بسم الله الرحمن الرحیم
عدد اول عددی طبیعی بزرگتر از ۱ است که بر هیچ عددی به جز خود و ۱ بخشپذیر نباشد. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمیگیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگتر از ۱ اول نباشد مرکب است.
رقم یکان اعداد اول بزرگتر از ۱۰ فقط ممکن است ارقام ۱، ۳، ۷، و ۹ باشد.
پیدا کردن رابطهای جبری برای اعداد اول جزء یکی از معماهای ریاضی باقی مانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها دست نیافته است.
دنبالهٔ اعداد اول به این صورت شروع میشود:
۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹، ۲۳، ۲۹، ۳۱، ۳۷، ۴۱، ۴۳، ۴۷، ۵۳، ۵۹، ۶۱، ۶۷، ۷۱، ۷۳، ۷۹، ۸۳، ۸۹، ۹۷، ۱۰۱، ۱۰۳، ۱۰۷، ۱۰۹، ۱۱۳، ۱۲۷، ۱۳۱، ۱۳۷، ۱۳۹[۱]
به این اثبات دقت کنیداز برهان خلف استفاده میکنیم:
فرض خلف : اعداد اول متناهی است.
اعداد اول را در هم ضرب میکنیم.
که عدد یک جزء اعداد اول نیست پس به تناقض میرسیم و فرض خلف باطل است. اعداد اول نامتناهی هستند.
k عدد اول وجود دارد.
یکی از مسائل مورد توجه ریاضیدانان، چگونگی توزیع و ترتیب قرارگرفتن اعداد اول درون رشته اعداد طبیعی است. این چگونگی دارای الگوهایی است که یکی از آنها به «الگوی پیشرفت عددی» معروف است.
مثلاً اگر به عدد ۵ که عددی اول است، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۱ و اگر به ۱۱، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۷ و اگر دوباره اضافه کنیم، به ۲۳ و ۲۹ میرسیم که همگی اعدادی اولند. اما با اضافه کردن ۶ واحد دیگر به ۳۵ میرسیم که عددی اول نیست و الگو متوقف میگردد.
مسئله مورد توجه اینست که در هر الگوی پیشرفت چند عدد اول پیش از رسیدن به اولین عدد غیر اول، بدست میآیند؟ طولانیترین رشتهای که تاکنون بدست آمده، ۲۲ عدد اول را شامل است. اولین عدد اول این رشته ۱۱۴۱۰۳۳۷۸۵۰۵۵۳ بوده که اگر عدد ۴۶۰۹۰۹۸۶۹۴۲۰۰ به آن اضافه شود عدد اول بعدی بوجود میآید و میتوان ۲۲ بار عدد مذکور را به اعداد اول مرحله قبل افزود و عدد اولی جدید بدست آورد. دو ریاضیدان اثبات کردهاند برای هر رشته از اعداد اول میتوان به یک رشته عددی رسید.[۳]