عدد تام-ناقص-زائد-کامل

اعداد دیگری با روابط جادویی که در تحقیقات نظری عددشناسی اساسی اند، و گاهی به فیثاغورسیان نسبت داده میشوند اعداد تام ناقص و زاید هستند. يك عدد تام است هر گاه مساوی مجموع مقسوم علیه های حقیقی خود باشد ناقص است اگر از مجموع مقسوم علیه های حقیقی اش تجاوز نماید و زاید است اگر کوچکتر از مجموع مقسوم علیه های حقیقی اش باشد بنابراین خداوند دنیا را در شش روز آفرید كه يك عدد تام است زیرا ۲ + ۱ - ۶، از دیگر سو بنا به اظهار آلکوین (۷۳۵-۸۰۴)، نوع بشر از اخلاف هشت انسان کشتی نوح هستند و این آفرینش ثانی ناکامل بود زیرا ۸ که از ۴ + ۱۲ بزرگتر است ناقص است. تا سال ۱۹۵۲ تنها ۱۲ عدد نام شناخته شده موجود بود که همه آنها اعداد زوج بودند و از بین آنها سه تای اول ۲۸،۶ و ۴۹۶ هستند. آخرین قضیه مقاله نهم اصول اقليدس (حدود ۳۰۰ ق. م.) ثابت میکند که اگر ۱ - ۲ يك عدد اول باشد، آنگاه (۱) - ۲۴) ۱ - ۲ يك عدد نام است. اعداد تامی که به وسیله اقلیدس داده شده اند اعداد زوج هستند و اویلر نشان داده است که هر عدد زوج تام باید بدین صورت باشد. وجود یا عدم وجود اعداد تام فرد یکی از مسائل حل نشده معروف در نظریه اعداد است. مطمئناً هیچ عددی از این نوع که کمتر از صد رقم داشته باشد، وجود ندارد.
در سال ۱۹۵۲ به كمك كامپیوتر رقمی SWAC پنج عدد نام دیگر متناظر با ۲۲۰۳۰۱۲۷۹۰۶۰۷۰۵۲۱ و ۲۲۸۱ در فرمول اقلیدس کشف گردید. در سال ۱۹۵۷ با استفاده از ماشین محاسبه سوئدی BESK عدد نام دیگری پیدا شد که متناظر با ۳۲۱۷ = بود، و در سال ۱۹۶۱ با یک کامپیوتر ۷۰۹۵ IBM دو عدد دیگر به ازای ۴۲۵۳ = n و ۴۴۲۳ = ، پیدا شدند هیچ عدد تام زوج دیگری برای ۵۰۰۰ وجود ندارد. از مقادیر = ۹۶۹۸، ۹۹۴۱، ۱۱۲۱۳ ، ۱۹۹۳۷، ۲۱۷۰۱ ، ۲۳۲۰۹ و ۴۴۴۹۷ نیز اعداد نام حاصل میشوند که سیاهه اعداد تام معلوم را به ۲۷ می رسانند. برخی از ریاضیدانان جدید با الهام از مفهوم اعداد تام به تعمیم آن پرداخته اند.
اگر (n) را معرف مجموع کلیه مقسوم علیه های حقیقی از جمله خود ( بگیریم آنگاه و تام است اگر و فقط اگر ۲۶ = (1) در حالت کلی اگر داشته باشیم k = ) که در آن يك عدد طبیعی است n را نام تایی یی نامند. مثلا می توان نشان داد که ۱۲۰ و ۶۷۲ تام سه تایی بیاند معلوم نیست که بینهایت عدد نام چند تایی یی وجود دارد یا نه، بنابر این در مورد اعداد تام کمتر از آن میدانیم این هم معلوم نیست که عدد نام چند تایی یی فردی موجود است یانه در سال ۱۹۴۴ ، مفهوم اعداد فوق زايد خلق σ(n)٫no(k)٫kkn شد. عدد طبیعی را فوق زاید نامند اگر و فقط اگر به ازای هر معلوم شده است که بینهایت عدد فوق زايد وجود دارد اعداد دیگری که جدیداً در ارتباط با اعداد تام ،ناقص و زاید معرفی شده اند عبارت اند از اعداد عملی اعداد شبه تام، اعداد نیم تام و اعداد غریب ما صرفاً این مفاهیم را ذکر کردیم تا روشن کرده باشیم که چطور کار
قدیمیان با اعداد الهام بخش پژوهشهای جدید مرتبط با آن شده است

عدد تام - (العدد) التام هو المساوي لجميع أجزائه. (شأه، 212، 13) - اعلم أن العدد التامّ لا يكون إلاّ زوجا لأنه إنما ينشأ من ضرب عدد فرد في زوج، و اتّفق أن الواقع منه في الآحاد واحد و هو الستّة، و في العشرات واحد و هو الثمانية و العشرون، و في المئات واحد و هو أربعمائة و ستّة و تسعون، و في الألوف واحد و هو ثمانية آلاف و مائة و ثمانية و عشرون، و كذلك في كل صنف واحد لا ينفكّ عن آحاد و هي ستّة أو ثمانية و إن لم يلزم عند التجربة فيها التعاقب. (شحس، 32، 9) - من خواص العدد التام أنه إذا ضرب في ثمانية زيد عليه واحد كان محذورا، و إذا قسّم جذره على أربعة و زيد على ما سيجتمع ربع كان زوج للزوج الذي ضرب في ضعفه إلاّ واحدا حتى خرج ذلك العدد التام مثل الستّة في الثمانية مزيدا عليه واحد، و جذره سبعة، و ربعه واحد و ثلاثة أرباع، فإذا زيد عليه ربع صار اثنين و هو زوج الزوج، و هو الذي وقع الضرب في ضعفه إلاّ واحد حتى خرج ستّة. (شحس، 32، 15) عدد تعليمي - العدد التعليمي هو المقارب للمادة لكنه قد جرّد عنها. (كتع، 199، 14) عدد زائد و ناقص - أما العدد الزائد و الناقص... يكون خروج التام و الناقص و الزائد امتحان وقع لبعض الناس، و هو أن كل زوج ضرب في عدد أول كيف كان، بعد أن يكون زوج الزوج أكبر من نصف ذلك الأول بنصف، فإن المجتمع منه أبدا عدد تام مثل الاثنين في الثلاثة و الأربعة في السبعة، فإن كان أكثر من نصفه بأكثر من نصف واحد فالمجتمع زائد، و إن كان أقلّ من نصفه كيف كان فالعدد ناقص؛ مثال الأول الأربعة في الخمسة، و مثال الثاني الأربعة في التسعة و في الأحد عشر. و كل عدد من الأعداد التامة ضرب في عدد أول لا يعد ذلك العدد الأول ذلك العدد التام إذ حدث عدد زائد على جميع أجزائه بضعف العدد التام مثل الستّة إذا ضربت في سبعة فحدث اثنان و أربعون، له من الأجزاء النصف و هو واحد و عشرون، و الثلث و هو أربعة عشر، و السدس و هو سبعة، و السبع هو ستة، و الجزء من أربعة عشر و هو ثلاثة، و الجزء من أحد و عشرين و هو اثنان، و الجزء من اثنين و أربعين و هو واحد، و جميع ذلك أربعة و خمسين و هو يزيد على اثنين و أربعين بإثنا عشر و هو ضعف ستّة.

المسألة العاشرة من الأرثماطيقى العدد إمّا تامّ، و هو ما يكون كسوره مساويا له، كالستّة فإنّ جميع أجزائه و هى السّدس و الثلث و النّصف مساويا له، و إمّا زائد كاثنى عشر، فإنّ أجزائه يزيد عليه، و إمّا ناقص، و هو ما يكون أجزائه أقلّ منه، كسبعة مثلا فإنّه ليس إلاّ السبع، و قد نظمت قاعدة فى تحصيل العدد التامّ فقلت: چو باشد فرد اول ضعف زوج الزوج كم واحد بود مضروب ايشان تام ور نى ناقص و زائد و معناه أنّه يؤخذ زوج الزوج، و هو زوج لا يعدّه من الأفراد سوى الواحد، و بعبارة أخرى، عدد لا يعدّه عدد فرد، و هذا مبنى على أنّ الواحد ليس بعدد كالاثنين فى المثال المذكور ، و يضعّف حتى يصير أربعة، و يسقط منه واحد حتى يصير ثلاثة، فهو فرد أوّل لأنّه لا يعدّه سوى الواحد فرد آخر، و هو المراد بالفرد الأوّل، فيضرب الثلاثة فى الاثنين الّذي هو زوج الزوج، فيصير ستّة، و هو العدد التامّ، و قس عليه مثلا: نأخذ الأربعة، و هى زوج الزوج، نضعّفه حتى يصير ثمانية، و اسقطنا منه واحدا فصار سبعة، و هو فرد أوّل. أمّا كونه فردا، فلأنّه لا ينقسم إلى قسمين متساويين، و أمّا كونه أوّل، فلأنّه لا يعدّه سوى الواحد، فنضربه فى الأربعة، فيصير ثمانية و عشرين، و هو أيضا عدد تامّ، و من خواصّ العدد التامّ أنّه لا يوجد فى كلّ مرتبة من الآحاد و العشرات و ما فوقها إلاّ واحدا ، مثلا: لا يوجد فى مرتبة الآحاد إلا الستّة، و فى مرتبة العشرات إلاّ الثمانية و العشرون، و قس عليه و استخرج بهذه القاعدة العدد التامّ فى المراتب الاخر.

اعلم ان العدد اما مطلق او مضاف و الاوّل يسمّى الصحيح لانه غير مضاف الى غيره؛ و الثاني يقابله لانّ الجزء يضاف الى ما فرض واحدا له و لذلك سمي كسرا. و المطلق ان كان له احد الكسور التسعة او جذر فمنطق - بالفتح - و الاّ فاصمّ. و الجذر هو العدد المضروب في نفسه كالثلاثة فانها اذا ضربت في نفسه حصلت منه تسعة فيسمى الثلاثة جذرا و التسعة مجذورا. و انما سمي منطقا لنطقه بكسره أو جذره، و اصمّ لعدم نطقه باحدهما. و المنطق ان ساوى اجزائه فتام كالستة فان لها نصفا و ثلثا و سدسا اى الثلاثة و الاثنان و الواحد و مجموعها ستة. و سمّي تامّا لتمامية عدده بالنسبة الى اجزائه. و إن زاد عليها فناقص كالثمانية فان لها نصفا و ربعا و ثمنا و مجتمعها سبعة، سمّي ناقصا لنقصان اجزائه منه. و إن نقص عنها فزائد كالاثني عشر فان له نصفا و ربعا و ثلثا و سدسا و مجموعها خمسة عشر، سمّي زائدا لزيادة اجزائه عنه.

فصل في خواص العدد ثم اعلم أن ما من عدد إلا و له خاصيّة أو عدّة خواصّ، و معنى الخاصيّة أنها الصفة المخصوصة للموصوف الذي لا يشركه فيها غيره. فخاصيّة الواحد أنه أصل العدد و منشأه كما بيّنا قبل، و هو يعدّ العدد كله: الأزواج و الأفراد جميعا. و من خاصيّة الاثنين أنه أوّل العدد مطلقا، و هو يعدّ نصف العدد: الأزواج دون الأفراد. و من خاصيّة الثلاثة أنها أول عدد الأفراد و هي تعدّ ثلث الأعداد تارة الأفراد و تارة الأزواج. و من خاصيّة الأربعة أنها أوّل عدد مجذور. و من خاصيّة الخمسة أنها أول عدد دائر و يقال كريّ. و من خاصيّة الستة أنها أول عدد تامّ. و من خاصيّة السبعة أنها أول عدد كامل. و من خاصيّة الثمانية أنها أول عدد مكعّب. و من خاصيّة التسعة أنها أوّل عدد فرد مجذور، و أنها آخر مرتبة الآحاد.

و أمّا ما قيل من خاصيّة الستة، إنها أول عدد تام، فمعناه أن كل عدد إذا جمعت أجزاؤه فكانت مثله سواء سمّي ذلك العدد عددا تامّا، فالستة أوّلها، و ذلك أن لها نصفا و هو ثلاثة، و ثلثا و هو اثنان، و سدسا و هو واحد، فإذا جمعت هذه الأجزاء كانت ستّة سواء. و ليست هذه الخاصيّة لعدد قبلها، و لكن لما بعدها لثمانية و عشرين، و لأربع مائة و ستّة و تسعين، و ثمانية آلاف و مائة و ثمانية و عشرين، و هذه صورتها 6 28 496 8128.

و أمّا ما قيل إن السبعة أول عدد كامل فمعناه أن السبعة قد جمعت معاني العدد كلّها، و ذلك أن العدد كلّه أزواج و أفراد، و الأزواج منها أول و ثان، فالاثنان أول الأزواج، و الأربعة زوج ثان، و الأفراد منها أول و ثان، و الثلاثة أول الأفراد، و الخمسة فرد ثان. فإذا جمعت فردا أولا إلى زوج ثان، أو زوجا أولا إلى فرد ثان، كانت منها سبعة. مثال ذلك أنك إذا جمعت الاثنين الذي هو أول الأزواج إلى الخمسة الذي هو فرد ثان كان منهما سبعة، و كذلك إذا جمعت الثلاثة التي هي فرد أول إلى الأربعة التي هي زوج ثان كانت منهما سبعة، و كذلك إذا أخذ الواحد الذي هو أصل العدد مع الستّة التي هي عدد تامّ يكون منهما السبعة التي هي عدد كامل، و هذه صورتها 1 2 3 4 5 6 7. و هذه الخاصيّة لا توجد لعدد قبل السبعة، و لها خواصّ أخر سنذكرها عند ذكرنا أن الموجودات بحسب طبيعة العدد.

نمونه‌ها

نخستین عدد تام ۶ است؛ زیرا ۱+۲+۳=۶ یا به‌طور هم ارز، ۶=۲/(۱+۲+۳+۶). بعد از آن ۲۸ و بعد از آن به ترتیب ۴۹۶ و ۸۱۲۸ قرار دارند.

پیشینه

این چهار عددِ یاد شده، تنها اعداد شناخته شده در ریاضیات یونانی بودند. نیکوماخوس عدد تام ۸۱۲۸ را در حدود سال ۱۰۰ پس از میلاد شناسایی کرده بود.^[۲] در دست نوشته‌ای مربوط به سال‌های بین ۱۴۵۶ و ۱۴۶۱ یک ریاضی‌دان گمنام اولین بار به درستی از پنجمین عدد تام، ۳۳٬۵۵۰٬۳۳۶ یاد کرده‌است. در سال ۱۵۸۸، پیترو کاتالدی ریاضی‌دان ایتالیایی، ششمین و هفتمین اعداد تام را که به ترتیب برابر با ۸٬۵۸۹٬۸۶۹٬۰۵۶ و ۱۳۷٬۴۳۸٬۶۹۱٬۳۲۸ هستند، شناسایی کرد.^[۳]

اعداد تام زوج

اقلیدس ثابت کرده‌است که عدد (۲^p−1(۲^p−۱ یک عدد زوج تام است اگر ۲^p−۱ یک عدد اول باشد. برای نمونه، چهار عدد اول یاد شده را می‌توان با این رابطه و با قرار دادن چهار عدد اول به برای p به دست آورد:

p = 2: 2^۱(۲^۲−1) = ۶

p = 3: 2^۲(۲^۳−1) = ۲۸

p = 5: 2^۴(۲^۵−1) = ۴۹۶

p = 7: 2^۶(۲^۷−1) = ۸۱۲۸

برای این که عدد (۲^p−1(۲^p−۱ اول باشد، باید p خود یک عدد اول باشد. اعداد اول به این شکل را اعداد مرسن می‌نامند. مارین مرسن یک راهب فرانسوی قرن هفدهم بود که اعداد اول و اعداد تام را بررسی کرد. البته همه اعداد به شکل (۲^p−1(۲^p−۱ و با p اول، اول نیستند. در واقع اعداد مرسن بسیار کمیاب هستند، از میان ۱٬۶۲۲٬۴۴۱ عدد اولی که تا ۲۵٬۹۶۴٬۹۵۱ وجود دارند، تنها ۴۲ تای آن‌ها را اعداد مرسن تشکیل می‌دهند.

بیش از هزار سال بعد از اقلیدس، حدود هزار پس از میلاد ابن هیثم بیان کرد که هر عدد تام زوج به شکل (۲^p−1(۲^p−۱ است. این نتیجه تا قرن هجدهم ثابت نشده باقی ماند و در نهایت لئونارد اویلر توانست نشان دهد که همهٔ عددهای تام زوج توسط رابطهٔ (۲^p−1(۲^p−۱ به ازای اعداد اول مرسن قابل تولید هستند. این نتیجه به معنای وجود یک تناظر یک به یک بین اعداد تام زوج و اعداد اول مرسن است. این قضیه به نام قضیهٔ اقلیدس-اویلر شناخته شده‌است. تا نوامبر ۲۰۱۲ تعداد اعداد مرسن و در نتیجه اعداد تام شناخته شده ۴۹ تاست.^[۴] بزرگترین آن‌ها۲^{۷۴۲۰۷۲۸۱} با ۴۴٬۶۷۷٬۲۳۵ رقم است.

۴۲ عدد تام نخست را با رابطهٔ (۲^p−1(۲^p−۱ به ازای ۴۲ عدد اول p تولید می‌شوند:

۲، ۳، ۵، ۷، ۱۳، ۱۷، ۱۹، ۳۱، ۶۱، ۸۹، ۱۰۷، ۱۲۷، ۵۲۱، ۶۰۷، ۱۲۷۹، ۲۲۰۳، ۲۲۸۱، ۳۲۱۷، ۴۲۵۳، ۴۴۲۳، ۹۶۸۹، ۹۹۴۱، ۱۱۲۱۳، ۱۹۹۳۷، ۲۱۷۰۱، ۲۳۲۰۹، ۴۴۴۹۷، ۸۶۲۴۳، ۱۱۰۵۰۳، ۱۳۲۰۴۹، ۲۱۶۰۹۱، ۷۵۶۸۳۹، ۸۵۹۴۳۳، ۱۲۵۷۷۸۷، ۱۳۹۸۲۶۹، ۲۹۷۶۲۲۱، ۳۰۲۱۳۷۷، ۶۹۷۲۵۹۳، ۱۳۴۶۶۹۱۷، ۲۰۹۹۶۰۱۱، ۲۴۰۳۶۵۸۳، و ۲۵۹۶۴۹۵۱^[۵]

هنوز اثباتی برای اینکه آیا تعداد اعداد تام و در نتیجه تعداد اعداد اول مرسن بی‌شمار است؟ ارائه نشده‌است. موضوع پروژهٔ GIMPS یافتن اعداد اول مرسن جدید است.

اعداد تام فرد

تاکنون عدد فرد کاملی یافت نشده‌است و در مورد وجود یا عدم وجود آن‌ها اطلاعی دقیق در دست نیست، هرچند نتایجی مقدماتی در این باره به دست آمده‌است.

در اصطلاحات ریاضیات امروز عدد تام و کامل به جای هم به کار می روند. اما در ریاضیات قدیم این دو با هم تفاوت داشته اند که در رسائل اخوان الصفا تفاوت این دو مطرح شده است.