0.999...=1؟

فهرست علوم
فهرست مباحث ریاضیات
چند جلسه مربوط به مرور اجمالی تاریخ و مباحث ریاضیات
علم حساب
جلسه ششم تاریخ ریاضیات: بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها-ایجاد شده توسط: حسن خ
عدد کسری-عدد گویا-ایجاد شده توسط: حسن خ



در یادداشت ها

١١٠- آیا در اعداد تشکیک هست؟
کسر اعشاری متناوب ۲/۹ آیا نمادی از سه نیست؟ (استدلال کردند) آیا وقتی به بینهایت میل کند (نه بینهایت باشد) تقریبا کسر نیست؟

 

 

ویکی پدیا فارسی

۰٫۹۹۹‎…

ر ریاضیات، ۰٫۹۹۹‎…‎ (که با علامت‌هایی مانند 0. 9 ¯ , 0. 9 ˙ {\displaystyle 0.{\bar {9}},0.{\dot {9}}} یا   0. ( 9 ) {\displaystyle \ 0.(9)} نیز نمایش می‌یابد) یک عدد اعشاری متناوب از نوع ساده متشکل از تعداد بی‌نهایت ۹ بعد از ممیز را نشان می‌دهد. این عدد برابر با عدد یک است. به عبارتی دیگر، "۰٫۹۹۹‎…‎" و "۱" عددی یکسان را نشان می‌دهند. شیوه‌های متنوعی برای اثبات این برابری با درجات مختلفی از دقت ریاضی وجود دارد. هر عدد اعشاری مختوم غیر صفر، با یک عدد اعشاری متناوب دوقلوی خود برابر است که می‌توان آن را با بی‌نهایت ۹ نشان داد (برای مثال ۸٫۳۲ برابر است با ۸٫۳۱۹۹۹‎…‎). تقریباً، همواره عدد اعشاری مختوم ترجیح داده می‌شود، که این موضوع به افزایش این تصور غلط که تنها شکل نمایش همان عدد مختوم است، دامن می‌زند. چنین مفهومی در تمام مبناهای دیگر (با بزرگترین عدد ممکن)، یا اعداد حقیقی مشابه وجود دارد. تساوی ۰٫۹۹۹‎…‎ و عدد ۱ به نبود مقادیر غیر صفر بی‌نهایت کوچک در سیستم اعداد حقیقی مربوط می‌شود؛ این سیستم رایج‌ترین سیستم در آنالیز ریاضی است. برخی سیستم اعداد جایگزین، مانند اعداد فراحقیقی شامل مقادیر بسیار کوچک غیر صفر نیز می‌باشند. در بسیاری از این سیستم‌ها، مفهوم ۰٫۹۹۹‎…‎ معادل عدد یک است، اما در برخی از این سیستم‌ها، حتی بی‌نهایت ۹ نیز همواره اندکی کوچک‌تر از مقدار ۱ می‌باشد.

معادله ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ مدت‌هاست که توسط ریاضی‌دانان پذیرفته و به بخشی از دانش ریاضی تبدیل شده‌است. با این وجود، برخی افراد آن را غیرعادی می‌یابند، دربارهٔ آن سؤال می‌پرسند و حتی آن را رد می‌کنند. این مسئله موجب انجام برخی پژوهش‌ها در آموزش ریاضی پیرامون این موضوع شده‌است.

اثبات جبری

اثبات جبری، برای نشان دادن تساوی ۰٫۹۹۹‎…‎ و ۱، از مفاهیمی مانند کسر، تقسیم زیرهم و دستکاری عددی استفاده می‌کند تا تغییراتی ایجاد کند که تساوی ۰٫۹۹۹ و ۱ دست‌نخورده باقی بماند. با این وجود، این اثبات خیلی دقیق نیست، زیرا شامل توصیف تحلیلی دقیق ۰٫۹۹۹‎…‎ نمی‌باشد.

کسر و تقسیم طولانی

یکی از دلایلی که اعداد اعشاری متناوب یک شکل گسترش‌یافته اعداد اعشاری مختومند، نشان‌دادن کسرها می‌باشد. استفاده از تقسیم طولانی، یعنی تقسیم ساده اعداد صحیحی مانند ۱⁄۹ 1⁄9 عدد تناوبی ۰٫۱۱۱‎…‎ را حاصل می‌کند که در آن، ارقام بدون پایان، تکرار می‌شوند. این اعداد اعشاری یک اثبات سریع برای ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ را ثمر می‌دهد. ضرب عدد ۱ در ۹، برابر ۹ است، لذا ۹ ×۰٫۱۱۱‎…‎ برابر ۰٫۹۹۹‎…‎ و 9 × 1⁄9 برابر ۱ است، لذا ۰٫۹۹۹‎…‎=۱.

1 9 = 0.111 … 9 × 1 9 = 9 × 0.111 … 1 = 0.999 … {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{9}}&=0.111\dots \\9\times {\frac {1}{9}}&=9\times 0.111\dots \\1&=0.999\dots \end{aligned}}}

یک شکل دیگر اثبات این اثبات ضرب 1⁄3= ۰٫۳۳۳‎…‎ در ۳ است.

دستکاری عددی ( جای گذاری با متغیر ها )

زمانی که عددی اعشاری در ۱۰ ضرب می‌شود، ممیز عدد یک رقم به سمت چپ حرکت می‌کند؛ لذا حاصلضرب ۱۰ و ۰٫۹۹۹‎…‎ برابر است با ۹٫۹۹۹‎…‎، که ۹ رقم بزرگتر از عدد اصلیست. برای دیدن این، در نظر بگیرید که در تفریق ۰٫۹۹۹‎…‎ از ۹٫۹۹۹ هر یک از ۹ها با یک ۹ دیگر خنثی می‌شود. مرحله آخر در جبر به این شرح است:

x = 0.999 … 10 x = 9.999 … = 9 + 0.999 … = 9 + x 9 x = 9 x = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.999\ldots \\10x&=9.999\ldots \\&=9+0.999\ldots \\&=9+x\\9x&=9\\x&=1\end{aligned}}}

بحث

اگرچه این اثبات‌ها نشان می‌دهند که ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ است، اندازه این برابری به درک مخاطب بستگی دارد. در حساب مقدماتی، این اثبات‌ها به توضیح اینکه چرا ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ ولی ۰٫۳۳۳‎…‎<0.۴، کمک می‌کند. در جبر مقدماتی، این اثبات به توصیف علت جواب‌دادن روش عمومی تبدیل کسر به عدد اعشاری متناوب و برعکس، کمک می‌کند. این اثبات به درک ارتباط اساسی اعداد اعشاری و ارقامی که نشان می‌دهند، کمک می‌کند، تا پاسخ این سؤال که دو عدد مختلف چگونه می‌توانند یکسان باشند، یافته شود.[۱]

زمانی که یک طرح نشان‌دادن توصیف می‌شود، می‌توان برای توجیه قوانین حساب اعشاری استفاده شده در اثبات‌های بالا، از آن استفاده کرد. به علاوه، می‌توان به‌طور مستقیم نشان داد که اعداد اعشاری ۰٫۹۹۹‎…‎ و ۱٫۰۰۰‎…‎ یک عدد حقیقی یکسان را نمایش می‌دهند؛ این در تعریف نیز وارد شده‌است. در پایین می‌توان آن را مشاهده کرد

اثبات تحلیلی

از آنجا که مسئله ۰٫۹۹۹‎…‎ در پیشرفت رایج ریاضی نقشی ندارد، می‌توان اثبات آن را به عهده قضایای استاندارد آنالیز حقیقی موکول کرد. نیاز ما مشخص کردن اعداد حقیقی است که می‌توان به شکل اعشار نشان داد، که شامل یک علامت اختیاری، دنباله محدودی از اعداد که جزء صحیح آن را نمایش می‌دهند، یک علامت اعشار، و دنباله‌ای از اعداد که بخش اعشاری را نشان می‌دهند. برای عدد ۰٫۹۹۹‎…‎ بخش صحیح را با عبارت b0 نشان می‌دهند، که این عدد می‌تواند منفی نیز باشد، شکل کلی آن به صورت زیر است:

b 0 . b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 … . {\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}b_{5}\dots .}

باید توجه کرد که بخش اعشاری بر خلاف بخش صحیح، به تعداد پایان‌پذیری از اعداد محدود نمی‌شود. این همان نمایش مکانی است، برای مثال عدد ۵ در ۵۰۰، ارزش ده برابر عدد ۵ در ۵۰ دارد، و همچنین عدد ۵ در ۰٫۰۵ یک دهم عدد ۵ در ۰٫۵ ارزش دارد.

سری‌ها و دنباله‌های نامتناهی

شاید رایج‌ترین توسعه استفاده از اعداد اعشاری گسترده، توصیف آن‌ها به عنوان مجموعی از سری‌های نامتناهی است. در حالت کلی:

b 0 . b 1 b 2 b 3 b 4 … = b 0 + b 1 ( 1 10 ) + b 2 ( 1 10 ) 2 + b 3 ( 1 10 ) 3 + b 4 ( 1 10 ) 4 + ⋯ . {\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots =b_{0}+b_{1}\left({\tfrac {1}{10}}\right)+b_{2}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+b_{3}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+b_{4}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{4}+\cdots .}

برای عدد ۰٫۹۹۹‎…‎ زمانی می‌توان از قضیه سری همگرا دربارهٔ سری هندسی استفاده کرد که:[۲]

اگر | r | < 1 {\displaystyle |r|<1\,\!} آنگاه a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ = a r 1 − r . {\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}.}

از آن‌جا که این سری چنینی سری با ضریب r=1⁄10 می‌باشد، این قضیه حل این مسئله کاربرد دارد:

0.999 … = 9 ( 1 10 ) + 9 ( 1 10 ) 2 + 9 ( 1 10 ) 3 + ⋯ = 9 ( 1 10 ) 1 − 1 10 = 1. {\displaystyle 0.999\ldots =9\left({\tfrac {1}{10}}\right)+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {9\left({\tfrac {1}{10}}\right)}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.\,}

اثبات این قضیه در سال ۱۷۷۰ در کتاب عناصر جبر لئونارد اویلر بیان شده‌است.[۳]

حد: بازه واحد، شامل دنباله کسر مبنای ۴ (۰٫۳، ۰٫۳۳، ۰٫۳۳۳، ...) که به ۱ همگراست.

موضوع مجموع سری‌های هندسی حتی به قبل از اویلر باز می‌گردد. در قرن ۱۸ام، اثباتی دیگر مشابه اثبات جبری آمده ذکر شده در بالا ارائه شد و در سال ۱۸۱۱، رد کتاب معرفی جبر، با استفاده از سری‌های هندسی، مانور مشابهی روی عدد ۰٫۹۹۹ انجام شد.[۴] عکس‌العمل‌های قرن ۱۹ ام، مانند روش‌های جمع‌کردن آزادانه سبب ایجاد توصیفی شد که امروزه نیز به کار می‌رود: مجموع سری را می‌توان با حد دنباله و مجموع اعداد جزئی آن توصیف کرد. اثبات مربوطه این قضیه صراحتاً آن دنباله را محاسبه می‌کند؛ می‌توان آن را در هر کتاب حساب و آنالیزی یافت.[۵]

یک دنباله (x0, x1, x2, ...) دارای حد x است، اگر اندازه |x − xn| با افزایش n کاهش یابد. این بیان که ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ است را می‌توان با حد دنباله نشان‌داد:[۶]

0.999 … = lim n → ∞ 0. 99 … 9 ⏟ n = lim n → ∞ ∑ k = 1 n 9 10 k = lim n → ∞ ( 1 − 1 10 n ) = 1 − lim n → ∞ 1 10 n = 1. {\displaystyle 0.999\ldots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1.\,}

آخرین قدم که، با ∞ → n به 1⁄10n → ۰، با توجه به خاصیت ارشمیدسی اعداد حقیقی قابل توجیه است. این گرایش بر پایه حد عدد ۰٫۹۹۹‎…‎ دقت کمی دارد. برای مثال، کتاب حساب دانشگاهی در سال ۱۸۴۶، توضیح می‌دهد که «۰٫۹۹۹ +، تا بینهایت=۱ است زیرا هر انضمامی از ۹ سبب می‌شود مقدار به ۱ نزدیک‌تر شود»؛ حساب مدارس در سال ۱۸۹۵ می‌گوید «... زمانی که تعداد زیادی ۹، در کنار هم قرار می‌گیرند، تفاوت بین ۱ و ۰٫۹۹۹۹۹‎…‎ به‌طور غیرقابل باوری کم است.»[۷] این اکتشافات سبب می‌شود دانش‌آموزان گمان کنند ۰٫۹۹۹‎…‎ کمتر از ۱ است.

بازه‌های تودرتو و کمترین کران بالا

بازه تودورتو: در مبنای ۳، ۱=۱٫۰۰۰‎…‎=۰٫۲۲۲‎…‎

توصیف سری‌ها در بالا راهی ساده برای توصیف اعداد حقیقی است که بسط اعشاری دارند. یک روش مکمل برای فرایند مخالف مناسب است: می‌توان یک عدد حقیقی را با یک بسط اعشاری توصیف کرد تا آن را نام‌گذاری نمود.

اگر یک عدد حقیقی مانند x در بازه بسته [۰, ۱۰] (اعداد بزرگ‌تر مساوی ۰ و کوچک‌تر مساوی ۱۰) قرار داشته باشد، می‌توان این بازه را به ده بازه مساوی شامل [۰, ۱]، [۱, ۲]، [۲, ۳]، ... و [۹, ۱۰] تقسیم کرد. عدد x به یکی از این بازه‌ها تعلق دارد. اگر مثلاً این عدد به بازه [۲, ۳] تعلق داشته باشد، می‌توان آن بازه را نیز به‌طور مشابه به ده بازه شامل [۲, ۲٫۱]، [۲٫۱, ۲٫۲]، ... و [۲٫۹, ۳] تقسیم کرد. با ادامه این فرایند یک دنباله نامتناهی از بازه‌های تودرتو ظاهر می‌شود که برچسب ارقام دنباله نامتناهی شامل b0, b1, b2, b3, ... را می‌گیرد و می‌توان نوشت

x = b 0 . b 1 b 2 b 3 … . {\displaystyle x=b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}\dots .}

در این قاعده، اینکه ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ و ۱٫۰۰۰‎…‎=۱ است به ترتیب این حقایق را نشان می‌دهند که ۱ در هر دو بازه [۰, ۱] و [۱, ۲] قرار دارد، لذا می‌توان در زمان یافتن ارقام آن، از زیر بازه‌های نیز استفاده کرد. برای اطمینان از این‌که این مفهوم از علامت "=" سو استفاده نمی‌کند، نیاز به از نوساختن عدد حقیقی منحصر به فرد برای هر عدد اعشاری است. می‌توان آن را با حدها انجام داد، اما سایر ساختمان‌ها از این موضوع تبعیت می‌کنند.[۸]

یک انتخاب سرراست، قضیه بازه‌های تودرتو است، که ضمانت می‌کند، دنباله‌ای از بازه‌های تودرتو و بسته، که طولشان به‌طور دلخواه کوچک می‌شود، در یک عدد حقیقی اشتراک دارند؛ لذا b0.b1b2b3‎…‎ به این شکل توصیف می‌شود که معادل عددی است که بین تمام بازه‌های [b0, b0 + 1], [b0.b1, b0.b1 + 0.1] و الی آخر، مشترک است؛ لذا ۰٫۹۹۹‎…‎ عدد حقیقی منحصر به فردی است که در تمام بازه‌های [۰, ۱]، [۰٫۹, ۱]، [۰٫۹۹, ۱]، [۰٫۹۹...۹, ۱] قرار دارد. از آن‌جا که یک تنها عنصری است که در تمام این بازه‌ها وجود دارد، ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ می‌باشد.[۹]

قضیه بازه‌های تودرتو، بر فراز یک ویژگی اساسی‌تر اعداد حقیقی یافت می‌شود: وجود کوچک‌ترین کران بالا یا سوپریمم. طبق تعریف، b0.b1b2b3‎…‎ کوچکترین کران بالای مجموعه اعداد {b0, b0.b1, b0.b1b2, ...} است.[۱۰] می‌توان نشان داد این تعریف با رویه تقسیم‌بازه‌ها نامتناقض است و بر ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ دلالت دارد. تام آپوستول بحث می‌کند،

این حقیقت که یک عدد حقیقی را می‌توان به دو شکل اعشاری نشان داد با این حقیقت در ارتباط است که دو مجموعه مختلف از اعداد حقیقی قادرند سوپریمم یکسانی داشته باشند.[۱۱]

اثبات از طریق ساختار اعداد حقیقی

برخی روش‌ها به صراحت توصیف می‌کنند که اعداد حقیقی با توجه به نظریه مجموعه‌ها ساختمان‌هایی ویژ] بر اساس اعداد گویا هستند. اعداد طبیعی (شامل ا، ۲، ۳، و ...) از یک شروع می‌شوند و ادامه می‌یابند، لذا هر عددی یک جفت مخالف دارد. اگر به همراه هر عدد طبیعی، عدد منفی آن را نیز بیاوریم، با در نظر گرفتن صفر، می‌توان مجموعه اعداد صحیح را تعریف کرد. با تقسیم این مقادیر به مقادیر صحیح دیگر، می‌توان اعداد گویا را معرفی نمود. این اعداد را می‌توان با ۴ عمل اصلی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم همراهی کرد. به‌طور علمی‌تر، این‌ها دارای نظم هستند، لذا می‌توان اعداد را به یکدیگر مقایسه کرد و مشخص نمود که بزرگتر، کوچکتر و هم اندازه همند.

قدم‌گذاری از اعداد گویا به حقیقی توسعه‌ای اصلی است. حداقل دو راه مشهور برای رسیدن به قدم وجود دارد که هر دو در سال۱۸۷۲ چاپشده‌اند: برش ددکیند و دنباله کوشی. اثبات‌های ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ از این ساختارها استفاده می‌کند، در کتاب‌های آنالیز حقیقی یافت نمی‌شود، درحالی که تمایل مدرن در دهه‌های اخیر به استفاده از آنالیز بدیهی بوده‌است. حتی زمانی که ساختاری پیشنهاد می‌شود، اغلب برای بدیهی بودن اعداد حقیقی به کار می‌رود، که سپس اثبات بالا را پشتیبانی می‌کند. اما، برخی نویسندگان بیان می‌کنند که شروع با یک ساختار، متناسب است، و اثبات‌های حاصل خودکفایند.[۱۲]

برش ددکیند

در برش ددکیند، هر عدد حقیقی مانند x با مجموعه نامتناهی اعداد گویای کوچک‌تر از x نمایش داده می‌شود.[۱۳] به ویژه، عدد حقیقی ۱، مجموعه‌ای از تمام اعداد گویا است که کمتر از ۱اند.[۱۴] هر بسط اعشاری یک برش ددکیند را مشخص می‌کند: مجموعه‌ای از اعداد گویا که کمتر از برخی مراحل توسعه‌اند؛ لذا عدد حقیقی ۰٫۹۹۹‎…‎ مجموعه‌ای از اعداد گویا مانند r است که r<0، یا r<0.9، یا r<0.99، یا rهای کمتر از برخی اعداد دیگرند که به شکل زیر می‌باشند:

1 − ( 1 10 ) n . {\displaystyle {\begin{aligned}1-\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{n}\end{aligned}}.}[۱۵]

هر عنصری از ۰٫۹۹۹‎…‎ کوچک‌تر از ۱ است لذا عنصری از عدد حقیقی ۱ می‌باشد. برعکس، عنصر ۱ یک عدد گویا است.

a b < 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {a}{b}}<1,\end{aligned}}}

که بر این دلالت دارد که

a b < 1 − ( 1 10 ) b . {\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {a}{b}}<1-\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{b}\end{aligned}}.}

از آن‌جا که اعداد ۰٫۹۹۹‎…‎ و ۱ مجموعه اعداد گویای یکسانی دارند، این دو عدد برابرند: ۰٫۹۹۹‎…‎=۱.

این توصیف اعداد حقیقی به عنوان برش‌های ددکیند اولین‌بار در سال ۱۸۷۲ توسط ریچارد ددکند مطرح شد.[۱۶] روش بالا برای تعیین‌کردن بسط اعشاری یک عدد حقیقی در مقاله‌ای به عنوان "آیا ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ است؟" توسط فرد ریچمن، در مجله ریاضیات مطرح شد،[۱۷] که هدف آن آموزش به استادان دانشگاهی ریاضی و شاگردان آن‌ها بود.[۱۸] ریچمن اشاره می‌کند که استفاده از برش‌های ددکیند در هر زیرمجموعه متراکم از اعداد حقیقی، نتایجی یکسان به ثمر خواهد رساند؛ به ویژه، او برای نشان دادن بدیهی‌تر بودن یکی از اثبات‌ها از کسر اعشاری استفاده می‌کند. او همچنین اشاره دارد این تعریف اجازه می‌دهد {x:x<1} به وسیله {x:x≤۱} برش نیابد. «چرا این کا ر را انجام دهیم؟ دقیقاً برای این‌که وجود اعداد متمایز ۰٫۹۹۹‎…‎ و ۱ را نشان دهیم؛ لذا می‌بینیم که در توصیف سنتی اعداد حقیقی معادله ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ در ابتدا به کار می‌رود.»[۱۹] اصلاح دیگری از این رویه به ساختار متفاوتی هدایت می‌کند که این‌دو برابر نیستند. اگرچه آن نامتناقض است، بسیاری از قوانین رایج حساب اعشاری دیگر اعتباری ندارند، برای مثال کسر 1⁄3 هیچ نمایش عددی ندارد، سیستم‌های عددی جایگزین را در پایین ببینید.

دنباله کوشی

یکی دیگر توصیفات یک عدد حقیقی استفاده از حد دنباله کوشی برای اعداد گویاست. این ساختار اعداد حقیقی، به‌طور غیرمستقیم از ترتیب اعداد گویا استفاده می‌کند. ابتدا فاصله بین x و y، به صورت |x-y| محاسبه می‌شود، منظور از |z|، بزرگترین مقدار z و −z است، لذا همواره مثبت می‌باشد. سپس اعداد حقیقی به عنوان دنباله‌ای از اعداد گویا تعریف می‌شوند که با استفاده از این فاصله دارای ویژگی‌های دنباله کوشی می‌باشند. در دنباله (x0, x1, x2, ...)، نقشه‌ای از اعداد طبیعی به گویا، برای هر عدد گویای δ یک N وجود دارد که برای هر m و n کوچکتر از N |xm − xn| ≤ δ. (فاصله بین عبارات از هر عدد گویای مثبتی کوچکتر می‌شود)[۲۰]

اگر (xn) و (yn) دو دنباله کوشی باشند، آن‌ها معادل اعداد حقیقی توصیف می‌شوند اگر حد دنباله (xn − yn)، صفر باشد. کوتاه‌سازی عدد اعشاری b0.b1b2b3... دنباله‌ای از اعداد گویا را ایجاد می‌کند که کوشی است؛ می‌توان با استفاده از آن ارزش واقعی عدد را مشخص کرد.[۲۱] لذا در این حالت باید دنباله اعداد گویا را نشان داد:

( 1 − 0 , 1 − 9 10 , 1 − 99 100 , … ) = ( 1 , 1 10 , 1 100 , … ) {\displaystyle \left(1-0,1-{9 \over 10},1-{99 \over 100},\dots \right)=\left(1,{1 \over 10},{1 \over 100},\dots \right)}

حد این دنباله صفر است؛ لذا می‌توان نشان داد:

lim n → ∞ 1 10 n = 0. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0.}

اگر کسی با حد دنبالهها آشنایی داشته باشد، این حد را به سادگی درک می‌کند.[۲۲] لذا ۰٫۹۹۹‎…‎=۱.

اولین بار این توصیف در سال ۱۸۷۲ و توسط ادوارد هاینه و گئورگ کانتور ارائه شد.[۱۶] روش مطرح شده دربارهٔ بسط اعشاری، شامل تساوی ۰٫۹۹۹‎…‎=۱، در کتاب ریاضی کلاسیک: یک تفسیر معاصر، از گریفیتز و هیلتون در سال ۱۹۷۰ چاپ شد. در این کتاب نگاهی جدید به این مفهوم شده‌است.[۲۳]

نمایش اعشاری نامتناهی

معمولاً در آموزش متوسطه ریاضیات، یک عدد حقیقی را به صورت ترکیبی از یک عدد صحیح، علامت ممیز، و یک دنباله نامتناهی نشان می‌دهند که این بخش، قسمت اعشاری آن را نمایان می‌سازد. در این ساختار، مجموعه اعداد صحیح بعد ممیز مجموعه از اعداد حقیقی‌اند. این ساختار می‌تواند بعد از بیان یک رابطه هم‌ارزی برای مجموعه‌ای که نشان می‌دهد ۰٫۹۹۹‎…‎=۱، به شکل دقیقی مخاطب را راضی کند.[۲۴]

تعمیم

۰٫۹۹۹‎…‎=۱ به دو روش تعمیم می‌یابد. ابتدا برای اعداد غیر صفر با بخش اعشاری متناهی (با ۰های پایان‌پذیر) یک همتا با ۹های پایان ناپذیر وجود دارد. برای مثال ۰٫۲۴۹۹۹‎…‎ هم‌ارز ۰٫۲۵ است. این اعداد دقیقاً کسرهای اعشاری‌اند.[۲۵]

ثانیاً، در هر مبنا، یک قضیه قابل‌مقایسه ایجاد می‌شود. برای مثال در مبنای ۲ (دستگاه اعداد دودویی) ۰٫۱۱۱‎…‎ معادل ۱ است، و در مبنای ۳، ۰٫۲۲۲‎…‎ معادل ۱ می‌باشد. کتاب‌های درسی آنالیز حقیقی از مثال ۰٫۹۹۹‎…‎ عبور می‌کنند و یک یا هردوی این تعمیم‌ها را از ابتدا فراهم می‌آورند.[۲۶]

نمایش‌های جایگزین ۱، در مبناهای غیر صحیح نیز رایج است. در مبنای نسبت طلایی دو شکل استاندارد نمایش عبارتند از ۱٫۰۰۰‎…‎ و ۰٫۱۰۱۰۱۰‎…‎، و نمایش‌های فراوانی وجود دارند که شامل ۱های همسایه می‌شوند. به‌طور کلی، برای تمام qهای بین ۱ و ۲، بسط‌های غیرقابل شمارشی از مبنای q برای ۱ وجود دارد. از طرف دیگر، هنوز qهای فراوانی وجود دارند (شامل تمام اعداد طبیعی بزرگ‌تر از ۱) که به جز ۱٫۰۰۰‎…‎، تنها یک بسط در مبنای q برای یک دارند. اولین بار، پل اردیش، میکلوس هارواس، و استوان جو، در حدود سال ۱۹۹۰، این نتایج را آشکار کردند. در سال ۱۹۹۸، ویلموس کومورنیک و پائولو لوریت، چنین مبناهای کوچکی را بررسی کردند (ثابت کومورنیک-لوریت q=۱٫۷۸۷۲۳۱۶۵۰...). در این مبنا، ۱=۰٫۱۱۰۱۰۰۱۱۰۰۱۰۱۱۰۱۰۰۱۰۱۱۰۰۱۱۰۱۰۰۱۱‎…‎؛ این ارقام از دنباله تئو-مورس به دست آمده‌اند.[۲۷]

یک تعمیم دور از دست‌رس‌تر، سیستم‌های عددی موقعیتی استاندار را نشان می‌دهند. آن‌ها نیز نمایش‌های چند گانه دارند، و گاهی اوقات سختی آن‌ها بیشتر ازست. برای مثال:[۲۸]

عدم امکان نمایش واحد

این‌که تمام این سیستم‌های مختلف عددی از نمایش چندگانه برخی اعداد حقیقی رنج می‌برند، را می‌توان به تفاوت اساسی بین اعداد حقیقی به عنوان یک مجموعه مرتب و مجموعه‌ای از رشته‌های نامتناهی از نمادها نسبت داد. در حقیقت این دو ویژگی ذکر شده دلیل بر دشواری اند:

اولین نکته از ویژگی‌های اساسی اعداد حقیقی ناشی می‌شود: L دارای کوچکترین کران بالا و R دارای بزرگترین کران پایین می‌باشد، که به راحتی می‌توان دید برابرند. وجود یک عدد حقیقی که یا در R قرار دارد یا در L، ولی نه در هر دو، زیرا L و R مجموعه‌های مجزا‌اند. نکته دوم جفت ۰٫۹۹۹‎…‎/۱٫۰۰۰‎…‎ را برای p1 =”۰” و p2 تعمیم می‌دهد. در حقیقت نیاز نیست برای تمام موقعیت‌ها از یک حرف استفاده کرد، (لذا برای مثال می‌توان از ریشه‌های مختلط استفاده کرد) یا مجموعه کامل رشته‌های ممکن را در نظر گرفت؛ تنها نکات مهم اینست که در هر موقعیت، می‌توان از یک مجموعه متناهی از نمادها، انتخاب نمود، و اینکه داشتن انتخابی درست برای هر موقعیت می‌تواند موجب ایجاد یک رشته درست نامتناهی شود. با این فرض‌ها، بحث بالا نشان می‌دهد که یک نقشه حفظ ترتیب، از مجموعه رشته‌ها تا یک بازه اعداد حقیقی، نمی‌تواند تابع دوسویی باشد: خواه برخی اعداد مطابق با رشته نباشند، یا برخی از آن‌ها به بیش از یک رشته مربوط باشند.

مارکو پتکوسک، ثابت کرده‌است، برای هر سیستم موقعیتی، که تمام اعداد حقیقی نام دارند، مجموعه‌ای از اعداد حقیقی با نمایش‌های چندگانه همواره ارزش دارند. او این اثبات را «یک تمرین آموزنده در توپولوژی نقطه-تنظیم ابتدایی» می‌خواند.[۲۹]

کاربردها

یکی از کاربردهای ۰٫۹۹۹‎…‎ به عنوان نمایشی از ۱، در سطح متوسط نظریه اعداد رایج است. در سال ۱۸۰۲، گودوین مشاهده ظهور ۹ها را در نمایش‌های اعشار تکراری کسرهایی گزارش داد که مخرج‌های آنان دارای اعداد اول معینی بودند. مثال‌ها عبارتند از:

میدی یک نتیجه کلی از این کسرها گرفت که اکنون به قضیه میدی مشهور است. مطالب انتشار یافته از سوی او مبهم بودند و معلوم نبود اثبات‌های او به‌طور مستقیم شامل ۰٫۹۹۹‎…‎ می‌شوند یا نه، ولی اثبات لیویت در آینده کار او را تکمیل کرد. اگر ثابت شود که یک عدد اعشاری به شکل 0.b1b2b3‎…‎ یک عدد صحیح مثبت است، پس این عدد باید ۰٫۹۹۹‎…‎ باشد که منبع ۹ها در این قضیه است.[۳۰] تحقیقات در این مسیر مفاهیمی مانند بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک، هم‌نهشتی، اعداد فرما، ترتیب در عناصر گروه (ریاضی)، و قانون تقابل درجه دوم را به حرکت واداشت.[۳۱]

با بازگشت به آنالیز حقیقی، در مبنای ۳، به‌طور مشابه داریم ۰٫۲۲۲‎…‎=۱. این موضوع نقشی مهم در خصوصیات یکی از ساده‌ترین اشکال خود متشابه ایفا می‌کند، وسط سوم مجموعه کانتور:

رقم nام این نمایش موقعیت نقطه در مرحله nام ساختار را نشان می‌دهد. برای مثال نقطه 2⁄3 دارای نمایش معمولی ۰٫۲ یا ۰٫۲۰۰۰‎…‎، در مبنای ۳ است، زیرا در سمت راست اولین حذف و سمت چپ هر حذف دیگر بعد از خودش قرار دارد.[۳۲]

موقعیت‌های 1⁄4، 2⁄3، و ۱ در مجموعه کانتور

۹های تکراری در یکی دیگر از کارهای جورج کانتور نیز به چشم می‌خورد. این موضوع به ساختار یک اثبات درست با استفاده از استدلال مورب او در سال ۱۸۹۱، برای توصیف بسط اعشاری، برای غیرقابل شمارش بودن بازه واحد، باز می‌گردد. چنین اثباتی نیاز به اعلام جفت‌های معین از اعداد حقیقی می‌باشد که بسط اعشاری مختلفی دارند، لذا باید از جفت‌هایی مانند ۰٫۲ و ۰٫۱۹۹۹‎…‎ احراض نمود. یک روش ساده نمایش همه با بسطی بی‌پایان بود؛ روشی مخالف تکرار 9.[۳۳] روش دیگری که مشابه بحث اصلی کانتر بود، استفاده از مبنای ۲ و تبدیل بسط‌های مبنای ۳ به مبنای ۲ بود، که غیرقابل شمارش بودن مجموعه کانتر را اثبات می‌کرد.[۳۴]

تردید در آموزش

دانشجویان ریاضی به دلایل مختلفی از ظاهر نامناسب تا شبهه‌های عمیق در مفهوم حد دنباله، هم‌ارزی ۰٫۹۹۹‎…‎ و ۱ را رد می‌کنند و با طبیعت مقادیر بی‌نهایت کوچک غیر صفر مخالفند. عوامل بسیاری هستند که به این سردرگمی کمک می‌کنند:

این ایده‌ها در زمینه اعداد حقیقی استاندارد نادرستند، اگرچه ممکن استر برخی در سایر سیستم‌های عددی درست باشند، سیستم‌هایی که یا برای کاربرد عمومی ریاضیات ایجاد شده‌اند، یا به عنوان مثال نقض برای درک بهتر ۰٫۹۹۹‎…‎ به کار می‌روند.

دیود تال بسیاری از این توضیحات را ابداع کرده‌است، او ویژگی‌های تدریس و درک را مطالعه نموده و از شبهه‌های پیش آمده در میان دانشجویانش بهره برده است. او با مصاحبه با دانشجویان دربارهٔ این که چرا خیل عظیم آن‌ها این هم‌ارزی را رد می‌کنند، دریافته‌است، «دانشجویان اعتقاد دارند که ۰٫۹۹۹‎…‎ دنباله‌ای از اعداد است که به ۱ نزدیک می‌شود، و یک مقدار ثابت نیست، زیرا از دیدگاه آن‌ها، تعداد ۹ها نامعلوم است یا این عدد نزدیک‌ترین عدد ممکن اعشاری به یک می‌باشد.»[۳۸]

با توجه به اثبات‌های متوسط، ضرب ۰٫۳۳۳‎…‎=1⁄3 به ۳، یک استراتژی موفق در متعاقد نمودن دانشجویان مخالف است. زمانی که دانشجویان با تعارض بین اعتقاد به اولین معادله و عدم اعتقاد به دومین معادله روبه‌رو می‌شوند، برخی از آن‌ها اعتقاد به اولین معادله کنار می‌گذارند و نا امید می‌شوند.[۳۹] روش‌های اثبات پیچیده‌تری وجود ندارد: دانشجویانی که کاملاً قادر به استفاده از توصیفات سخت می‌باشند، زمانی که با ریاضایت پیشرفته از جمله ۰٫۹۹۹‎…‎ روبه‌رو می‌گردند، دچار تصورات حسی می‌شوند. برای مثال یک دانشجوی آنالیز حقیقی می‌تواند با استفاده از مفهوم سوپریمم، ثابت کند که ۰٫۳۳۳‎…‎=1⁄3 است، اما بر ۰٫۹۹۹‎…‎<1 که قبلاً در تقسیم طولانی دریافته‌است، تأکید می‌کند.[۴۰] دیگران هنوز می‌توانند ثابت کنند که ۰٫۳۳۳‎…‎=۱، اما، با روبه‌رو شدن با اثبات کسری و تقسیم طولانی، پافشاری می‌کنند که «منطق» جایگزین محاسبات ریاضی شده‌است.

ژوزف مازور، داستان دانشجوی باهوش حساب خود را تعریف می‌کند، این دانشجو همه چیز را در کلاس درس به چالش می‌کشید جز محاسبات خود را، و به این اعتقاد رسیده بود که ارقام ۹، تمام چیزی هستند که ریاضیات باید انجام دهد، که شامل محاسبه جزر ۲۳ نیز می‌باشد. این دانشجو احساس خوبی نسبت به بحث حدی ۹٫۹۹۹‎…‎=۱۰ نداشت، و آن را «فرایند رشد بینهایت به شدت تصوری» خطاب می‌کرد.[۴۱]

اد دوبینسکی و همکارارنش، در سال ۲۰۰۵، به عنوان بخشی از تئوری آپوس، پیشنهاد می‌کنند که دانشجویانی که معتقدند مفهوم ۰٫۹۹۹‎…‎ یک رشته متناهی نامعین است که فاصله آن با ۱ بی‌نهایت کم می‌باشد، «هنوز یک فرایند درک کامل از اعداد اعشاری بی‌نهایت به دست نیاورده‌اند.» سایر دانشجویانی که فرایند مفهوم ۰٫۹۹۹‎…‎ را کامل کرده‌اند، ممکن است قادر نباشند این فرایند را به یک «مفهوم هدف» محصور کنند (همانند مفهوم هدفی که از ۱ دارند)، و لذا آن‌ها فرایند ۰٫۹۹۹‎…‎ و ۱ را ناسازگار می‌یابند. دوبینسکی و همکاران، همچنین توانایی ذهنی محصور کردن را به درک 1⁄3 به عنوان یک عدد در جای خود و برای ارتباط با مجموعه‌ای از اعداد طبیعی به عنوان یک کل واحد مربوط می‌کنند.[۴۲]

در فرهنگ عامه

با توسعه اینترنت، بحث دربارهٔ ۰٫۹۹۹‎…‎ از کلاس‌های درس خارج شده و به‌طور رایج در گروه‌های خبری و تالارهای گفتگومطرح گشته است، که بیشتر آن‌ها ارتباط چندانی با ریاضیات ندارند. در گروه خبری sci.math بحث پیرامون ۰٫۹۹۹‎…‎ با عنوان «ورزش محبوب» مطرح شده‌است، و یکی از سؤالاتی است که در پرسشگان بدان پاسخ داده‌اند.[۴۳] پرسشگان به‌طور خلاصه 1⁄3، ضرب در ۱۰، حدها و اشاره به دنباله کوشی را به خوبی پوشش داده است.

ویرایش ۲۰۰۳ مجله عمومی استرایت دوپ، با استفاده از 1⁄3 و مفهوم حد دنباله، پیرامون ۰٫۹۹۹‎…‎ بحث می‌کند و تصورات نادرست را بیان می‌کند،

مهمل.[۴۴]

استرایت دوپ، در تالار گفتگوی خود بحثی را قرار داده است که از یک «تالار گفتگوی ناشناس دیگر... احتمالاً درباره بازی‌های رایانه‌ای» ایجاد شده‌است. در آن‌جا نیز سؤال ۰٫۹۹۹‎…‎ محبوبیت این موضوع را در ۷ سال اول فروم battle.net بلیزارد انترتینمنت نشان می‌دهد که شرکت در روز دروغ اول آوریل سال ۲۰۰۴ بیان کرد که آن ۱ است:

ما خوش‌حال می‌شویم این بحث را یک‌بار و برای همیشه به پایان برسانیم. ما ناراحتی و نگرانی‌ها را درباره این‌که آیا ۰٫۹۹۹‎…‎ با ۱ برابر است یا نه، مشاهده نموده‌ایم و مفتخریم که این اثبات نهایتاً و به‌طور قطع، مشکل مشتریانمان را حل کرده‌است.[۴۵]

سپس ئو اثبات بر اساس مفهوم حد دنباله و ضرب در ۱۰ بیان شد.

ویژگی‌های ۰٫۹۹۹‎…‎ نیز به فرهنگ عامه ریاضایات تبدیل شده‌است، به خصوص در لطیفه‌ها:[۴۶] سؤال: چند ریاضی‌دان لازم است تا یک لامپ برق را بچرخانند؟ پاسخ: ۰٫۹۹۹۹۹۹‎…‎

در سیستم‌های عددی جایگزین

اگرچه اعداد حقیقی یک سیستمعددی بسیار سودمند را ایجاد می‌کنند، تصمیم به درک مفهوم "۰٫۹۹۹‎…‎" به عنوان نام‌گذاری یک عدد حقیقی در نهایت یک قرارداد است، و تیم گورز، در کتاب خود به نام «ریاضیات: یک معرفی بسیار کوتاه» بیان می‌کند که نتیجه ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ یک قرارداد است.

با این وجود این به معنای قراردادی دلخواه است، زیرا اتخاذ نکردن آن مجبور به اختراع موضوعات تازه عجیب می‌کند یا سبب رها کردن برخی قوانین آشکار حساب می‌گردد.[۴۶]

می‌توان با استفاده از موضوعات جدید و قوانین مختلف، سیستم‌های عددی تازه‌ای را ایجاد کرد؛ در برخی از این سیستم‌ها نیاز است که اثبات‌های بالا دوباره تفسیر شوند و باید بدان نتیجه رسید که در یک سیستم عددی مفروض، ۰٫۹۹۹‎…‎ و ۱ نباید برابر باشند. با این‌حال بسیاری از سیستم‌های عددی نوع گسترده (نه مستقل جایگزین) سیستم اعداد حقیقی‌اند، لذا ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ آن‌جا نیز برقرار است. حتی در چنین سیسیتم‌های عددی اگرچه، آزمایش سیستم‌های عددی جایگزین ارزشمند است، و این موضوع نه تنها برای چگونگی رفتار ۰٫۹۹۹‎…‎ صدق می‌کند (اگر) بلکه نحوه رفتار مفاهیم مرتبط را نیز در بر می‌گیرد.

مقادیر بی‌نهایت کوچک

برخی از اثبات‌های ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ به ویژگی‌های حسابی اعداد حقیقی وابسته‌اند: در اعداد حقیقی مقادیر بسیار کوچک غیر صفر وجود ندارند. به ویژه مقدار ۱-۰٫۹۹۹‎…‎. کوچک‌تر از هر مقدار کسری است، لذا باید از مقادیر بی‌نهایت کوچک باشد؛ از آن‌جا که اعداد حقیقی دارای مقادیر بسیار کوچک غیر صفر نمی‌باشند، لذا اختلاف آن‌ها صفر است، و در نتیجه مقدار این دو عبارت برابر می‌باشد.

با این وجود، سیستم‌های متصل ترتیبی بر پایه ساختار جبری، وجود دارند که شامل جایگزین‌های مختلفی برای اعداد حقیقی می‌باشند و که غیر ارشمیدسی هستند. برای مثال، عدد دوگانه شامل یک علامت به معنای بی‌نهایت کوچک می‌باشد (ε)، مشابه واحد فرضی i در سیستم عدد مختلط، ε۲ = ۰. از ای ن ساختار در مشتق‌گیری استفاده می‌شود. اعداد دوگانه می‌توانند ترکیبی الفبایی فراهم کنند، که در آن مضاربی از ε عناصر غیر ارشمیدسی می‌باشند. به‌یاد داشته‌باشید این وجود، اعداد دوگانه نیز عبارت ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ را تصدیق می‌کنند. باید توجه کرد که از آن‌جا که در سیستم اعداد دوگانه، ε وجود دارد، لذا ε/۲ نیز وجود دارد، پس ε کوچکترین مقدار مثبت عدد دوگانه نیست، و البته در اعداد حقیقی چنینی عددی وجود ندارد.

آنالیزهای غیر استاندارد یک سیستم عددی با آرایه‌ای از مقادیر بسیار کوچک را فراهم می‌کنند.[۴۷] ای. لایتستون بسط اعشاری اعداد فراحقیقی در (۰, ۱) توسعه داده است.[۴۸] او نشان‌داده است که چگونه می‌توان به هر عدد یک دنباله از ارقام را نسبت داد،

0. d 1 d 2 d 3 … ; … d ∞ − 1 d ∞ d ∞ + 1 … , {\displaystyle 0.d_{1}d_{2}d_{3}\dots ;\dots d_{\infty -1}d_{\infty }d_{\infty +1}\dots ,}

که با نمایه اعداد فراصحیح نمایش یافته‌اند. اگرچه او به‌طور مستقیم ۰٫۹۹۹‎…‎ را مورد بحث قرار نداده است، ولی نشان داده که عدد حقیقی ۱/۳ را می‌توان به شکل ۰٫۳۳۳‎…‎؛‎…‎۳۳۳‎…‎ نمایش داد، که نتیجه اصل انتقال است. در نتیجه ۰٫۹۹۹‎…‎. ؛‎…‎۹۹۹‎…‎=۱ است. با این نمایش اعشاری، تمام بسط‌ها یک عدد را نشان نمی‌دهند. در حقیقت، اعداد ۰٫۳۳۳‎…‎؛‎…‎۰۰۰‎…‎ و ۰٫۹۹۹‎…‎؛‎…‎۰۰۰‎…‎، به هیچ عددی مربوط نمی‌شوند.

تعریف استاندارد ۰٫۹۹۹‎…‎، حد دنباله ۰٫۹،۰٫۹۹، ۰٫۹۹۹ و ‎…‎ می‌باشد. یک تعریف دیگر، یک کلاس هم‌ارزی از دنباله‌ها را در ساختار فرانیرو فراهم می‌کند، که مربوط به عددی است که به اندازه بی‌نهایت کوچک، از عدد ۱ کمتر است. به‌طور عمومی‌تر، عدد فراحقیقی uH=۰٫۹۹۹... ;...۹۹۹۰۰۰... با اتمام ۹ها در بی‌نهایت، رشته‌ای را ایجاد می‌کند که کوچکتر از ۱ است. بر این اساس، کارین کاتز و میکائیل کاتز، یک تفسیر جایگزین از "۰٫۹۹۹‎…‎" را مطرح کرده‌اند:

0. 999 … ⏟ H = 1 − 1 10 H . {\displaystyle {\underset {H}{0.\underbrace {999\ldots } }}\;=1\;-\;{\frac {1}{10^{H}}}.}

تمام این تفاسیر در بی‌نهایت نزدیک به ۱ هستند. ایان استوارت این تفاسیر را به عنوان یک راه کاملاً عاقلانه باری توجیه دقیق این موضوع به کار می‌برد، که ۰٫۹۹۹‎…‎ اندکی با ۱ اختلاف دارد.[۴۹] روبرت الی، به همراه کاتزها، این فرض را مورد سؤال قرار می‌دهد که ایده دانشجویان دربارهٔ ۰٫۹۹۹‎…‎<1، یک تصور اشتباه دربارهٔ اعداد حقیقی است، او تفسیر آنان را یک درک غیر استاندارد معرفی می‌کند ک هدر آموزش حساب ارزشمندند. جوز به ندرت در کتاب خود به نام بی‌نهایت: مقاله‌ای پیرامون متافیزیک، بیان می‌کند که درک‌های طبیعی پیش‌ریاضی قابل بیان نخواهند بود، اگر یکی از آن‌ها به یک سیستم عددی بسیار محدود، بسته شود:

قابلیت فهم این زنجیره بارها نشان داده است که نیاز به بزرگی دامنه اعداد حقیقی وجود دارد که شامل مقادیر بسیار کوچک می‌شود. این دامنه بزرگ‌شده، دامنه اعداد زنجیره‌ای را شکل داد. اکنون بدیهی است که ۰٫۹۹۹۹‎…‎ برابر ۱ نیست، بلکه به اندازه بی‌نهایت کوچک، از آن کمتر است. به نظر من باید ۰٫۹۹۹۹‎…‎ را یک عدد مجزا در نظر گرفت... اگرچه نه یک عدد حقیقی.[۵۰]

هاکنبوش

نظریه بازی ترکیبی اعداد حقیقی را فراهم می‌کند، که بازی آبی قرمز هاکنبوش یک مثال مرتبط است. در سال ۱۹۷۴، الوین برلکمپ ارتباطی بین رشته‌های هاکینپوش و بسط دوتایی اعداد حقیقی توصیف می‌کند، که از ایده فشرده‌سازی داده‌ها شکل گرفته‌است. برای مثال، مقدار رشته هاکنبوش LRRLRLRL‎…‎ برابر 0.0101012‎…‎=1⁄3 می‌باشد. اما مقدار LRLLL‎…‎ به اندازه بی‌نهایت کوچک، از ۱ کمتر است. تفاوت این‌دو عدد سورئال می‌باشد، 1⁄ ω که ω اولین عدد ترتیبی بینهایت است؛ بازی مربوط LRRRR‎…‎ یا 0.000...2 می‌باشد.[۵۱]

بازنگری تفریق

یکی دیگر از روش‌هایی که اثبات‌ها را زیر سؤال می‌برد، این است که آیا ۱-۰٫۹۹۹‎…‎ وجود دارد، زیرا همیشه تفریق امکان‌پذیر نیست. ساختارهای ریاضی با عملگرد جمع، نه تفریق، شامل خاصیت جابجایی و جابجایی مونوئیدها می‌باشد. ریچمن دو سیستم این‌چنینی را در نظر می‌گیرد، لذا ۰٫۹۹۹‎…‎<1 است.

او ابتدا یک عدد اعشاری غیر منفی را به عنوان بسط اعشاری در نظر می‌گیرد. او بیان می‌کند که ۰٫۹۹۹‎…‎<1 است زیرا ۰<1 می‌باشد، ولی برای هر x بدون واحد، داریم x+1=x+0.999.... لذا یکی از خاصیت‌های اعداد اعشاری اینست که جمع همواره متوقف نمی‌شود؛ خاصیت بعدی اینست که عدد اعشاری با 1⁄3 مرتبط است. بعد از تعریف ضرب، اعداد اعشاری یک نیم‌حلقه جابجایی‌پذیر، کاملاً مرتب و مثبت را شکل می‌دهد.[۵۲]

ریچمن در فرایند معرفی ضرب، یک سیستم دیگر به نام «برش دی» را معرفی می‌کند که مجموعه‌ای از برش‌های ددکیند برای کسرهای اعشاری است. معمولاً این تعریف به یک عدد حقیقی می‌انجامد، اما برای یک کسر اعشاری d، او اجازه ایجاد برش‌های (−∞, d) و (−∞, d] فراهم می‌کند. نتیجه اینست که اعداد حقیقی با کسرهای اعشاری به سختی با یکدیگر کنار می‌آیند. دوباره ۰٫۹۹۹‎…‎<1 است. در برش D هیچ مقدار بسیار کوچک مثبتی وجود ندارد، اما نوعی مقدار بی‌نهایت کوچک منفی موجود است، 0−، که هیچ بسط حقیقی ندارد. او می‌گوید ۰٫۹۹۹‎…‎=1+0−، درحالی که معادله "۰٫۹۹۹‎…‎+1=x پاسخی ندارد.[۵۳]

سؤالات مربوط

جستارهای وابسته

پیوند به بیرون

منابع

  1.  



wikipedia

In mathematics, 0.999... (also written as 0.9, 0..9 or 0.(9)) is a notation for the repeating decimal consisting of an unending sequence of 9s after the decimal point. This repeating decimal is a numeral that represents the smallest number no less than every number in the sequence ( 0.9 , 0.99 , 0.999 , … ) {\displaystyle (0.9,0.99,0.999,\ldots )}; that is, the supremum of this sequence.[a] This number is equal to 1. In other words, "0.999..." is not "almost exactly 1" or "very, very nearly but not quite 1"; rather, "0.999..." and "1" represent exactly the same number.

There are many ways of showing this equality, from intuitive arguments to mathematically rigorous proofs. The technique used depends on the target audience, background assumptions, historical context, and preferred development of the real numbers, the system within which 0.999... is commonly defined. In other systems, 0.999... can have the same meaning, a different definition, or be undefined.

More generally, every nonzero terminating decimal has two equal representations (for example, 8.32000... and 8.31999...), which is a property of all positional numeral system representations regardless of base. The utilitarian preference for the terminating decimal representation contributes to the misconception that it is the only representation. For this and other reasons—such as rigorous proofs relying on non-elementary techniques, properties, or disciplines—some people can find the equality sufficiently counterintuitive that they question or reject it. This has been the subject of several studies in mathematics education.

 

 

Proof that 0.999... doesn't equal 1

One of the proofs that 0.999... equals 1 is the next equation

x=0.999...

10x=9.999...

10x – x = 9x

9.999... - 0.999... = 9

9x=9

1x=1.

.999 = 1

The problem with this proof is that it's threating everything to the right of the zero as if it was the same.

George Cantor believed there are infinities bigger than others, if we count all the natural numbers they're infinite but if we count all the odd numbers they're also infinite even though all the odd numbers are contained within the natural numbers, hence the infinity that represents all the natural numbers is bigger than the infinity that represents the odd numbers.

If this is true then the decimals in 10(0.999...) must be always one less than 0.999... , thus 10(0.999...) - 0.999... cannot be 9.

The equiation above has two infinities of different magnitudes, even though they are both represented as .999... we have to remember one of them was multiplied by 10 so it should always have one less decimal than the other.

In order to understand this more easily we can replace the infinite number with a rational number

If we replace it with 0.99 then the equations would look like this:

x=0.99

10x=9.9

10x – x = 9x

9.9 - 0.99 = 8.91

9x=8.91

We see that the result is 8.91 and not 9 as the proof sugests.

If we try it with another rational number with one more nine it will look like this:

x=0.999

10x=9.99

10x – x = 9x

9.99 - 0.999 = 8.991

9x=8.991

If we keep adding nines we can crearly recognize a pattern, we keep getting nines on the decimals followed by a 1 in the last number, the ammount of decimals stays the same with the difference that the last number is a 1 instead of a 9.

Let's try it again with a lot more nines and it will look like this:

x=0.99999999             (eight decimals)

10x=9.9999999           (eight decimals)

10x – x = 9x

9.9999999 - 0.99999999 = 8.99999991 (eight decimals, 7 nines followed by a 1)

9x=8.99999991

Based on this we can safely assume that the result of multiplying 10(0.999...) is not 9 but instead 8.999...1, hence we can rebuild the equiation to look like this.

The problem lies in the mathematical syntax, we often don't have different ways to represent two different infinities, even though one was multiplied by 10 we have to represent both as a number followed by .999... which gives the impression that after the zero its the exact same number.

It's the equivalent of saying that if natural numbers are infinite and odd numbers are infinite then if we substract the odd numbers from the natural numbers the result should be 0 but that cannot be the case since, as we said before the total ammount of natural numbers must be bigger than the total number of odd numbers, so that result cannot be zero.

We can now rebuild the equiation to look like this:

x=0.999...

10x=8.999...1

10x – x = 9x

9.999... - 0.999... = 8.999...1 (note that even though they bot have .999 after the zero the result is not 9 but 8.999...1)

9x ≠ 8.999...1

1x ≠ 1

The equation that tries to proof 0.999... = 1




Why every proof that 0.999… equals 1 is wrong

Jun 072019

In this article we will examine the pros & cons of the eight main arguments that are claimed to show that 0.999… = 1. The first seven arguments existed before the limit approach to real numbers was conceived, and so the modern concept of real numbers plays no part in their claims of validity.

It was in the 16th century when Simon Stevin created the basis for modern decimal notation in which he allowed an actual infinity of digits. But it was not until the early 19th century that limits and convergence were introduced. The original idea behind infinite decimals was that they were the sum of their rational parts.

ARGUMENT 1: Proofs that assume 1/3=0.333… or 1/9=0.111… etc.

A common argument is that since 1/3 = 0.333… then we can simply multiply both sides by 3 to get 1 = 0.999… This argument requires that we start by accepting that 1/3 equals 0.333… But we cannot start by assuming a rational can equal a repeating decimal because this is precisely what we need to prove.

ARGUMENT 2: The claim that short/long division proves 1 ÷ 3 = 0.333…

When we do short/long division for 1 ÷ 3 we follow an algorithm that repeats. We soon see that the trend is a longer (but finite) number of decimal places and a smaller (but always non-zero) remainder. So the long-term trend is a very long decimal and a very small non-zero remainder.

The long-term trend is not ‘infinitely many’ digits with a zero remainder. The inclusion of more decimal places in no way ‘approaches infinity’. Infinity is apparently not a big number and so we cannot approach it. If something gets bigger, longer, smaller or shorter then none of these gets closer or further away from the mysterious concept called ‘infinity’.

If we think of 0.333… as 3/10 + 3/100 + 3/1000 + … then the sum up to the nth term is 1/3–1/(3*10n) and so this is less than 1/3 for all n. This means that the nth sum is a non-zero distance away from 1/3.

This holds for ALL of the terms in 0.333… Since no term CAN POSSIBLY EXIST where 1/3 is reached, and since 0.333… is nothing more than its terms, it cannot equal 1/3.

Similarly, the nth term in 0.999… is a non-zero distance away from 1. This holds for ALL of the terms in 0.999… Since no term CAN POSSIBLY EXIST where 1 is reached, and since 0.999… is nothing more than its terms, it cannot equal 1.

ARGUMENT 3: The argument that there is no number between them so they must be the same.

If we say 0.999… is the series that has an nth sum of 1–1/10n, and 1 is the series that has the nth sum of 1–(0*n) then we can easily find a series halfway between 0.999… and 1, which is the series with the nth sum:

1 — (0.5)(0.1)n

In other words, it is the series 95/100 + 45/1000 + 45/10000 + 45/100000 + …

And so if a series is a ‘number’ then it is easy to find as many as we like between 0.999… and 1.

Note that both of the series corresponding to 1.000… and 0.999… just happen to be able to be represented by decimal notation, and this half-way series can’t, but it is still a valid number if 0.999… is a number. We cannot assert that any series we find (between 0.999… and 1.000…) must be numerically equal to 1, because that would mean that our starting position is that 0.999… already equals 1.

NOTE: This is also the basis of the first so-called formal proof that you will find on the Wikipedia page for ‘0.999…’. It supposedly proves 0.999… = 1 by showing that “1 is the smallest number that is no less than all 0.(9)n”. It claims that:

0 <= 1 — x <= 1/(10n) for any positive integer n

Then it concludes: “This implies that the difference between 1 and x is less than the inverse of any positive integer. Thus this difference must be zero, and, thus x = 1; that is 0.999… = 1”.

But this argument uses the trick of allowing 0.999… to be specified in terms of its nth sum whereas x is NOT allowed to be specified in terms of its nth sum. If we allow x to be a series like 95/100 + 45/1000 + 45/10000 + 45/100000 + … and if we are allowed to use the nth sum in the same way that the proof uses the nth sum of 9/10 + 9/100 + 9/1000 + …, then we can then find as many ‘numbers’ as we like between 0.999… and 1.

For example, let x = 95/100 + 45/1000 + 45/10000 + 45/100000 + … Using this series, we have the nth sum of x is 1–0.5/(10n) which will always produce a value where the nth sum of x is always half way between 0.999… and 1. Here we have:

0 <= 1 — [ 1–0.5/(10n) ] <= 1/(10n) for any positive integer n

This simplifies to:

0 <= 0.5/(10n) <= 1/(10n) for any positive integer n

And we can see that this DOES hold for any positive integer n. This proves that the if we allow x to be treated in the same way as 0.999…, then there are an endless amount of ‘numbers’ between 0.999… and 1. Indeed, by considering the nth sum, the only thing we can prove is inequality. The nth sum of 0.(9)n will never equal the nth sum of 1.(0)n and therefore these two cannot be equal.

Perhaps the proof on the Wikipedia page is not supposed to work where x is a series. Perhaps it is only supposed to relate to decimal representations where n is the nth decimal place. In that case we can object that we cannot assume that all rationals (or sums of rationals) can be represented by a decimal representation. That would be to assume things like 1/3 equals 0.333… and this is precisely equivalent to what we need to prove.

Most mathematicians appear to accept the flawed proof on the Wikipedia page. This might be because they don’t bother looking for a flaw on the basis that they already believe that what is supposedly proven to be true is indeed true.

ARGUMENT 4: If we subtract 0.999… from 1 we get zero

This is a variation on the previous argument and we can use the same logic to refute the claim. That is, we work with the partial sum expressions to find the answer.

If we say 0.999… is the series that has an nth sum of 1–1/10n, and 1 is the series that has the nth sum of 1–0n then when we subtract 0.999… from 1 we get the series 0 + 1/10n

In other words, it is the series 1/10–9/100–9/1000–9/10000 — …

And so if a series like 0.999… is a valid number, then this answer is equally a valid number.

We cannot assert that this series must be numerically equal to 0, because that would mean that our starting position is that 0.999… already equals 1.

ARGUMENT 5: 0.999… becomes infinitesimally close to 1, so it is effectively the same.

In order to get ‘infinitesimally close’ (whatever that means) there must exist a term of the series whereupon the partial sum changes from being a finite distance from 1 to being ‘infinitesimally close’. In other words, a rational number must exist where one tenth of its value is an infinitesimal. This is not possible.

ARGUMENT 6: The argument that the formula for the sum of a geometric series proves 0.999… = 1

The argument goes like this: the sum of an infinite geometric series with first term ‘a’ and common ratio ‘r’ is a/(1 — r). This formula proves 0.999… = 1

This argument creates the impression that a/(1 — r) is a magic formula for adding up infinitely many non-zero terms. But the sum to the nth term is k — krn where k = a/(1 — r). So the formula used in the so-called proof is the constant part (k) of the partial sum expression, not the addition of all ‘infinitely many’ of the series terms.

Indeed, as mentioned previously, the sum to any term must always be less than k. This holds for ALL the terms, and since 0.999… is nothing more than its terms, it cannot equal 1.

ARGUMENT 7: The so-called algebraic proof that 0.999… = 1

The attempted proof goes like this:

x = 0.999…

It follows that:

10x — x = 9.999… — 0.999…

And since this appears to simplify to

9x = 9

it would seem to prove 0.999… equals one.

But this ‘9x = 9’ is an invalid result. The trick used to pull off this illusion is to misalign the series and then to claim that all trailing terms will cancel out, as shown here:

10x =   90/10  +  90/100  +  90/1000 + …

   x  =                   9/10    +    9/100   +   9/1000 + …

As shown above, the trick is the misalignment of the terms (terms in the ‘x =‘ line above are shifted 1 place to the right). Such misalignment is invalid because if it was valid we could prove 0=1 by taking 1+1+1+… away from itself (try it yourself). If we align the series correctly then we get this result:

10x — x = 81/10 + 81/100 + 81/1000 + …

Another way to appreciate why the misalignment is invalid is to think of 0.999… as the series 9/10 + 9/100 + 9/1000 + … If we multiply this series by a factor of ten then we don’t change the number of terms; we have the same terms (in terms of one-for-one correspondence) as we started with, only now each term is ten times its original value.

The subtraction 9.999… — 0.999… cannot cancel out all the trailing terms unless this one-to-one relationship (between the original and the multiplied series) is somehow broken, and we get an extra term out of nowhere.

Yet another way to show that this algebraic proof is invalid is to consider the general formula for a geometric series, G, with first term ‘a’ and common ratio ‘r’:

G = a + ar + ar² + ar³ + …

Now, 0.999… is the geometric series with a=0.9 and r=0.1. The question is can we multiply throughout by 1/r, then subtract what we started with in the same way we did in the original argument when we supposedly ended up with 9x = 9?

(1/r — 1)G = [a/r + a + ar + ar² + …] — [a + ar + ar² + ar³ + … ]

If we assume that all matching terms cancel out (to ‘infinity’), this simplifies to:

(1/r — 1)G = a/r

The above should apply to all geometric series, both converging and diverging, because none of the manipulations depend on the values of the variables. So if we can find any values for the variables ‘a’ and ‘r’ where the above statement forms a contradiction, then we will have shown our assumption that all trailing terms cancel out was a mistake.

The values a=1 and r=1 make the above statement evaluate to 0 = 1 and so the algebraic proof for 0.999… = 1 must be invalid.

ARGUMENT 8: The argument that 0.999… equals 1 because they are both ‘real numbers’ and 1 is the limit of the sequence 0.9, 0.99, 0.999, …

This ‘real number’ argument is the one favoured by most mainstream mathematicians and it takes a lot of effort to understand. It is difficult to comprehend because the notation used to denote a ‘real number’ should be interpreted as a symbol that refers to an infinite set containing infinitely many sequences all of which are infinitely long. Get your head around that!

[More specifically, the most popular approach to defining real numbers is as ‘an equivalence class of rational Cauchy sequences’. In other words, a real number is defined as a container of infinitely many sequences, each of which is infinitely long, and where the difference between any two sequences will be a sequence that tends towards zero.]

It takes a lot of imagination because (arguably) we cannot truly picture infinitely many of something, let alone infinitely many things all of which are infinitely long themselves. Arguably, we merely imagine that we can picture such a structure, and (arguably again) we are deluding ourselves when we claim such a thing can exist.

If we accept ‘real numbers’ as a valid concept, then the argument for 0.999… = 1 is that both these decimals refer to the same unwieldy structure that we call ‘real number one’.

The concept of ‘real numbers’ is founded upon the concept of limits. So for the concept of real numbers to be valid, the associated limit arguments must also be valid. If they are not, then the concept of ‘real numbers’ is not valid and it cannot be used to claim that 0.999… = 1. There is no one single method that can be applied to find the limit for any kind of series. All we have are lots of different convergence tests for different cases, and lots of devised methods for finding limits in different cases. There are many cases of series for which we have no idea of how to find the limit.

If 0.999… describes an algorithm, such as travelling the distance 0.9 followed by the distance 0.09 and so on, then we can describe the distance covered after n of these journeys as 1- 1/(10n). Since the constant 1 appears in this expression, it is easy to to claim this is the ‘limit’. Similarly we can have a series of terms that we call pi, except with pi, there is no expression for the nth sum that contains a constant. If series like 0.999… and 3.141… do not have a last term then the traditional sum of their terms can never equate to a constant value. For this reason, it arguably makes much more sense to associate endless decimals with endless algorithms (i.e. finite algorithms with no end point defined) rather than to claim they can somehow equate to a constant value.

So how does the concept of limits deal with things like pi? Well, since there is no rational value we can point to as being the limit of a pi sequence, the best we can do is point to the first few digits in the decimal sequence followed by three dots and claim this is pi. In other words, all we can do is claim that the limit to the sequence is the sequence itself. Effectively we have to claim it is its own limit.

We then have to ignore any criticism that says it is inadequate to define something as being itself. We cannot reach infinity and so we cannot find a constant that we can point to and say “that is pi”. Pi is an example of a limit that cannot be found, but we still have to believe it somehow exists. Pi is just a name that we use for sequences of a certain type, but we can construct many more sequences where we don’t have a specific name for them. They are just sequences where the limit cannot be stated. For the sequences that we say relate to irrational values, we have to imagine that ‘infinitely many’ non-zero digits (or terms) can somehow ‘exist’ and that this will somehow form a constant value that we can call our limit.

Sometimes it is claimed that the epsilon-delta formulation provides the standard definition of convergence without the need to go to infinity. In the case of 0.999… and its ‘limit’ of 1 (or of 0.333… and its ‘limit’ of 1/3) the argument goes like this:

  1. We can choose an integer n so as to make the sum of the first n terms of the series (called the ‘partial sum’) closer to the limit than any given non-zero value.
  2. It follows that there is no number that can be placed between the value of the series and the value of the limit, therefore they must be the same value.

In point (1) the argument involves a process, but in point (2) the previous point about a process is interpreted as saying something meaningful about static values. For this argument to hold, we have to accept that decimals can have ‘infinitely many’ digits and these ‘infinite decimals’ do have a static/fixed value whilst at the same time not having any last term. The argument does not work without an actual infinity of terms.

The limit concept’s reliance on actual infinities has been disguised by the use of well chosen words. However, it is still true that the limit argument requires an actual infinity of non-zero digits/terms, otherwise there would exist a position at which the epsilon-delta argument would fail. So if the concept of infinitely many non-zero terms leads to contradiction then the concept of limits is flawed.

Consider a line of length 1. At the same time this length can also be considered to be two lengths of 0.5 connected with no length between them. At the same time it can also be considered to be the lengths 0.4, 0.09, 0.009, 0.001 and 0.5 all with no lengths between them. The question is can it also be considered to be the lengths 0.4, 0.09, 0.009, 0.0009… {infinitely many parts} followed by 0.5? In other words, this scenario examines whether or not 0.4999… can exist as a static value with infinitely many digits.

Since there is no length between any of the parts, the trailing 0.5 length must connect to a part before it. Thus the ‘infinitely many’ parts must have a ‘last part’. This forms a contradiction because infinitely many parts requires there to be no last part. Also, if we count the parts from left to right starting with the 0.4 length as ‘part 1’, then when we reach the final length of 0.5 we should have counted infinitely many parts. As these are all static lengths with no lengths between them there must exist a position where the count changes from a finite value to an infinite value. The idea that a finite value + 1 can be an infinite value also forms a contradiction.

So here we have shown that the concept of infinitely many parts leads to contradiction. This is reinforced by ARGUMENT 7 in which we saw that algebraically the concept of ‘infinitely many’ terms cannot lead to equality between 0.999… and 1. Therefore we must conclude that the limit argument is invalid. It follows that the concept of ‘real numbers’ is invalid and so it cannot be used to claim 0.999… = 1.

CONCLUSION

It is true that 0.999… = 1 if the basis for equivalence is the constant part (k) of the expression for the sum to the nth term of the corresponding geometric series (k — krn). But this is not the default basis for equivalence when we ask the question “does 0.999… = 1”.

In terms of pros & cons, when the eight main arguments are examined individually all we seem to find are cons. There only appear to be three points on the pros side, all of which are ways in which a lay person can be deceived. Firstly, it is not immediately obvious to the average person what the flaw is in any given argument. Secondly, there are so many arguments that even if a person rejects one or two of them, there are a lot more to fall back on. Thirdly, the ‘real number / limits’ argument is extremely difficult for the lay person to refute. It is entwined with the complicated concepts of limits and real numbers, which have been accepted as being valid despite the fact that they lead to contradictions.

As we have shown, all of the usual arguments fail to prove 0.999… = 1. None of the usual arguments for 0.999… = 1 appear to be valid; indeed, after the flaws are removed, many of them appear to prove 0.999… cannot equal 1, especially where 0.999… is considered to be the sum of its parts.




























فایل قبلی که این فایل در ارتباط با آن توسط حسن خ ایجاد شده است