بسم الله الرحمن الرحیم
حسابان-جامعة-فاضلة-دیفرنسیل-انتگرال
فهرست علوم
فهرست مباحث ریاضیات
حسابان-جامعة-فاضلة-دیفرنسیل-انتگرال
حسابان-ویکی‌پدیا
تاریخچه بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال-ایسرائل کلاینر-ترجمه روح الله جهانی پور و سعید مقصودی
فلاکسیون از فلاکس به معنای روند و جریان و شار و تغییر و دگرگونی است، اسم مصدر فلاکس است، مثلا شبیه واژه دگرش از دگرگونی در فارسی، یعنی کوچکترین تغییر در روند یک حرکت.
اثبات رابطه مشتق خارج قسمت دو تابع توسط اسحاق نیوتن مقاله عمومی
تاریخ : ۱۳۹۷/۰۶/۲۳ ساعت : ۱۳:۴۶:۳۰
اثبات فرمول مشتقِ نسبت دو تابع، توسط اسحاق نیوتن، بنیانگذار علم حساب دیفرانسیال.
علامت «سه نقطه» به عنوان علامت نتیجه می دهد بکار رفته است.
دانش آموزان امروزی این رابطه و اثبات ساده آن را در دبیرستان می آموزند، اما زمانی که نیوتون کتاب «روش فلاکسیون» را می نوشت، فقط او که بنیانگذار این حساب بود با مفهوم مشتق آشنا بود ( نیوتون اصطلاح فلاکسیون را برای مشتق بکار می برد). این کتاب در سال 1671 تکمیل شد اما اولین چاپ رسمی آن حدود ده سال پس از مرگ نیوتون در سال 1736 صورت گرفت.
مشتق کسر x/y را بیابید.
پاسخ:
فرض کنید x/y=z در نتیجه x=yz
حال با استفاده از فرمول مشتق ضرب دو تابع(که قبلا اثبات شده است استفاده می شود):
نیوتن و ریاضیات
«نیوتن» فلاکسیون (حسابان) را از بررسی دو پرسش ابداع کرد :
1- در صورتی که معادله یک حرکت، پیوسته باشد به چه صورتی می توان معادله سرعت حرکت را به دست آورد؟ (و برعکس همین پرسش)
2- در صورتی که معادله سرعت حرکت را داشته باشیم، معادله حرکت را چگونه به دست آوریم؟
اما از آنجایی که «نیوتن» در پی ابداع روشی عام بود، این سوال را کمی متفاوت مطرح کرد و در تعریف جدید به جای تغییرات مکان یا سرعت، سعی کرد بیان کند «هر تغییری».(در این تعریف به جنس متغیر توجه نمی شد، بلکه فقط به میزان تغییرات نسبت به عاملی خارجی که رابطه یی پیوسته با متغیر دارد، توجه می شد.) کمی پس از «نیوتن» و البته به طور مستقل فردی به نام «لایبنیتس» نیز حسابان را عرضه کرد، البته با نمادگذاری متفاوت، که امروزه ما پس از گذشت تقریباً سه و نیم قرن، همچنان از نمادهای «لایبنیتس» استفاده می کنیم.
در روند ایجاد حسابان تعریف های مهمی در ریاضی پدید آمد که امروزه اساس کار ریاضیدانان است که از جمله آنها می توان به «مشتق» اشاره کرد.
در گفتاری ساده می توان مشتق را چنین بیان کرد؛ «مثلاً اگر تابعی به نام مکان داشته باشیم و نمودار این تابع را نسبت به متغیری مثل زمان رسم کنیم، مشتق برابر خواهد بود با شیب خط مماسی که در هر نقطه با نمودار تابع مکان رسم می کنیم. به بیان دیگر مشتق برابر است با نسبت تغییرات تابع مکان به تغییرات متغیر زمان، هنگامی که تغییرات متغیر زمان به صفر میل می کند.» (که در این مثال مشتق تابع مکان نسبت به متغیر زمان، سرعت جسم را می دهد.
در مثال بالا هر تابع یا متغیری را می توان قرار داد.) هر معادله یی که در آن مشتق وجود داشته باشد، «معادله دیفرانسیل» است. در ریاضی فیزیک، معادله دیفرانسیل همه جا وجود دارد و یکی از جذابیت های مهم فیزیک نظری این است که می توان قوانین آن را (به جز البته چند استثنا) به صورت فشرده به زبان متداول معادلات دیفرانسیل بیان کرد.
نظریه پردازان فیزیک معمولاً نظریه هایشان را ابتدا با نوشتن معادلات دیفرانسیل طرح می کنند، اما این کار دو اشکال عمده دارد؛
«1- این معادلات برای پیش بینی آزمایش های بعدی و مشاهده های دیگر و مقایسه آنها با یکدیگر در یک نظریه کافی نیست.
2- حل این معادلات که البته لباسی ساده بر تن کرده اند بسیار مشکل است.» از همین رو «نیوتن» و «لایبنیتس» با بیان مبحثی به نام انتگرال، سعی کردند این مشکل را حل کنند و انقلاب دیگری در ریاضیات به پا کردند (البته انتگرال و مشتق، تقریباً همزمان با هم به وجود آمد چرا که انتگرال کاملاً مربوط و در ادامه مشتق است). با گفتاری ساده می توان انتگرال را چنین بیان کرد؛ «فرض کنیم تابعی به نام سرعت حرکت یک جسم داریم که نسبت به متغیری به نام زمان تغییر می کند. اگر نمودار این تابع را نسبت به متغیرش رسم کنیم، انتگرال این تابع برابر خواهد بود با سطح بین نمودار تابع و محور متغیر.
نکته یی که باید به آن توجه کرد، این است که در محاسبه سطح زیر نمودار باید از مستطیل هایی استفاده کرد که طول مستطیل مربوط به دو نقطه پیاپی از تابع و عرض مستطیل دو نقطه پیاپی از متغیر است. حال اگر عرض این مستطیل ها به صفر یا به بیان دیگر تعداد این مستطیل ها به بی نهایت میل کند، می توانیم با جمع کردن سطح این مستطیل ها انتگرال این تابع را حساب کنیم.» (در این مثال انتگرال تابع سرعت جسم، معادله حرکت جسم را می دهد، به بیان دیگر انتگرال عکس عمل مشتق است). پس از اینکه «نیوتن» و «لایبنیتس» توانستند مفهوم انتگرال را به وجود آورند، توانستند معادلات بزرگی را در آن زمان حل کنند، البته «لایبنیتس» صرفاً به بخش ریاضی موضوع پرداخت و از جریان فیزیکی تقریباً به دور بود. جالب اینکه قبل از آنکه «نیوتن» به واسطه کارهای شگرفش در ریاضیات و فیزیک مطرح شود، به سبب کارهای عملی اش مطرح شد.
Fluxion
Method of Fluxions
The Analyst
تحلیلگر (زیرنویس گفتمانی خطاب به یک ریاضیدان کافر: در این مقاله بررسی می شود که آیا موضوع ، اصول و استنباط های تجزیه و تحلیل مدرن به طور واضح تر تصور می شوند یا به طور آشکارتر از اسرار مذهبی و نقاط ایمان استنباط می شوند ) کتابی است که منتشر شده است توسط جورج بركلی در سال 1734. اعتقاد بر این است كه "ریاضیدان كافر" ادموند هالی بوده است ، گرچه دیگران حدس می زدند كه سر آیزاک نیوتون در نظر گرفته شده است. رجوع شود به ( برتون 1997 ، 477).
فهرست
سابقه و هدفویرایش کنید
بیشتر بدانید
این بخش برای تأیید نیاز به نقل قول های اضافی دارد . ( مه 2011 )
از همان روزهای ابتدایی نویسندگی ، برکلی قلم هجوآمیز خود را به کار گرفت تا به آنچه " آزاد اندیشمندان " (سکولارها ، بدبینی ها ، اگنوستیک ها ، ملحدان و غیره) خوانده می شد حمله کند - خلاصه کسی که در حقایق دین مسیحی دریافت کرده شک داشت یا خواستار کاهش دین در زندگی عمومی هستند). در سال 1732 ، در آخرین بخش از این تلاش ، بركلی Alciphron خود را منتشر كرد ، مجموعه ای از گفتگوها كه به انواع مختلف "آزاد اندیشمندان" می پردازد. یکی از کهن الگوهای مورد خطاب برکلی ، دانشمند سکولار بود که اسرار مسیحیان را به عنوان خرافات غیرضروری کنار گذاشت.، و اطمینان خود را به اطمینان عقل و علم بشری اعلام کرد. برخلاف استدلال های خود ، برکلی دفاع ظریفی از اعتبار و سودمندی این عناصر ایمان مسیحی ارائه داد.
Alciphron به طور گسترده ای خوانده شد و کمی سر و صدا کرد. اما این یک اظهار نظر غیراخلاقی بود که استدلال های برکلی توسط ستاره شناس سلطنتی "آزاد اندیش" سر ادموند هالی را به سخره گرفت ، باعث شد که برکلی دوباره قلم خود را برداشته و یک روش جدید را امتحان کند. نتیجه این تحلیلی بود که تصور می شد هجومی است که با همان قدرت و سبکی که اصولگرایان به طور روزمره به حقایق دینی حمله می کنند ، به بنیان های ریاضیات حمله می کند.
برکلی تلاش کرد ریاضیات را از هم جدا کند ، ادعا کرد که خلأهای اثبات زیادی را کشف می کند ، به استفاده از کوچکترین اندازه ها ، مورب مربع واحد ، وجود اعداد و غیره حمله کرد. نکته کلی این نبود که ریاضیات یا ریاضیدانان مسخره شوند ، بلکه بلکه نشان می دهد ریاضیدانان ، مانند مسیحیان ، در مبانی استدلال خود به "اسرار" نامفهوم اعتماد می کنند. علاوه بر این ، وجود این "خرافات" برای استدلال ریاضی مهلک نبود ، در واقع یک کمک بود. همینطور با مومنان مسیحی و "اسرار" آنها. بركلی نتیجه گرفت كه یقین ریاضیات چیزی بیشتر از یقین دین نیست.
محتواویرایش کنید
تحلیلگر یک حمله مستقیم بر روی پایه های بود حساب دیفرانسیل و انتگرال به طور خاص در مفهوم نیوتن، fluxions و لایبنیتس مفهوم 'ثانیه بینهایت تغییر است. در بخش 16 ، برکلی انتقاد می کند
... راه مغالطانه ادامه دادن به یک نقطه خاص در مورد فرض افزایش ، و سپس تغییر یک باره فرض خود به یک افزایش بدون. . . از آنجا که اگر این فرضیه دوم قبل از تقسیم مشترک توسط o صورت گرفته بود ، همه یک باره از بین می رفتند و شما با پیش فرض خود هیچ چیز بدست نمی آورید. در حالی که با استفاده از این مصنوع ابتدا تقسیم می شوید و سپس فرض خود را تغییر می دهید ، 1 و nx n-1 را حفظ می کنید . اما ، علیرغم همه این آدرس ها برای پوشش آن ، مغالطه هنوز همان است. [1]
قسمت متداول آن:
و این Fluxions چیست؟ سرعتهای افزایش یافته است؟ و این همان افزایشهای دوره ای چیست؟ آنها نه مقادیر متناهی هستند و نه مقادیر بینهایت کوچک و نه هنوز چیزی. آیا ممکن است آنها را ارواح مقادیر ترک شده نخوانیم؟ [2]
برکلی در مورد نتایج حساب اختلاف نکرد. او اذعان داشت که نتایج درست است. اصل انتقاد او این بود که حساب دیفرانسیل منطقی تر از دین نیست. وی در عوض این س questionال را مطرح كرد كه آیا ریاضیدانان "مطابق با اقتدار ، امور را بر عهده بگیرند" [3] درست مانند پیروان اصول مذهبی انجام دادند؟ به گفته برتون ، برکلی نظریه ای مبتکرانه برای جبران اشتباهات ارائه داد که هدف آن توضیح درستی نتایج حاصل از حساب بود. برکلی ادعا کرد که تمرین کنندگان محاسبات چندین اشتباه وارد کردند که لغو شد و پاسخ صحیح را گذاشت. به گفته خودش ، "به موجب یک اشتباه دو برابری ، شما وارد می شوید ، گرچه نه در علم ، بلکه در حقیقت. [4]
تحلیل و بررسیویرایش کنید
این تصور که نیوتن مخاطب اصلی گفتمان است ، با بخشی که در انتهای کتاب ظاهر می شود ، مورد تردید قرار می گیرد: "س reallyال 58: آیا واقعاً اثر تفکر است ، همین افراد نویسنده بزرگ را به خاطر خود تحسین می کنند Fluxions ، و او را بخاطر دینش مورد تمسخر قرار می دهید؟ " [5]
در اینجا برکلی کسانی را جشن می گیرد که نیوتن (مخترع "fluxions" ، تقریباً معادل دیفرانسیل نسخه های بعدی حساب دیفرانسیل) را جشن می گیرند و به عنوان یک نبوغ در حالی که دین داری معروف خود را مورد تمسخر قرار می دهند ، جشن می گیرند. از آنجا که برکلی در اینجا صریحاً توجه خود را به ایمان مذهبی نیوتن جلب می کند ، به نظر می رسد که منظور وی این نبوده که خوانندگان خود ریاضیدان "کافر (یعنی بی ایمان)" را با نیوتن شناسایی کنند.
جودیت گرابینر ، مورخ ریاضیات ، اظهار داشت: "انتقادات برکلی از سخت گیری حسابگرانه ، لطیفانه ، نامهربانانه بود ، و - با توجه به شیوه های ریاضیاتی که از آن انتقاد می کرد - اساساً صحیح است" ( Grabiner 1997 ). در حالی که انتقادات وی از رویه های ریاضی صحیح بود ، مقاله وی با دلایل منطقی و فلسفی مورد انتقاد قرار گرفته است.
به عنوان مثال ، دیوید شری استدلال می کند که انتقاد برکلی از حساب بی نهایت کوچک شامل یک انتقاد منطقی و یک انتقاد متافیزیکی است. انتقاد منطقی این است که از یک پیش فرض مغالطه ، به معنای کسب امتیاز در یک استدلال با استفاده از یک فرض و در عین حفظ این نکات ، نتیجه گیری با یک فرض متناقض است. انتقاد متافیزیکی یک چالش در برابر وجود مفاهیمی مانند شار ، لحظه و بی نهایت کوچک است و ریشه در فلسفه تجربی گرایی برکلی دارد که بدون هیچ گونه مرجعی هیچ عبارتی را تحمل نمی کند ( شری 1987 ). آندرسن(2011) نشان داد که آموزه جبران اشتباهات برکلی حاوی یک بخشنامه منطقی است. یعنی ، بركلی در تعیین آپولونیوس از مماس پارابولا در تعیین خود مشتقات تابع درجه دوم توسط بركلی تكیه می كند.
نفوذویرایش کنید
دو سال پس از این انتشار ، توماس بایز به طور ناشناس "مقدمه ای بر آموزه روان سازی و دفاع از ریاضیدانان در برابر اعتراض نویسنده تحلیلگر" (1736) را منتشر كرد ، كه در آن از بنیان منطقی حساب اسحاق نیوتن دفاع كرد. در برابر انتقادهایی که در آنالیزور عنوان شده است . رساله دو جلدی کالین ماکلورین که در سال 1742 منتشر شد نیز در پاسخ به حملات برکلی آغاز شد و قصد داشت نشان دهد که حساب نیوتن با تقلیل به روشهای هندسه یونان سختگیرانه است ( Grabiner 1997 ).
علیرغم این تلاشها ، حسابها با استفاده از روشهای غیر سخت همچنان در حدود سال 1830 كه آگوستین كوشی ، و بعدها برنهارد ریمان و كارل وایراسترس ، با استفاده از یك تعریف دقیق از مفهوم حد ، تعریف مجدد مشتق و انتگرال دادند . ایده استفاده از محدودیت ها به عنوان مبنای حساب توسط د آلمبرت مطرح شده بود ، اما تعریف d'Alembert با استانداردهای مدرن دقیق نبود ( برتون 1997 ). مفهوم محدودیت ها قبلاً در کار نیوتن ظاهر شده بود ( پورسیائو 2001 ) ، اما با وضوح کافی برای تحمل انتقادات برکلی بیان نشده بود (ادواردز 1994 )
در سال 1966، ابراهیم رابینسون معرفی غیر استاندارد تحلیل ، که پایه سخت برای کار با مقدار بی نهایت کوچک ارائه شده است. این روش دیگری برای قرار دادن محاسبات بنیادی دقیق ریاضی روشی را که قبل از توسعه کامل تعریف (ε، δ) حد انجام شده بود ، فراهم کرد.
ارواح مقادیر ترک شدهویرایش کنید
در اواخر کتاب «آنالیزور» ، برکلی به توجیهات احتمالی مبانی حسابداری که ریاضیدانان ممکن است مطرح کنند ، می پردازد. در پاسخ به ایده ، می توان جریان ها را با استفاده از نسبت های نهایی مقادیر ناپدید شده تعریف کرد ( بویر 1991 ) ، برکلی نوشت:
در واقع باید اذعان کرد ، [نیوتن] به محض پیدا شدن متناسب بودن خطوط متناهی ، از فلکسیون مانند داربست ساختمان به عنوان چیزهایی که باید کنار گذاشته می شد یا از شر آنها خلاص می شد ، استفاده می کرد. اما سپس این نمایانهای محدود با کمک Fluxions پیدا می شوند. بنابراین هر آنچه توسط این مظاهر و تناسبات بدست می آید به Fluxions نسبت داده می شود: بنابراین باید قبلاً درک شود. و این Fluxions چیست؟ سرعتهای افزایش یافته است؟ و این همان افزایشهای دوره ای چیست؟ آنها نه مقادیر متناهی هستند و نه مقادیر بینهایت کوچک و نه هنوز چیزی. ممکن است ما آنها را ارواح مقادیر ترک نکنیم؟ [6]
ادواردز این را به یادماندنی ترین نکته کتاب توصیف می کند ( ادواردز 1994 ). کاتز و شری استدلال می کنند که این اصطلاح برای پرداختن به بی نهایت کوچک و نظریه جریانات نیوتن بود. ( Katz & Sherry 2012 )
امروزه هنگام بحث درباره حملات بركلي به ساير پايه هاي احتمالي حساب ، از عبارت "ارواح مقادير ترك شده" نيز استفاده مي شود. به طور خاص هنگام بحث در مورد بی اندازه کوچک ( Arkeryd 2005 ) استفاده می شود ، اما در بحث در مورد اختلافات ( رهبر 1986 ) و کفایت نیز استفاده می شود ( کلاینر و Movshovitz-Hadar 1994 ).
متن و تفسیرویرایش کنید
متن کامل The Analyst را می توان در ویکی منبع ، و همچنین در وب سایت دیوید آر ویلکینز [7] ، که شامل برخی تفسیرها و پیوندهایی به پاسخ های معاصران برکلی است ، خواند .
تحلیلگر همچنین در آثار اخیر با تفسیر بازتولید می شود:
کتاب ویلیام اوالد از کانت تا هیلبرت: کتابی در مبانی ریاضیات . [8]
ایوالد نتیجه می گیرد که اعتراضات برکلی به حساب روزگار او در آن زمان اکثراً خوب بوده است.
بررسی اجمالی DM Jesseph در 2005 "مقاله های برجسته در ریاضیات غربی". [9]
منابعویرایش کنید
برکلی ، جورج (1734). تحلیلگر: گفتاری خطاب به یک ریاضیدان کافر . لندن پ. 25 - از طریق ویکی منبع .
همانجا ، پ. 59
همانجا ، پ. 93
همانجا ، پ. 34
همانجا ، پ. 92
همانجا ، پ. 59
ویلکینز ، DR (2002). "تحلیلگر" . تاریخ ریاضیات . کالج ترینیتی ، دوبلین.
Ewald ، William ، ed. (1996) از کانت تا هیلبرت: کتابی در مبانی ریاضیات . من . آکسفورد: انتشارات دانشگاه آکسفورد. شابک 978-0198534709.
جسیف ، DM (2005). "تحلیلگر". در Grattan-Guinness ، Ivor (ویراستار). نوشته های برجسته در ریاضیات غربی 1640–1940 . الزویر صص 121–30. شابک 978-0444508713.
منابع
نمادگذاری‌های مشتق
۱ نمادگذاری لایب‌نیتز
۲ نمادگذاری لاگرانژ
۳ نمادگذاری اویلر
۴ نمادگذاری نیوتون
۵ نمادگذاری در حساب برداری
۶ دیگر نمادگذاری‌ها
مروری بر مقاله تاریخچه بی نهایت کوچکها:
١ .سرآغاز
٢ .متقدّمان نیوتن و لایب نیتس در قرن هفدهم
٢ . ١ .کاوالی یری. یکی از ابزارهای (هندسی) اصلی در بررسی مسائل حساب دیفرانسیل و انتگرال، مفهوم تقسیم ناپذیرها بود. ایدۀ این مفهوم -مثلا در بیان این مطلب که یک سطح از اجتماع تعداد نامتناهی خط (همان تقسیم ناپذیرها) تشکیل می شود- در افکار اتم گرایانۀ یونانیان تجلّی یافته بود و بخشی از تفکر علمی قرون وسطی نیز به شمار می رفت. ریاضیدانان قرن هفدهم، تقسیم ناپذیرها را به ابزاری پرتوان برای بررسی مسائل مساحت و حجم تبدیل کردند.
٢ . ٢ .فرما. فرما اولین کسی بود که به طور سازمان یافته به مطالعۀ مسئلۀ یافتن خط مماس پرداخت. او در دهۀ ١۶٣٠ روشی برای یافتن خط های مماس بر خم های چندجمله ای ابداع کرد. روش او را با یک مثال توضیح می دهیم.
مثال های بالا تصویری گذرا از حدود یک قرن جستجوهای پر تب وتاب را در حساب دیفرانسیل و انتگرال پیش از مطالعات نیوتن و لایب نیتس، در اختیار ما می گذارند. ریاضیدانان، با جسارتِ تمام، پا در سرزمینی تقریباً بکر -ریاضیات نامتناهی ها- گذاردند که اگر آن دوران، دوران سخت گیرانه تری بود، از پا گذاشتن در آن وحشت داشتند. آنها انبوهی از روش های نیرومند اما نادقیق مبتنی بر بی نهایت کوچک ها را برای حل مسائل مساحت، حجم و مماس تولید کردند. خوب! پس برای نیوتن و لایب نیتس چه کاری مانده بود؟
٣ .نیوتن و لایب نیتس: ابداع کنندگان حساب دیفرانسیل و انتگرال
در مطالعۀ حساب دیفرانسیل و انتگرال -جدای از کاربردهای آن- دو وجه عمده، یکی وجه الگوریتمی و دیگری وجه نظری، مورد توجه قرار می گیرد که به ترتیب، در پاسخ به دو پرسش چگونه و چرا مطرح می شوند. بنابراین حساب دیفرانسیل و انتگرال شامل روش ها و ابزارهای پرداخت شده برای حل مسائل مهم نظری و کاربردی و همچنین مجموعه ای از نتایج نظری است که زیربنای آن روش ها را تشکیل می دهند. نیوتن و لایب نیتس پیش از هر چیز، در شکل دادن به جنبۀ نخست از این دو جنبه از حساب دیفرانسیل و انتگرال سهیم بودند. مشخص تر بگویم، این دو
الف) مفاهیم کلی مشتق (فلوکسیون، دیفرانسیل) و انتگرال را ابداع کردند. محاسبۀ مساحت شکل های خمیده خط و حجم جسم های صلب با استفاده از روش های پر دردسر، یک چیز است و پی بردن به اینکه چنین مسائلی را می توان در چارچوب مفهومی به نام انتگرال درآورد، کلا چیزی دیگر است. از همین گونه است تمایز میان یافتن مماس، بیشینه و کمینه و سرعت های لحظه ای از یک سو و مفهوم مشتق از سوی دیگر.
ب) پی بردند که عمل های مشتق گیری و انتگرال گیری، وارون یکدیگرند. گرچه چندین ریاضیدان ۴ پیش از نیوتن و لایب نیتس از قبیل فرما، ربِروال ١ ،توریچلی ٢ ،گریگوری ٣ و به ویژه، بارو به پیوند میان مسئله های مماس و مساحت، عمدتاً در حالت های خاص اشاره کرده بودند، تبیین آشکار این پیوند در کلی ترین شکل آن که امروزه قضیۀ بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال خوانده می شود، از آنِ نیوتن و لایب نیتس است.
پ) یک نمادگذاری اختراع و الگوریتم هایی ابداع کردند و با این کار، حساب دیفرانسیل و انتگرال را به صورت ابزار محاسباتی نیرومند کنونی درآوردند.
ت) دامنۀ کاربرد روش های حساب دیفرانسیل و انتگرال را گسترش دادند. با اینکه در گذشته فنون حساب دیفرانسیل و انتگرال را عمدتاً برای چندجمله ای ها و آن هم غالباً چندجمله ای های درجه های پایین به کار می بردند، اکنون برای همۀ تابع ها چه جبری و چه متعالی، قابل استفاده بودند.
اکنون می پردازیم به چند مثال از حساب دیفرانسیل و انتگرال نیوتن و لایب نیتس. نخست ملاحظه می کنیم که اساس کار آنها مفهوم بی نهایت کوچک بوده است. این مفهوم به طور صوری تعریف نشده بود ولی مراد از آن، کمیتی «بی نهایت کوچک» بود که از هر کمیت متناهی ناصفر دیگری کوچکتر است.
٣ . ٢ .نیوتن. نیوتن سه روایت مختلف از حساب دیفرانسیل و انتگرال عرضه کرد. گویا در جستجوی بهترین رهیافت به این موضوع بوده است یا شاید هم همان طور که برخی گفته اند، هر روایت او مناسبِ منظوری بوده است: برای به دست آوردن مؤثر نتیجه ها و قضیه ها، تدارک دیدنِ الگوریتم های مفید یا به دست آوردن اثبات های قانع کننده. به این ترتیب نیوتن بی نهایت کوچک ها را به کار می برد که تا اندازۀ زیادی، یک رهیافت هندسی بود؛ «فلوکسیون ها» را به کار می گرفت که رهیافتی سینماتیک بود؛ و سرانجام، از «نسبت های اولیه و غایی» استفاده می کرد که رهیافتی «جبری» و دقیق ترین رهیافت او بود. البته گاهی در حل مسائل مختلف این سه روش با هم به کار برده می شدند.
توجه به این نکته مهم است که حساب دیفرانسیل و انتگرالِ نیوتن (و همچنین لایب نیتس) حساب دیفرانسیل و انتگرالِ متغیرها و معادله هایی بود که این متغیرها را به هم پیوند می دادند؛ نه حساب دیفرانسیل و انتگرالِ تابع ها . واقعیت این است که مفهوم تابع به صورت یک مفهوم روشن ریاضی، تازه در اوایل قرن هیجدهم پدید آمد. نیوتن متغیرهایی را که به کار می برد، «فلوئنت» می نامید. این نامگذاری ناشی از تصوری هندسی و سینماتیک از کمیتی است که پیوسته در حال تغییر است مثل «شارش» مداوم یک ذره در طول یک خم. این گونه متغیرها به طور ضمنی تابعی از زمان در نظر گرفته می شوند.
مفهومی اساسی که نیوتن به کار می برد، «فلوکسیون» بود و آن را با ˙ x نشان می داد. فلوکسیون عبارت است از آهنگ لحظه ایِ تغییرات (سرعت لحظه ایِ) فلوئنت x ) یا با نمادهای امروزی، dt/dx .(تعریفی از سرعت لحظه ای داده نمی شد بلکه بر فهم شهودی آن تکیه می شد و هدف نیوتن بیشتر این بود که شیوۀ محاسبۀ ˙ x را نشان دهد.
٣ . ٣ .لایب نیتس. اندیشه های لایب نیتس در حساب دیفرانسیل و انتگرال به تدریج تکامل یافتند و او نیز همانند نیوتن، چندین روایت از آنها به نگارش درآورد و این روایت ها افکار رو به تکامل او را عیان می کنند. آنچه که در همۀ این روایت ها اهمیت اساسی داشت، مفهوم «دیفرانسیل» بود؛ هرچند این مفهوم برای لایب نیتس در دوره های مختلف معانی بسیار متفاوتی داشته است. لایب نیتس خم را یک چندضلعی با تعداد نامتناهی ضلع و هر ضلع با طول بی نهایت کوچک در نظر می گرفت (به یاد آورید که مفهوم دایره از دیدگاه یونانیان، یک چندضلعی با تعداد نامتناهی ضلع بود). به چنین خمی می توان یک دنبالۀ (گسستۀ) نامتناهی از طول ها مانند.....
۴ .قرن هیجدهم: اویلر
نخستین بار اویلر در حوالی میانۀ قرن هیجدهم گشایش مفهومی بنیادینی در این زمینه انجام داد که هنوز هم با ما عجین است. او مفهوم تابع را هستۀ مرکزی حساب دیفرانسیل و انتگرال قرار داد و ادعا کرد که موضوع حساب دیفرانسیل و انتگرال، مطالعۀ خم ها نیست بلکه مطالعۀ تابع ها است.
(یکی از محاسن کار با تابع این است که در تابع، برخلاف معادله، آشکارا بین متغیر مستقل و متغیر وابسته و در نتیجه بین دامنه و برد تابع، تمایز می گذاریم).
۴ . ٢ . اویلر دیدگاه های خود را دربارۀ اصالت نقش تابع در حساب دیفرانسیل و انتگرال، در کتابی با عنوان آشنایی با آنالیز بی نهایت کوچک ها به سال ١٧۴٨ منتشر کرد. رهیافت او به تمامی، جبری بود. در جلد اول از این مجموعۀ دو جلدی، حتی یک نمودار هم به چشم نمی خورد. سری های توانی نقشی بنیادی داشتند و ابزاری جبری برای مطالعات آتی در حساب دیفرانسیل و انتگرال به شمار می آمدند. البته این جبری سازیِ حساب دیفرانسیل و انتگرال، حدود یک قرن بعد، زمانی که کُشی در دهۀ ١٨٢٠ پژوهش های خود را آغاز کرد، به پایان رسید.
۵ .بحث های مربوط به مبانی در قرن های هفدهم و هیجدهم
۵ . ٢ . عدم یقین دربارۀ مبانی منطقی حساب دیفرانسیل و انتگرال در سراسر قرن هیجدهم پابرجا بود اما .... یکی از پاسخ های ارزشمند به انتقاد برکلی، از آنِ دالامبر است که در مقاله ای با عنوان «دیفرانسیل» به سال ١٧۵۴ در دایرةالمعارف ٣ مشهور چاپ شد. دالامبر مفهوم نیوتنی مشتق (که همان نسبت غایی بود) را با تعریف صریح مشتق به عنوان حد نسبت نموها، جایگزین کرد: «مشتق گیری از یک معادله صرفاً عبارت است از یافتن حد نسبت تفاضلات متناهی دو کمیت موجود در معادله.» ... توجه کنید که دالامبر از حد کمیت سخن می گوید نه حد تابع و نوسان کمیت در پیرامون حد را مجاز نمی داند. دالامبر نتایج دیدگاه های خود را دربارۀ حد، استخراج نکرد اما پیشگویانه اعلام کرد که «نظریۀ حدود، متافیزیک واقعی حساب دیفرانسیل و انتگرال است.»
لاگرانژ تلاش کرد با جای دادنِ حساب دیفرانسیل در چارچوبی جبری و زدودن هر گونه اشاره به بی نهایت کوچک ها یا حد از آن، مبانی دقیقی برای حساب دیفرانسیل و انتگرال ارائه کند. به نظر او، این دیدگاه ، نمایندۀ اصول درستِ حساب دیفرانسیل و انتگرال بود. او می گفت کتاب هایش مشتمل اند بر «قضیه های اصلی حساب دیفرانسیل بدون به کارگیریِ کمیت های بی نهایت کوچک یا ناپدیدشونده، حدها و فلوکسیون ها و به جای اشاره به این موجودات، به هنر تحلیل جبریِ کمیت های متناهی پرداخته شده است.»
از نظر ما، سهم اصلی لاگرانژ در شفاف سازیِ مبانی حساب دیفرانسیل، تمرکز او بر نمادگذاریِ تابعی برای مشتق بود؛ درست در تقابل با نمادهای فلوکسیونی و دیفرانسیلی. پژوهش های او شاید برای نخستین بار منجر به این شد که روشن و صریح بفهمیم که مشتق یک تابع، خودش یک تابع است و به این ترتیب، حساب دیفرانسیل تبدیل به حساب دیفرانسیل تابع ها و مشتق های آنها شد؛ نه حساب فلوکسیون ها [ی نیوتن] و دیفرانسیل ها [ی لایب نیتس] (بخش ۴ را بخوانید).
۶ .حساب دیفرانسیل و انتگرال دقیق می شود: کُشی و وایرشتراس
اکنون به دوره ای سرنوشت ساز در سیر تحول تاریخی دقت در بنیانگذاریِ حساب دیفرانسیل می رسیم که در هیئت پژوهش های کُشی، بولتسانو و وایرشتراس نمایان شد. به یاد آورید که حساب دیفرانسیل در قرن هفدهم عمدتاً هندسی و در قرن هیجدهم مبتنی بر جبر بود. اما حساب دیفرانسیل در دوره ای که اکنون می خواهیم بررسی کنیم و از سال ١٨٢١ آغاز می شود، بر پایۀ علم حساب قرار گرفت. ویژگی های اصلی متمایز کنندۀ این دوره عبارت اند از:
(الف) خودنمایی» حد» به عنوان مفهوم زیربنایی در حساب دیفرانسیل؛
(ب) به رسمیت شناختن نقش مهمی که نامساوی ها در تعریف ها و اثبات ها ایفا می کنند؛ (پ) پی بردن به اینکه درستی نتایج در حساب دیفرانسیل به دامنۀ تعریف تابع ها هم بستگی دارد (در قرن هیجدهم، صدق قضیه های حساب دیفرانسیل را به اتکای درستی صوریِ محاسبات جبری، همه جایی تلقی می کردند)؛
(ت) پی بردن به این واقعیت که برای پایه ریزیِ منطقی حساب دیفرانسیل و انتگرال، باید درک روشنی از ماهیت دستگاه اعداد حقیقی داشته باشیم و این درک باید بر پایۀ علم حساب باشد نه مفهوم هندسی پیوستار اعداد حقیقی.
۶ . ١ .کُشی. کار اصلی کُشی در دقیق سازیِ حساب دیفرانسیل و انتگرال، با چاپ کتابش با به سال ١٨٢١ آغاز شد و با انتشار دو اثر دیگر در سال های ١٨٢٢ و ١٨٢٩عنوان درسی در آنالیز ادامه یافت. او چند مفهوم بنیادی، یعنی حد، پیوستگی، همگرایی، مشتق و انتگرال را برگزید، همۀ مفاهیم دیگر را بر پایۀ مفهوم حد استوار ساخت و با ابزارهایی نسبتاً جدید و دقیق، نتایج اصلی حساب دیفرانسیل و انتگرال را استخراج کرد. اینکه امروزه این مفاهیم در نگاه ما پیش پا افتاده هستند، همه را مدیون برنامۀ کُشی هستیم؛ پروژه ای عظیم که عالی اجرا شد. در واقع بیشترِ مفاهیمی که هم اینک اشاره کردیم، یا (به آن صورتی که ما می فهمیم) شناخته شده نبودند یا پیش از زمان کُشی، به درستی صورت بندی نشده بودند.
چه چیز کُشی را بر آن داشت تا این گونه از عادات جاافتادۀ آن دوران به کلی دست بکشد؟ دلایل متعددی وجود دارد که بیان می کنیم:
(الف) کُشی از پژوهش های بنیادی لاگرانژ دربارۀ حساب دیفرانسیل آ گاه بود و از برخی پیشرفت های فنی که لاگرانژ فراهم آورده بود، سود می جست اما با طرح بزرگ لاگرانژ مبتنی بر اندیشۀ جبری سازیِ حساب دیفرانسیل، به شدت مخالف بود. در واقع هدف کُشی این بود که جبر را از مبانی حساب دیفرانسیل حذف کند
توجه می کنیم که کُشی، برخلاف نیوتن و دالامبر، هیچ اشاره ای به این نمی کند که وقتی متغیر به حدش نزدیک می شود، چه اتفاقی می افتد و همچنین نمی گوید که متغیر نمی تواند پیرامون حدش نوسان داشته باشد. البته گرچه از حد متغیر سخن می گوید نه از حد تابع، در ذهنش حد متغیر وابستۀ تابع f ،یعنی ( x ( f بوده است. هرچند کُشی مفهوم حد را در قالب ε - δ یی کنونی بیان نکرده است، در اثبات های نتایج متعدد متضمن مفهوم حد، از چنین استدلالی سود می برد.
پیوستگی : کُشی (به همراه بولتسانو) نخستین فردی بود که اساساً تعریفی جدید برای پیوستگی ارائه کرد
مشتق : تحول مفهوم مشتق بازتاب تحول کل حساب دیفرانسیل و انتگرال است. دورۀ رشد و بلوغ حساب دیفرانسیل و انتگرال، البته همراه با خطاها و سرِ هم بندی ها، نزدیک به سه سده طول کشید؛ از حوالی سال ١۶٠٠ آغاز شد و در دهۀ ١٨٧٠ اساساً به شکل کنونی آن درآمد. جودیت ١ ،تاریخ نگار معاصر ریاضی، به خوبی این فرآیند را جمعبندی کرده است [ ٢۶ :[گرابینر «مشتق ابتدا به کار گرفته شد ، بعد کشف شد ، سپس شرح و بسط یافت و سرانجام، تعریف شد .»
در واقع مشتق را فرما و دیگران در نیمۀ اول قرن هفدهم، به عنوان خط مماس به کار گرفتند؛ نیوتن و لایب نیتس در نیمۀ دوم همان قرن، آن را به ترتیب در قالب مفاهیم فلوکسیون و دیفرانسیل کشف کردند؛ در قرن هیجدهم شرح و بسط بسیار یافت و سرانجام، در قرن نوزدهم تعریف شد. خودِ تعریف مشتق هم در چند مرحله به انجام رسید: لاگرانژ در دهۀ ١٧٩٠ مشتق را به شکل جبری تعریف کرد؛ کُشی در دهۀ ١٨٢٠ مشتق را برحسب حدود و بی نهایت کوچک ها تعریف کرد و سرانجام، وایرشتراس در دهۀ ١٨٧٠ بیان اپسیلون-دلتایی آن را ارائه داد. تعریف کُشی از این قرار است،......
انتگرال : طی قرن هیجدهم، انتگرال به چشم مساحت یا پادمشتق نگریسته می شد که باید مقدارهای آن در حدود بالایی و پایینی انتگرال حساب می شدند. گرچه اندیشیدن دربارۀ مساحت به عنوان حد مجموع نیز متداول بود، این تعبیر فقط برای محاسبۀ تقریبی انتگرال ها به کار می رفت زمانی که پادمشتق را به آسانی نمی شد پیدا کرد. در اوایل قرن نوزدهم، پژوهش های فوریه دربارۀ نمایش تابع ها به صورت بسط سری مثلثاتی که ضرایب آن برحسب انتگرال بودند، به تحلیل دقیق مفهوم انتگرال منجر شد.
کُشی نخستین کسی بود که تعریفی روشن برای انتگرال تابع های پیوسته به صورت حد مجموع ارائه کرد که اساساً با تعریف کنونی آن یکسان است. سپس ثابت کرد که انتگرال این گونه تابع ها وجود دارد. به این ترتیب توانست قضیۀ بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال را بدون توسل به تعبیر مساحتی انتگرال ثابت کند (در قرن هیجدهم و پیش از آن، مساحت، مفهومی بدیهی شمرده می شد). کارهای کُشی روی مفهوم انتگرال باعث شد توجه ها از انتگرال نامعین (یعنی پادمشتق) به سوی انتگرال معین (یعنی حد مجموع) تمرکز یابد.
همگرایی : در قرن های هفدهم و هیجدهم، استفادۀ آزادانه از سری های عددی و سری های تابعی بدون ملاحظۀ چندانی دربارۀ همگرایی آنها، متداول بود. هدف فقط به دست آوردنِ نتیجه بود. برای مثال، اویلر خودش می دانست که دارد از سری های واگرا استفاده می کند، اما مادام که در اثر این کار، نتایج جالب و البته درست به دست می آمد، پریشان خاطر نمی شد. اما وقتی کار روی سری های فوریه آغاز شد، درستی خودِ نتایج، مورد تردید واقع شد. آبل در اوایل قرن نوزدهم ادعا کرد که «سری های واگرا ساخته و پرداختۀ دست شیطان هستند و با به کارگیریِ آنها هر نتیجه ای را که بخواهیم می توانیم به دست آوریم و به همین دلیل است که این سری ها اینقدر مغالطه و پارادکس به وجود آورده اند.» [ ۴٠ [کُشی سری های واگرا را تحریم کرد و در کتاب درسی در آنالیز به سال ١٨٢١ ،نخستین مطالعۀ سازمان یافته از همگرایی سری های نامتناهی را ارائه کرد.....
۶ . ٣ .وایرشتراس. پیشنهاده های کُشی برای دقیق سازی حساب دیفرانسیل و انتگرال، منجر به پیدایش مسائلی تازه شدند که نسل جدیدی از ریاضیدانان را به حل آنها واداشت. دو مشکل زیربنایی در رویکرد کُشی عبارت بودند از:
(الف) تعریف های کلامی برای حد و پیوستگی و استفادۀ مکرر کُشی از زبان بی نهایت کوچک ها. تعریف هایی که کُشی برای حد، پیوستگی و بی نهایت کوچک ارائه کرده بود، متضمن مفهوم شهودیِ حرکت پیوسته بودند. به علاوه در صورت بندیِ او از تعریف حد و پیوستگی، تمایز بین سورهای عمومی و وجودی و جایگاه آنها پیش از x ، ϵ و δ در تعریفِ کنونی حد و پیوستگی، آشکار نبود. این کوتاهی ها احتمالا منشأ دو خطای مهم بوده است: کُشی نتوانست بین پیوستگی نقطه ای و پیوستگی یکنواخت یک تابع و بین همگرایی نقطه ای و همگرایی یکنواخت یک سری تابعی نامتناهی فرق بگذارد. در برخی از اثبات های او، فقط حالت های اول این موارد در نظر گرفته می شود در حالی که حالت های دوم مورد نیاز بوده اند.
(ب) توسل به ابزارهای شهودیِ هندسی در اثبات وجود حدهای گوناگون. چون تعریف هایی که کُشی برای مفاهیم بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال ارائه کرد، بر پایۀ مفهوم حد بودند، اثبات وجود حد دنباله ها و تابع های گوناگون، اهمیت زیادی داشت. وجود بسیاری از این حدها، نتیجۀ «ویژگی کمال» اعداد حقیقی است که (به تعبیری) می گوید هر دنبالۀ صعودیِ از بالا کراندار در مجموعۀ اعداد حقیقی، حد دارد. کُشی این نتیجۀ بنیادی را بر پایۀ شهود هندسی، بدیهی می دانست و از آن در اثبات برخی نتایج زیربنایی مانند وجود انتگرال تابع های پیوسته، همگرایی دنباله های (به اصطلاح) کُشی و قضیۀ مقدار میانی استفاده کرد.
بیش از همه، وایرشتراس و ددکیند در صدد برآمدند برای رفع این اختلاط ناخوشایند صورت بندی های حسابی-جبری و استدلال های شهودیِ هندسی راه علاجی بیایند. ددکیند بیانی روشن از اوضاع و احوال غالب در آن زمان دارد [ ١۶ :[.....
همین اندیشۀ اثبات قضیه ها به روش های ناب حسابی، منجر به آن چیزی شد که به «حسابی سازیِ آنالیز» مشهور است. از آغاز پیدایش حساب دیفرانسیل و انتگرال و حتی در زمان کُشی، دیدگاه هندسی در مطالعۀ اعداد حقیقی حاکم بود و صورت بندیِ روشنی از ویژگی های اعداد حقیقی وجود نداشت و چون اعداد حقیقی هم در زیربنا و هم در روبنای آنالیز حضور داشتند، اثبات های بسیاری از قضیه ها ناگزیر هندسی و شهودی بودند. ددکیند و وایرشتراس از روشن بینی هوشمندانه شان بود که فهمیدند اگر تعریفی دقیق بر پایۀ علم حساب برای اعداد حقیقی ارائه کنند، یکی از موانع اصلی در دقیق سازی مبانی حساب دیفرانسیل و انتگرال برطرف خواهد شد.
کار اساسی دیگری که مانده بود انجام شود، ارائۀ تعریف دقیق جبری، به جای تعبیر شهودی و «سینماتیکی «کُشی، برای مفهوم حد بود و این کار را وایرشتراس انجام داد که تعریف «استاتیکی« حد را برحسب نامساوی هایی شامل ϵ و δ ارائه کرد -همان تعریفی که امروزه (دست کم در چارچوب صوری و دقیق مان) به کار می بریم. طنز ماجرا اینجا است که نامساوی ها که در قرن هیجدهم به منظورِ تخمین زدن به کار می رفتند و ϵ که برخی از آن برای نشان دادن مقدار خطا استفاده می کردند، در دستان وایرشتراس به ابزارهایی برای بیان منتهای دقت تبدیل شدند.
صورت بندی ϵ - δ یی وایرشتراس، بینهایت کوچک ها را که کُشی و پیشینیان او بیش از دو سده (اگر سهم یونانیان باستان را هم در نظر بگیریم، دو هزاره) به کار می بردند، از صحنه کنار زد. طی چند دهه بعد، نشان داده شد که پیوستار اعداد حقیقی را می توان به طور منطقی به گردایۀ گسستۀ اعداد صحیح مثبت تبدیل کرد. اینک حسابی سازی آنالیز کامل شده بود. از دیدگاه افلاطون، خداوند همه چیز را هندسی آفریده بود و از دیدگاه ژاکوبی، همه چیز را حسابی. اما این صدرنشینی منطقی حساب، دیر نپایید و در دهۀ ١٨٨٠ ددکیند و فرگه، علم حساب را بر مبنای نظریۀ مجموعه ها و منطق بازسازی کردند که آن خود روایت دیگری دارد.
۶ . ۴ .نکتۀ آموزشی. اینکه در تدریس حساب دیفرانسیل و انتگرال، چه مطالبی و به چه شیوه ای باید تدریس شود، از مباحثی است که همواره محل مناقشه بوده است. ما چند تذکر کلی - خواهش- داریم که ملهم از گزارش های تاریخی هستند. چنان که پیش تر اشاره کردیم، حساب دیفرانسیل و انتگرال ملغمه ای از الگوریتم ها، نظریه و کاربردها است. پس بالأخره یک جایی باید دانشجویان را با توانایی های فنی، هماهنگی منطقی و سودمندیِ آن آشنا کنیم. حساب دیفرانسیل و انتگرال، پاسخ به پرسشی با پیشینۀ دو هزار ساله است و آن اینکه پیوستگی و تغییر چیست؟ حساب دیفرانسیل و انتگرال از دستاوردهای ادراکی درجۀ یک اندیشۀ بشری است. ماهیت این اندیشه ها باید به تدریس ما نشاط ببخشد. ایده های اصلی را باید از میان صدها فرمول و دستور بیرون کشید و برجسته ساخت. هیلبرت بازۀ زمانی تکامل یک نظریۀ ریاضی را متشکل از سه دوره می دانست: طبیعی، صوری و بحرانی. در مورد حساب دیفرانسیل و انتگرال، دورۀ طبیعی در قرن هفدهم، دورۀ صوری در قرن هیجدهم و دورۀ بحرانی در قرن نوزدهم بود. تحول یک اندیشۀ ریاضی، اغلب در چهار مرحله صورت می گیرد: کشف (ابداع)، کاربرد، درک و توجیه (رجوع کنید به توضیح مفهوم مشتق در بخش ١٬١٬۶.( مهم است که حین تشریح هر مفهوم یا نظریه ای، ترتیب این مراحل را در ذهن داشته باشیم.
٧ .قرن بیستم: آنالیز نااستاندارد رابینسون
سال ١٩۶٠ ،یعنی حدود یک قرن پس از آنکه وایرشتراس بی نهایت کوچک ها را برای همیشه از ریاضیات رانده بود و همه چنین می اندیشیدیم، آبراهام رابینسونِ منطق دان، آنها را در هیبت اشیایی ریاضی که در چارچوب «آنالیز نااستاندارد» به دقت تعریف شده بودند، به صحنۀ زندگی بازگرداند (نمونه ای دیگر از احیای مفاهیم از یاد رفته، سری های واگرا است که چنان که گفتیم، کُشی و آبل در اوایل قرن نوزدهم آنها را غیرمجاز می دانستند اما در پایان همان قرن، پوانکاره و استیلتیِس آنها را به عنوان سری های مجانبی به دقت بازتعریف کردند).
در حالی که آنالیز استاندارد، یعنی همان حساب دیفرانسیل و انتگرالی که از وایرشتراس (و دیگران) به ارث برده ایم، بر پایۀ میدان مرتب کامل (و لذا ارشمیدسی) اعداد حقیقی بنا شده است، R است که از اعداد «اَبرحقیقی» تشکیل یافته است.اساس آنالیز نااستاندارد، میدان مرتب اما ناکامل ∗ ϵ ∈ R ∗ R میدان توسیعی R است که در آن، می توان بی نهایت کوچک ها را به دقت تعریف کرد: ∗ بی نهایت کوچک است اگر به ازای هر R ∈ a مثبت داشته باشیم a < ϵ < a . − بنابراین صفر، تنها بی نهایت کوچک حقیقی است و وارون یک بی نهایت کوچک ناصفر، یک عدد اَبرحقیقی نامتناهی است.
رابینسون می گوید که آنالیز نااستاندارد «تا اندازه ای ملهم از مدل های به اصطلاح نااستاندارد حساب بود که نخستین بار، اسکولم به سال ١٩٣۴ به وجود آنها اشاره کرد.» [ ۵٠ [پژوهش های اسکولم و رابینسون بخشی از زیرشاخۀ جدید منطق ریاضی به نام نظریۀ مدل ها بودند. رابینسون در این باره می نویسد...
طنز ماجرا اینجا است که در قرن نوزدهم بی نهایت کوچک ها را کنار گذاشتند چون معلوم شده بود از نظر منطقی، پذیرفتنی نیستند در حالی که در قرن بیستم با تکیه بر منطق!، موجودات پذیرفتنی ریاضی به حساب آمدند. رابینسون خیلی شادمان بود از اینکه منطق ریاضی پشتوانۀ آنالیز نااستاندارد است. گودل بر کار رابینسون ارج بسیار نهاد، چراکه بین منطق و ریاضیات پیوندی بنیادی ایجاد کرده بود و ریاضیدان معاصر سیمون کوشن ١ هم به تقلید از گودل گفته است: «رابینسون با ارائۀ نظریۀ مدل ها، پیوندی ژرف میان منطق و ریاضیاتِ جاری ایجاد کرد.» [ ١۴ [
رابینسون در پژوهش هایش بر روی آنالیز نااستاندارد متأثر از تاریخ نیز بود. او بنمایه های آنالیز نااستاندارد را در کارهای لایب نیتس، اویلر و کُشی مرسوم می دید و در واقع معتقد بود که به کمک نظریۀ دقیقی که برای بررسی بی نهایت کوچک ها ارائه کرده است، «می توان همۀ اندیشه های لایب نیتس را به طور کامل محقَق کرد.» [ ۵٠ [در این باره بعداً بیشتر خواهیم گفت.
اما رابینسون از کجا می دانست که اصول موضوع اعداد اَبرحقیقی، سازگارند؟ پاسخ این است: با ساختن یک «مدل» برای آنها و استنتاج اصل های موضوع به عنوان قضیه هایی در آن مدل. این روش ساخت، مشابه همان روش ساختن اعداد حقیقی به عنوان رده های هم ارزیِ دنباله های کُشی است. رابینسون اعداد اَبرحقیقی را رده های هم ارزیِ دنباله های دلخواه - همۀ دنباله های- اعداد حقیقی تعریف و رابطۀ هم ارزی را هم برحسب عمل «فراضرب» بیان می کند. چون روش او متضمن مفاهیم بسیار فنی در منطق ریاضی است، تاکنون چندین ساده سازی برای آن پیشنهاد شده است. چه چیز باعث شد آنالیز نااستاندارد جا بیفتد و مورد پذیرش جامعۀ ریاضی قرار گیرد؟ رابینسون روش های خود را در توپولوژی، هندسۀ دیفرانسیل، نظریۀ اندازه، آنالیز مختلط و نظریۀ گروه های لی به کار برد. این روش ها در آنالیز تابعی، معادلات دیفرانسیل، احتمال، بخش هایی از فیزیکِ ریاضیاتی و اقتصاد نیز به کار گرفته شده اند. تاخت و تاز این موضوع در این بازۀ زمانی کوتاه، شگفت انگیز است. البته بدگویان استدلال می کنند که اساساً چیز جدیدی در این موضوع نیست، زیرا بنابر اصل گذار و قضیۀ بخش استاندارد، هر نتیجه ای که با روش های نااستاندارد اثبات پذیر باشد، دست کم به لحاظ نظری، یک برهان استاندارد نیز دارد. خوب! به همان صورت می شود ادعا کرد که هر نتیجۀ هندسی را که به روش های هندسۀ ترکیبی اثبات پذیر باشد، می توان به طور تحلیلی هم ثابت کرد. آیا این باعث بی ارزش شدنِ هندسۀ ترکیبی می شود؟ نکتۀ مهم این است که به کمک روش های نااستاندارد، نتایج جدیدی کشف یا برای اولین بار ثابت شده اند. شیوه های جدید نگریستن به یک مفهوم را باید تشویق کرد.
٧ . ٢ . گرچه بی نهایت کوچک های رابینسون در بطن بی نهایت کوچک های لایب نیتس جای دارند، رابینسون آنالیز نااستاندارد را پشتیبان حساب دیفرانسیل و انتگرال لایب نیتس (و اویلر) می دانست. در واقع او قائل بود که باید تاریخ حساب دیفرانسیل و انتگرال را بازنویسی کرد. نظریه ای که رابینسون ارائه کرد، نه تنها نشان داد که آنالیز در قرن های هفدهم و هیجدم بر پایۀ یک مفهوم تیره و موهومی به نام بی نهایت کوچک بنا نشده بود -وگرنه چطور می توانست آن همه نتایج توانمند به بار آورد؟- بلکه فعالیت های آنالیزدانان معاصر را با این احساس اطمینان همراه ساخت که بی نهایت کوچک ها را می توان با اتکا به این نظریه به دقت استنباط کرد.
اما بسیاری از تاریخدانان ریاضیات، با اعتباربخشی ساختار رابینسون به بی نهایت کوچک های قرن های هفدهم و هیجدهم به شدت مخالف هستند و می پرسند کدام یک از این مفاهیم پیچیده ای که در آنالیز نااستاندارد رابینسون وجود دارد، در بی نهایت کوچک های لایب نیتس به چشم می خورد؟ خوب! همان گونه می شود پرسید کدام یک از تعبیرهای ε − δ یی وایرشتراس در نسبت های غایی نیوتن به چشم می خورد؟ یا اینکه چطور برخی معتقدند تعریف ائودوکسوس برای ضرب نسبت ها، پیش درآمدِ نظریۀ گروه ها بوده است؟ بازسازی های تاریخی را باید با احتیاط فراوان مورد بررسی قرار داد. ای. تی. بل ١ به ریاضیدانان و تاریخدانان ریاضی گوشزد می کند که «از پس بینی، چیزهایی می فهمیم که موقع پیش بینی از درک آنها عاجز بوده ایم.»