بسم الله الرحمن الرحیم

إعضال أول در رساله اعضالات میر داماد-زاویه حدبیة

فهرست هندسه
فهرست علوم
فهرست مباحث ریاضیات
کتابشناسي ریاضیات




نرم افزار کتابخانه حکمت اسلامي
مصنفات مير داماد، النص، ص: 267
مصنّفات مير داماد
(4) الإعضالات‏
بسم اللّه الرحمن الرحيم و الاعتصام بالعزيز العليم بعد الحمد للّه و الصلاة على عباده المصطفين. فيا ولدي الروحانىّ و يا حبيبى العقلانىّ، يا شرف آل خاتون، و يا من هو بقريحته الشاهقة الملكوتيّة لكلّ علم غامض قانون. رقاك اللّه إلى قصيا المعارج في النشأتين، و لقّاك نضرة العيش على قصوى المدارج في العالمين. أقرّ اللّه أعيننا بمشاهدة جمالك، و سقانا كأسا دهاقا من رحيق وصالك.
لا تلهينّ سرّك اللطيف عن التدبّر في هذه الإعضالات العويصة التي كسائر نظائرها من العويصات الداهية السّاجية و المعضلات السّاحية السّاطية في فنون العلوم و أفانين الصّناعات، كان فلّ وفدتها و حلّ عقدتها أمرا مرهونا في الأعصار و الدّهور بزمننا و شيئا مضمونا للأفهام و العقول من قبلنا. و اللّه سبحانه قد يسّرنا للفصية عنها و القول الفصل فيها بجميل منّه و إكرامه و جزيل فضله و إنعامه. ذلك فضل اللّه يؤتيه من يشاء، و اللّه ذو الفضل العظيم.

الإعضال الأوّل (زاوية حدبة الدائرة و الخط المماسّ إيّاها)
قد برهن أقليدس في خامس عشر ثالثة «الأصول» على أنّ زاوية حدبة الدائرة و



مصنفات مير داماد، النص، ص: 268
الخطّ المماسّ إياها أصغر من كلّ حادّة مستقيمة الخطين. و يلزم من ذلك أن تكون زاوية ما حدبيّة بعينها من تلك الحدبيّات تتعاظم إلى غير نهاية بتصاغر الدائرة المماسّ لها ذلك الخط لا إلى نهاية و تتصاغر حادّة ما بعينها من تلك الحوادّ المستقيمة الخطين إلى غير نهاية بخطوط مستقيمة بين ضلعيها لا إلى نهاية. و مع ذلك، فأبدا تكون تلك المتعاظمة أصغر من هذه المتصاغرة. و ذلك خلف باطل بما من الأصول الموضوعة، و بما في اوّل عاشرة «الأصول».
فإن وقع في ذهن ذاهن ما من الذاهنين و ظنّ ظانّ ما من الظانّين في سبيل الخروج عن مضيق التعضيل أنّ ما من العلوم المتعارفة و الأصول الموضوعة هو أن كلّ مقدارين محدودين من جنس واحد، فإنّ الأصغر منهما يصير بالتضاعف و التزايد مرّة بعد أخرى أعظم من الأعظم. و الزاويتان المستقيمة الضلعين و المختلفة الضّلعين من مستقيم و مستدير ليستا من جنس واحد؛ فليشعر أنه إذا لم تكن المختلفة الضلعين من جنس المستقيمتاهما لم يصحّ الحكم بأنّها أصغر منها.
فيبطل حكم خامس عشر ثالثة «كتاب أقليدس».
و بالجملة مهما تصحّحت المفاضلة بين مقدارين محدودين و صحّ الحكم على أحدهما بأنه أصغر من الآخر، نهض العلم المتعارف أو الأصل لموضوع بالحكم على الأصغر منهما بأنه يصير بالتزيّد مرّة بعد أخرى أعظم من الأعظم.
و نحن بفضل اللّه العلىّ العظيم، قد أسّسنا في كتاب «الصراط المستقيم» و في كتاب «تقويم الإيمان» أساسا تفتكّ به هذه العقدة، و بسطنا القول فيه في رسالة «جيب الزاوية»، و في رسالة «التشابه و التناسب». و الحمد للّه ربّ العالمين على فضله العظيم و منّه القديم.

الإعضال الثاني (نسبة الكرة إلى الكرة و حكمها)
قد برهن أقليدس في خامس عشر ثانية عشر «الأصول»، على أنّ نسبة الكرة إلى الكرة كنسبة القطر إلى القطر مثلّثة بالتكرير بأنّ نسبة القطر إلى القطر مثلّثة إن لم تكن كنسبة الكرة إلى الكرة. فلا محالة تكون إمّا كنسبة إحدى كرتى ذينك القطرين إلى كرة



مصنفات مير داماد، النص، ص: 269
أخرى أعظم من صاحبتها. و إمّا كنسبتها إلى كرة أخرى أصغر منها. فأبطل الشقّين.
ثمّ قال: فالحكم ثابت. و ذلك باطل، بما تحقّق في العلوم الفلسفيّة: إنّ الاستقامة و الاستدارة و كذلك مراتب الاستدارات فصول منوّعة، لا عوارض مصنّفة. فالكرتان أو الدائرتان المتخالفتا الانحداب لا مناوعة بينهما. فإذن لا نسبة بينهما أصلا، لا بالتساوى و لا بالتفاضل. و طرفا التّرديد في الشقّين غير حاصرين.
قال الحكيم الطوسىّ، نوّر سرّه القدّوسي، في «التحرير»: و هذا أعظم شكّ يرد على ما في «كتاب اقليدس».

الإعضال الثالث (نسبة المحيط و القطر و مقدارها)
قد بيّن أرشميدس و غيره كون نسبة المحيط و القطر نسبة ثلاثة أمثال و سبع تقريبا، بأنّها إن لم تكن تلك النسبة فتكون إمّا أعظم منها و إمّا أصغر. و هما مستبينا البطلان بأشكال هندسيّة. و على ذلك من الشكّ ما على ما في «كتاب اقليدس».

الإعضال الرابع (جيب نصف سدس الدور و حكمه)
قد تقرّر فى جدول الجيب في «المجسطى» البطلميوسىّ و غيره من المجسطيّات و الزيجات: أنّ جيب نصف سدس الدور، و هو ثلاثون درجة، مساو لقوسه، و يلزم منه مساواة المستقيم و المستدير، و هو باطل.
و ما به تفصّى الفاضل البيرجندىّ و غيره عن ذلك: «بأنّ ذاك هو الجيب الموضوع لا الحقيقىّ، فلا يلزم تلك المساواة»، غير مجد رادّة يعبأ بها. إذ إنّما الخلف المحال مساواة المستقيم للمستدير و تساوى الجيب و القوس إنّما استحالته من تلك الجهة، لا من حيث خصوصيّته الجيبيّة و القوسيّة. و في مساواة الجيب الموضوع لقوسه ذلك الخلف المحال مستمرّ على حاله.
ثمّ إنّ هذا الجيب الموضوع المساوى لقسميه جيب حقيقىّ لا محالة، لقوس أخرى. و كذلك بقاعدة الأربعة المتناسبة من الثلاثة المعلومة منها. و هي هاهنا



مصنفات مير داماد، النص، ص: 270
الجيب الموضوع لثلاثين درجة و ثلاثون درجة، و الجيب الحقيقىّ لثلاثين درجة المستخرج أيضا من تلك القاعدة يستخرج الرابع المجهول، و هو هاهنا قوس تكون نسبة الجيب الموضوع لثلاثين درجة قوسيّة إلى تلك الثلاثين درجة كنسبة الجيب الحقيقىّ للثلاثين درجة إلى تلك القوس. فتلزم المساواة الباطلة. و لكن لا بين جيب و قوس، بل بين قوس نصف سدس الدّور و جيبها الموضوع. و كذلك بين الجيب الحقيقىّ لقوس نصف سدس الدّور و قوس أخرى ليس ذاك جيبها.
و بقوّة ما نحن أوردنا في كتابنا «التقويمات و التصحيحات» ينحلّ عقد التّشكيك في هذه الإعضالات الثلاثة. و قد أوضحنا سبيله في رسالتينا المذكورتين. و الحمد للّه واهب العقل و مفيض الرحمة إزاء لفضله و رحمته.

الإعضال الخامس (مبصران معا و إبصارهما يمكن أم لا)
قد بيّن أقليدس في أوّل و أشكال كتاب «المناظر» أنّه ليس يبصر مبصران معا دفعة واحدة بالقصد الأول من ذلك: إمّا أن لا يرى شي‏ء بالقصد الأول، فيلزم أن لا يرى أيضا شي‏ء بالقصد الثاني أصلا. إذ من المستبين أنه لا ما بالعرض أو لا ما بالذّات أصلا؛ و إمّا أن يكون ما يرى بالقصد الأوّل من المتحيّزات بالذّات غير قابل للانقسام في شي‏ء من الجهات أصلا، و لا بالقسمة الوهميّة و الفرضيّة، فيلزم الجزء الذي لا يتجزّى. و هذا الشكّ قد أوردنا حلّه في رسالتنا المعمولة في مباحث لما في «ابطال الجزء»، و الحمد للّه سبحانه.

الإعضال السّادس (مقدار اليوم و ليله دورة تامّة من معدّل النهار)
إنّه قد استبان في علم الهيأة: أنّ مقدار اليوم بليلته دورة تامّة من أدوار معدّل النهار مع مطالع ما سارته الشمس بحركتها الخاصّة في تلك الدّورة، و أنّ مقدار النهار هو ما دار من المعدّل من حين طلوع نقطة منه حين إذ يطلع مركز الشمس إلى حين غروب تلك النقطة مع مغارب ما سارته الشمس بحركتها الخاصّة في تلك المدّة. و مقدار اللّيل‏



مصنفات مير داماد، النص، ص: 271
هو ما دار من المعدّل من حين غروب نقطة منه، إذ يغرب مركز الشمس إلى حين طلوع تلك النقطة مع مطالع ما سارته الشمس بحركتها الخاصّة في تلك المدّة.
و يلزم من ذلك: إمّا تساوى مطالع ما سارته الشمس بمقوّمها النّهاريّ و مغاربه، و إمّا كون مقدار بعينه مقسوم قسمين مخالفا لمقدارى قسميه. فيكون مقدار القسمين لا كمقدار مجموعهما. و الأخير بيّن الاستحالة و الأول ممتنع في الآفاق المائلة، مبرهن على امتناعه في الأفق المائلة في علم الهيأة حيث تبرهن أنّ كلّ قوس فإنّ مطالعها في كلّ أفق مائل مخالفة لمطالع نظيرة تلك القوس في ذلك الأفق بعينه. و كذلك مغاربها لمغارب النظيرة، و أنّ مطالع كلّ قوس في كلّ أفق، استوائيا كان أو مائلا، كمغارب نظيرة تلك القوس في ذلك الأفق بعينه. فمطالع كلّ قوس في كلّ أفق مائل كمغارب نظيرتها المخالفة لمغاربها، فتكون لا كمغاربها بتّة. و هذا الإعضال قد انفكّت عقدته بما قد حققنا في رسالة «قوس النهار». و الحمد للّه وحده حقّ حمده.

الإعضال السّابع (المعلول مع تحقّق العلّة متصاعد إلى الجاعل الحقّ)
من المستبين أنّه ليس يتصوّر انعدام المعلول مع تحقّق علّته التامّة، و أنّ لكلّ معلول بعينه علّة تامّة واحدة بعينها. و كذلك لعلّته التامّة المعيّنة أيضا علّة تامّة واحدة بعينهما. و هكذا متصاعدة في السلسلة الطولية إلى الجاعل الواحد الأحد الحقّ من كلّ جهة، جلّ سلطانه و علا نوره و برهانه. فإذن لا يسوغ أن يزول شي‏ء ما من الأشياء الموجودة أصلا. و إلّا لزم: إمّا زوال معلول ما مع بقاء علّته التامّة بعينها، و إمّا انعدام تلك السلسلة الطولية المرتبة المتراقية إلى جناب الجاعل التام الواحد البسيط الأحد القدّوس الحقّ من كلّ جهة، تعالى اللّه عن ذلك علوّا كبيرا. و هذا الإعضال قد يسّرنا اللّه سبحانه لحلّ عقده و فكّ عقدته في كتاب «خلسة الملكوت». و الحمد للّه ربّ العالمين حق حمده.

الإعضال الثامن (العلة المعدّة و مادّة المعلول)














مصنفات مير داماد، النص، ص: 482
المساق الثّانية
التّرعة الثّانية من المساق الأوّل من كتاب الصراط المستقيم‏
في أنحاء الحدوث الزّمانيّ و تحقيق القول فيها و ما يترتّب على الفحص عنها و كشف غطاء الخفاء عن محيىّ الحقّ في غوامض حكميّة ترتبط بمسائل الحركة و تلتصق بالمباحث الزّمانيّة.
فصل (1) في أنحاء الحدوث الزّمانىّ و تحقيق ما عليه الشي‏ء فيها و ما يناط بالفحص عنها على سبيل قول تحصيليّ.
إشارة
لعلّ النّظر التّحقيقيّ لا يسع إلّا أن نقول، على سياق ما قاله الشّيخ في «الشفاء» و غيره:
....


مصنفات مير داماد، النص، ص: 488
عقدة و حلول‏
أسمعت ما يعدّ من عويصات الشكوك و مستصعبات الأوهام: أنّه قد برهن أقليدس الصّورى (276 ظ) في خامس عشر المقالة الأولى من «اصول الهندسة» على أنّ الزّاوية الرالمسهدسه من الدّائرة و الخطّ المماسّ لها حدّ من كلّ زاوية مادّة مستقيمة الخطّين، فلا محالة تكون الزّاوية الحادثة من منطقة الدائرة و مقعّرها أعظم من جميع الزوايا الحادّة المستقيمة الخطّين، لما بيّنه اقليدس في ذلك الفصل أيضا و لأنّها تتمّم الزّاوية الأولى من قائمة، إذ الخطّ الخارج من نقطة التماسّ إلى مركز الدّائرة عمل على الخطّ المماسّ، كما برهن عليه في تلك المقالة.
و يلزم من ذلك أنّه يشترك القطر من طرف المركز أدنى طرف مع ثبات نقطة التماسّ تصير (277 ب) الزاوية الحادثة من القطر و الدائرة بعد الحركة أعظم من قائمة من غير أن تصير مثل القائمة، لأنّ أيّ قدر يتحرّك القطر ينضاف إلى تلك الزّاوية زاوية مستقيمة الخطّين، و هي أعظم من الزاوية الحاصلة من الدّائرة و الخطّ المماسّ التي كانت متمّمة للزاوية الحاصلة من الدّائرة و القطر من قائمة، فيكون مجموعها أعظم من قائمة، فيلزم أن يصير المقدار الصغير بالحركة أعظم من المقدار الكبير من غير أن يصير مساويا له. و هذا هو الطفرة.
و يلوح الأمر من النّظر في دائرة ب ج د (278 ظ) على قطر د، و الخطّ المماسّ لها أ ب ه و خطّ ب د منطبقا تارة على قطريه و مفترقا عنه أخرى بالحركة من جانب‏



مصنفات مير داماد، النص، ص: 489
المركز مع ثبات طرفه المنطبق على ب نقطة التماسّ و بقاء قطر ب ح على ما كان.
ثمّ هل أصغيت إلى الّذي يقول «1»، و هو ممّن قد يستطيل على أهل صقع التحصيل؛ و هذا الإشكال ممّا لم يصل إلينا من أحد من الفضلاء و الأذكياء حلّه.
و أقول: قد تحقق عند المحققين: أنّ الزاوية من الكيفيّات المختصّة بالكميّات، و ليس كمّا بالذّات، بل الكم بالذّات هو السّطح الّذي هو معروض الزّاوية؛ و لا شك أنّ السّطح (278 ب) الصّغير في هذه الصّورة لا يصير أعظم من الكبير إلّا بعد أن يساويه، و أمّا الزّاوية القائمة فكيفيّة مخصوصة لا توجد في هذه الحركة، كما أنّه لا توجد الصّفرة في الحركة من الفستقيّة إلى السّواد لا البياض، و في الطّعوم لا توجد في الحركة من الحموضة إلى الحلاوة المرارة.
و الحاصل: أنّ الطفرة إنّما تلزم لو كان المقدار الأصغر قد زاد على المقدار الأكبر من غير أن يساويه، و المقدار هو السّطح، و هو لا يزيد على السّطح الأعظم منه إلّا بعد أن يساويه.
و أمّا الزاوية فليست مقدارا بالذّات، بل هي من الكيفيّات العارضة للسّطح (279 ظ)، و لا يلزم تحقّق جميع الكيفيّات في جميع الحركات الكيفيّة. و لا يستشعر أنّ الكيفيّات المختصّة بالكميّات تتصف بالمساواة و المفاوتة حسب اتّصاف الكميّات الّتي هي محالّها. نعم لا يكون ذلك لها بالذّات. فاختلافها بالعظم و الصّغر أو مساواتها يستلزم اختلاف كميّات هى معروضاتها أو مساواتها، و بالعكس، بل هو ذلك بعينه منسوبا إليها بالعرض لعلاقة المقارنة.
فكما أن السّطح الناقص عن آخر لا يزيد عليه بالحركة و التّدريج الّا بعد المساواة، كما استيقنته، فكذلك الكيفيّة المختصّة به الموصوفة بالمساواة و المفاوتة (279 ظ) بالعرض و التّبعيّة لا تزيد على كيفيّة أخرى ناقصة عنها إلّا بعد البلوغ إلى مساواتها.
و الكميّة و الكيفيّة المتكمّمة بالعرض، سبيلهما في ذلك واحد.
ثمّ أ ليس السّطح المتوسّط بين السّطحين المعروضين لهيئتى الحدّة و الانفراج هو السّطح المعروض لهيأته القائمة. فإذ يبلغ السّطح الواقع في الدائرة إلى مساواة سطح القائمة، هل يعرى عن إحاطة الخطّين الغير المفارقين إيّاه و لا يكاد يتوهمّه ذو غريزة



مصنفات مير داماد، النص، ص: 490
العقل أصلا أو لم يعر، فيلزم أن تعرضه الهيأة التي هي القائمة قطعا، و هو ممتنع هناك.
فالذهاب إلى الكيفيّة لا ينجى، بل لا يجدى أصلا. (280 ظ) على أنّ الرّياضيّين يجعلون الزّاوية من مقولة الكم، و الإشكال عليهم و الصّفرة غير متوسّطة بين الفستقيّة و السّواد، و لا واقعة في مسلك الانتقال من البياض إلى السواد من طريق الفستقيّة، فإنّ لذلك الانتقال مسالك شتّى و في كلّ متوسّطات و في السّلوك إنّما يجب البلوغ إلى المتوسّط لا غير، فلا يقاس عليها حال القائمة المتوسّطة بين الحادّة و المنفرجة.
تنوير و حلّ‏
أ ليس من المستبين لديك أنّ الطفرة إنّما هى ترك حدّ من حدود ما فيه الحركة و نيل حدّ آخر منها بالحركة التدريجيّة من دون البلوغ إلى حدّ يتوسّطهما. فاذا انضمّ إلى مقدار ما (280 ب) مقدارا انضماما ما تدريجيّا من غير أن ينضمّ إليه أوّلا ما هو أقلّ من ذلك المقدار هناك طفرة. و أمّا إذا فارق الشّى‏ء مقدارا و نال مقدارا آخر عظيما، لا على سبيل التّدرّج، فلا يلزمه أن يكون ذلك من بعد البلوغ إلى ما هو أقلّ منه، فإنّه إنّما يرجع إلى انعدام فرد من المقدار و حدوث فرد آخر عظيم من كتم العدم ابتداء.
و هو لا يستوجب أن يكون ذلك مسبوقا بحدوث ما هو أصغر منه.
و أما استبان لك ممّا تأسّس أنّه إذا تحرّك خطّ عن الانطباق على خطّ آخر مع ثبات انطباق أحر طرفيه على أحد طرفي ذلك الآخر يحدث بينهما زاوية لا على التّدرّج (281 ظ)، بل حدوثا زمانيّا في نفس مجموع الزّمان الّذي هو بعد آخر آنات الانطباق و لا يكون لها آن أوّل الحدوث.
فإذن قد اكشف عليك أنّ زاوية القطر و المحيط ليست تتعاظم على التّدريج إلى أن تصير منفرجة، بل تحدث المنفرجة في جميع زمان حركة القطر مرّة واحدة، لا على أن يختصّ ابتداء حدوثها بآن، إذ الحادّة المستقيمة الخطّين الحادثة بين القطر المتحرّك و القطر المفروض ثابتا تحدث كذلك و تنضمّ إلى زاوية القطر و المحيط انضماما لا على التّدريج، بل مرّة واحدة في نفس ذلك الزّمان و كلّ آن مفروض (281 ب) فيه.
فلا طفرة فى تلك الأعظميّة الحادثة مع الحركة التوسّطيّة للقطر و بسببها، فإنّها تتوقّف في تحقّقها على تحقّق حركة ما قطعيّة، لا بأن تنطبق على قدر ما منها أصلا. فإذن قد



مصنفات مير داماد، النص، ص: 491
تحقّق الأمر، سواء كانت الزّاوية من الكميّات أو من الكيفيّات المختصّة بها، فليحقّق.
تشكيك و تنظيم‏
و لعلّك تعود فتقول: زاوية أ ب ح الحاصلة من القطر و ب ح ج المقاطع للدائرة أصغر من زاوية القطر و المحيط. لوقوع أحد ضلعيها، و هو ب ح ج، بين ضلع ا ب، المشترك بينهما و بين قوس ب ح الضلع الآخر لزاوية القطر و المحيط.
فإذا فرضنا حركة ب ح ج مع ثبات نقطة ب منه (282 ظ) منطبقا على نقطة التّماسّ إلى جهة ح ب إلى أن ينطبق على ب ه الخطّ المماسّ بقرب نقطة ح موضع تقاطع خطّ ب ح ج و الدائرة شيئا فشيئا إلى نقطة ب محلّ تماسّ الدائرة و خطّ ه ب إلى أن تتبدّل إلى نقطة التماسّ و تنطبق على ب، فتعظم زاوية أ ب ح يسيرا يسيرا إلى أن تصير قائمة من دون البلوغ إلى مساواة زاوية القطر و المحيط «1»، فإنّ ب ح ج ما دام مقاطعا للدائرة تكون تلك الزّاوية أصغر من هذه. و إذا انتقل من التقاطع إلى التماسّ صارت هى أعظم منها، فقد صار الأصغر من مقدار أعظم منه بالتّدريج على سبيل الانطباق (282 ب) على الحركة القطعيّة من غير أن يساويه.
ثمّ إنّ زاوية ه ب ح زاوية تماسّ خط ه ب، و الدّائرة و إن كانت أحدّ من جميع الزّوايا الحادّة المستقيمة الخطّين، لكنّها من المقادير القابلة الانقسام إلى غير النّهاية و إن لم يمكن انقسامها بوقوع خطّ مستقيم بين ضلعيها.
و حين انتقال خطّ ب ح ج من مقاطعة الدائرة إلى مماسّتها تنضاف زاوية التّماسّ القابلة للانقسام إلى غير النهاية الى زاوية ا ب ح دفعة واحدة من دون أن تتضاف إليها أوّلا بعض من تلك الزاوية، مع أنّ ذلك الانضياف واقع على حدّ من حدود الحركة القطعيّة لخط ب ح ج و إنّما نتحصل على التدريج. (283 ظ)



مصنفات مير داماد، النص، ص: 492
فيقال لك: أ ليس زاوية القطر و المحيط، لها اعتباران، اعتبار أنّها سطح و اعتبار أنّها أحيطت بمستقيم و مستدير. و هى إنّما تقع في طريق تلك الحركة بالاعتبار الأوّل فقط دون الاعتبار الثاني، و ذلك لأنّ شيئا من الزوايا المستقيمة الخطين لا يمكن أن تساوى زاوية مختلفة الضلعين.
و كذلك العكس، فإنّه إذا طبق الضلع المستقيم من المستقيمة الضّلعين على المستقيم من مختلفهما، فإمّا أن يقع المستقيم الآخر بين المختلفين أو خارجا عنهما، إذ لا يمكن أن ينطبق المستقيم على المستدير، فلا تنطبق المستقيمة الضّلعين إلى ما هى مختلفتهما. و بالجملة تخلف حقيقة الزّاوية من جهة اختلاف الضّلعين باستقامتهما معا و كون أحدهما مستقيما «283 ب) و الآخر مستديرا، لكون المستقيم و المستدير مختلفين بالماهية النوعيّة، و شى‏ء من أفراد أحد المقدارين المختلفين بالماهيّة لا يقع في طريق الحركة في الآخر.
فالمتزايد بحسب المقدار الخطّي بالحركة مثلا لا يساوي في شي‏ء من المراتب مقدارا ما سطحيّا و لا بالعكس. و كذلك المتزايد في السّطح بالحركة لا يبلغ في شي‏ء من حدود الحركة إلى مساواة جسم ما و لا العكس.
فكلّ فرد من أحد نوعي الزاويتين اذا تحرك ضلعه و صار أكبر إنّما يبلغ بالتّدريج إلى مساواة جميع الأفراد المتوسّطة في القدر بين المبدأ و المنتهى من ذلك النّوع، و هي الّتي تكون واقعة في مسلك تلك (284 ظ) الحركة. و لا يمكن أن يبلغ إلى مساواة شى‏ء من أفراد النّوع الآخر و لا تكون تلك الأفراد واقعة في مسلك تلك الحركة و لا متوسّطة بين المبدأ و المنتهى.
فإذن، ليس يلزم مساواة الزاوية التي هي مستقيمة ضلعى ا ب ح من حيث إحاطة المستقيمين بها في شى‏ء من مراتب التّدريج لزاوية الفطر و المحيط من حيث احاطة مستقيم و مستدير بها.
يعم يلزم مساواتها لها من حيث كونهما سطحين مع عزل النظر عن ملاحظة الحيثيّة. و كذلك زاوية التّماسّ من خارج الدائرة إنّما تنضاف إلى زاوية ا ب ح المستقيمة الضلعين (284 ب) دفعة واحدة من حيث إنّها محاطة بمحيط الدّائرة و المستقيم المماسّ لها. و أمّا سطحها مع قطع النظر عن تلك الحيثيّة فإنّما ينضمّ إلى‏



مصنفات مير داماد، النص، ص: 493
سطح هذه شيئا فشيئا، إذ كلّما تقرب نقطة التّقاطع إلى نقطة التّماسّ ينضمّ شى‏ء من ذلك السطح إلى هذا السّطح.
و هكذا، إلى أن ينتفى التقاطع، فتنضمّ زاوية التّماسّ المحاطة بالمختلفين من تلك الحيثيّة إلى تلك المستقيمة الضّلعين دفعة، فتصير تلك أعظم من زاوية القطر و المحيط الغير الواقعة من تلك الحيثيّة في مسافة الحركة. و لا حرج في ارتكابه، فليتدبّر.
تذكار







شرح كتاب القبسات، متن، ص: 347
احمد بن زين العابدين العلوى--داماد میر داماد و نوه دختری محقق کرکی‏
[146/ 9] قال: و فصّلنا القول فيه ...
افيد: و من عجائب الأعاجيب أنّ شريف المقلّدين اذ كان في «1» سبيل التحصيل هنالك في غفول مستطير، اغتيل وهمه بهذا التشكيك المغالطي، فحسبه حجّة يحتجّ بها، فزعم في حواشى شرح حكمة العين: «أنّ الأعمّ من الأعمّ من الشي‏ء قد لا يكون أعمّ من ذلك الشي‏ء، و ذلك لأنّ الجنس أعمّ من الحيوان، و الحيوان أعمّ من الانسان و من زيد مثلا، و الجنس ليس أعمّ من الانسان و من زيد»، هذا كلامه، فمن ذلك فليتعجّب المتعجّبون.

أقول: نظير هذا قد وقع عن الشارح القوشجي في بحث الميل من كتاب التجريد حيث قال: «و الجواب أنّه لو سلّم لزوم التعادل فليكن في آن الوصول»، الى آخره. و كتب حاشية فيها يفهم من الشرطية بقوله: «فيه اشارة الى أنّه يمكن منع لزوم التعادل بأن يقال لم لا يجوز أن ينتقل المغلوب من المغلوبية الى الغالبية من غير تخلّل التعادل، كما أنّ الزاوية تصير منفرجة بعد ما كانت حادّة من غير أن تصير قائمة، فانّ قطر الدائرة اذا اخرج عن موضع تقاطعه مع محيط الدائرة خطّ في سطحها و حرّك ذلك الخطّ في ذلك السطح على وجه لا يزول طرفه الذي على المخرج عنه الى ان ينطبق على القطر و يفارقه، فانّ احدى الزاويتين اللتين بين ذلك الخطّ و محيط الدائرة يتعاظم، و يكون حادّة ما لم ينطبق على القطر، و في حال الانطباق تصير حادّة. فاذا فارق القطر بعد الانطباق تصير منفرجة من غير أن تصير قائمة»، انتهى.

و انّما قلنا: «ان هذا نظير ذاك» حيث انّ هذا شبهة لها جواب، و قد جعلها دليلا، و



شرح كتاب القبسات، متن، ص: 348
سند المنع لزوم التعادل؛ كما/ 83 AP/ عمله الشريف المحقّق، حيث جعل التشكيك المغالطى حجّة و برهانا. فجدير بنا لو تصدّينا لتقرير تلك الشبهة و حلّها على ما افيد و لقد استغاب ما افيد.

فنقول: انّه قد برهن اقليدس الصوري في خامس عشر المقالة الثالثة من اصول الهندسة على أنّ الزاوية الحادثة من الدائرة و الخطّ المماسّ لها أحدّ من كلّ زاوية حادّة مستقيمة الخطّين، فلا محالة تكون الزاوية الحادثة المستقيمة الخطّين لما بيّنه اقليدس في ذلك الشكل أيضا، و لأنّها تتم الزاوية الأولى من قائمة، اذ الخطّ الخارج من نقطة التماسّ الى مركز الدائرة عمود على الخطّ المماسّ كما برهن عليه في هذه المقالة. و يلزم من ذلك أنّه إذا حرّك القطر من طرف المركز أدنى حركة مع ثبات نقطة التماسّ تصير الزاوية الحادثة من القطر، و الدائرة بعد الحركة أعظم من قائمة من غير أن تصير مثل القائمة؛ لأنّ أىّ قدر يتحرّك القطر ينضاف الى تلك الزاوية زاوية مستقيمة الخطّين، هي أعظم من الزاوية الحاصلة من الدائرة و الخطّ المماسّ الّتي كانت متمّمة للزاوية الحاصلة من الدائرة و القطر من قائمة، فيكون مجموعهما أعظم من قائمة، فيلزم أن تصير المقدار الصغير بالحركة أعظم من المقدار الكبير، من غير أن يصير مساويا له، و هذا هو الطفرة.

هذا تقرير الشبهة؛ أمّا حلّها: فهو أنّ الطفرة انّما هي ترك حدّ من حدود ما فيه الحركة و نيل حدّ آخر منها بالحركة التدريجية من دون البلوغ الى حدّ يتوسّطهما؛ فاذا انضمّ الى مقدار ما مقدار انضماما تدريجيا من غير أن ينضمّ اليه أوّلا، و ما هو أقلّ من ذلك المقدار كانت هنالك طفرة، و أمّا اذا فارق الشي‏ء مقدارا و نال مقدارا آخر عظيما لا على سبيل التدرّج فلا يلزمه أن يكون ذلك من بعد البلوغ الى ما هو أقلّ منه، فانّه انّما يرجع الى انعدام فرد من المقدار و حدوث فرد آخر عظيم من كتم العدم ابتداء، و هو لا يستوجب أن يكون ذلك مسبوقا بحدوث ما هو أصغر منه. أما استبان لك أنّه اذا تحرّك خطّ عن الانطباق على خطّ آخر مع ثبات انطباق أحد طرفيه على أحد طرفى ذلك الآخر تحدث بينهما زاوية



شرح كتاب القبسات، متن، ص: 349
لا على التدرّج، بل حدوثا زمانيا في نفس مجموع الزمان الذي هو بعد آخر آنات الانطباق، و لا يكون لها آن أوّل الحدوث؛ فاذن قد انكشف عليك أنّ زاوية القطر و المحيط ليست تتعاظم على التدريج الى أن تصير منفرجة،/ 83 BP/ بل تحدث المنفرجة في جميع زمان حركة القطر مرّة واحدة، لا على أن يختصّ ابتداء حدوثها بآن، اذ الحادّة المستقيمة الخطّين الحادثة بين القطر المتحرّك و القطر المفروض ثابتا تحدث كذلك و تنضمّ الى زاوية القطر و المحيط انضماما لا على التدريج، بل مرّة واحدة في نفس ذلك الزمان و كلّ آن مفروض فيه، فلا طفرة في تلك الأعظمية الحادثة مع الحركة التوسّطية للقطر و بسببها، فانّها تتوقّف في تحقّقها على تحقّق حركة ما قطعية، لا بأن تنطبق على قدر زمانها أصلا.

فقد انكشف عليك أنّ ذلك تشكيك مغالطيّ، و قد ظنّ ذلك الشارح أنّه دليل و برهان، حيث جعله سندا لما أورده من المنع على محاذاة ما عليه الشريف المحقّق في حمل الأعمّ على الأخصّ، فليدرك!











تقويم الايمان و شرحه كشف الحقائق، كشف‏الحقائق، ص: 625
احمد بن زين العابدين العلوى‏--داماد میر داماد و نوه دختری محقق کرکی
[95] قال: «الجنس القريب»
أقول: يريد بذلك ردّ «1» ما عليه بعض الأجلّاء المحقّقين من كون «2» المعتبر في التناسب المشاركة «3» في الجنس القريب. «4»
وجه الردّ: انّ التناوع هو تكافؤ الحقيقتين النوعيّتين «5» في درجة واحدة نظرا «6» إلى ما هو جنس لهما- سواء كان قريبا أو بعيدا «7»- و ليس المراد «8» منه هاهنا إجراء التناسب بين المستقيم و المستدير بما هما متشاركان في مقدار و مساحة «9» مع قطع النظر عن خصوصية الاستقامة و الاستدارة ليصحّ بذلك جريان المساواة و اللامساواة «10» من هذه الحيثية ليندفع به إشكال: «أنّه لا نسبة بين المقدار المستقيم و المستدير فكيف يصحّ الحكم بينهما بالمساواة أو المفاوتة؟» و الحاصل: انّ الحكيم الطوسي قد أورد هذا الإيراد «11» على برهان سلكه أقليدس في خامس عشر ثانية عشر الاصول في أنّ نسبة الكرة إلى الكرة نسبة القطر إلى القطر مثلّثة بالتكرير. «12»
بيان ذلك: انّ قطر كرة إذا كان نصف قطر كرة اخرى يكون نسبة مساحة تلك الكرة إلى مساحة هذه الكرة نسبة ثمن مقدار الشي‏ء إلى ذلك الشي‏ء؛ حيث إنّه نصف نصف نصف الشي‏ء، و كذلك إذا كان قطر كرة ثلث قطر كرة يكون نسبة تلك الكرة إلى هذه‏



تقويم الايمان و شرحه كشف الحقائق، كشف‏الحقائق، ص: 626
الكرة نسبة جزء من أجزاء سبعة و عشرين إليه؛ و ذلك لأنّ تلك المساحة الصغيرة يكون ثلث ثلث ثلث مساحة الكرة الكبيرة.
فإن قلت: إنّ نسبة القطر بستّة خطّ مستقيم إلى مثله و نسبة الكرة إلى الكرة نسبة سطح غير مستدير إلى مثله؛ فما وجه الإشكال؟
قلت: كما انّ المستدير يباين المستقيم كذلك يكون مستدير مباينا لمستدير إذا كان أعظم انحدابا.
و بالجملة: انّ مراتب الاستدارات بما لها من الانحداب يكون متفاوتة متخالفة بالنوع فكيف يصحّ نسبة كرة صغرى إلى كرة عظمى مع أنّ انحدابها أكثر من انحدابها يكون ثمنا لها أو جزءا من سبعة و عشرين جزءا و هكذا؟
و غاية ما يمكن أن يقال في جواب هذا الإشكال هو: «1» انّ النسبة بين المقدارين إمّا بالتناسب «2» و إمّا بالتشابه «3»؛ و انتفاء الأوّل في «4» المستقيم و المستدير فكذلك في «5» المستديرات المتخالفة «6» الانحداب «7» لا يستلزم انتفاء الثاني، «8» و كون نسبة القطر إلى القطر بالتناسب- سواء كان بالمساواة أو بالزيادة و النقصان- لا ينافي كون التشابه و التشاكل في مساحة كرة بالقياس إلى كرة كما صحّ «9» أن يكون ربعان من دايرتين متفاوتين صغرا و عظما «10» متشابهين على أن يكون نسبة كلّ واحد «11» منهما في دايرته إليها كنسبة الآخر في دايرته «12» إليها. «13»
و بما استنار سرّك القدسي بهذه الأنوار ارتفعت عنه ظلمات الإعضالات التي بعضها


تقويم الايمان و شرحه كشف الحقائق، كشف‏الحقائق، ص: 627
فوق بعض «1» في الآفاق و الأعصار؛ و لمّا كانت تلك الإعضالات مذكورة في تلك الرسالة القدسية بأجمعها فلم نتعرّض لذكرها هاهنا. «2»








الحكمة المتعالية فى الاسفار العقلية الاربعة، ج‏5، ص: 52
شبهة أخرى يلزم منها طفرة الزاوية
و هي عقدة عسيرة الانحلال و إشكال‏ صعب الزوال مبناها على وجوب الاتصال في المقادير و ما يحصل منها كالزوايا و الأشكال.
تقريرها أن الزاوية المسطحة مقدار سطحي بين خطين يلتقيان على نقطة أو كيفية عارضة للسطح من الجهة المذكورة على اختلاف مذهبي الرياضيين و غيرهم فيها و على أي تقدير لا خلاف بين الحكماء في قبول القسمة بغير نهاية في الجهة التي بين الضلعين.
و الزاوية قد تكون متفقة الخطين مستقيمتهما أو مستديرتهما سواء وقع تحديباهما و تقعيراهما من جهة واحدة أو كل منهما في جهة أخرى مقابلة للجهة التي للآخر و هو أعم من أن يكون جانب التحديب منهما موضع الملاقاة أو جانب التقعير بشرط أن لا يصيرا في شي‏ء من هذه الصور متحدين في الوضع بحيث ينطبق عليهما جميعا خط واحد و إلا لم يكن بينهما زاوية.

و قد تكون مختلفة الخطين و هي إما أن يكون بحيث وقعت حدبة خطها المستدير إلى الداخل كزاوية حدثت من خط مستقيم بدائرة من خارج أو إلى الخارج كما إذا حدثت من تقاطع قطر الدائرة و محيطها فالأولى مما برهن أقليدس في كتابه- بالشكل الخامس عشر من المقالة الثالثة منه على أنها أحد من جميع الجواد المستقيمة الخطين و الثانية أعظم من جميع تلك الجواد.

فإذا تقرر هذا نقول إذا فرضنا خطا منطبقا على الخط المماس تحرك إلى جهة الدائرة مع ثبات نقطة التماس منه حركة ما فأي قدر يتحرك يحصل زاوية مستقيمة الخطين أعظم من الزاوية المذكورة من دون أن يصير أولا مثلها و هذا هو الطفرة بعينها في الحركة و كذا إذا فرضنا حركة القطر أدنى حركة مع ثبات أحد طرفيه تصير تلك الزاوية منفرجة من غير أن يصير أولا مثل القائمة لازدياد ما هو أزيد مما نقصت هي به عن القائمة عليها و كذا إذا فرضنا رجوع كل من الخطين المذكورين إلى موضعه‏



الحكمة المتعالية فى الاسفار العقلية الاربعة، ج‏5، ص: 53
الأول يلزم المحذور المذكور.

و استصعب كثير من الأذكياء حل هذه العقدة و ذكروا فيها وجوها غير سديدة- و تشبث بعض العلماء بأن الزاوية من مقولة الكيف و مراتب الكيف مما يجوز سلوكها على وجه الطفرة- و بعضهم ذكر أن هذه الحركة من أحد الضلعين ليس في جهة هي بين الضلعين- و هي جهة عرض البسيط الواقع بينهما بل في جهة أخرى هي جهة طول ذلك البسيط- و الزاوية لا يقبل الانقسام إلا فيما بين الخطين لا فيما بين الرأس و القاعدة و السفسطة في الجميع ظاهرة.

و ذكر شيخنا و سيدنا أدام الله تعالى ظله الظليل على مفارق مريديه بإدامة وجوده الشريف و عزه الجليل و أضاء إشراق نوره مستديما على تنوير قلوب السالكين و تطهير نفوس المستعدين ما يشفي العليل و يروي الغليل بحمد الله و قوته من وجه وجيه نذكره تبركا بإفادته و تيمنا بإضاءته و هو أن الزاوية المختلفة الضلعين لها اعتباران اعتبار أنها سطح و اعتبار أنها أحيطت بمستقيم و مستدير و هي إنما تقع في طريق تلك الحركة بالاعتبار الأول فقط دون الاعتبار الثاني لأن شيئا من الزوايا المستقيمة الخطين- لا يمكن أن تساوي زاوية أخرى مختلفة الضلعين و كذلك العكس.

فإنه إذا طبق الضلع المستقيم من المستقيمة الخطين على المستقيم من مختلفتيهما- فإما أن يقع المستقيم الآخر بين المختلفتين أو خارجا عنهما إذ لا يمكن الانطباق بين المستقيم و المستدير فلا ينطبق الزاوية المستقيمة الخطين على مختلفتيهما.

و بالجملة يختلف حقيقة الزاوية من جهة اختلاف الضلعين استقامة و استدارة- لأنهما من الفصول المنوعة للخط فكذا لما يحاط به من جهة كونه محاطا و لما كانت الحركة أمرا متصلا اتصال المسافة و الجسم و قد تقرر أن الأمور المتخالفة بالنوع- لا يكون بينهما اتصال وحداني موجود بوجود واحد فما يقع في طريق الحركة- لا بد و أن يكون أفراده و مراتبه من نوع واحد فشي‏ء واحد من أفراد أحد



الحكمة المتعالية فى الاسفار العقلية الاربعة، ج‏5، ص: 54
المقدارين المختلفين بالماهية لا يقع في مسافة الحركة و مسلكها.

أ و لا ترى أن المتزايد بحسب المقدار الخطي لا يصل و لا يبلغ بحركة في شي‏ء- من المراتب مقدارا ما سطحيا و بالعكس و كذا المتزايد في السطح لا يبلغ بالحركة في حدودها إلى مساواة جسم ما و بالعكس فكل فرد من أحد نوعي الزاوية إذا تحرك ضلعه و صار أكبر إنما يبلغ بالتدريج إلى مساواة جميع الأفراد المتوسطة في القدر بين المبدإ و المنتهى من ذلك النوع و هي التي تكون واقعة في مسلك تلك الحركة و لا يمكن أن يبلغ إلى مساواة شي‏ء من أفراد النوع الآخر و لا هي واقعة في مسلك تلك الحركة أصلا فلا يلزم أن يبلغ الزاوية التي هي بين الدائرة و الخط المماس في التعاظم إلى زاوية مساوية لمستقيم الخطين و لا التي بين القطر و المحيط في التعاظم إلى مساواة القائمة و لا التي بين الخط المماس و القطر العمود عليه في التصاغر إلى مساواة ما هي أعظم الجواد


بحث و تتميم-
و للباحث أن يقول إذا قيست زاوية إلى زاوية بأنها أعظم أو أصغر أو أزيد أو أنقص فلا بد أن يصلح ما يجري بينهما قياس المساواة أيضا إذ الأعظم و الأزيد بالنسبة إلى الأمر لا بد و أن يشتمل على مثل ذلك الأمر و شي‏ء زائد عليه فالمماثلة بين المستقيمة الخطين و المختلفة الخطين ثابتة بالإمكان.
و جوابه بأن الأزيدية كمقابلها يقال بالاشتراك الاسمي أو بالحقيقة و المجاز على ما يتحقق بين مقدارين يوجد بينهما عاد مشترك و يقال لهما المتشاركان و النسبة بينهما لا محالة عددية رسمت بأنها أيية أحد المقدارين المتجانسين من الآخر بأن يقال هذا المقدار من ذاك المقدار ثلثه أو ربعه أو جزء من عشرين جزء منه- و هذه هي التي تقتضي التجانس بين المتناسبين و يلزم كون أحدهما مشتملا بالقوة على الآخر مع شي‏ء زائد و على ما يتحقق بين مقدارين لا يمكن أن يقال‏



الحكمة المتعالية فى الاسفار العقلية الاربعة، ج‏5، ص: 55
لواحد منهما أي شي‏ء هو من صاحبه و هو لا يقتضي كونهما من نوع واحد أو جنس قريب و لذا عرف أرشميدس الخط المستقيم بأنه أقصر الخطوط الواصلة بين نقطتين- مع أن الاختلاف بين الخط المستقيم و المستدير و كذا بين الخطوط المستديرة المختلفة في التحديب بالفصول المنوعة.

و أما المساواة فلا معنى لها إلا المماثلة في المقدار و الكمية فلا بد أن يكون المتساويان متحدين في نوع من الكمية فعلى ذلك قد ظهر أنه يصح أن يصير أصغر المقدارين أعظم من الأعظم بدون أن يصير مساويا له كما إذا فرضنا درجة واحدة من الدائرة يزيد بحركة الفرجار إلى أن يبلغ نصف الدور فيصير أعظم من القطر و قد كانت أصغر منه لا محالة بدون أن يصير وقتا مساوية له فاعرف هذا.

و أما ما لزم من كون سدس المحيط من الدائرة مساويا لوتره الذي يساوي نصف القطر لكونهما ضلعي مثلث متساوي الأضلاع في البرهان الترسي فالوتر يكون ستين جزء كنصف القطر من أجزاء بها يكون القطر مائة و عشرين جزء مثل سدس المحيط الذي أجزاؤه ستون أيضا سدس ثلاثمائة و ستين هي أجزاء المحيط عند الحساب.

فالوجه فيه أن عدد ستين لسدس المحيط حقيقي و لنصف القطر وضعي- إذ ليست أجزاء القطر بحسب الحقيقة مائة و عشرين بل هي بحسب الوضع عندهم- لمصلحة راعوها هي السهولة في الحسابات و إنما أجزاؤه الحقيقية هي مائة و أربعة عشر و كسر فلم يلزم المساواة بين القوس و وترها إلا في الوضع لا في الحقيقة- فالمحذور غير لازم و اللازم غير محذور.

فالقدماء منهم أرشميدس أثبتوا بين المقادير المتخالفة الأنواع نسبة بالأزيدية و الأنقصية الصميتين لا بالمساواة فهي تتصف بالمفاوتة بين المختلفين بوجه الصمم- دون المساواة و سائر النسب العددية و اشتراط التجانس في النسب مطلقا على ما اشتهر بين المتأخرين تفيد فيما إذا كانت عددية لا مقدارية أي صمية.












شرح الهداية الاثيرية، ص: 29
و منها أشكال طفرة الزاوية و هو من أعضل الشبه في هذا المقام و هو أن الزاوية الحادثة بين الدائرة و الخط المماس لها على طرف قطر من أقطارها أحدّ من جميع الزوايا المستقيمة الخطين كما برهن عليه صاحب كتاب «أقليدس» في الشكل الخامس عشر من المقالة الثالثة منه. فإذا فرضنا خطا منطبقا على ذلك الخط المماس تحرك إلى جهة الدائرة مع ثبات نقطة التماس منه حركة ما فأي قدر يتحرك يحصل زاوية مستقيمة الخطين لعلم من الزاوية المذكورة من دون أن يصير أولا مثلها و هو الطفرة بعينها، و بوجه آخر أن الزاوية الحادثة بين محيط الدائرة و قطرها أعظم من كل حادة مستقيمة الخطين كما في تلك المقالة أيضا، فمن تحرك القطر أدنى حركة مع ثبات أحد طرفيه تصير تلك الزاوية منفرجة بدون أن تصير قائمة لازدياد ما هو أزيد مما نقصت به عن القائمة عليها.

و بوجه آخر، الزاوية التي بين القطر و الخط المماس للدائرة على طرفه قائمة، و ما بين القطر و المحيط أعظم الحواد المستقيمة الخطين، فإذا فرضنا حركة الخط المماس إلى جهة المركز مع ثبات نقطة التماس حركة ما تنتقل من التماس إلى التقاطع فتصير القائمة أصغر من زاوية القطر و المحيط من غير أن تصير مساوية لها و بعكس ما قلنا إذا فرضنا رجوع ذلك إلى موضع التماس مما كان أولا فمن دون بلوغ تلك الزاوية إلى مساواة زاوية القطر و المحيط تصير قائمة كما لا يخفى.

و استصعب الأذكياء حل هذا الإشكال و ذكر بعضهم في التفصي عنه وجوها غير



شرح الهداية الاثيرية، ص: 30
سديدة و ذكر الأستاذ سيد الحكماء و سند العلماء ما يشفي العليل و يروي الغليل من وجهين تركنا أحدهما لابتنائه على مقدمات كثيرة طويلة الأذيال- من أراد الوقوف عليه فليطلب من بعض كتبه دام إفضاله- و أوردنا الآخر و هو: أن الزاوية المختلفة الضلعين لها اعتباران: اعتبار أنها سطح و اعتبار أنها أحيطت بمستقيم و مستدير و هي إنما تقع في طريق تلك الحركة بالاعتبار الأول فقط دون الاعتبار الثاني لأن شيئا من الزوايا المستقيمة الخطين لا يمكن أن يساوي زاوية مختلفة الضعلين و كذلك العكس، فإنه إذا طبّق الضلع المستقيم من المستقيمة الخطين على المستقيم من مختلفهما فأما أن يقع المستقيم الآخر بين المختلفين أو خارجا عنهما إذ لا يمكن أن ينطبق المستقيم على المستدير فلا ينطبق المستقيمة الضلعين على ما هي مختلفهما.

و بالجملة يختلف حقيقة الزاوية من جهة اختلاف الضلعين باستقامتهما معا و كون أحدهما مستقيما و الآخر مستديرا لكون المستقيم و المستدير مختلفين بالمهية و النوعية و شي‏ء من أفراد أحد المقدارين المختلفين بالمهية لا يقع في طريق الحركة في الآخر، فالمتزايد بحسب المقدار الخطي بالحركة مثلا لا يساوي في شي‏ء من المراتب مقدارا ما سطحيا و بالعكس. و كذلك المتزايد في السطح بالحركة لا تبلغ في شي‏ء من حدود الحركة إلى مساواة جسم ما و بالعكس، فكل فرد من أحد نوعي الزاوية إذا تحرك ضلعه و صار أكبر إنما يبلغ بالتدريج إلى مساواة جميع الأفراد المتوسطة في القدر بين المبدء و المنتهى من ذلك النوع و هي التي تكون واقعة في مسلك تلك الحركة و لا يمكن أن يبلغ إلى مساواة شي‏ء من أفراد النوع الآخر و لا تكون تلك الأفراد واقعة في مسلك تلك الحركة و لا متوسطة بين المبدء و المنتهى. انتهى.

أقول: الأزيدية و كذا الأنقصية يقال بالاشتراك الاسمي و الحقيقي و المجاز على ما يتحقق بين مقدارين متشاركين أي مقدارين يوجد لهما عاد مشترك و النسبة بينهما لا محالة يكون عددية يعبّر عنها بأيّية أحدهما من الآخر بأن يقال: هذا المقدار من ذاك المقدار ثلثه أو ربعه أو جزء من ألف جزء منه إلى غير ذلك، و هذه هي التي يقتضي التجانس بين المتناسبين و كون أحدهما مشتملا على الآخر مع شي‏ء زائد و على ما يتحقق بين مقدارين لا يمكن أن يقال لواحد منهما أي هو من صاحبه و هو لا يقتضي كون الأزيد و الأنقص بالوجه المذكور من نوع واحد، بل قد يتحقق بين مقدارين مختلفين مهية و لهذا عرّف ارشميدس الخط المستقيم بأنه أقصر الخطوط الواصلة بين‏



شرح الهداية الاثيرية، ص: 31
النقطتين مع اختلاف الخط المستقيم و الخطوط المستديرة بالفصول المنوعة عندهم.

إذا تمهد هذا فليس لقائل أن يقول: إذا اتصفت كل واحدة متفقة الضلعين و مختلفهما بأنها أزيد أو أنقص من الأخرى فلا بد أن يكون بحيث يمكن أن تتصف بالمساواة معها إذ الزيادة عبارة عن كون أحد الشيئين مشتملا على مثل الآخر و شي‏ء به يزيد عليه لأنّا نقول: قد ظهر أنه يمكن أن يصير مقدار ما أعظم من الأعظم بدون أن يصير مساويا له. كما إذا فرضنا درجة واحدة من الدائرة تتحرك بحركة الفرجار إلى أن تبلغ نصف الدور فتصير أعظم من القطر مع أنها كانت أصغر منه بدون أن تصير في الوصول إلى شي‏ء من حدود الحركة مساوية له فاعرفه فإنه دقيق حقيق بالتحقيق.

و اعلم أن ما ذكرناه و إن كان مخالفا لما عليه المحدثون من أن بين الخط المستقيم و الخط المستدير و كذا بين الخطوط المستديرة التي ليست تحديباتها على نسق واحد لا توجد نسبة أصلا لا الصمية و لا العددية و لكن القدماء و منهم أرشميدس على أن بينهما يتحقق النسبة و لكن لا مطلقا بل الصمية بوجه فيتصف بالمفاوتة مفاوتة صميّة دون المساواة و سائر النسب العددية. و ما يقال: من أن النسبة فرع الاتفاق و التجانس فيكون المراد منها العددية فقط دون الصمية.
فصل في إثبات الهيولى‏






شوارق الإلهام في شرح تجريد الكلام، ج‏2، ص: 284
....ثم نقول و لما لم يكن سطح الزّاوية متعيّنا اصلا لم يصلح لان ينسب الى سطح اخر بانه مثله او ضعفه او اصغر منه او اى قدر منه نعم لو كان الانحدابان من نوع واحد كان يكون زاويتان مستقيما الخطّين لصحّ ان ينسب احد الانحدابين الى الاخر و اما اذا اختلفا كما فيما نحن فيه ملا يتحقّق بينهما نسبة اصلا

و توضيحه ان الزاوية المختلفة الضّلعين لها اعتباران اعتبار انها سطح و اعتبار انّها احيطت بمستقيم و مستدير و هى انما يقع فى طريق تلك الحركة المذكورة بالاعتبار الاول فقط دون الاعتبار الثانى لان شيئا من الزوايا المستقيمة الخطين لا يمكن ان يساوى زاوية مختلفة الضّلعين و كذلك العكس فانه اذا اطبق المستقيم من مستقيمة الضّلعين على المستقيم من مختلفتهما فاما ان يقع المستقيم الاخر بين المختلفتين او خارجا اذ لا يمكن انطباق المستقيم على المستدير فلا ينطبق مستقيمة الضّلعين على مختلفهما

و بالجملة يختلف حقيقة الزّاوية من جهة اختلاف الضّلعين باستقامتهما معا و كون احدهما مستقيما و الاخر مستديرا لكون المستقيم و المستدير مختلفتين بالنّوع و شي‏ء من افراد احد المقدارين المختلفتين بالماهيّة لا يقع فى طريق الحركة الاخير فان المتزايد بحسب المقدار الخطى بالحركة مثلا لا يساوى فى شي‏ء من المراتب مقدار اما سطحيّا و بالعكس و كذلك السّطح بالقياس الى الجسم التّعليمى و بالعكس فكل فرد من احد نوعى الزّاوية اذا تحرك ضلعه و صار اكبر انما يبلغ بالتّدريج الى مساواة جميع الافراد المتوسطة فى المقدار بين المبدأ و المنتهى من ذلك النّوع و هى الواقعة فى مملك تلك الحركة و لا يمكن ان يبلغ الى مساواة النّوع الاخر او لا يكون تلك الافراد واقعة فى ذلك المسلك و لا متوسّطة بين مبدأ و منتهاه فاندفع الاشكالان الباقيان منها

فان قيل فكيف قالوا ان الزّاوية المذكورة اصغر الزّوايا المستقيمة الاضلاع او اعظمها و كيف عرف ارشميدس الخطّ المستقيم بانه اقصر الخطوط الواسطة بين النقطتين

قلنا الا زيديّة و كذا الانقصية يقال بالاشتراك او بالحقيقة و المجاز على ما يحقق بين مقدارين متشاركين اى مقدارين يوجد لهما عاد مشترك و النّسبة بينهما لا محالة عدديّة كما عرفت و هذه هى الّتي يقتضي التّجانس بين المتناسبين و كون احدهما مشتملا على الاخر مع شي‏ء زائد و على ما يتحقق بين مقدارين مختلفين بالماهية لا يمكن ان يقال لواحد منهما اى هو من صاحبه و هذه هى النّسبة الصّمتية و هى لا يقتضي التجانس بين النّسبتين هذا

الحادى عشر اذا تدحرجت الكرّة على سطح مستوى....







هزار و يك كلمه، ج‏4، ص: 437
تنبيه: چون جيب تمام هر قوس مساوى با موقع عمود جيب آن بر قطر تا منتصف قطر است، پس هرگاه قوسى 45 درجه باشد جيب آن قوس و جيب تمام آن قوس يكى خواهند بود.
تبصره: جيب خط مستقيم است، و قوس خط منحنى، و در نسبت دو چيز با يكديگر تجانس بين آن دو چيز شرط است چنانكه در صدر مقاله پنجم اصول در تعريف نسبت فرموده‏اند كه: «النسبة أيّيّة أحد مقدارين متجانسين عند الآخر». و همين مشكله در نسبت محيط دائره با قطر نيز وارد است چنانكه در رساله تكسير دائره بتفصيل بيان كرده‏ايم. و بر همين مبناى تجانس در شكل يه مقاله يب اصول كه «نسبة الكرة إلى الكرة كنسبة القطر إلى القطر مثلّثة» خواجه طوسى بر اقليدس اعتراض دارد.
يكى از مسائل بسيار مشكل رياضى تحصيل جيب يك درجه است.
علاء الدين ملا على قوشچى در زيج الغ بيك گويد:




هزار و يك نكته، ص: 748
نكته 908
جيب كه آن را بفرانسه سينوس گويند، عمودى باشد كه از يكطرف قوس بر قطرى افتد كه بديگر طرف آنقوس گذشته باشد پس لازم آيد كه نصف دور و دور تمام را جيب نباشد و نيز لازم آيد كه هر چهار قوس را يك جيب باشد:
دو كم از نصف دور كه تمام يكديگر باشند تا نصف دور، و دو زيادت از نصف دور كه هر يك تمام يكى از آنقوس كم از نصف دور باشد تا دور. جيب خط مستقيم است و قوس منحنى و در نسبت تجانس شرط است چنانكه در صدر مقاله پنجم اصول تعريف شده است كه النسبة أيية أحد مقدارين متجانسين عند الاخر. و همين مشكله در نسبت محيط دائره بقطر نيز وارد است چنانكه در رساله تكسير دائره بتفصيل بيان كرده‏ايم. و بر همين مبناى تجانس، خواجه نصير الدين طوسى بر اقليدس در شكل يه مقاله يب اصول كه نسبة الكرة الى الكرة كنسبة القطر الى القطر مثلثة است اعتراض دارد، رجوع شود.
يكى از مسائل بسيار مشكل رياضى تحصيل جيب يكدرجه است ملا على قوشچى در زيج الغ بيك گويد: جيب يكدرجه كه بناء
















الشفاء(الرياضيات)، الهندسة، ص: 399
المقالة الثانية عشرة كثيرات السطوح‏
الشفاء(الرياضيات)، الهندسة، ص: 401
المقالة الثانية عشرة من أوقليدس بسم اللّه الرحمن الرحيم ا ب ح د ه ط ح م ل ك كثير الزوايا مختلفان و هما متشابهان فى دائرتين فنسبتهما نسبة مربعى قطرى ب ر ط ن و لنصل ب ه و ا ط م ن ح و مثلث ب ا ه شبيه بمثلث ط ح م لتساوى زاويتيه بين ضلعين متناسبين فزاوية ا ه ب ك ا ر ب و كذلك زاوية ....

الشفاء(الرياضيات)، الهندسة، ص: 412
و إذا فعلنا هكذا فى كرتين كانت نسبة المجسمين كنسبة القطرين مثلثة لأن المجسمات ك تنقسم إلى مخروطات بالسوا و رءوسها المركز يكون كل قطر منها شبيها بنظيره من الآخر و نسبتها نسبة أنصاف الأقطار مثلثة لأنها أضلاعها فنسبة المجسم إلى المجسم نسبة أنصاف القطر مثلثة و هو نسبة القطرين مثلثة نسبة «1» الكرة إلى الكرة نسبة القطرين مثلثة و إلا فليكن نسبة كرة ب د إلى ز ط أصغر من ذلك بل ك إلى كرة او يعمل على مركز ز ط كرة ل ن و نعمل شبهها فى ب د فيصير نسبة كرة ا ب ح د إلى مجسمها ككرة ا أعنى ل ن إلى المجسم الأعظم هذا خلف أو إلى أعظم و البرهان ما أشرنا إليه مرارا و اختصرناه لكثرة تكراره، رسم رقم 384 تمت المقالة الثانية عشرة و الحمد للّه مستحق الحمد و الصلاة على سيدنا محمد النبى و آله و صحبه و سلامه.







بسم الله الرحمن الرحیم


یادداشتهای راجع به اعضال اول و نیز لوازم زاویة حدبیة در بحث جزء لا یتجزی و طفرة:



---------
شبهات:
1- شبهه تحقق جوهر فرد به اینکه اقوی دلیل امکان، وقوع است و آن زاویه حدبیه است که اصغر من جمیع الحواد است
2- شبهه طفره که عمود قطر با حرکت به طرف قطر، از حدبیه پرش می کند و یا قطر با حرکت خود از زاویه قائمه پرش می کند
3- شبهه خلف اصل موضوع (و یا اول من المقالة العاشرة) که یصیر الاصغر بالتضعیف مرة بعد مرة اعظم من الاعظم

جواب:

مقدمات:

1- نسبت مساوات (بالذات) در مقادیر به قابلیت انطباق است و رکن قابلیت انطباق دو چیز است: تجانس و اشتراک. ونسبت اصغریت و اعظمیت (بالذات) بین دو متجانس برقرار می شود و لو مشترک نباشند. چون و لو عادّ مشترک ندارند ولی عادّ یکی را می توان بر بعضی (جزئی) از دیگری منطبق کرد. اما وقتی تجانس نبود، چاره ای از واسطه قرار دادن کمّ منفصل و عدد و وضع کردن واحدی برای هر یک از نامتجانس نیست.

2- دو زاویه مختلفة و مستقیمة الخطین، از حیث اضلاع نا متناجس هستند ولی از حیث سطح و یا فاصله ی (طول) بین دو ضلع متجانس هستند. ( هر دو سطح مستوی دارند و فاصله بین ضلعها خط مستقیم است) و لو از همین حیث تجانس مشترک نباشند. پس نسبت اعظمیت و اصغریت ممکن است. هر چند مساوات ممکن نباشد در همین جهت تجانس

3- برقراری نسبت اعظمیت و اصغریت بین دو زاویه ی مستقیمة الخطین و مختلفة الخطین از حیث فاصله بین ضلعین که تجانس دارد، ممکن است که با قوس ( یا خط مستقیم ) انجام شود. پس این قوس مثل عدد در نامتجانس واسطه می شود تا نسبت بین نفس دو زاویه هم برقرار شود. بلکه مقوّم زاویه همین فاصله بین ضلعین است نه نفس ضلعین و نه سطح بین ضلعین ( این نکته مهم است)

4- فواصل بین دو ضلع در زاویه مستقیمة الخطین دائماً متشابه هستند و تشخیص این تشابه، اگر مقدار فاصله با قوس اندازه گیری شود، آسان است ( به خلاف اندازه گیری با وتر یعنی خط مستقیم) اما زاویه ی مختلفة الضلعین هیچ دو فاصله متشابه ندارد بلکه بی نهایت قوس بالفعل دارد که هیچکدام مساوی (متشابه) با دیگری نیست( بلکه یک دنباله نزولی تا بی نهایت به سوی رأس زاویه دارد) و لذا به ازاء هر زاویه مستقیمة الخطین که یک قوس بیشتر ندارد قوس بالفعل دارد و کذا به ازاء هر زاویة غیر مستقیمة الخطین دیگر هم قوسی بالفعل دارد ( و این اساسی ترین مقدمات برای جواب از شبهات است)


اکنون در جواب گوییم (به ترتیب شبهات):

1- اساساً کوچکترین زاویه حاده نداریم بلکه سنخ زوایای غیر مستقیمة الخطین، قوسی کوچکتر از هر زاویه مستقیمة الخطین دارند.

2- زاویه قائمه در حرکت داریم به عنوان یکی از قوسهای بی نهایت

3- مثلاً کوچک شونده تنها یک قوس دارد ولی بزرگ شونده بالفعل بی نهایت قوس دارد که به طور نزولی به سوی رأی زاویه می رود. علاوه تضعیف واحد مساوی است و در شبهه واحد نامساوی است.




--------------------

آخوند در ج۵ اسفار ص۵۴ بحث و تتمیم دارند که مورد تأمل است. اشکال این است اگر بین دو زاویه مستقیمة الخطین و مختلفة الخطین نسبت اعظمیت و اصغریت است پس مساوات هم باید باشد و جواب دادند که اعظمیت و اصغریت مشترک لفظی است بین نسبت گویا و گنگ و وقتی نسبت گنگ باشد مانعی ندارد که متجانس نباشند فراجع تفصیل الکلام. اقول: تجانس و تخالف غیر از اشتراک و تباین در اصطلاح هندسه است ؛ دو خط متجانس است ولی خط و سطح مختلف است امّا در متجانس مثل قطر و ضلع مربّع یکی مُنطَق و دیگری گنگ است یعنی مشترک نیستند و متباین هستند و عادّ مشترک ندارند و لکن مهمّ این است که هر چند تناسب بین دو نسبت غیرمتجانس ممکن است یعنی تساوی نسبت دو خط با نسبت دو سطح به مساوات عددی که خارج قسمت است (فیثاغورثی) یا به مساوات ایودوکسسی که در مقاله خامسه آمده است تعریف آن، امّا نسبت بین دو غیرمتجانس ممکن نیست، هر چند بین دو متباین ممکن است و خواجه - قده - در اصول هندسه مکرّر تذکّر داده‌اند، پس نسبت بین قطر و ضلع ممکن است امّا نسبت بین یک خط و یک سطح ممکن نیست چونکه نسبت گنگی هم تعریف آن این است که «اصغر یصیر بالتضعیف مره بعد اخری (واحد متساوی) اعظم من الاعظم» و این امر بین خط و سطح مثلاً ممکن نیست. اکنون گوئیم که نسبت بین دو زاویه از حیث تجانس آنهاست که سطح باشد که هر دو مشترک هستند و اختلاف نوعی بین ضلعین است و سطح دو زاویه هر چند متباین هستند چون سطح مختلفة الضلعین گنگ است لکن متجانس هستند چون هر دو سطح هستند ولی چون یکی گنگ است نسبت مساوی هرگز نخواهند داشت و یا اعظم است و یا اصغر - پس عبارت اسفار ص۵۴ پائین صفحه که اشتهر که تجانس شرط است همان صحیح است و صاحب اسفار بین تجانس و تخالف و بین اشتراک و تباین فرق نگذاشته‌اند.
-------------------


آیا از دور دادن یک دایره بر خط مستقیم، انطباق محیط آن با خط مستقیم حاصل می شود؟
آیا ر ن ی ( e u j ) اینچنین است(یعنی تمام قوس استیعاب میشود) یا ن ن ن ( u u u ) اینچنین است. یعنی بر نقاط تماس الماني پرش می کند و یا نقاط تماس فرضی منطبق می شوند. و چون نقطه فرضی بی نهایت است انطباق آنها چگونه متصور است؟

---------------
محیط دایره با مقدار پی بر محور اعداد، نه تجانس دارند و نه اشتراک. ولی مساحت دایره با مساحت مربع تجانس دارند اما اشتراک ندارند. ولی مساحت کره با مساحت دایره یا مربع نه اشتراک دارند و نه تجانس، ضلع و قطر تجانس دارند دون الاشتراک
قوس های دوایر متساویة هم تجانس دارند و هم اشتراک. به خلاف دوائر غیر متساویة که هیچکدام [را] ندارند. بلکه تنها در واحد خود و تعداد آن واحد (درجه) می توانند نسبت برقرار کنند.
زاویه مستقیمة الخطین و غیر مستقیة الخطین از حیث ضلع‌ها نه تجانس دارند نه اشتراک و از حیث سطح تجانس دارند ولی اشتراک ندارند


---------
حلّ اعضال اوّل در رساله‌ی اعضالات جناب میرداماد - قده – که به شکل «یه» من «جـ» اصول اقلیدس وارد شده میتواند این باشد: چون تصاغر حوادّ مستقیمة الخطّین به واحد متساوی نیست، هرگر به صفر نمی‌رسد و چون تعاظم حدبه‌ها در یک زاویه حدبیّه به واحد متساوی نیست، هرگز از صفر بیرون نمی‌آید و بعبارت دیگر، شروع زاویه که تعیین‌کننده‌ی آنست در مستقیمة الخطین همیشه بیش از صفر است ولی شروع زاویه در حدبیّه همیشه زیر صفر است یا صفر است. (و شاهد آن اینکه همیشه ضلع مستقیمة الخطین از نقطه تماس، از پشت محیط شروع میشود)
----
در اصل موضوع دارد اصغر یصیر بالتضعیف مره بعد اخری اعظم من الاعظم و این کلمه‌ی تضعیف، نکته‌ی بسیار مهمّی در بر دارد ؛ یعنی به واحد متساوی پیش می‌رویم، نه اینکه عوض کنیم واحد را.
----
اگر دایره را بعنوان کم قارّ هندسی فرض بگیریم، تعیین رأس قطر و اخراج عمود از آن ممکن نیست و همیشه عمود یا از بیرون دایره اخراج می‌شود و یا از درون آن و اگر خط مستقیمی را با اثبات یک سر آن دور دهیم تا دایره تشکیل شود در اینجا تحقّق دایره حقیقی ممکن نیست و مسأله حرکت باید حل شود
----
مدّتی بعد از نوشتن این مطلب به بحثی در اسفار ج5 ص55 برخورد کردم که آخوند - قده - فرموده هیچوقت قوس که بوسیله‌ی فرجار زیاد می‌شود، مساوی شعاع نخواهد [بود] بلکه یا کوچکتر است و یا بزرگتر فراجع
------------------------------


جواب میر - قده - در الصراط المستقیم ص۲۳۶ به بعد: در اشکال طفره اساساً اوّل آنِ حدوث، زاویه منفرجه حاصل می‌شود چون دائماً زاویه مستقیمة الخطین است (یعنی بالدقة در بدو حدوث زاویه‌ای نامتجانس به دیگری اضافه شده که در همان بدو منفرجه است) و جواب اصلی آنکه (ص۲۳۸) حقیقت زاویه مستقیمة الخطین با مختلفهما تفاوت دارد بالمهیة النوعیة، و اساساً مساوات بین این دو نوع زاویه محال است مطلقاً مثل اینکه می‌گوئیم خط هر چه اضافه شود مساوی یک سطح نخواهد شد و کذا سطح مساوی جسم نخواهد [شد]، بلی زاویه مختلفهما از حیث اینکه سطح است می‌تواند مساوی مساویتهما شود (فتأمل در جمله‌ی اخیره ح-م) و همین جواب را در جلد ۵ اسفار ص۵۳ از ایشان نقل کرده‌اند اما ظاهراً از کتابی دیگر غیر الصراط المستقیم باشد (در قبسات هم ظاهراً نیست) در اعضالات فرمودند در الصراط المستقیم و تقویم الایمان و رسالة جیب الزاویة و رسالة التشابه و التناسب جواب داده‌ایم – آخوند در ص۵۴ اسفار این اشکال و جواب را اضافه می‌کنند که اگر بین دو چیز نسبت اعظمیت و اصغریت بود لابدّ مساوات هم باید باشد و جواب می‌دهند (که در تأمل آن در صفحه قبل گذشت) که نسبت اعظمیت و … مشترک لفظی است بین برقراری نسبت بین متجانسین که لامحاله نسبت عددیه (مُنطَق و گویا) بین آن‌ها برقرار است و نسبت صمّیّه (گنگ) که نسبت عددیه بین بین آن‌ها نیست و عادّ مشترک ندارند و در دومی نسبت مساواة نیست. اقول (از اینجا معلوم می‌شود که مورد مناقشه است فرمایش اخیر جناب میر – قده – که از حیث سطح می‌توانند مساوی باشند چون نسبت سطحین لزاویتین هم نسبت گنگ است و سطح یکی نمی‌تواند مساوی سطح دیگری باشد و برهان آنهم از قرن ۱۹ اقامه شده است و نیز برای توضیح فرمایش آخوند گوئیم نسبت و تناسب فیثاغورثی، حقیقتاً تقسیم است و حاصل تقسیم هم عدد است مثلاً نسبت ۶ به ۲ مساوی است با ۳ امّا نسبت ایودوکسسی این است: اصغر یصیر بالتضعیف (یعنی با واحد مساوی) مرّة بعد آخری اعظم من الاعظم و در اینجا مساوات لازم نیست و تناسب هم مناسب با این معنی شده که در صفحه اوّل فروردین گذشت ح-م)
-------------
جواب خواجه – قده – منقول در الاعضالات به نقل از رساله الدحرجه‌ی ایشان این است که اصل موضوع یصیر اعظم من الاعظم در دو متجانس است و میر – قده – اشکال کرده‌اند پس چگونه نسبت اصغریت برقرار می‌کنید؟ جواب دوانی: زاویه بالذات مقدار نیست بلکه کیفیت عارض بر سطح است و طفره در اضافه کردن سطح بر سطح نیست بلکه مساوی با سطح دیگر می‌شود ولی کیفیت قائمه پیدا نمی‌شود و در مسیر حرکت کیفیتی حادث نشود، طفره نیست و میر – قده – اشکال کردند که اگر مساوی قائمه شود کیفیت هم تابع و بالعرض است.
--------------

قوسهای زاویه مستقیمة الخطین همه متشابه (یعنی متساوی از حیث قوس نه از حیث طول) هستند اما قوسهای زاویه مختلفة الضلعین نامتشابه هستند و لذا اصغر بودن یعنی قوسی دارد کوچکتر از قوس هر زاویه مستقیمة الخطین مثل اینکه می‌گوئیم (a ) / 1 کوچکتر از هر عدد کسری مثبت است پس رفع اعضال «یصیر اعظم من الاعظم» این می‌شود که نسبت بالدقة بین دو شخص نیست، بین دو متعلَّق آنهاست پس قوس مستقیمة الخطّین را کوچک می‌کنیم و قوسهای مختلفة الخطین را بزرگ می‌کنیم ولی چون قوسهای او بینهایت است هر چه یک طرف کوچک شود در طرف دیگر قوسی که کوچکتر باشد هست و قاعده‌ی اعظم من الاعظم در دو عدد یا مقدار شخصی و جزئی جاری است نه متغیر کلّی. پس نسبت دقیق این است: قوسی بطرف رأس زاویه که از قوسهای مختلفة الضلعین کوچکتر است از قوس مستقیمة الخطین که بالعرض می‌گوئیم او کوچکتر است و کذا در جواب از اشکال طفره گوئیم چون زاویه نیم‌دائره بینهایت قوس متفاوت دارد، وقتی قطر حرکت می‌کند، تمام این قوسها به ترتیب ( نه با هم) قائمه می‌شوند و رد می‌شوند به دلیل اینکه همان نقطه‌ای را که قوس روی محیط دارد اگر به نقطه‌ی تماس وصل کنیم، با این قطرِ به حرکت آمده، زاویه قائمه تشکیل می‌دهد دائماً و چون بینهایت قوسهای متفاوت زاویه نیم‌دایره هر کدام مقداری از قائمه کمتر دارد و زاویه مستقیمة الخطین هم تنها یک قوس بیشتر ندارد (قوسهایش متشابه و مساوی هستند) پس تنها یک زاویه‌ی مستقیمة الخطین است که می‌تواند هر قوس خاصّ طاویه نیم‌دایره را به قائمه برساند و قوسهای دیگر یا بزرگ‌تر از قائمه شده‌اند و یا هنوز کوچکترند بخلاف زاویه حدبیه که چون خود بینهایت قوس متفاوت دارد به ازاء هر قوسِ زاویه نیم‌دایره یک قوس مکمّلِ او لقائمه دارد –- مطلب دیگر آنکه مثل الکل اعظم من من جزئه اعظمیت بر فرض انطباق است که اصغر جزء فرضی اعظم می‌تواند باشد لکن در زاویه مستقیمة الخطین و غیر مستقیمة الخطین انطباق ممکن نیست و هر کدام چیزی دارد که دیگری ندارد پس چاره‌ای نیست که اصغریت و اعظمیت، وصف بحال متعلَّق باشدنه خود آن‌ها و بالعرض و المجاز به خود آن‌ها نسبت داده می‌شود مثل سرعت و زمان که متجانس نیستند لکن کم منفصل و عدد در آن‌ها وضع می‌کنیم و نسبت بالذات بین دو عدد برقرار می‌کنیم و بالعرض به سرعت و زمان نسبت می‌دهیم – (پس: دلیل عدم تجانس، داشتن بینهایت قوس منحصر بفرد در قبال داشتن قوسهای متساوی، و مصحّح برقراری نسبت بین دو نامتجانس (مجازاً) برقرار کردن نسبت (حقیقی) بین قوسهای آندو (که قابل انطباق بر هم هستند) مثل مصحّحیت عدد برای برقراری نسبت بین دو نامتجانس)
---------------

ظاهراً جناب میرداماد – قده – که در الاعضالات جواب خواجه – قده – را نپذیرفته‌اند به اینکه چگونه نسبت اصغریت برقرار می‌کنید، جواب خودشان تکمیل جواب خواجه – قده – است یعنی محور جواب بر اختلاف ماهوی دو زاویه است ولی دو حیث در آن فرض کرده‌اند تا مصحّح نسبت اصغریت باشد و آن حیث محاط بودنبه مستقیم و مستدیر و حیث سطح بودن که دومی مصحّح نسبت است و لذا قائل به تساوی هم در آن شده‌اند (لکن کتب تقویم الایمان و جیب الزاویه و تشابه و تناسب ایشان نزد حقیر نیست تا قطعی صحبت شود) لکن پس از اثبات گنگ بودن مساحت دایره، مساوات ممکن نیست و اختلاف نوعی دو زاویه مفرّی ندارد و مصحّح نسبت ما بالعرض بوده و نسبت بین قوسهاست.


.........
از بیان مذکور سابقا ظاهر شد جواب از اینکه کوچکترین زاویه حاده را علامت جزء لا یتجزی گرفته اند. چون خود زوایای حدبیه بی نهایت است به تصاغر دوائر و تعاظم آنها. پس خود دایره حدبیه مصداق عدم جزء لا یتجزی است. چون تا بی نهایت می تواند کوچک شود به بزرگ شدن دایره مماس با خط مستقیم لکن کوچکتر از هر زاویه مستقیمة الخطین است. چون مستقیمة الخطین یک قوس بیشتر ندارد [و] همه متشابه و متساوی از حیث درجات هستند ولی زاویه حدبیه بی نهایت قوس دارد که هیچکدام مثل هم نیستند ( پس تعبیرِ کوچکترین، شبیه استثنای منقطع است. مثل اینکه بگوییم کوچکترین عدد طبیعی کسری است که صورت آن کوچکتر از مخرجش باشد و حال آنکه کسر، عدد طبیعی نیست. یعنی حقیقت این حرف ما برگشت به این می کند که می گوییم: کسری که صورتش کوچکتر از مخرجش است کوچکتر است از هر کسری که صورت و مخرج آن مساوی است)
پس قوس های بی نهایت زاویه حدبیه است که سبب کوچکتر بودن او از هر زاویه که یک قوس بیشتر ندارد، شده است و همین امر ( بی نهایت قوس متفاوت داشتن) عین قول به تجزی تا بی نهایت است که مبتني بر نفی جزء لا یتجزی است. پس جالب است که دلیل آنها بر اثبات جزء، برهان بر عدم جزء لایتجزی است!

-----




خواجه قده در تحریر در ذیل یه من یب، ص ۱۸۴، اعظم شک بر اصول اقلیدس را بیان فرمودند، ولی اسمی از اینکه نسبت باید بین متجانسین باشد نبردند، و آیا اقلیدس هم در آن شکل، این را نمیفهمد که نسبت بایدمتجانسین باشد؟ و بلکه تناسب حجم کره به کره با قطر به قطر مثلثة، اساسا ربطی به عدم تجانس ندارد، چون تناسب تساوی دو نسبت است نه یک نسبت بین دو متجانس، بلی چون نسبت صمیة است پس اشکال خواجه باید حل شود، و لذا در پایان تحریر ص ۲۰۶ بیان خواجه در حل معضل طبق مبنای دیگر امده فراجع، و اگر نسبت بین دو نامتجانس معنا ندارد پس چگونه ممکن است خواجه برای حل آن تلاش کنند؟

ولی جناب میر قده و استاد مدظله در عبارات نقل شده سابقا، اعظم شک خواجه را حمل بر عدم تجانس کردند.

زاویه حدبیه جزء زاویه قائمه تقاطع عمود (خط مماس) و قطر است، آیا جزء نسبت با کل ندارد؟ آیا سطح دایره محیطی و سطح مربع محاطی، دو جنس هستند؟و... مثلا صریح عبارت اقلیدس و نیز خواجه است که زاویه بین محیط و عمود، اصغر من کل حاده مستقیمة الخطین است، یعنی هر دو نسبت اصغریت را مشکلی نداشتند، و لذا متجانس میدیدند، چون هر دو زاویه مسطحه هستند.



نسبت به تقسیم ثنائی: ۱- مقدارین-غیر مقدارین ۲- مقدارین: متجانسین-غیر متجانسین ۳- متجانسین: متشارکین-متباینین


به وجهی دیگر:
۱- نسبت بین مقدارین متشارکین متجانسین--> نسبت عددیة
۲- نسبت بین مقدارین متباینین متجانسین--> نسبت صمّیة
۳- نسبت بین مقدارین غیر متجانسین--> نسبت عرضیه، بالعرض توسط نگاشت و واسطه کردن عدد
۴- نسبت بین غیر مقدارین-خواه مقدار و غیر مقدار یا هر دو غیر مقدار--> نسبت نفس الامری و مطلق رابطه




زوایه بودن زاویه و نیز نسبت اعظم و اصغر در زاویه نه مربوط به دو ضلع زاویه است و نه مربوط به مساحت بین دو ضلع کما هو واضح، زوایه ۶۰ درجه مثلث بزرگتر است از زاویه ده درجه با سطح نامحدود و دو ضلع نامحدود، و مقدار درجه قوس واقع در زوایه بیانگر بزرگی آنست، و در زوایای مستقیمة الخطین متشابه هستند قوسها، و در مختلفة الضلعین بینهایت قوس نامتشابه است، که تنها یکی از انها در نقطعه تقاطع مساوی با قوس مستقیة الخطین است و بقیه یا کوچکترند و یا بزرگتر








Euclid's Elements, Book I, Definition 8:
https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/defI8.html

Euclid's Elements
Book I
Definition 8
A plane angle is the inclination to one another of two lines in a plane which meet one another and do not lie in a straight line.


Guide
The concept of angle is a very important concept for all of Greek geometry. Many of the propositions require angles even for their statements.

The two lines are meant to emanate from the same point; two intersecting lines will actually make four angles.

The concept is also a difficult one, and, surprisingly, broader than our modern concept of angle.

As can be seen from the next definition of rectilinear angle, angles do not have to have straight sides; they can have curves as sides. The size of the angle does not depend on the length of the sides, but is determined only by how the two sides meet. In the Elements nearly all the angles are rectilinear, but angles with curved sides appear in proposition III.16. In that proposition, a so-called horn angle CAE is described as the angle between a circle and a straight tangent line and is shown to be smaller than any rectilinear angle FAE. Even though the curved side of the horn angle extends beyond any rectilinear angle, it is considered to be smaller since near the vertex A of the angle, the curvilinear angle CAE is entirely contained in the rectilinear angle FAE. Thus, an angle doesn’t have an extent.
I.Def.8









Euclid's Elements, Book III, Proposition 16:
https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/propIII16.html

Euclid's Elements
Book III
Proposition 16
The straight line....


Guide
Horn angles
Back in Book I, I.Def.8, Euclid defined an angle and included the possibility that the sides were not straight lines. Those whose sides were straight were called rectilinear angles in I.Def.9. Until this proposition we only saw rectilinear angles. In this proposition Euclid showed that the angle contained by the circumference CHA and the tangent straight line AE is less than any acute rectilinear angle. An angle of that sort is commonly called a horn angle. Its complement, the angle contained by the diameter and the circumference, is less than a right angle but greater than any acute rectilinear angle.

There’s a lot that could be said about these curvilinear angles, but their only appearance in the Elements is in this proposition.

Horn angles are infinitesimal with respect to rectilinear angles, that is, no multiple of a horn angle is greater than any rectilinear angle, or equivalently, no part (meaning fraction) of a rectilinear angle is less than a horn angle. The contemplation of horn angles leads to difficulties in the theory of proportions that’s developed in Book V.
Use of Proposition 16 and its corollary
This proposition is used in the proof of proposition IV.4 and two others in Book IV. The corollary is used in III.17, III.33, III.37, a few propositions in Book IV, and XII.16.








https://en.wikipedia.org/wiki/Angle#Angles_between_curves

Angles between curves
The angle between the two curves at P is defined as the angle between the tangents A and B at P.

The angle between a line and a curve (mixed angle) or between two intersecting curves (curvilinear angle) is defined to be the angle between the tangents at the point of intersection. Various names (now rarely, if ever, used) have been given to particular cases:—amphicyrtic (Gr. ἀμφί, on both sides, κυρτός, convex) or cissoidal (Gr. κισσός, ivy), biconvex; xystroidal or sistroidal (Gr. ξυστρίς, a tool for scraping), concavo-convex; amphicoelic (Gr. κοίλη, a hollow) or angulus lunularis, biconcave.[18]





https://en.wikipedia.org/wiki/Angle#Measuring_angles