه شد، نحوه مرتب‌سازی اعداد اصلی مجموعه‌ها مشخص شد، ولی مبنای محاسبه عدد اصلی به طور واضح گفته نشد. در این قسمت با شیوه محاسبه عدد اصلی مجموعه بیشتر آشنا خواهیم شد

اصطلاحاً دو مجموعه را هم‌شمار (Equinumerosity) می‌گویند، اگر عدد اصلی آن‌ها برابر باشد. این تساوی به صورت یک رابطه هم‌ارزی در کلاس همه مجموعه‌ها تعریف می‌شود. کلاس‌های هم‌ارزی برای مجموعه A، شامل همه مجموعه‌هایی است که عدد اصلی آن‌ها با A

برابر است. به این ترتیب با دو شیوه عدد اصلی یک مجموعه را تعریف می‌کنیم.

عدد اصلی مجموعه A

، توسط کلاس هم‌ارزی آن تحت رابطه هم‌شمار، تعریف می‌شود. به این معنی که عدد اصلی کلاس‌های هم‌ارز با A، عدد اصلی مجموعه A

را تعیین می‌کنند.
برای هر کلاس هم‌ارزی، یک مجموعه به عنوان معرف (Representative set) تعیین می‌شود. معمولا مجموعه معرف کلاس هم‌ارزی را مجموعه‌ای انتخاب می‌کنند که ویژگی‌های آن شناخته شده‌تر باشد. عدد اصلی چنین مجموعه‌ای را «مقدار اولیه کلاس هم‌ارزی» (Initial Ordinal in class) می‌نامند. این بیان برای عدد اصلی، به عنوان تعریف معمول در نظریه مجموعه‌ها به کار می‌رود.

بنا به «اصل موضوع انتخاب» (Axiom if Choice)، اعداد اصلی مجموعه‌های بی‌نهایت بوسیله رابطه زیر مشخص و تعیین می‌شوند.

ℵ0<ℵ1<ℵ2<…

نکته: نماد ℵ0

را به صورت «الف-صفر» (Aleph_Null) می‌خوانیم. ℵ

اولین حرف از زبان عبری است.

برای هر ترتیب α

، مقدار ℵα+1 کوچکترین عدد اصلی بزرگتر از ℵα

است.

طبق قرار داد ساده‌ترین و معمول‌ترین مجموعه نامتناهی شمارش‌پذیر را اعداد طبیعی (Natural Numbers) در نظر می‌گیریم و عدد اصلی را برای آن به شکل ℵ0

نشان می‌دهیم. از طرفی عدد اصلی برای مجموعه اعداد حقیقی را به شکل c

مشخص می‌کنند که گاهی به آن «عدد اصلی پیوستار» (Cardinality of the continuum) نیز گفته می‌شود.

کانتور (G. Cantor) نشان داد که عدد اصلی اعداد حقیقی بزرگتر از عدد اصلی اعداد طبیعی است. رابطه بین عدد اصلی این دو مجموعه به صورت زیر بیان می‌شود.

c=2ℵ0

البته این رابطه برای زیر مجموعه‌هایی از مجموعه اعداد طبیعی نیز صادق است. با توجه به فرضیه پیوستار (continuum hypothesis) می‌توان گفت:

ℵ1=2ℵ0

این رابطه نشان می‌دهد که کوچکترین عدد اصلی که از ℵ0

بزرگتر است همان 2ℵ0

است و هیچ عدد اصلی بین این دو مقدار وجود ندارد. این موضوع (فرضیه پیوستار) را به بیان مجموعه‌ها به صورت زیر مشخص می‌کنیم.

هیچ مجموعه‌ای وجود ندارد که عدد اصلی آن از اعداد طبیعی بزرگتر بوده و از عدد اصلی اعداد حقیقی کوچکتر باشد.

با توجه به مفهوم عدد اصلی و نحوه ترتیب بین مقادیر اعداد اصلی و فرضیه پیوستار، مجموعه‌های متناهی، شمارا و شمارش‌ناپذیر (ناشمارا) در ادامه تعریف می‌شوند.

مجموعه‌های متناهی، شمارا و ناشمارا

با فرض صحیح بودن اصل موضوع انتخاب، همچنین در نظر گرفتن سه وضعیت برای اعداد اصلی یعنی برابری، بزرگتر یا کوچکتر بودن که در قسمت قبلی بیان شد، تعریف‌ و مفهوم مجموعه‌های متناهی، شمارا و ناشمار را مشخص می‌کند.

هر مجموعه‌ای مثل X

با عدد اصلی کوچکتر از عدد اصلی مجموعه اعداد طبیعی، یک مجموعه متناهی (Finite Set) است.

|X|<|N|=ℵ0

مجموعه‌ X

با عدد اصلی برابر با عدد اصلی اعداد طبیعی، را شمارا یا «شمارای نامتناهی» (Countably Infinite) می‌نامند.

|X|=|N|=ℵ0

مجموعه‌ای با عدد اصلی بزرگتر از عدد اصلی اعداد طبیعی، را «مجموعه ناشمارا» (Uncountable) می‌نامیم. به این ترتیب اگر X

یک مجموعه ناشمارا باشد، خواهیم داشت:

|X|>|N|=ℵ0

برای مثال، مجموعه اعداد حقیقی (R

) را در نظر بگیرید که دارای عدد اصلی بزرگتری از اعداد طبیعی است. چنین مجموعه‌ای، ناشمارا است، زیرا:

|R|=c>|N ;|=ℵ0

خصوصیات عدد اصلی مجموعه

در این بخش می‌خواهیم بعضی از خصوصیات عدد اصلی مجموعه را مشخص کنیم.

اگر X

و Y مجموعه‌هایی به صورت X={a,b,c} و Y={apples,oranges,peaches}

باشند، آنگاه

|X|=|Y|

زیرا می‌توان یک رابطه یک به یک و پوشا (One to One Correspondence) به صورت زیر بین آن‌ها برقرار کرد.

R={(a,apple),(b,oranges),(c,peaches)}

اگر بین عدد اصلی دو مجموعه X

و Y رابطه |X|<|Y| باشد، آنگاه مجموعه‌ای مانند Z وجود دارد که |Z|=|X| و در نتیجه Z⊆Y

.
اگر |X|≤|Y|
و |Y|≤|X|، آنگاه |X|=|Y|
. این تساوی حتی برای اعداد اصلی مجموعه‌های نامتناهی نیز برقرار است. این رابطه به «قضیه کانتور-برنشتاین-شرودر» ( Cantor–Bernstein–Schroeder theorem) معروف است.
اگر X
و Y
- دو مجموعه مجزا (Disjoint sets) بوده که دارای هیچ عضو مشترکی نباشند، آنگاه
|X∪Y|=|X|+|Y|
- بین عدد اصلی اشتراک و اجتماع دو مجموعه رابطه زیر برقرار است.
|X∪Y|+|X∩Y|=|X|+|Y|