بسم الله الرحمن الرحیم
احصاء العلوم، ص 49-51
الفصل الثالث في علم التعاليم و هذا العلم ينقسم إلى سبعة أجزاء عظمى أحصيناها في أول الكتاب .
علم العدد أما علم العدد فإن الذي يعرف بهذا العلم علمان: أحدهما - علم العدد العلمي. و الآخر - علم العدد النظري. فالعملي يفحص عن الأعداد من حيث هي أعداد معدودات تحتاج إلى أن يضبط عددها من أجسام و غيرها، مثل الرجال أو أفراس أو دنانير أو دراهم أو غير ذلك من الأشياء ذوات العدد، و هي التي يتعاطاها الجمهور في المعاملات السوقية و المعاملات المدنية. و أما النظري - فإنه يفحص عن الأعداد بإطلاق على أنها مجردة في الذهن من الأجسام، و عن كل معدود منها، و إنما ينظر فيها ملخصة عن كل ما يمكن أن تعد بها من المحسوسات، و من جهة ما يعم جميع الأعداد التي هي أعداد محسوسات؛ و هذا هو الذي يدخل في جملة العلوم. و علم العدد النظري يفحص عن الأعداد على الإطلاق، و عن كل ما يلحقها في ذواتها مفردة من غير أن يضاف إلى بعض، و هي مثل الزوج و الفرد، و عن كل ما يلحقها عند ما يضاف بعضها إلى بعض و هو التساوي و التفاضل بأن يكون عدد جزءا لعدد أو أجزاء له أو ضعفه أو مثله أو زيادة جزء أو أجزاء، أو أن تكون متناسبة أو غير متناسبة، أو متشابهة أو غير متشابهة، و مشاركة أو متباينة، ثم يفحص عما يلحقها عند زيادة بعضها على بعض و جمعها، و عند نقص بعضها من بعض و تفريقها، و من تضعيف عدد بعدد آخر، و من تقسيم عدد إلى آخر و ذلك مثل أن يكون العدد مربعا أو مسطحا أو مجسما أو تاما أو غير تام و أنه يفحص عن هذه كلها، و عما يلحقها عند ما يضاف أيضا بعضها إلى بعض، و يعرف كيف الوجه في استخراج أعداد معلومة. و بالجملة في استخراج كل ما سبيله أن يستخرج من الأعداد.
الشفاء(الالهيات) النص 4 [الفصل الأول](ا) فصل في ابتداء طلب موضوع الفلسفة الأولى لتتبين إنيته في العلوم ..... ص : 3
إن العلوم الفلسفية، كما قد أشير إليه في مواضع أخرى من الكتب، تنقسم إلى النظرية و إلى العملية. و قد أشير إلى الفرق بينهما و ذكر أن النظرية هي التي نطلب فيها استكمال القوة النظرية من النفس بحصول العقل بالفعل، و ذلك
الشفاء(الالهيات)، النص، ص: 4
بحصول العلم التصوري و التصديقي بأمور ليست هي هي بأنها أعمالنا و أحوالنا، فتكون الغاية فيها حصول رأي و اعتقاد ليس رأيا و اعتقادا في كيفية عمل أو كيفية مبدإ عمل من حيث هو مبدأ عمل.
و أن العملية هي التي يطلب فيها أولا استكمال القوة النظرية بحصول العلم التصوري و التصديقي بأمور هي هي بأنها أعمالنا، ليحصل «3» منها ثانيا استكمال القوة العملية بالأخلاق.
و ذكر أن النظرية تنحصر «4» في أقسام ثلاثة هي «5»: الطبيعي، و التعليمية، و الإلهية.
و أن الطبيعية موضوعها الأجسام من جهة ما هي متحركة و ساكنة، و بحثها عن العوارض التي تعرض لها بالذات من هذه الجهة.
و أن التعليمية موضوعها إما ما هو كم مجرد عن المادة بالذات، و إما ما هو ذو كم. و المبحوث عنه فيها أحوال تعرض للكم بما هو كم. و لا يؤخذ في حدودها نوع مادة، و لا قوة حركة.
و أن الإلهية تبحث عن الأمور المفارقة للمادة بالقوام و الحد. و قد سمعت أيضا أن الإلهي هو الذي يبحث فيه «7» عن الأسباب الأولى «8» للوجود «9» الطبيعي و التعليمي و ما يتعلق بهما، و عن مسبب «10» الأسباب و مبدإ المبادئ و هو الإله تعالى جده
الشفاء(الالهيات) النص 10 [الفصل الثاني](ب) فصل في تحصيل موضوع هذا العلم ..... ص : 10
إن العلم الطبيعي قد كان موضوعه الجسم، و لم يكن من جهة ما هو موجود، و لا من جهة ما هو جوهر، و لا من جهة ما هو مؤلف من مبدأيه، أعني الهيولى و الصورة، و لكن من جهة ما هو موضوع للحركة و السكون. و العلوم التي تحت العلم الطبيعي أبعد من ذلك. و كذلك الخلقيات «3».
و أما العلم الرياضي فقد كان موضوعه إما مقدارا مجردا في الذهن عن المادة، و إما مقدارا مأخوذا في الذهن مع مادة، و إما عددا مجردا عن المادة، و إما عددا في مادة. و لم يكن أيضا ذلك البحث متجها إلى إثبات أنه مقدار مجرد أو في مادة أو عدد مجرد أو في مادة، بل كان في جهة الأحوال التي تعرض له «4» بعد وضعه.
كذلك و العلوم التي تحت الرياضيات أولى بأن لا يكون نظرها إلا في «5» العوارض التي يلحق أوضاعا أخص من هذه الأوضاع
الشفاء(الالهيات) النص 12 [الفصل الثاني](ب) فصل في تحصيل موضوع هذا العلم ..... ص : 10
و أما العدد فقد يقع على المحسوسات و غير المحسوسات، فهو بما هو عدد غير متعلق بالمحسوسات
.
الشفاء(المنطق) المدخل 14 [الفصل الثاني](ب) فصل فى التنبيه على العلوم و المنطق ..... ص : 12
فنقول: إنّ الغرض فى الفلسفة «2» أن يوقف على حقائق الأشياء كلّها على قدر ما يمكن الإنسان «3» أن يقف عليه. و الأشياء الموجودة «4» إما أشياء موجودة «5» ليس وجودها باختيارنا و فعلنا، و إما أشياء وجودها باختيارنا و فعلنا.»
و معرفة الأمور التي من القسم الأول تسمى فلسفة «7» نظرية، و معرفة الأمور التي من القسم الثاني تسمى فلسفة «8» عملية. و الفلسفة «9» النظرية إنما الغاية فيها تكميل النفس بأن تعلم فقط، و الفلسفة «10» العملية إنما الغاية فيها تكميل النفس، لا بأن تعلم فقط، بل بأن تعلم ما يعمل به فتعمل. فالنظرية «11» غايتها اعتقاد رأى ليس بعمل، و العملية غايتها معرفة رأى هو فى عمل؛ فالنظرية «12» أولى بأن تنسب إلى الرأى.
و الأشياء الموجودة فى الأعيان التي ليس وجودها باختيارنا و فعلنا «13» هى بالقسمة الأولى على قسمين: أحدهما الأمور التي تخالط الحركة، و الثاني الأمور التي لا تخالط الحركة، مثل العقل و البارى «14». و الأمور «15» التي تخالط الحركة على ضربين: «16» فإنها «17» إما أن تكون لا وجود لها إلا بحيث يجوز «18» أن تخالط الحركة، مثل الإنسانية و التربيع، و ما شابه ذلك، و إما أن يكون لها وجود من دون ذلك. فالموجودات «19» التي لا وجود لها إلا بحيث يجوز عليها مخالطة الحركة على قسمين: فإنّها «20» إمّا أن تكون
،
14-الشفاء(المنطق)، المدخل، ص: 13
لا فى القوام و لا فى الوهم، يصح عليها أن تجرّد عن مادة معيّنة، كصورة الإنسانية «1» و الفرسية، و إما أن تكون يصح عليها ذلك «2» فى الوهم دون القوام، «3» مثل التربيع، فإنه لا يحوج تصوّره إلى أن يخص بنوع مادة، أو يلتفت إلى حال حركة. و أما الأمور التي يصح «4» أن تخالط الحركة، و لها وجود دون ذلك، «5» فهى مثل الهوية، و الوحدة، «6» و الكثرة، و العلّية. فتكون الأمور التي يصح عليها أن تجرّد عن الحركة، إما أن تكون صحتها صحة الوجوب، و إما ألا تكون صحتها صحة الوجوب، بل تكون بحيث لا يمتنع لها ذلك، مثل حال «7» «8» الوحدة، و الهوية، و العلية، و العدد الذي هو الكثرة. و هذه فإما «9» أن ينظر إليها من حيث هى هى، فلا يفارق ذلك النظر النظر إليها من حيث هى مجردة، فإنها تكون من جملة النظر الذي «10» يكون فى الأشياء، لا من حيث هى فى مادة، إذ هى، من حيث هى هى، لا فى مادة؛ و إمّا أن ينظر إليها من حيث عرض لها عرض لا يكون فى الوجود إلا فى المادة. و هذا على قسمين: إمّا أن يكون ذلك العرض لا يصح توهمه أن يكون «11» إلا مع نسبة إلى المادة النوعية و الحركة، «12» مثل النظر فى الواحد، من حيث هو نار أو هواء، «13» و فى الكثير، من حيث هو أسطقسات، و فى العلة، من حيث هى مثلا حرارة أو برودة، و فى الجوهر العقلى، من حيث هو نفس، أى مبدأ حركة بدن، و إن كان يجوز مفارقته بذاته. و إمّا أن يكون ذلك العرض- و إن كان لا يعرض إلا مع نسبة إلى مادة و مخالطة حركة- فإنه «14» قد تتوهّم أحواله و تستبان «15» من غير نظر فى المادة المعيّنة و الحركة [و] النظر «16» المذكور، مثل الجمع و التفريق، و الضرب و القسمة، و التجذير و التكعيب، و سائر الأحوال التي تلحق العدد؛ فإنّ ذلك يلحق العدد و هو فى أوهام الناس، أو فى موجودات
الشفاء(المنطق)، المدخل، ص: 14
متحركة منقسمة متفرقة و مجتمعة «1»، و لكن تصوّر ذلك قد يتجرد تجردا ما حتى لا يحتاج فيه إلى تعيين «2» مواد نوعية.
فأصناف «3» العلوم إمّا أن تتناول إذن اعتبار الموجودات، من حيث هى فى الحركة تصورا «4» و قواما، و تتعلق بمواد «5» مخصوصة الأنواع، و إمّا أن تتناول اعتبار الموجودات، من حيث هى «6» «7» مفارقة لتلك تصورا لا قواما، و إمّا أن تتناول اعتبار الموجودات، من حيث هى مفارقة قواما «8» و تصورا.
فالقسم الأول من العلوم هو العلم الطبيعى. و القسم الثاني هو العلم الرياضى المحض، و علم العدد المشهورمنه؛ و أما معرفة طبيعة العدد، من حيث هو عدد، فليس لذلك العلم. و القسم الثالث هو العلم الإلهى. و إذ «9» الموجودات فى الطبع على هذه الأقسام الثلاثة، فالعلوم الفلسفية النظرية هى هذه.
شرح و تعلیقه صدرالمتالهین بر الهیات شفاء، ص 10-17
* [ص 4، س 7] قال: «و ذكر أنّ النظرية منحصرة في أقسام ثلاثة...»: [أقسام العلوم الفلسفية النظرية] ذكر الشيخ في ذلك الفصل : إنّ الأشياء الموجودة التي ليس وجودها باختيارنا و فعلنا هي بالقسمة الأولى على قسمين: أحدهما الأمور التي تخالط الحركة، و الثاني الأمور التي لا تخالط الحركة مثل العقل و البارئ.
و الأمور التي تخالط الحركة على ضربين: إمّا أن يكون لا وجود لها إلاّ بحيث يجوز أن تخالط الحركة، مثل الإنسانية و التربيع؛ و إمّا أن يكون لها وجود دون ذلك. فالأولى على قسمين: فإنّها إمّا أن تكون لا في القوام و لا في الوهم يصحّ عليها أن تجرّد عن مادّة معيّنة، كصورة الإنسانيّة و الفرسيّة؛ و إمّا أن يصحّ عليها ذلك في الوهم دون القوام، مثل التربيع، فإنّه لا يحوج تصوّره إلى أن يخصّ بنوع مادة أو يلتفت إلى حال حركة. و أمّا الأمور التي يصحّ أن تخالط الحركة و لها وجود دون ذلك، فهي مثل الهوية و الوحدة و الكثرة و العلّيّة؛ فتكون الأمور التي يصحّ عليها أن تجرّد عن الحركة إمّا أن تكون صحّتها صحة الوجوب، و إمّا أن لا تكون صحّتها صحّة الوجوب، بل تكون بحيث لا يمتنع لها ذلك، مثل حالة الوحدة و الهوية و العلّيّة و العدد الذي هو الكثرة. و هذه فإمّا أن ينظر إليها من حيث هي هي، و لا يفارق ذلك النظر النظر إليها من حيث هي مجردة، فإنّها تكون من جملة النظر الذي يكون في الأشياء لا من حيث هي في مادة، إذ هي من حيث هي هي لا في مادة؛ و إمّا أن ينظر إليها من حيث عرض لها عرض لا يكون في الوجود إلاّ في مادة.
و هذا على قسمين: إمّا أن يكون ذلك العرض لا يصحّ توهّمه إلاّ أن يكون مع نسبة إلى المادة النوعية و الحركة، مثل النظر في «الواحد» من حيث هو نار أو هواء، و في «الكثير» من حيث هو أسطقسات ، و في «العلّة» من حيث هي - مثلا - حرارة أو برودة، و في «الجوهر العقلي» من حيث هو نفس، أي مبدأ حركة بدن و إن كان يجوز مفارقته بذاته؛ و إمّا أن يكون ذلك العرض و إن كان لا يعرض إلاّ مع نسبة إلى مادة و مخالطة حركة فإنّه قد تتوهّم أحواله و تستبان من غير نظر في المادة المعيّنة و الحركة، مثل الجمع و التفريق و الضرب و القسمة و التجذير و التكعيب و سائر الأحوال التي تلحق العدد، فإنّ ذلك يلحق العدد و هو في أوهام الناس أو في موجودات متحركة منقسمة متفرقة مجتمعة، و لكن تصوّر ذلك قد يتجرّد تجرّدا مّا حتى لا يحتاج فيه إلى تعيين موادّ نوعية. فأصناف العلوم إمّا أن تتناول اعتبار الموجودات من حيث هي في حركة تصوّرا و قواما و تتعلق بمواد مخصوصة الأنواع، و إمّا أن تتناول اعتبار الموجودات من حيث هي مفارقة لتلك تصورا لا قواما، و إمّا أن تتناول من حيث هي مفارقة قواماو تصورا. فالقسم الأوّل من العلوم هو «العلم الطبيعي»؛ و القسم الثاني هو «العلم الرياضي المحض»، و «علم العدد» المشهور منه، و أمّا معرفة طبيعة العدد من حيث هو عدد فليس لذلك العلم؛ و القسم الثالث هو «العلم الإلهي». و إذ الموجودات في الطبع على هذه الأقسام الثلاثة، فالعلوم الفلسفية النظرية هي هذه. (انتهى كلامه.)
و إنّما نقلناه بطوله لما فيه من الفوائد و ذكر الاعتبارات و الحيثيات لأعيان الموجودات التي بها تتميّز أقسام الحكمة النظرية بعضها عن بعض و تتكثر فوق الثلاثة لتكثّر موضوعاتها كذلك من جهة اختلاف الحيثية. فإنّ اختلاف الموضوعات للعلوم قد يكون بالذات،كموضوعي الإلهي و الطبيعي، و كموضوعي الهندسة و الحساب، فإنّ أحدهما الكمّ المتصل و الآخر الكمّ المنفصل. و قد يكون بالصفات و الاعتبارات ، كمباحث الكثرة من الفلسفة الأولى و مباحث علم الحساب من الرياضي، فإنّ موضوعهما جميعا هو العدد، فهو أمر واحد مشترك فيهما بالذات مختلف بالاعتبار؛ فإنّ العارض للماديات من العدد موضوع لعلم الحساب و إن كان البحث عنه هناك ليس من حيث العروض، بل من حيث التجرّد في الوهم؛ و المأخوذ من حيث هو هو مطلقا داخل في موضوعات العلم الكلّي. [كلام السهروردي في القول بدخول موضوع علم الحساب في الحكمة النظرية، و نقده] و بهذا يندفع بحث صاحب المطارحات عن الشيخ و غيره من الحكماء في هذا المقام؛ حيث جعلوا الحساب من التعاليم، و هو قد فرّق بين الحساب و الهندسة بأنّ موضوع الحساب العدد و هو من أقسام الموجود بما هو موجود، لأنّ الوجود إمّا واحد أو كثير، و الكثرة هي العدد، و هو لا يحتاج في ذاته و وجوده إلى مادة، فإنّ المفارقات ذوات عدد فيصحّ وقوعه في الأعيان لا في مادة؛ و موضوع الهندسة هو المقدار و لا يقع في الأعيان إلاّ في مادة، و كذا لا يمكن توهّمه إلاّ في جسم، فوجب دخوله في ضابطة «العلم الكلّي». و إن اشترط في العلم الكلّي عدم المخالطة بالكلّية، خرج منه كثير من تقاسيم الوجود؛ فإن ترك على صحّة التجرّد، دخل موضوع الحساب فيه، فلا يتمّ حينئذ التقسيم المذكور. ثمّ قال: الأولى أن يقسّم هكذا: العلوم إمّا أن يكون موضوعها نفس الوجود، أو لا. فالأوّل هو العلم الأعلى أعني الكلّي و الإلهي، لأنّ موضوع هذين العلمين نفس الوجود. و الثاني إمّا أن يشترط في فرض وجوده أو وقوعه صلوح مادة معيّنة متخصصة الاستعداد، أو لا؛ فالأوّل هو الطبيعي، و الثاني هو العلم الرياضي. (انتهى.) و الحاصل: إنّه جعل الحساب داخلا في العلم الأعلى و لكن جعل التقسيم على وجه يوافق المذهبين ؛ و استحسنه بعض الفضلاء و قال: «إنّه طريقة حسنة». و أقول: كأنّ صاحب الإشراق نظر في التقسيم المذكور في صدر كتاب الإلهيات ، و لم ينظر في التقسيم المذكور في صدر كتاب المنطق حتى يعلم الفرق بين موضوع الحساب و بين الكثرة التي هي أحد موضوعات «العلم الكلّي» و لا يقع فيما وقع.
[أقسام الحكمة النظرية - الأصلية منها و الفرعية -] و اعلم أنّ أقسام الحكمة النظرية ثلاثة عند القدماء، و هي الطبيعي و الرياضي و الإلهي؛ و أربعة عند أرسطو و شيعته بزيادة «العلم الكلّي» الذي فيه تقاسيم الوجود. و لا حجر فيه، إذ هو داخل عند الأوائل في الإلهي، إذ لا افتقار لموضوعه إلى المادة. و وجه الحصر: إنّ الأشياء التي يبحث عنها في الحكمة النظرية لا يخلو: إمّا أن يكون أمورا لا يتعلق وجودها بالمواد الجسمانية و الحركة أصلا، أو يتعلق .
فالأوّل هو «العلم الإلهي» و «العلم الأعلى»، كذات البارئ تعالى، و العقول، و الوحدة و الكثرة، و العلّة و المعلول، و الكلّي و الجزئي، و القوة و الفعل، و الوجوب و الإمكان و الامتناع، و غير ذلك؛ فإن خالط شيء منها الموادّ الجسميّة، فلا يكون ذلك على سبيل الافتقار. و هو فنّان: فنّ المفارقات و فنّ الكلّيات؛ و موضوع هذين الفنّين أعمّ الأشياء، و هو الوجود المطلق من حيث هو هو - كما ستعلم. و أمّا الذي يجب تعلّقه بالمادة، فلا يخلو: إمّا أن يتمكّن الخيال من تجريده عنها و لا يفتقر في كونه موجودا إلى خصوص مادّة و استعداد، أو لا يكون كذلك. فالأوّل هي «الحكمة الوسطى» و «العلم الرياضي و التعليمي»، كالتربيع و التثليث و التدوير و الكروية و المخروطية و العدد و خواصّه، فهي تفتقر إلى المادة في وجودها لا في حدودها؛ و الثاني هو «العلم الطبيعي» و «العلم الأسفل». و علوم التعاليم أربعة: لأنّ موضوعها «الكمّ» و هو إمّا متصل أو منفصل؛ و المتصل إمّا متحرّك أو ساكن، فالمتحرّك هو الهيئة، و الساكن هو الهندسة؛ و المنفصل إمّا أن يكون له نسبة تأليفية، أو لا يكون، فالأوّل هو الموسيقى، و الثاني هو الحساب . * [ص 4، س 9] قال: «من جهة ما هي متحركة أو ساكنة...»: الأولى أن يقال: «من جهة استعداد الحركة و السكون، أو من جهة صحّة الحركة و السكون» ، لأنّ إثبات الحركة أو السكون قد يكون مطلوبا في العلم الطبيعي بالبرهان، كقولهم: «السماء متحركة» و قولهم : «الأرض ساكنة في الوسط». و شيء من أجزاء الموضوع لا يكون مطلوبا في العلم الباحث عن أحوال ذلك الموضوع.
همان، ص 38-39
* [ص 10، س 10] قال: «و أمّا العلم الرياضي فقد كان موضوعه إمّا مقدارا مجرّدا...»: [أصول العلوم الرياضي و موضوعاتها و منها موضوع الموسيقى] قد علمت أنّ أصول العلم الرياضي أربعة، و انقسامه إلى الأربعة باعتبار انقسام موضوعه إليها، و الشيخ أشار إليها جميعا. فقوله: «إمّا مقدارا مجردا في الذهن» إشارة إلى موضوع الهندسة؛ و قوله: «إمّا مقدارا مأخوذا في الذهن مع المادة» إشارة إلى موضوع الهيئة؛ و قوله: «و إمّا عددا مجرّدا عن المادة» إشارة إلى موضوع الحساب؛ و قوله: «و إمّا عددا في مادة» إشارة إلى موضوع الموسيقى.
* [ص 10، س 12] قال: «و لم يكن أيضا ذلك البحث متّجها...»: [وجه البحث عن موضوعات العلوم الرياضية في العلم الإلهي] قد علمت أنّ البحث عن وجود الشيء و حقيقته و مقوّم حقيقته من وظائف العلم الإلهي؛ فالبحث عن كون الشيء مقدارا أو عددا مجردا أو ماديا، و كذا عن كون الخط و السطح و الجسم مقدارا متصلا، و كون الخمسة أو الستة عددا أو كمّا، و عن كون هذه الأشياء جواهر أو أعراضا، كل ذلك لا يقع إلاّ في العلم الأعلى، و إنّما يقع البحث في العلم الأوسط عن الأحوال العارضة لهذه الأمور بعد وضع وجودها و تمام حقيقتها. * [ص 10، س 15] قال: «و العلوم التي تحت الرياضيات...»: [الأقسام الفرعية للعلوم الرياضية] الأقسام الفرعية للعلوم الرياضية كثيرة: فمن فروع الحساب علم الجمع و التفريق، و علم الجبر و المقابلة.
و من فروع الهندسة علم المساحة، و علم الحيل المحرّكة، و علم جرّ الأثقال، و علم الأوزان و الموازين، و علم المرايا، و علم نقل المياه. و من فروع الهيئة علم التقاويم. و من فروع الموسيقى اتّخاذ الآلات العجيبة لحصول النغمات المبهجة للنفس المهيّجة لقواها و دواعيها، كالأرغنون و ما يشبهه.
الحکمة المتعالیة، ح 1، ص 34-35
و مما يجب أن يعلم أن بعض الأمور التي ليست ماهياتها مفتقرة في الوجودين العيني و الذهني إلى المادة لكنها مما قد يعرض لها أن يصير رياضيا كالكم أو طبيعيا كالكيف قد لا يبحث عنها في العلم الكلي بل يفرد لها علم على حدة كالحساب للعدد - أو يبحث عنها في علم أسفل كالبحث عن الكيفيات في الطبيعيات
و ذلك بأحد وجهينویکی پدیا
حِساب(معادل انگلیسی آن یعنی Arithmetic از یونانی ἀριθμός با تلفظ arithmos، به معنای «عدد» و τική [τέχνη]، با تلفظ tiké [téchne] به معنای «هنر» میآید) شاخه ای از ریاضیات است که شامل مطالعه اعداد، بهخصوص خواص عملیات سنتی روی آنها یعنی جمع، تفاضل(تفریق)، ضرب و تقسیم است. حساب قسمت مقدماتی نظریه اعداد میباشد و نظریه اعداد امروزه به عنوان یکی از اصلیترین شاخههای ریاضیات (که جایگاه آن در بالاترین قسمت درخت تقسیمبندی گرایشهای ریاضی قرار دارد) در نظر گرفته میشود. در کنار نظریه اعداد جبر، هندسه و آنالیز نیز جزو این شاخههای اصلی قرار دارند. عبارت حساب و حساب مرتبه بالاتر تا اوایل قرن بیستم به عنوان کلمه هممعنی نظریه اعداد به کار برده میشد و هنوز هم برای اشاره به قسمت اعظم نظریه اعداد به کار برده میشود
ریاضیات (به پارسی سره: انگارش یا رایش)[۱] (به تاجیکی: مَتِماتیک) (به انگلیسی: mathematics) فن محاسبهٔ اعداد بوده و نیز به مطالعهٔ مباحثی چون کمیت (نظریه اعداد)،[۲] ساختار (جبر)،[۳] فضا (هندسه)،[۲] و تغییرات (آنالیز ریاضیات)[۴] میپردازد.[۵][۶][۷] در حقیقت، تعریفی جهانی که همه بر سر آن توافق داشته باشند، برای ریاضیات وجود ندارد.
ریاضیدانان به دنبال الگوهایی هستند که بتوان از آنها استفاده کرده و حدسهای جدید را بهصورت فرمول درآورد؛ آنها درستی یا نادرستی حدسها را با اثبات ریاضی نشان میدهند. هرگاه ساختارهای ریاضی مدلهای خوبی از پدیدههای جهان واقعی باشند، استدلال ریاضی میتواند پیشبینیهایی برای طبیعت ارائه کند. علم ریاضیات با استفاده از انتزاع و منطق از مفاهیمی چون شمردن، محاسبه و اندازهگیری و مطالعهٔ نظاممند شکلها و حرکات اشیای فیزیکی بهوجود آمد. ریاضیات کاربردی از زمانی که انسان نوشتن را آموخت، بهعنوان فعالیتی بشری وجود داشتهاست. تحقیقات مورد نیاز برای حل مسائل ریاضی، ممکن است سالها یا حتی سدهها طول بکشد.
استدلالهای استوار ابتدا در ریاضیات یونان باستان ظاهر شدند؛ بهخصوص در اثر عناصر اقلیدس. از زمان کارهای تحقیقاتی جوزپه پئانو (۱۸۵۸–۱۹۳۲)، داویت هیلبرت (۱۸۶۲–۱۹۴۳) و دیگران بر روی دستگاه اصول موضوعهای در پایان سده نوزدهم میلادی، روش تحقیقاتی ریاضیدانان به این شکل درآمده که آنها حقایق را با استدلال ریاضی از مجموعهٔ منتخبی از اصول موضوعی و تعاریف به دست میآورند. روند پیشرفت ریاضیات تا زمان رنسانس سرعت نسبتاً آرامی داشت، تا زمانی که نوآوریهای ریاضیاتی با کشفیات علمی برهمکنش کرده و منجر به افزایش سریع نرخ اکتشافات ریاضی گشت و تا به امروز نیز ادامه دارد.[۸]
ریاضیات در بسیاری از زمینهها مثل علوم طبیعی، مهندسی، پزشکی، اقتصاد و علوم اجتماعی یک علم ضروری است. شاخههای کاملاً جدیدی در ریاضیات بهوجود آمدهاند؛ مثل نظریهٔ بازیها. ریاضیدانان در ریاضیات محض (مطالعهٔ ریاضی به هدف کشف هرچه بیشتر رازهای خود آن) بدون اینکه هیچگونه هدف کاربردی در ذهن داشته باشند به تحقیقات میپردازند؛ در حالی که کاربردهای عملی یافتههای آنها معمولاً بعدها کشف میشود.[۹] مادر علوم جهان ریاضیات است.
ریاضیات انواع و عمق متنوعی از موضوعات را در طول تاریخ در بر گرفته، و تنها با مرتبسازی و دسته بندی تمام این موضوعات در شاخههای ریاضیاتی می توان آنها را فهمید و یک جا جمع نمود. چندین الگو برای دسته بندی این موضوعات ظهور نمودند و با این که بین این الگوها اشتراکاتی است اما هر کدام به علت هدفشان از بقیه متفاوتند.
به طور سنتی ریاضیات را به دو شاخه محض (مطالعه ریاضیات به دلیل زیبایی ذاتی) و کاربردی (مطالعه ریاضیات به منظور کاربرد آن در مسائل جهان واقعی) تقسیم بندی می کنند. اما این تقسیم بندی کلی همیشه واضح نبوده و بسیاری از موضوعات ابتدا توسط ریاضیات محض بنیان نهاده شدند تا بعداً کاربرد های آن یافت شوند. تقسیم بندی های عمده ای چون ریاضیات گسسته، ریاضیات محاسباتی و ... اخیراً ظهور پیدا کرده اند.
یک دستگاه طبقه بندی ایدهآل امکان اضافه کردن شاخه های جدید به دانش قبلی را فراهم کرده و پیشرفت های شگفت انگیز و قادر خواهد بود که ارتباطات غیر منتظره شاخه ها با هم دیگر را به دسته بندی پیش از آن تطبیق دهد. به عنوان مثال، برنامه لنگلندز روابط غیر منتظره ای را بین شاخه هایی که قبلاً آن ها را بی ارتباط می دیدند پیدا کرد، مثل ارتباطاتی که بین گروه های گالوا، رویه های ریمانی و نظریه اعداد پیدا نمود.
الموسوعه الجامعه لمصطلحات الفکر العربی و الاسلامی، ج 1، ص 1732
- العدّ: إحصاء الشيء... و العدد في قوله تعالى: وَ أَحْصىٰ كُلَّ شَيْءٍ عَدَداً (الجنّ، 28/72) له معنيان: يكون: أحصى كل شيء معدودا فيكون نصبه على الحال... و يكون:... إحصاء، فأقام عددا مقام الإحصاء لأنه بمعناه... و العدد: مقدار ما يعدّ و مبلغه، و الجمع أعداد و كذلك العدّة... و العدّة... الجماعة قلّت أو كثرت... و العديد: الكثرة... و العدائد: النظراء... و العدّ: الكثرة... و عادّهم الشيء: تساهموه بينهم فساواهم... و العدائد: المال المقتسم و الميراث... و عدّة المرأة المطلّقة و المتوفى زوجها: هي ما تعدّه من أيام أقرائها أو أيام حملها أو أربعة أشهر و عشر ليال... و العدّان: الزمان و العهد. (لسان العرب، عدد، 281/3-285). - العدد بفتحتين عند جميع النحاة و بعض المحاسبين: هو الكمية و الألفاظ الدالّة على الكمية بحسب الوضع، تسمّى أسماء العدد... و قيل: العدد ما كان نصف مجموع حاشيتيه. و المراد من حاشيتي العدد طرفاه الفوقاني و التحتاني اللذان يعدّه ما من ذلك العدد واحد، مثلا: الثلاثة نصف مجموع الأربعة، و الإثنين و نصف مجموع الخمسة و الواحد... و قيل العدد كثرة مركّبة من آحاد... العدد إما صحيح أو كسر، فالكسر عدد يضاف و ينسب إلى ما هو أكثر منه. (كشاف الاصطلاحات، العدد، 1167/2 - 1168). - العدد: كل عدد يصير عند العدّ فانيا قبل عدد آخر فهو أقلّ من الآخر و الآخر أكثر منه... العدد: الكمية المتألّفة من الوحدات. و قد يقال لكل ما يقع في مراتب العدّ عدد، فاسم العدد يقع على الواحد أيضا بهذا الاعتبار، و يكون كل عدد سواه مركّبا منه، هذا ما ذهب إليه بعض الحكماء، و ذهب البعض منهم إلى عدم كون الواحد عددا لأن العدد كمّ منفصل، و هو قسم من مطلق الكم الذي يعرّف بأنه عرض يقبل القسمة لذاته، و الواحد من حيث إنه لا يقبل القسمة، ما من ذلك العدد واحد، مثلا: الثلاثة نصف مجموع الأربعة، و الإثنين و نصف مجموع الخمسة و الواحد... و قيل العدد كثرة مركّبة من آحاد... العدد إما صحيح أو كسر، فالكسر عدد يضاف و ينسب إلى ما هو أكثر منه. (كشاف الاصطلاحات، العدد، 1167/2 - 1168). - العدد: كل عدد يصير عند العدّ فانيا قبل عدد آخر فهو أقلّ من الآخر و الآخر أكثر منه... العدد: الكمية المتألّفة من الوحدات. و قد يقال لكل ما يقع في مراتب العدّ عدد، فاسم العدد يقع على الواحد أيضا بهذا الاعتبار، و يكون كل عدد سواه مركّبا منه، هذا ما ذهب إليه بعض الحكماء، و ذهب البعض منهم إلى عدم كون الواحد عددا لأن العدد كمّ منفصل، و هو قسم من مطلق الكم الذي يعرّف بأنه عرض يقبل القسمة لذاته، و الواحد من حيث إنه لا يقبل القسمة،
المعجم الفلسفی، ص 163
عدد Number(E.); Nombre(F.);Numerus(L.);Zahl(G.); هو الكثرة المركبة من الآحاد، فالواحد إذن ليس بالعدد (خوارزمي - مفاتيح العلوم). و الواحد ليس بعدد بالطبع بل باشتباه الاسم، فالإثنان أول العدد (الكندي - فلسفة أولى). و العدد ينقسم إلى شفع و وتر (الغزالي - تهافت الفلاسفة). و قد يقال لكل ما يقع من مراتب العد عدد، فاسم العدد يقع على الواحد أيضا بهذا الاعتبار، و يكون كل عدد سواه مركبا منه. و ذهب البعض إلى عدم كون الواحد عددا، لأن العدد كم منفصل، و هو قسم من مطلق الكم الذي يعرف بأنه عرض يقبل القسمة لذاته، و الواحد من حيث أنه واحد لا يقبل القسمة.
مجموعه آثار شهید مطهری، ج 7، ص528-529
بیان عبارت شهرستانی در ملل و نحل
عدد و معدود در فلسفۀ فيثاغورس
ثم إنّ لفيثاغورس رأيا فى العدد و المعدود قد خالف فيه جميع الحكماء قبله، و خالفه فيه من بعده، و هو أنه جرّد العدد عن المعدود تجريد الصورة عن المادة و تصوره موجودا محققا. اين رأيى است كه به «طبيعيات» مىخورد؛ عدد را از معدود جدا كرده و براى خود عدد استقلال و اصالت قائل شده و بلكه مدعى است كه عدد است كه معدود را مىسازد نه معدود عدد را. او اصلاً براى خود عدد به صورت يك موجود مستقلى كه از خودش تحقق دارد اصالت قائل است، همان طورى كه ما در باب صور براى آنها اصالت قائل هستيم. و قال: مبدأ الموجودات هو العدد، و هو أوّل مبدع أبدعه البارى تعالى. فأوّل العدد هو الواحد، و له اختلاف رأى فى أنه هل يدخل فى العدد أم لا، كما سبق؛ و ميله الأكثر إلى أنه لا يدخل فى العدد، فيبتدئ العدد من اثنين. اوّل مبدعى كه واجب تعالى ابداع كرده عدد است و اوّل عدد، عدد واحد است. بعد راجع به اينكه آيا واحد خودش هم عدد است يا نيست، شهرستانى مىگويد: مثل اينكه در رأى او ترديدى هست. از بعضى حرفهاى او ظاهر مىشود كه واحد خودش داخل در اعداد نيست، ولى از بعضى آرائش ظاهر مىشود كه داخل در اعداد است. اكثر ميلش به اين است كه «1» داخل در اعداد نيست و عدد از «2» شروع مىشود نه از 1؛ 1 سازندۀ عدد است. چون عدد از مقولۀ كثرت است و 1 هم داخل در كثرت نيست، بنابراين 1 داخل در عدد نيست.
رسائل اخوان الصفا، ج 1، ص 48
اعلم أيها الأخ البارّ الرحيم، بأنه لما كان من مذهب إخواننا الكرام، أيّدهم اللّه، النظر في جميع علوم الموجودات التي في العالم، من الجواهر و الأعراض و البسائط و المجرّدات و المفردات و المركّبات، و البحث عن مباديها و عن كمية أجناسها و أنواعها و خواصّها، و عن ترتيبها و نظامها، على ما هي عليه الآن، و عن كيفيّة حدوثها و نشوئها عن علّة واحدة، و مبدإ واحد، من مبدع واحد، جلّ جلاله، و يستشهدون على بيانها بمثالات عدديّة، و براهين هندسيّة، مثل ما كان يفعله الحكماء الفيثاغوريّون، احتجنا أن نقدم هذه الرسالة قبل رسائلنا كلّها، و نذكر فيها طرفا من علم العدد و خواصّه التي تسمى «الأرثماطيقي» شبه المدخل و المقدّمات، لكيما يسهل الطريق على المتعلمين إلى طلب الحكمة التي تسمى الفلسفة، و يقرب تناولها للمبتدئين بالنظر في العلوم الرياضية فنقول:
رسائل اخوان الصفا، ج 1، ص 57
فصل في خواص العدد ثم اعلم أن ما من عدد إلا و له خاصيّة أو عدّة خواصّ، و معنى الخاصيّة أنها الصفة المخصوصة للموصوف الذي لا يشركه فيها غيره. فخاصيّة الواحد أنه أصل العدد و منشأه كما بيّنا قبل، و هو يعدّ العدد كله: الأزواج و الأفراد جميعا. و من خاصيّة الاثنين أنه أوّل العدد مطلقا، و هو يعدّ نصف العدد: الأزواج دون الأفراد. و من خاصيّة الثلاثة أنها أول عدد الأفراد و هي تعدّ ثلث الأعداد تارة الأفراد و تارة الأزواج. و من خاصيّة الأربعة أنها أوّل عدد مجذور. و من خاصيّة الخمسة أنها أول عدد دائر و يقال كريّ. و من خاصيّة الستة أنها أول عدد تامّ. و من خاصيّة السبعة أنها أول عدد كامل. و من خاصيّة الثمانية أنها أول عدد مكعّب. و من خاصيّة التسعة أنها أوّل عدد فرد مجذور، و أنها آخر مرتبة الآحاد.
و أمّا الواحد فليس له إلا حاشية واحدة و هي الاثنان، و الواحد نصفها، و هي مثله مرّتين. و أمّا قولنا: إن الواحد أصل العدد و منشأه فهو أن الواحد إذا رفعته من الوجود ارتفع العدد بارتفاعه، و إذا رفعت العدد من الوجود، لم يرتفع الواحد.
موسوعة مصطلحات ابن سینا، ص 686
عدد تام - (العدد) التام هو المساوي لجميع أجزائه. (شأه، 212، 13) - اعلم أن العدد التامّ لا يكون إلاّ زوجا لأنه إنما ينشأ من ضرب عدد فرد في زوج، و اتّفق أن الواقع منه في الآحاد واحد و هو الستّة، و في العشرات واحد و هو الثمانية و العشرون، و في المئات واحد و هو أربعمائة و ستّة و تسعون، و في الألوف واحد و هو ثمانية آلاف و مائة و ثمانية و عشرون، و كذلك في كل صنف واحد لا ينفكّ عن آحاد و هي ستّة أو ثمانية و إن لم يلزم عند التجربة فيها التعاقب. (شحس، 32، 9) - من خواص العدد التام أنه إذا ضرب في ثمانية زيد عليه واحد كان محذورا، و إذا قسّم جذره على أربعة و زيد على ما سيجتمع ربع كان زوج للزوج الذي ضرب في ضعفه إلاّ واحدا حتى خرج ذلك العدد التام مثل الستّة في الثمانية مزيدا عليه واحد، و جذره سبعة، و ربعه واحد و ثلاثة أرباع، فإذا زيد عليه ربع صار اثنين و هو زوج الزوج، و هو الذي وقع الضرب في ضعفه إلاّ واحد حتى خرج ستّة. (شحس، 32، 15) عدد تعليمي - العدد التعليمي هو المقارب للمادة لكنه قد جرّد عنها. (كتع، 199، 14) عدد زائد و ناقص - أما العدد الزائد و الناقص... يكون خروج التام و الناقص و الزائد امتحان وقع لبعض الناس، و هو أن كل زوج ضرب في عدد أول كيف كان، بعد أن يكون زوج الزوج أكبر من نصف ذلك الأول بنصف، فإن المجتمع منه أبدا عدد تام مثل الاثنين في الثلاثة و الأربعة في السبعة، فإن كان أكثر من نصفه بأكثر من نصف واحد فالمجتمع زائد، و إن كان أقلّ من نصفه كيف كان فالعدد ناقص؛ مثال الأول الأربعة في الخمسة، و مثال الثاني الأربعة في التسعة و في الأحد عشر. و كل عدد من الأعداد التامة ضرب في عدد أول لا يعد ذلك العدد الأول ذلك العدد التام إذ حدث عدد زائد على جميع أجزائه بضعف العدد التام مثل الستّة إذا ضربت في سبعة فحدث اثنان و أربعون، له من الأجزاء النصف و هو واحد و عشرون، و الثلث و هو أربعة عشر، و السدس و هو سبعة، و السبع هو ستة، و الجزء من أربعة عشر و هو ثلاثة، و الجزء من أحد و عشرين و هو اثنان، و الجزء من اثنين و أربعين و هو واحد، و جميع ذلك أربعة و خمسين و هو يزيد على اثنين و أربعين بإثنا عشر و هو ضعف ستّة.
ثلاث رسائل محقق دوانی، ص 397
المسألة العاشرة من الأرثماطيقى العدد إمّا تامّ، و هو ما يكون كسوره مساويا له، كالستّة فإنّ جميع أجزائه و هى السّدس و الثلث و النّصف مساويا له، و إمّا زائد كاثنى عشر، فإنّ أجزائه يزيد عليه، و إمّا ناقص، و هو ما يكون أجزائه أقلّ منه، كسبعة مثلا فإنّه ليس إلاّ السبع، و قد نظمت قاعدة فى تحصيل العدد التامّ فقلت: چو باشد فرد اول ضعف زوج الزوج كم واحد بود مضروب ايشان تام ور نى ناقص و زائد و معناه أنّه يؤخذ زوج الزوج، و هو زوج لا يعدّه من الأفراد سوى الواحد، و بعبارة أخرى، عدد لا يعدّه عدد فرد، و هذا مبنى على أنّ الواحد ليس بعدد كالاثنين فى المثال المذكور ، و يضعّف حتى يصير أربعة، و يسقط منه واحد حتى يصير ثلاثة، فهو فرد أوّل لأنّه لا يعدّه سوى الواحد فرد آخر، و هو المراد بالفرد الأوّل، فيضرب الثلاثة فى الاثنين الّذي هو زوج الزوج، فيصير ستّة، و هو العدد التامّ، و قس عليه مثلا: نأخذ الأربعة، و هى زوج الزوج، نضعّفه حتى يصير ثمانية، و اسقطنا منه واحدا فصار سبعة، و هو فرد أوّل. أمّا كونه فردا، فلأنّه لا ينقسم إلى قسمين متساويين، و أمّا كونه أوّل، فلأنّه لا يعدّه سوى الواحد، فنضربه فى الأربعة، فيصير ثمانية و عشرين، و هو أيضا عدد تامّ، و من خواصّ العدد التامّ أنّه لا يوجد فى كلّ مرتبة من الآحاد و العشرات و ما فوقها إلاّ واحدا ، مثلا: لا يوجد فى مرتبة الآحاد إلا الستّة، و فى مرتبة العشرات إلاّ الثمانية و العشرون، و قس عليه و استخرج بهذه القاعدة العدد التامّ فى المراتب الاخر.
کشف المراد، ص 496
قوله: كالصمم و المنطقية. 8/105
اعلم ان العدد اما مطلق او مضاف و الاوّل يسمّى الصحيح لانه غير مضاف الى غيره؛ و الثاني يقابله لانّ الجزء يضاف الى ما فرض واحدا له و لذلك سمي كسرا. و المطلق ان كان له احد الكسور التسعة او جذر فمنطق - بالفتح - و الاّ فاصمّ. و الجذر هو العدد المضروب في نفسه كالثلاثة فانها اذا ضربت في نفسه حصلت منه تسعة فيسمى الثلاثة جذرا و التسعة مجذورا. و انما سمي منطقا لنطقه بكسره أو جذره، و اصمّ لعدم نطقه باحدهما. و المنطق ان ساوى اجزائه فتام كالستة فان لها نصفا و ثلثا و سدسا اى الثلاثة و الاثنان و الواحد و مجموعها ستة. و سمّي تامّا لتمامية عدده بالنسبة الى اجزائه. و إن زاد عليها فناقص كالثمانية فان لها نصفا و ربعا و ثمنا و مجتمعها سبعة، سمّي ناقصا لنقصان اجزائه منه. و إن نقص عنها فزائد كالاثني عشر فان له نصفا و ربعا و ثلثا و سدسا و مجموعها خمسة عشر، سمّي زائدا لزيادة اجزائه عنه.
آشنایی با تاریخ ریاضیات، ج 1، ص 70-70
اعداد دیگری با روابط جادویی که در تحقیقات نظری عددشناسی اساسی اند، و گاهی به فیثاغورسیان نسبت داده میشوند اعداد تام ناقص و زاید هستند. يك عدد تام است هر گاه مساوی مجموع مقسوم علیه های حقیقی خود باشد ناقص است اگر از مجموع مقسوم علیه های حقیقی اش تجاوز نماید و زاید است اگر کوچکتر از مجموع مقسوم علیه های حقیقی اش باشد بنابراین خداوند دنیا را در شش روز آفرید كه يك عدد تام است زیرا ۲ + ۱ - ۶، از دیگر سو بنا به اظهار آلکوین (۷۳۵-۸۰۴)، نوع بشر از اخلاف هشت انسان کشتی نوح هستند و این آفرینش ثانی ناکامل بود زیرا ۸ که از ۴ + ۱۲ بزرگتر است ناقص است. تا سال ۱۹۵۲ تنها ۱۲ عدد نام شناخته شده موجود بود که همه آنها اعداد زوج بودند و از بین آنها سه تای اول ۲۸،۶ و ۴۹۶ هستند. آخرین قضیه مقاله نهم اصول اقليدس (حدود ۳۰۰ ق. م.) ثابت میکند که اگر ۱ - ۲ يك عدد اول باشد، آنگاه (۱) - ۲۴) ۱ - ۲ يك عدد نام است. اعداد تامی که به وسیله اقلیدس داده شده اند اعداد زوج هستند و اویلر نشان داده است که هر عدد زوج تام باید بدین صورت باشد. وجود یا عدم وجود اعداد تام فرد یکی از مسائل حل نشده معروف در نظریه اعداد است. مطمئناً هیچ عددی از این نوع که کمتر از صد رقم داشته باشد، وجود ندارد.
در سال ۱۹۵۲ به كمك كامپیوتر رقمی SWAC پنج عدد نام دیگر متناظر با
۲۲۰۳۰۱۲۷۹۰۶۰۷۰۵۲۱ و ۲۲۸۱ در فرمول اقلیدس کشف گردید. در سال ۱۹۵۷
با استفاده از ماشین محاسبه سوئدی BESK عدد نام دیگری پیدا شد که متناظر با ۳۲۱۷ =
بود، و در سال ۱۹۶۱ با یک کامپیوتر ۷۰۹۵ IBM دو عدد دیگر به ازای ۴۲۵۳ = n و
۴۴۲۳ = ، پیدا شدند هیچ عدد تام زوج دیگری برای ۵۰۰۰ وجود ندارد. از
مقادیر = ۹۶۹۸، ۹۹۴۱، ۱۱۲۱۳ ، ۱۹۹۳۷، ۲۱۷۰۱ ، ۲۳۲۰۹ و ۴۴۴۹۷ نیز اعداد
نام حاصل میشوند که سیاهه اعداد تام معلوم را به ۲۷ می رسانند. برخی از ریاضیدانان جدید با الهام از مفهوم اعداد تام به تعمیم آن پرداخته اند.
اگر (n) را معرف مجموع کلیه مقسوم علیه های حقیقی از جمله خود ( بگیریم آنگاه و تام است اگر و فقط اگر ۲۶ = (1) در حالت کلی اگر داشته باشیم k = ) که در آن يك عدد طبیعی است n را نام تایی یی نامند. مثلا می توان نشان داد که ۱۲۰ و ۶۷۲ تام سه تایی بیاند معلوم نیست که بینهایت عدد نام چند تایی یی وجود دارد یا نه، بنابر این در مورد اعداد تام کمتر از آن میدانیم این هم معلوم نیست که عدد نام چند تایی یی فردی موجود است یانه در سال ۱۹۴۴ ، مفهوم اعداد فوق زايد خلق σ(n)٫no(k)٫kkn شد. عدد طبیعی را فوق زاید نامند اگر و فقط اگر به ازای هر معلوم شده است که بینهایت عدد فوق زايد وجود دارد اعداد دیگری که جدیداً در ارتباط با اعداد تام ،ناقص و زاید معرفی شده اند عبارت اند از اعداد عملی اعداد شبه تام، اعداد نیم تام و اعداد غریب ما صرفاً این مفاهیم را ذکر کردیم تا روشن کرده باشیم که چطور کار
قدیمیان با اعداد الهام بخش پژوهشهای جدید مرتبط با آن شده است