اعداد فراحقیقی-اعداد سورئال

بی‌نهایت کوچک‌ها(ε) و بی‌نهایت‌ها (ω) روی محور اعداد ابرحقیقی (ε = وارون ضربی ω)

سیستم اعداد ابرحقیقی (نماد: R* و به انگلیسی: Hyperreal number) یک راه رفتار با کمیت‌های بی‌نهایت بزرگ و کوچک است. اعداد ابرحقیقی یا حقیقی‌های غیر استاندارد یک توسعه اعداد حقیقی هستند که شامل اعدادی بزرگتر از هرچیز به قالب

1 + 1 + ⋯ + 1 $1+1+\cdots +1$ (برای هر تعداد متناهی از جملات) می‌باشند.

عدد ابرحقیقی x $x$ متناهی است، اگر و تنها اگر به ازای هر n $n$ ، | x | < n $|x|<n$ . همچنین، x $x$ بینهایت کوچک است، اگر و تنها اگر به ازای هر n $n$ ، | x | < 1 / n $|x|<1/n$ . قوانین منطق مرتبه اول در مجموعه اعداد حقیقی R $\mathbb {R}$ برای R ∗ $\mathbb {R*}$ نیز صادق است. به عنوان مثال، خاصیت جابجایی جمع x + y = y + x $x+y=y+x$ برای مجموعه اعداد ابرحقیقی نیز برقرار می باشد.

چنین اعدادی بی‌نهایت و وارون ضربی آنها بی‌نهایت کوچک هستند. اصطلاح «ابرحقیقی» توسط ادوین هیویت در سال ۱۹۴۸ معرفی شد.^[۱]

اعداد فراحقیقی-اعداد سورئال

یادداشت‌ها