بسم الله الرحمن الرحیم

معضلات ریاضیات

بخشی از جلسه اول تاریخ ریاضیات

ریاضیات در کلام علماء

به ذهنم آمد یک سفارشی از شیخ بهایی و یک فرمایشی از میرداماد رضوان الله علیهما عرض کنم.به شرف سیادت میرداماد اول کلام ایشان را می گویم.این ها معاصر بودند هر دو هم از اعجوبه های روزگار بودند.خب حالا جهت علمیت جای خودش، سیادت هم جای خودش.مرحوم سید میرداماد در قبسات یک جایی می خواهند بین دو تا جمله فرقش را بگویند من لا شیئ، لا من شیئ این را که توضیح می دهند می گویند اولئک آبائی فجئنی بمثلهم یعنی خودشان در آن مقام در این مطلب علمی که می گویند به سیادت خودشان افتخار می کنند.حالا ما هم شروع می کنیم از فرمایش این سید عزیز که در کتابی به نام الاعضالات.خود من که این ها را می گویم ببینید دارد نشان می دهد که علما چه طور بوده اند.این کارها را کرده اند.

یک جزوه کوتاه دارند مرحوم سید میرداماد الاعضالات.این الاعضالات ایشان در نرم افزار جامع فقه آمده و چاپ هم که شده در کتاب السبع الشداد ایشان.البته من هم داشتم هرچه گشتم پیدا نشد. ولی السبع الشداد و الاعضالات در جامع فقه آمده.بگویید الاعضالات چه ربطی دارد به فقه؟الاعضات 20 تا اعضال است 20 تا مشکل که ایشان جمع آوری کرده است.6تای اولش صبغه ریاضی دارد چندتا هم صبغه فلسفی و کلامی دارد.اواخرش هم صبغه فقه و اصول دارد فلذا چون فقه و اصول بوده است در جامع فقه آورده اند یکی هم در کتابخانه حکمت اسلامی.آن جا به صورت یک کتاب نیامده است -در جامع فقه به عنوان کتاب آمده است- باید بروید در ذیل مصنفات میرداماد همان جلد اولش یکی از رساله ها الاعضالات است.

الاعضال الاول میرداماد

در فدکیه هم در همین فهرست ریاضیات که عرض کردم در ذیل هندسه اگر نگاه کنید الاعضال الاول .من این شش اعضال اولی که صبغه ریاضی داشته این جا آورده ام.بعدا دیگر نقلیات مفصلی از خودشان از دیگران در همان صفحه آمده است.الاعضال الاول وارد شوید آخر صفحه هم بحث هایی که ما داشتیم در اصول اقلیدس جاهای دیگریادداشت هایی که بود زحمت کشیدند تایپ کردند آنجا آمده است.آن جا هم بحث های طلبگی است که به نظرم چیزهای خوبی آنجا مطرح شده است.حالا تا بعدا دسته بندی بشود..

پس این رساله ایشان الاعضالات یعنی چیزهایی که مهم بوده در نظر ایشان، این عالم بزرگ.

اعضال اول ایشان چیست؟تعبیر ایشان در اعضال اول این است که می فرمایند مصنفات میرداماد در نرم افزار کتابخانه حکمت اسلامی صفحه 267 کتاب چهارم الاعضالات بعد از مقدمه می فرمایند ما این عویصات را یک جا جمع آوری کردیم.ولی ممکن است جواب ندهیم جوابش را ارجاع می دهیم به کتاب های دیگرمان.چه رساله قشنگی است.خیلی هم کوتاه است

20 تا اعضال را مطرح کردند که این ها برای کسی که می خواهد کار علمی کند فکر برده است معضل است.روی این ها که فکر کنید در علمیت دارید قوی می شوید.یک رساله کوتاه و خیلی خوب.اولیش این است که من عبارت ایشان را خودتان بعدا نگاه می کنید من به صورت خلاصه وار اشاره می کنم.

اعضال اول این است که «قد برهن اقلیدس فی خامس عشر ثالثه الاصول علی ان»اصول اقلیدس یکی از کتاب های مرجع بسیار مهم است که بعدا اصلا یک فصلی می خواهم راجع به این کتاب و اهمیتش عرض کنم. آدرس می دهند که اقلیدس مبرهن کرده است در «خامس عشر ثالثه الاصول»مقاله ثالثه شکل پانزدهم در آن جا ثابت کرده است که ما مباحثه اصول اقلیدس که داشتیم ضبط هم شده است این جا هم رسیدیم چندین روز طول کشید همین اعضال ایشان را من مطرح کردم و بحثش کردیم.آن هایی که بحث کردیم در فدکیه آمده است فایل های مباحثه هم هست.«على أنّ زاوية حدبة الدائرة والخطّ المماسّ إياها أصغر من كلّ حادّة مستقيمة الخطين»شما یک فرض بسیار ساده که همه با آن آشنایند.یک دایره در نظر بگیرید یک خطی بر آن مماس کنید.یک زاویه درست می شود زاویه ای متشکل از یک خط مستقیم و یک خط منحنی.یکیش قوس است یکیش خط مستقیم.این زاویه یک اعجوبه ای، یک دستگاهی به پا می کند در ریاضیات،از فکرهایی که در طول تاریخ برای همین چیز ساده به پا شده است.

آن هایی که مشتق و انتگرال و این ها می دانند خود نیوتن به مشتق و انتگرال و این ها از راه مکانیک، محاسبه سرعت لحظه ای رسید.ولی لایب نیتش که همراه او انتگرال و مشتق را کشف کرد از راه همین خط مماس به این دست یافت.علی ای حال این طور که از سابق یادم هست.یعنی این خط مماس یکی از چیزهایی که هست جزء لا یتجزی.می گویند اقلیدس ثابت کرده است ما کوچک ترین زاویه حاده داریم.خط مماس بر دایره.از هر زاویه مستقیمه الخطین که تا بی نهایت کوچکش کنیم این از همه آن ها کوچک تر است. جزء لا یتجزایِ مجسم.می گویید جزء لا یتجزی نداریم؟می گویند این است؛ جلوی رویتان است.اقلیدس هم برهان ریاضی برایش آورده است که این کوچک ترین زاویه حاده است.خب حالا این کوچک ترین،جزء لا یتجزی را ثابت می کند؟ این جای خودش.با آن یادداشت هایی که من دارم آخر کارش می گوید:اتفاقا این دارد می گوید جزء لا یتجزی نداریم.برعکس درست است با تحلیل دقیقش.

25:37

حالا خب میرداماد چه می فرماید؟می فرمایند که این زاویه متشکل از یک قوس ویک خط مستقیم که خط مماس بر دایره است که زاویه بسیار کوچکی است شما اگر بیایید این زاویه متشکل از خط مستقیم و خط منحنی را مدام بازش کنید یعنی یک دایره در نظر بگیرید با خط مماس بر آن، اگر بخواهید این زاویه بازتر شود خب شعاع دایره را کمتر می کنید. باز یک دایره ی مماس آن جا رسم می کنید.دایره ای در دل آن دایره بزرگتر، اما مماس در همان نقطه.خب زاویه ای که آن دایره ی داخلی دارد باز خط مستقیم است باز یک خطّ منحنی است ولی خطّ منحنی ای که زیر آن خط منحنیِ دایره ی قبلی است.شما با کم کردن شعاع آن دایره ی اولی و دوایری که مماسند در همان نقطه، در دل دایره ی اولی بی نهایت دایره های کوچک می توانید فرض بگیرید که دائماً دارد قوسشان باز می شود. یعنی دهنه زاویه حدبیه، زاویه متشکل از خط مستقیم و منحنی، دارد باز می شود تا بی نهایت راه دارد که شما شعاع را کوچک کنید، دوایر هم باز شود از یک طرف.

از طرف دیگر زاویه مستقیمه الخطین. شما یک زاویه حاده را در نظر بگیرید می توانید نصفش کنید. باز می توانید نصف کنید تا بی نهایت.شما هر زاویه مستقیمه الخطین را می توانید تا بی نهایت کوچکش کنید.راه دارد.این هم برهانی است این دو تا چیز برهانی.

سید در اعضال اول فرمودند که این با اصول اولیه شان متعارض است.اول اقلیدس می گوید این زاویه از هر زاویه حاده مستقیمه الخطین کوچک تر است.شما این زاویه ای که از هر زاویه مستقیمه الخطین کوچک تر است، این را دارید بزرگش می کنید؛ تا بی نهایت دارید بازش می کنید.چون دایره ها دارد کوچک می شود. از آن طرف زاویه مستقیمه الخطین را تا بی نهایت کوچکش می کنید از این طرف تا بی نهایت بزرگ می شود از آن طرف هم زاویه تا بی نهایت مستقیمه الخطین کوچک می شود.در عین حال زاویه مستقیمه الخطینی که تا بی نهایت کوچک شده است باز بزرگ تر است از زاویه ای که تا بی نهایت بزرگ شده است.این نمی شود.هر چیز کوچک تری وقتی به آن اضافه کنید از معادل خودش جلو می زند ولی تا بی نهایت جلو نخواهد زد.این اعضال اول است.حالا اگر الان هم بیان من کمی مبهم بود مراجعه می کنید حل می شود.اصل عرض را گفتم.این اعضال اول که به عنوان یک معضل می گویند بعد می گویند من این جا جوابش را نمی گویم.یک جوابی از خواجه نقل می کنند «ظن ظان» اشاره می کنند به حرف خواجه بعد می گویند نه این ها جواب نشد.یعنی جواب خواجه را نمی پسندند در فرمایش خودشان و من در ذیل همان صفحه بررسی کرده ام که ایشان چه می خواهند بگویند خواجه چه گفته اندو بحث ها به کجا می رسد.خب این به عنوان تیمن و تبرک از کتاب الاعضالات مرحوم میرداماد.شما اگر همین اعضال اول را فکرش کنید ببینید ده ها مسئله را باید قبلش یاد بگیرید فکر کنید که خود این اعضال مسیری شد برای شما که چه قدر چیز یاد گرفتید.حالا چند تا اعضال بعدش دارند که بماند.حلش هم تا اندازه ای که ما ممکنمان بوده و هم چنین حرف خواجه و حرف خود میرداماد در صفحه آمده است.صفحه بزرگ و مفصلی است.نقل های مختلف از سایر مصنفات میرداماد هر چه ممکنم بوده است جمع آوری کردم.شما هم هر چه برخورد کردید بگذارید در صفحه که برای خودتان و دیگران بماند ان شاء الله.

کلام شیخ بهایی

خب دوم از شیخ بهایی.شیخ بهایی در کتاب خلاصه الحسابشان یک خاتمه ای دارند خیلی جالب.انصافاً آدم این ها را می بیند، باید این ها بیاید در دست ها ذکر شود کار علما آن هم در زمانی که این طور در علوم ریاضی پیشرفت شده است.ببینید چه زمینه هایی از قدیم برای ما فراهم بوده است و کم کاری کردیم.ایشان خاتمه ای دارند این خاتمه مربوط به بحث ما و معضلات می شد.نکاتی را می گویند تا هفت معضل هم مطرح می کنند بعد می گویند:«و اعلم ایها الاخ العزیز الطالب لنفائس المطالب»آخر خلاصه الحسابشان سفارش می کنند که این مطالب ریاض را به هر کسی نگویید.اهلش را پیدا کنید.خب زمان ایشان هم همین طور بوده است.اما زمان ما این سفارش ایشان تفاوتی دارد.قیودی دارد.از بس که این علوم پیشرفت کرده است.در دبستان دارند.واقعا در کلاس های دبستان ما چیزهایی می خوانند که حاصل کار سال ها نوابغ ریاضی است.بچه خودش نمی فهمد اما دارند به او یاد می دهند.چون این طور تعلیمات گسترده شده است نصیحت ایشان هم به جای خودش باقی است فقط رنگش تفاوت کرده است حوزه هایش تفاوت کرده است.

خودتان مراجعه کنید متن خلاصه الحساب هم در فدکیه هست.می فرماید^: «قد أوردت لك في هذه الرّسالة الوجيزة ...من نفايس عرايس قوانين الحساب تا آن جا که فاعرف قدرها و لاترخّص مهرها...تا اینجا لا تبذلها لكثيف الطبع من الطّلاب لئلا یکون معلّقا كالدّر في أعناق الكلاب»خیلی عجیب است.کسی که این ها را اهلش نباشد و بخواهد یادبگیرد مثل گردنبند یاقوتی است که به گردن سگ بیندازند خیلی درکی که شیخ از این ها دارند، ظرافت کاری هایی در آن هست که شما بحمد الله...لذا می گویند :«حرىّ بالصّيانة و الكتمان حقيق بالاستتار عن اكثر اهل هذا الزمان فاحفظ وصيّتي اليك و الله حفيظ عليك»این وصیت ایشان نکاتی در بردارد.باید سرجایش بررسی شود.فقط تذکر دادم که سرنخی باشد.

معضلات ریاضی

اما ابتدای خاتمه همین بحثی که شما فرمودید فرق معضل با بحران چیست ایشان معضلات را که مطرح می کند مثل اعضالات میرداماد.می گوید:«خاتمه قد وقع للحكماء الراسخين في هذا الفن مسائل»زیر کلمه مسائل خط بکشید.مسائل امروز می گویند .problems خود عرب ها می گویند مسئله مسائل. مرحوم شیخ هم مسائل تعبیر کردند لذا می گویند که:«انا اورد فی هذه الرساله سبعه منها»لغت problems که در درانگلیسی به کار می برند صرفا به معنای مسئله نیست که ما در فارسی می گوییم.مسئله در فارسی گاهی یک بارِ مشکلی در آن هست. معضلی که میرداماد به کار بردند خیلی قشنگ است.پیشنهاد من این است که problems را که این ها ترجمه می کنند بگویند معضلات نه مسائل.بله ما مسئله را در فارسی به معنای چیز مشکل هم به کار می بریم.می گوییم این جا برای ما یک مسئله شده است.حتی به معنای بحران و معضل به کار می بریم.اما خود کلمه فی حد نفسه در تبادر بدویش شامل آن معنای مشکل نیست.تعجب است که عرب ها هم همین طور است می گویند مسائل، مسائل هیلبرت مثلاً، مسائل اسمیل،مسائل الالفیه،این معضلات ریاضی.

خود مرحوم شیخ ببینید الان«قد وقع للحکماء الراسخین مسائل»حکمای راسخین در ریاضیات معضلاتی برایشان پیش آمده«صرفوا في حلّها افكارهم و وجّهوا الي استخراجها انظارهم و توصّلوا الي كشف نقابها بكل حيلة و توسّلوا الي رفع حجابها بكل وسيله فما استطاعوا اليها سبيلا»خودشان را کشته اند.تعبیر خودکشی را حاج آقای حسن زاده زیاد به کار می بردند.خودکشی می کردند در این ها ولی نتوانستند حل کنند:«و لا وجدوا عليها مرشدا و دليلا فهى باقية علي عدم الإنحلال من قديم الزمان »از قدیم این ها مانده حل نشده است«و مستصعبة علي سائر الاذهان الي هذا الآن»تا این جا که من این را برایتان می نوشتم مستصعب است نتوانستند حل کنند.«و قد ذكر علماء هذا الفنّ بعضها في مصنّفاتهم و أوردوا شطراً منها في مؤلّفاتهم تحقيقاً لإشتمال هذا الفن علي المستصعبات الآبيات و إقحاماً لمن يدّعى عدم العجز في الحسابيات»خیلی قشنگ است.بعضی می گویند در حساب که دیگر عجز معنا ندارد برو جلو.می گویند نه این ها را آوردند که چرا عجز نیست در حسابیات؟ هم عجز است درنگ است در جازدن است معضل است. پیش می آید « و تحذيراً للمحاسبين من التزام الجواب...»می گویند زود خیالتان نرسد به جواب رسیده اید.خودکشی کردندو جوابش را نیافتند.شما یک وقت غره نشوید لذا بعد می گویند دیگر عبارات را می اندازم.می گویند من هفت تا از آن معضلات را در این جا می آورم به عنوان خاتمه کتاب خودم.

پس در یک کلمه شیخ بهایی هفت تا مسائل ریاضی.مسئله یعنی چه؟مسئله، نه یعنی مسئله .مسئله یعنیproblem یعنی مشکل یعنی معضل آوردند که این ها حل نشده است.السابعه بعد از این که الان جالب است ايشان هفت تا انتخاب کردند در زمان ما هم در سال 2000 برای هفت معضل ریاضی جایزه تعیین کردند.Millennium Prize Problems

در رفرنس ها هست .PrizeProblems جایزه معضلات هزاره یعنی سال 2000 شده.بشر این همه کار ریاضی کرده است.مشکلاتی داریم که هنوز به قول ایشان حل نشده است.یاالله بیایید جایزه تعیین می کنیم برای کسی که این ها را حل کند.الان بااین عنوان در عربی هم دارند.مسائل الالفیه.ما می گوییم جایزه مسائل هزاره در فارسیش.این هفت تاست.یکیش حل شده است.کسی که حل کرد جایزه را نگرفت این طور در نظرم هست.

شاگرد:ظاهرا روسیه ای بود

استاد:نمی دانم.شاید

علی ای حال یکیش حل شده است 6 تایش مانده است.که این ها معضلات است.ایشان، شیخ فرمودند. ببینید خلاصه الحساب ما یک نماینده است برای این که ختم کرده است خلاصه الحساب را با شکستن غرور ریاضی.ریاضیات خیلی عالی است اما غرور آور نبایست باشد.باید عملاً ببینید که معضلاتی داریم که خودکشی کردند و حل نشده است.حالا ببینید تا چه زمانی حل بشود یا نشود.

در ابتدای قرن بیستم هم هیلبرت 22 تا مسئله ریاضی مطرح کرد برای این که این ها حل شود.Hilbert's problems.طی قرن بیستم این ها مطرح بود.این اواخر هم .نمی دانم 1990 80 این ها اسمیل 1314 تا معضلات مطرح کرد که آن ها هم چندتایش حل شده است.منظور این است که این ها را می گوییم معضلات.