بسم الله الرحمن الرحیم

بحران‌های ریاضیات

بنیان‌های ریاضیات
بحران‌های ریاضیات
معضلات ریاضیات
فهرست علوم
فهرست مباحث ریاضیات
پارادوکس
جلسه دوم تاریخ ریاضیات-مقدمه بحران اول ریاضیات-کشف اعداد گنگ
جلسه سوم تاریخ ریاضیات-بحران اول ریاضیات-کشف اعداد گنگ
جلسه چهارم تاریخ ریاضیات-بحران دوم ریاضیات-هندسه های نااقلیدسی

Foundational crisis
Partial resolution of the crisis

آشنایی با تاریخ ریاضیات-هاورد-جلد دوم
برگردان با گوگل داک شده و دقیق نیست

۳۱۶ تجرید و گذر به قرن بیستم

۱۵-۷ تعارض در نظریه مجموعه‌ها

از مطالعه تاریخ ریاضیات از عهد یونان باستان تا زمان حاضر آشکار میشود که مبانی ریاضیات، سه بحران تکان دهنده را پشت سر گذاشته است، که در آنها، در هر مورد، بخشی وسیع از ریاضیات که تا آن زمان استوار به نظر می رسیده در معرض تردید قرار گرفته و به تجدید نظر فوری نیاز پیدا کرده است.
نخستين بحران در میانی ریاضیات در قرن پنجم ق. م. پیش آمد، و در واقع، چنین بحرانی نمی توانست پیشتر از آن رخ دهد، زیرا، همچنانکه دیده ایم ، ریاضیات به عنوان يك علم قیاسی زودتر از فسرن ششم ق.م.، شاید بد توسط تا لس، فیثاغورس و شاگردان آنها شروع نشده بود. این بحران با کشف نا منتظر این مطلب که همه کمیتهای هندسی همجنس با یکدیگر متوافق نیستند، به جلو انداخته شد؛ مثلا نشان داده شد که قطر و ضلع يك مربع هیچ مقیاس مشترکی ندارند. چون بسط فیثا غورسی کمیتها بر این اعتقاد راسخ شهودی که همه کمیتهای همجنس متوافق اند، بنا شده بود؛ این کشت که کمیتهای همجنس، نامتوافق هم می توانند باشند، بسیار مخرب از کار در آمد. به عنوان مثال، كل نظرية فيثاغورسی تناسب با همه تبعات آن می بایست به دلیل سست بنیادی به کناری گذاشته می شد. رفع این نخستین بحران در میانی ریاضیات نه به سادگی و نه به سرعت میسر بود. این مقصود سر انجام در حدود سال ۳۷۰ ق.م. توسط ائود و کسو س زبرك حاصل شد، که نظر به تجدید نظر یافته او دربار؛ کمیتها و تناسب، یکی از بزرگترین شاهکار های همه اعصار است. بررسی قابل توجه انو در کسوس از نامتوافقها را می توان در مقاله پنجم اصول اقلیدس یا فت؛ مطالعه و یا ساسة با شرح جدیدی که توسط ریشاد د دد گیند درسال ۱۸۷۲ از اعداد گویا داده شد، انطباق دارد. ما این نخستین بحران در مبانی ریاضیات را در بخش ۳-د، و چگونگی رفع آنرا توسط آئودوکسوس. در بخش ۵- د دیده ایم. این امکان کاملا موجود است که بحران مزبور عمدتا بر اثر فرم لیندی و پذیرش روش اصل موضوعی در ریاضیات پیدا شده باشد.
دومین بحران درمیانی ریاضیات پس از کشة حسابان توسط نیوتن ولایبنیتز در اواخر قرن هفدهم پیش آمد". دیدیم که چگونه جانشینان این دو تن، سر مست از قدرت و کار پذیری این ابزار جدیدی از استحکام بدقدر کفایت پایه ای که این موضوع بر آن بنا شده بود غافل ماندند، به طوری که به جای داشتن بر اهینی که نتایج را موجه نماید، نتایج را برای توجیه براهین بدکار گرفتند. با گذشت زمان تناقضها و پارادوکسهای روز افزون پیش آمد، و بحرانی جدی در مبانی ریاضیات آشكار گردید. این نکته بیشتر و بیشتر تشخيص داده شد که بنای آنالیز خا ندای به روی شن است و سرانجام در اوایل قرن نوزدهم ، کو شی اولین گامها را در جهت حل این بحران، با گذاشتن روش دقیق حدود به جای روش مبهم بينها بست کوچکها، بر داشت، با به اصطلاح حسابیدن آناليز که توسط وایر شتر اس و پیروانش در قدم بعد انجام شد. این احساس به وجود آمد که بر دومین بحران درمیانی آناليز غليه حاصل شده است، وكل ساختار ریاضیات از مشکل رها و بر پا یدای عاری از اشکال قرار داده شده است. ریشه و نحوه رفع این دومین بحران در مبانی ریاضیات موضوع بخش ۱۴-۹ بود.
* پیش اخطارهای این بحران را می توان در پارادوکسهای مشهور زنون به حدود ۴۵۰ ق.م. مشاهده کرد.

و
تعارض در نخرية مجمو عهها ۳۱۷
سومین بحران در مبانی ریاضیات به طور غیر متر قیدای در سال ۱۸۹۷ متجسم شد، وی
گر چند اکنون قدمتی بیش از نصف قرن دارد، هنوز به نحوی که رضایت همه افراد ذیعلاقه را فراهم آورد، حل نشده است. این بحران با کشف پارادوکسها با تعارضاتی در حاشیه نظریۂ عام مجموعه ها منسوب به کانتور، پدیدار شد. چون مفاهیم مجموعه تداخل زیادی در قسمت اعظم ریاضیات دارد، و به همین دلیل، می توان در واقع آن را پایه ای برای ریاضیات قرار داد، کشف پارادوکسهایی در نظریه مجموعه ها طبیعت در اعتبار تمامیت ساختار بنیادی ریاضیات سایه تردید می افکند.
در سال ۱۸۹۷ ریاضیدان ایتالیائی، بورالی سه فورتی، اولین پارادوکس در نظر به مجموعه ها را به معرض توجه عموم در آورد. این پارادوکس به صورتی که در ذهن بورالی۔ فورتی بوده و توسط او بيان شده، متضمن اصطلاحات فنی و ایده هایی است که، در این بررسی محدود، جای بسط آن وجود ندارد. معهذا، جوهر این پارادوکس را می توان با يك توصیف غير فني از پا را دو کس کاملا مشابهی که دو سال بعد توسط کانتور پیدا شد، ارائه کرد. کانتور در نظر به مجموعه های خود موفق به اثبات این مطلب شد که به ازای هر عدد ترانسفيني مفروض همواره يك عدد ترانسفینی بزرگتر از آن وجود دارد. یعنی همانطور که بزرگترین عدد طبیعی موجود نیست ، بزرگترین عدد تسر انسفینی هم وجود ندارد. حال مجموعه ای را در نظر بگیرید که اعضای آن کلیه مجموعه های ممکن باشند. مطمئنا هیچ مجمو عدای نمی تواند اعضا یی بیش از این مجموعه کلیه مجموعه ها داشته باشد. ولی اگر چنین باشد چگونه يك عدد متعالی بزرگتر از عدد ترانسفینی این مجموعه می تواند وجود داشته باشد؟
و در حالی که پارادوکسهای بورالي - فور تسی و کانتور متضمن نتایجی از نظریه مجموعه داست، برتراند راسل در سال ۱۹۰۲ پارادوکسی کشف کرد که بد چیزی جز مفهوم صرف خود مجموعه بستگی ندارد. قبل از بیان پارادوکس راسل ، متذکر می شویم که مجموعدها با اعضای خود هستند یا اعضای خود نیستند. مثلا مجموعه همه ایده های مجردخود ایده مجردی است ، ولی مجموعه همه انسانها يك انسان نیست . همچنین ، مجموعه همه مجموعدها خود يك مجموعه است، ولی مجموعه کلیه ستارگان يك ستاره نیست. مجموعه کلیه مجموعه هایی را که اعضای خودشان هستند با M، و مجموعه كليه مجمو عدهایی را که اعضای خودشان نیستند با N نشان می دهیم. حال از خود می رسیم که آیا مجموعة N عضو خودش هست یا نیست. اگر N یکی از اعضای خودش باشد ، در این صورت N عضو M است و نه عضو N و N يك عضو خودش نیست. از طرف دیگر، اگر یکی از اعضای خود نباشد، آنگاه N یکی از اعضای N و نه M است ، وN يكي از اعضای خودش می باشد. پارادوکس از این حقیقت ناشی می شود که در هر حالت به يك تناقض می رسیم.
و صورت فشرده تر و دور از اطنا بي از پارادوکس راسل را می توان به شکل زیر ارائه | کرد. فرض کنید X مجموعه دلخواهی باشد. در این صورت بنا بر تعریف N،
1. Burali. Forti

۳۱۸ تجيد و گذر به قرن بیستم

(X¢X) ح (XeN) حال X را بگیرید، و به تناقض زیر برسید
.(N¢N ) ه (NeN) راسل این پارادوکس را طی نامه ای برای فر که فرستاد. این نامه درست بعد از آنکه فرگه آخرین جلد اثر عظیم دو جلدی خود در باره مبانی حساب را تکمیل کرده بود، به او رسید. فرگه در پایان کتاب خود با جملات متأ ثر کننده و کاملا" توأم با خویشتن داری زیر به این نامه اشاره کرد. « برای يك دانشمند هیچ چیزی نامطبوعتر از آن نیست که به محض اتمام کاری مبنای آن را در حال فروپاشی بییند. نامه ای از آقای برتراند راسل در زمانی که کتاب تقریبا آماده سپردن به چاپخانه بود، مرا در چنین وضعی قرارداده است.» حاصل زحمات ده سال یا بیشتر، همین بود.
و به پارادوکس راسل به شکلهای مختلف جته عامیانه داده شده است. یکی از مشهورترین شکلهای آن توسط خود راسل در سال ۱۹۱۹ داده شد و به گر فتاری آرایشگری در يك دهکده معین مربوط می شود که مبنای کار خود را بر این گذارده که فقط و فقط صورت آن علم از اهالی دهکده را بتراشد که خود صورت خود را نمی تر اشند. ماهیت پارادوکسی وضعیت این شخص وقتی تشخیص داده می شود که بخواهیم به سؤال زیر پاسخ دهیم، « آیا این آرایشگر صورت خود را خود می تراشد يا نه؟» اگر وی صورت خود را بتراشد، در این صورت مطا بق اصل اعلام شده از طرف خود، نباید این کار را انجام دهد، اگر وی صورتش را خود نتراشد، در این صورت مطابق اصلی خود باید این کار را انجام دهد.
از زمان کشف تناقضهای بالا در بطن نظريه كا نتوری مجموعدها ، پارادوکسهای فراوان دیگری به وجود آمده اند. این پارادوکسهای جدید نظر به مجموعه ها به چندین پارادوکس قدیمی در منطق مر بوط می شوند. مثلا" نکته زیر به اثر بو لیدی مربوط به قرن چهارم ق.م. نسبت داده می شود، « چیزی که الان می گویم نادرست است.» اگر گفته آئو بو لیدس در ست باشد، آنگاه بنا بر گفته خود او، این گفته باید نادرست باشد. از طرف دیگر، اگر گفته آئو بو لیدس نادرست باشد، در این صورت نتیجه می شود که گفته او باید درست باشد. بدین ترتیب گفته آئو بو لیدس نمی تواند بی آنکه موجب تناقضی شود نه درست و نه نا درست باشد. پارادوکسی منسوب به اپیمنیدس، که در صحت انتساب آن به اپیمنیدس جای تردید است، شاید قدیمیتر از پارادوکس اوبو لیدس باشد. اپیمنیدس که خود فیلسوفی از اهالی کرت۳ در قرن ششم ق.م. بود، گویا چنین گفته است که «اهالی کرت همیشه دروغ می گویند».از تحلیل ساده این گفته آشکار می شود که این نیز ناقض خود است. با وجود پارادوکسهایی در نظریه مجموعه ها، نظير پارادوکسهای بالا، به وضوح آشکار می کنند که کار از جایی عیب دارد. از زمان کشف آنها، نوشته های زیادی در باره این موضوع منتشر، و کوششهای متعددی در جهت رفع آنها پیشنهاد شده است.
3. Crete
menides
1. Eubulides

تمارض در نظر به مجموعهها ۳۱۹

دو تا آنجا که به ریاضیات مربوط می شود، راه مفری برای این وضع موجود است. تنها لازم است که نظریه مجموعه ها را بر يك پايه اصل موضوعي با محدودیتی کافی بنا کرد تا چنین تعارضهایی در احکام آن طرد شوند. چنین کوششی برای اولین بار توسط تسرملو در سال ۱۹۰۸ انجام شد، و تنقيحهای بعدی آن توسط فرانکل۱ (۱۹۷۲-۱۹۲۵)، اسکو لم (۱۹۲۲، ۱۹۲۹)، فون نويمان (۱۹۲۳-۱۹۲۸)، بر نیس (۱۹۳۷-۱۹۴۸)، و دیگران به عمل آمده است . اما چنین روشهایی با عنوان اینکه هدف آنها صر في اجتناب از این پارادوکسهاست، مورد انتقاد قرار گرفته است؛ این روش مطمئنة توضیحی راجع به این پارادوکسها نمی دهد. وانگهی در این روش تضمینی نیست که انواع دیگری از پارادوکسها در آینده رخ ندهند.
روش دیگری وجود دارد که ظاهرا هم این پارادوکسهارا توضیح می دهد و هم از آنها بر کنار می ماند. در صورت امتحان دقیق، مشاهده می شود که هر يك از پارادوکسهای مورد بحث در بالا متضمن مجموعه ای مانند S و عضوی ما نند m از S است که تعریف آن به S بستگی دارد. چنین تعريفها بی غیر اسنادی نامیده می شوند، و تعريفهای غیر اسنادی به يك معنی دوری اند. برای مثال، پارادوکس آرایشگر راسل را در نظر بگیرید. فرض کنید کهm معرف آرایشگر و S معرف مجموعه کلیه اعضای دهکده آرایشگر باشد. در این صورت nt به طور غیر اسنادی چنین تعریف می شود «آن عضو ک که فقط و فقط صورت آن اعضای
را می تراشد که صورت خود را نمی تراشند». ماهیت دوری بودن این تعریف آشکار است . تعرین آرایشگر اعضای دهکده را شامل می شود و خود آرایشگر یکی از اعضای این دهکده است. و پوانکاره علت این تناقضها در احکام را در تعريفهای غیر اسنادی می دانست، و راسل همین نظر را در اصل دور فاسد خود بیان کرد: هیچ مجموعه ای مانند S مجاز به داشتن اعضایی مانند m که تنها در قالب ك قا بل تعريف باشند، یا اعضا بی مانند m که متضمن کاند با پیشفرض أنها S است، نیست. این اصل معادل با تحديدی دره نهم مجموعه است. کانتور با بیان زير سعی کرده بود که بدمنهم مجموعه معنی عامتری بدهد: منظور ما از يك مجموعه S درگردابه ای است منتخب ازكل اشياء مجزا و معین مانند m که در شهود واندیشه ما وجود دارد: این اشياء m عناصر ک نامیده می شوند. نظر يسة مجمو عدهایی که بر مبنای مفهوم عام کانتور از مجموعه ساخته شود، همانطور که دیده ایم ، به تناقضهایی منجر می شود، ولی اگر مفهوم مجموعه بنا بر اصل دور فاسد محدود شود، نظریه حاصلی، دور از تعارضاتی است که بر ما معلوم اند، بدین ترتیب به نظر می رسد که منع تعريفهای غیر اسنادی راه حلی برای پارادوکسهای معلوم نظر به مجموعه ها باشد. من هذا، يك ايراد جدی بر این راه حل وارد است و آن این است که بخش هایی در ریاضیات وجود دارند، که ریاضیدانان اکراه زیاد از کنار گذاشتن آنها دارند و این بخشها حاوی تعر يفهای غیر اسنادی اند.
يك مثال از تعریف غیر استادی در ریاضیات، تعریف کو چكترین کران بالای بكمجموعة |
2. Skolem
1. Fraenkel

۳۲۰ تجر بد در گذير به قرن بیستم
نا تهی مفروض از اعداد حقیقی است - کوچکتر بن کر ان بالاي يك مجموعه مفروض ، کوچکترین عضو مجموعه کليه کر انتهای بالای مجمو عه مفروض است. موارد مشابه زیادی از تعریفهای غیر اسنادی در ربانیات موجود است، گر چه می توان با تدبیر بر بسیاری از آنها چيره شد. در سال ۱۹۹۸، درمان و ایلی در پی کشف این مطلب بر آمده که چه مقداری از آناليز را می توان از ریشه دستگاه اعداد حقیتی بدون استفاده از تعریفهای غیر اسنادی بنا کرد . گرچه وی در به دست آوردن قسمت قابل ملاحظه ای از آنالیز موفق شد ، در استخراج این قضیه مهم که هر مجموعه نامی از اعداد حقیقی با کران بالا، يک کوچکترین کر ان بالا دارد، موفقیتی حاصل نکرد.
کو شش های دیگری که برای رفع پارادوکسهای نظریه مجموعدها به عمل آمده اند، ناظر به یافتن مشکلات منطق هستند و باید پذیرفت که کشف این پارادوکسها در نظریه عام مجموعه ها زمینه را برای تفحص كامل درمانی منطق فراهم کرده است. یک پیشنهاد وسوسهانگیز برای دفع این پارادوکسها. شاید در استفاده از يك منطق سه ارزشی باشد. مثلا"، در پارادوکس راسل که در بالا داده شد، دیدیم که . «N عضوی از خودش است»، می تواند نه درست باشد و نه نادر است. در اینجا وجود يك امکان سوم، می تواند مفید باشد. با نشان دادن ارزش در سنی يك گزاره یا T، ارزش نادرستی آن با F، و يك ارزش سوم، که نه T ونه F است با ؟ (شاید به معنی ، غیرقابل تصميم) ، می توان مشکل را با رده بندی گسزاره اخير بدعنوان؟ بر طرف کرد. و سه فلسفه اسلی، با مکتب تفکر، در رابطه با مبانی ریاضیات پیدا شده است. به اصطلاح مكتب منطق گرا، مكتب شهودگرا، ومكتب صوری گرا. طبیعی است که هر فلسفه نوین مبانی ریاضیات باید، بدنحوی، با بحران کنونی درمیانی ریاضیات مقابله کند . در بخش آتی بدطور مختصر این سه مکتب فکری را مورد بررسی قرار داده و متذکر خواهیم شد که چگونه هر يك از اينها راهی برای مواجهه با تعارضهای نظریۂ عام مجموعدها در پیش پا می گذارد.
۸ - ۱۵ فلسفههای ریاضیات بك فلسفه را می توان توضیحی دانست که در صدد افادۂ معنی برای بی نظمی طبیعی مجموعه ای از تجارب بر می آید. از این دیدگاه، امکان آن هست که تقریبا برای هر چیزی فلسفه ای داشته باشیم. فلسفه هنر، فلسفه زندگی، فلسفه مذهب، فلسفه آموزش، فلسفه جامعه، فلسفه تاریخ، فلسفه علوم، فلسفه ریاضیات، و حتی فلسفه خود فلسفه. بك فلسفه همان يك فرايند تهذيب و نظم دهی تجارب و ارزشهاست. فلسفه در جستجوی روابط بین اشیائی است که در حالت عادی شباهتی بین آنها متصور نیست، و در پی تفاوتهای مهم بین چیزهایی است که در حالت شادی یکسان تلقی می شوند؛ فلسفه بیان نظریه ای است در باب ماهیت چیزی. به ویژه، يك فلسفه ریاضیات اساسأ عبارت است از بازسازی مجدانهای که در آن به توده بی نظم معرفت
1. Hermann Weyl

فلسفه های ریاضیات
۳۲۱
ریاضی که طی سالیان متمادی برهم انباشته شده معنی یا نظم خاصی داده می شود. روشن است که فلسفه تابعی از زمان است، و فلسفۂ خاصی ممکن است با گذشت زمان منسوخ یا در پر تو تجارب اضافی تغییر یابد. ما در اینجا فقط به فلسفه های معاصر ریاضی می پردازیم - فلسفه هایی که ناظر بر پیشرفتهای اخیر در ریاضیات و بحران کنونی در این موضوع هستند.

آشنایی با تاریخ ریاضیات-هاورد-انگليسي--Eves H.W. - An introduction to the history of mathematics (1990, Saunders)
624 CHAPTER FIFTEEN / INTO THE TWENTIETH CENTURY

15-7 Antinomies of Set Theory
A study of the history of mathematics from Greek antiquity to the present
reveals that the foundations of mathematics have undergone three profoundly
disturbing crises wherein, in each instance, some sizable portion of
mathematics that had been thought established became suspect and in urgent need of
revision.
The first crisis in the foundations of mathematics arose in the fifth century
B.C.; indeed, such a crisis could not have occurred much earlier, for, as we
have seen, mathematics as a deductive study originated not earlier than the
sixth century B.C., perhaps with Thales, Pythagoras, and their pupils. The
crisis was precipitated by the unexpected discovery that not all geometrical
magnitudes of the same kind are commensurable with one another; it was
shown, for example, that the diagonal and side of a square contain no common
unit of measure. Since the Pythagorean development of magnitudes was built
upon the firm intuitive belief that all like magnitudes are commensurable, the
discovery that like magnitudes may be incommensurable proved to be highly
devastating. For instance, the entire Pythagorean theory of proportion with all
of its consequences had to be scrapped as unsound. The resolution of this first
crisis in the foundations of mathematics was neither easily nor quickly realized.
It was finally achieved about 370 B.C. by the brilliant Eudoxus, whose revised
theory of magnitude and proportion is one of the great mathematical
masterpieces of all time. Eudoxus' remarkable treatment of incommensurables may
be found in the fifth book of Euclid's Elements; it coincides essentially with the
modern exposition of irrational numbers that was given by Richard Dedekind in
1872. We considered this first crisis in the foundations of mathematics in
Section 3-5, and its resolution by Eudoxus in Section 5-5. It is quite possible that
this crisis is largely responsible for the subsequent formulation and adoption of
the axiomatic method in mathematics.
The second crisis in the foundations of mathematics followed the invention
of the calculus by Newton and Leibniz in the late seventeenth century.7 We
have seen how the successors of these men, intoxicated by the power and
applicability of the new tool, failed to consider sufficiently the solidity of the
base upon which the subject was founded, so that instead of having
demonstrations justify results, results were used to justify demonstrations. With the
passage of time, contradictions and paradoxes arose in increasing numbers, and a
serious crisis in the foundations of mathematics became evident. It was
realized more and more that the edifice of analysis was being built upon sand, and
7 Forewaraings of this crisis can be seen in the renowned paradoxes of Zeno of about 450 B.C.

15-7 / Antinomies of Set Theory 625
finally, in the early nineteenth century, Cauchy took the first steps toward
resolving the crisis by replacing the hazy method of infinitesimals by the precise
method of limits. With the subsequent so-called arithmetization of analysis by
Weierstrass and his followers, it was felt that the second crisis in the
foundations of mathematics had been overcome, and that the whole structure of
mathematics had been redeemed and placed upon an unimpeachable base. The
origin and resolution of this second crisis in the foundations of mathematics
constituted the subject matter of Section 14-9.
The third crisis in the foundations of mathematics materialized with
shocking suddenness in 1897, and, though now well over three-quarters of a century
old, is still not resolved to the satisfaction of all concerned. The crisis was
brought about by the discovery of paradoxes or antinomies in the fringe of
Cantor's general theory of sets. Since so much of mathematics is permeated
with set concepts and, for that matter, can actually be made to rest upon set
theory as a foundation, the discovery of paradoxes in set theory naturally cast
into doubt the validity of the whole foundational structure of mathematics.
In 1897, the Italian mathematician Burali-Forti brought to light the first
publicized paradox of set theory. As originally conceived and stated by Burali-
Forti, the paradox involves technical terms and ideas that, in our limited
treatment, we lack space to develop. The essence of the paradox can be given,
however, by a nontechnical description of a very similar paradox found by
Cantor two years later. In his theory of sets, Cantor had succeeded in proving
that for any given transfinite number there is always a greater transfinite
number, so that just as there is no greatest natural number, there also is no greatest
transfinite number. Now consider the set whose members are all possible sets.
Surely no set can have more members than this set of all sets. But if this is the
case, how can there be a transfinite number greater than the transfinite number
of this set?
Whereas the Burali-Forti and Cantor paradoxes involve results of set
theory, Bertrand Russell discovered in 1902 a paradox depending on nothing more
than just the concept of set itself. Before describing the Russell paradox, we
note that sets either are members of themselves or are not members of
themselves. Thus, the set of all abstract ideas is itself an abstract idea, but the set of
all men is not a man. Again, the set of all sets is itself a set, but the set of all
stars is not a star. Let us represent the set of all sets that are members of
themselves by M, and the set of all sets that are not members of themselves by
N. We now ask ourselves whether set N is or is not a member of itself. If N is a
member of itself, then N is a member of Μ and not of N, and N is not a member
of itself. On the other hand, if N is not a member of itself, then N is a member of
N and not of Μ, and N is a member of itself. The paradox lies in the fact that in
either case we are led to a contradiction.
A more compact and less wordy presentation of the Russell paradox may
be given as follows. Let X denote any set. Then, by the definition of N,
(iGiV)e(If X).

626 CHAPTER FIFTEEN / INTO THE TWENTIETH CENTURY
Now take X to be N, and we have the contradiction
(N G N) ^ (N £ N).
This paradox was communicated by Russell to Frege just after the latter
had completed the last volume of his great two-volume treatise on the
foundations of arithmetic. Frege acknowledged the communication at the end of his
treatise by the following pathetic and remarkably restrained sentences. "A
scientist can hardly meet with anything more undesirable than to have the
foundation give way just as the work is finished. In this position I was put by a
letter from Mr. Bertrand Russell as the work was nearly through the press."
Thus terminated the labor of a dozen or more years.
The Russell paradox has been popularized in many forms. One of the best
known of these forms was given by Russell himself in 1919 and concerns the
plight of the barber of a certain village who has enunciated the principle that he
shaves all those persons and only those persons of the village who do not shave
themselves. The paradoxical nature of this situation is realized when we try to
answer the question, "Does the barber shave himself?" If he does shave
himself, then he shouldn't according to his principle; if he doesn't shave himself,
then he should according to his principle.
Since the discovery of the above contradictions within Cantor's theory of
sets, additional paradoxes have been produced in abundance. These modern
paradoxes of set theory are related to several ancient paradoxes of logic. For
example, Eubulides, of the fourth century B.C., is credited with making the
remark, 'This statement I am now making is false." If Eubulides' statement is
true, then, by what it says, the statement must be false. On the other hand, if
Eubulides' statement is false, then it follows that his statement must be true.
Thus, Eubulides' statement can be neither true nor false without entailing a
contradiction. Still older than the Eubulides paradox may be the unauthenti-
cated Epimenides paradox. Epimenides, who himself was a Cretan philosopher
of the sixth century B.C., is claimed to have made the remark, "Cretans are
always liars." A simple analysis of this remark easily reveals that it, too, is self-
contradictory.
The existence of paradoxes in set theory, like those described above,
clearly indicates that something is wrong. Since their discovery, a great deal of
literature on the subject has appeared, and numerous attempts at a solution
have been offered.
So far as mathematics is concerned, there seems to be an easy way out.
One has merely to reconstruct set theory on an axiomatic basis sufficiently
restrictive to exclude the known antinomies. The first such attempt was made
by Zermelo in 1908, and subsequent refinements have been made by Fraenkel
(1922, 1925), Skolem (1922, 1929), von Neumann (1924, 1928), Bernays (1937-
1948), and others. But such a procedure has been criticized as merely avoiding
the paradoxes; certainly it does not explain them. Moreover, this procedure
carries no guarantee that other kinds of paradoxes will not crop up in the
future.

15-7 / Antinomies of Set Theory 627
There is another procedure that apparently both explains and avoids the
known paradoxes. If examined carefully, it will be seen that each of the
paradoxes considered above involves a set S and a member m of S whose definition
depends upon S. Such a definition is said to be impredicative, and impredicative
definitions are, in a sense, circular. Consider, for instance, Russell's barber
paradox. Let us designate the barber by m and the set of all members of the
barber's village by S. Then m is defined impredicatively as "that member of S
who shaves all those members and only those members of S who do not shave
themselves." The circular nature of this definition is evident—the definition of
the barber involves the members of the village and the barber himself is a
member of the village.
Poincare considered the cause of the antinomies to lie in impredicative
definitions, and Russell expressed the same view in his Vicious Circle
Principle: No set S is allowed to contain members m definable only in terms of S, or
members m involving or presupposing S. This principle amounts to a restriction
on the concept of set. Cantor had attempted to give the concept of set a very
general meaning by stating: By a set S we are to understand any collection into
a whole of definite and separate objects m of our intuition or our thought; these
objects m are called the elements of S. The theory of sets constructed on
Cantor's general concept of set leads, as we have seen, to contradictions, but if
the notion of set is restricted by the Vicious Circle Principle, the resulting
theory avoids the known antinomies. The outlawing of impredicative
definitions would appear, then, to be a solution to the known paradoxes of set
theory. There is, however, one serious objection to this solution; namely, there
are parts of mathematics that mathematicians are very reluctant to discard that
contain impredicative definitions.
An example of an impredicative definition in mathematics is that of the
least upper bound of a given nonempty set of real numbers—the least upper
bound of the given set is the smallest member of the set of all upper bounds of
the given set. There are many similar instances of impredicative definitions in
mathematics, though many of them can be circumvented. In 1918, Hermann
Weyl undertook to find out how much of analysis can be constructed
genetically from the natural number system without the use of impredicative
definitions. Although he succeeded in obtaining a considerable part of analysis, he
was unable to derive the important theorem that every nonempty set of real
numbers having an upper bound has a least upper bound.
Other attempts to solve the paradoxes of set theory look for the trouble in
logic, and it must be admitted that the discovery of the paradoxes in the general
theory of sets has brought about a thorough investigation of the foundations of
logic. Very intriguing is the suggestion that the way out of the difficulties of the
paradoxes may be through the use of a three-valued logic. For example, in the
Russell paradox given above, we saw that the statement, "N is a member of
itself," can be neither true nor false. Here a third possibility would be helpful.
Denoting truth quality of a proposition by Γ, false quality by F, and a third
quality, which is neither Τ nor F, by ? (meaning, perhaps, undecidable), the
situation would be saved if we could simply classify the statement as ?.

628 CHAPTER FIFTEEN / INTO THE TWENTIETH CENTURY
There have arisen three main philosophies, or schools of thought,
concerning the foundations of mathematics—the so-called logistic, intuitionist, and
formalist schools. Naturally, any modern philosophy of the foundations of
mathematics must, somehow or other, cope with the present crisis in the
foundations of mathematics. In the next section, we very briefly consider these
three schools of thought and point out how each proposes to deal with the
antinomies of general set theory.

15-8 Philosophies of Mathematics
A philosophy may be regarded as an explanation that attempts to make some
kind of sense out of the natural disorder of a set of experiences. From this point
of view, it is possible to have a philosophy of almost anything—a philosophy of
art, of life, of religion, of education, of society, of history, of science, of
mathematics, even of philosophy itself. A philosophy amounts to a process of
refining and ordering experiences and values; it seeks relations among things
that are normally felt to be disparate and finds important differences between
things normally considered as the same; it is the description of a theory

Irrational Numbers: discovery, crisis, and resolution
by
Julius Barbanel
Union College
October 5, 2009
4:30 pm
Bailey Hall 201
Refreshments will be served in Bailey 204 at 4:15
Abstract:
Pythagoras and his followers (who lived and worked about 2500 years ago) thought it obvious that any two line segments are commensurable, or, in other words, that given any two line segments, there is some third line segment that measures each. This assumption turns out to be equivalent to the statement "all real numbers are rational." Many ancient Greek geometric proofs used this assumption. When it was discovered that this assumption is false, it caused a major mathematical crisis. We shall explore the reasons why the Pythagoreans made this commensurability assumption, the discovery that it is false, the ensuing mathematical crisis, and the resolution of this crisis by Eudoxus.

Crises in foundations of mathematics
With an invitation from Ronald Mickens in 1987, Lin, along with Wendell Holladay (Vanderbilt University), Saunders Mac Lane (University of Chicago), John Polkinghorne (Cambridge, UK), and others, expressed his opinions[13] from the angle of systems research on Nobel laureate Eugene P. Wigner’s assertion about “the unreasonable effectiveness of mathematics.” Continuing this work, Lin[14] (with a colleague) addressed the problem of knowability of the physical world in 1997. Then in 2008 Lin guest edited a special volume of the international journal Kybernetes on the fourth crisis in the foundations of mathematics along with technical explanations on why the 2nd and the 3rd crises were not resolved as believed in history.[15][16]