بسم الله الرحمن الرحیم

قضیه اساسی حساب

فهرست علوم
فهرست مباحث ریاضیات
علم حساب




Fundamental theorem of arithmetic




قضیه اساسی حساب
از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
با قضیه اساسی حسابان اشتباه نشود.

قضیه اساسی حساب، از قضایای مهم در نظریه اعداد است که نشان می‌دهد اعداد اول چگونه همانند بلوک‌های ساختمانی در ساختن سایر اعداد نقش دارند.

این قضیه به‌طور ساده بیان می‌کند هر عدد صحیح بجز یک و منفی یک به صورت حاصل ضربی از عوامل اول قابل نمایش هستند. همچنین این نمایش اعداد به صورت حاصل ضرب عوامل اول، صرف نظر از ترتیب عوامل یکتا است. به عنوان مثال عدد ۶۰ را می‌توان به صورت ۶۰ =۲ × ۲× ۳ × ۵ به حاصل ضرب عوامل اول نوشت.[۱]

اگر عدد n را به صورت n = p۱p۲p۳...pr به حاصل ضرب عوامل اول بنویسم این کار را اصطلاحاً تجزیه عدد n به عوامل اول می‌گوییم. پس قضیه اساسی حساب بیان می‌کند هر عدد صحیح بجز یک و منفی یک، قابل تجزیه به عوامل اولند و این تجزیه صرف تظر از ترتیب عوامل یکتا است.[۲]
محتویات

۱ قضیه اساسی حساب و برهان آن
۱.۱ تجزیه استاندارد
۲ کاربرد
۲.۱ یافتن تعداد مقسوم علیه‌های یک عدد
۲.۲ یافتن مجموع مقسوم علیه‌های یک عدد
۲.۳ تعیین حاصل ضرب مقسوم علیه‌های یک عدد
۲.۴ محاسبه ب.م. م و ک.م. م از راه تجزیه به عوامل اول
۳ جستارهای وابسته
۴ منابع

قضیه اساسی حساب و برهان آن

باید توجه داشت که از نظر تاریخی این قضیه اساساً توسط اقلیدس به اثبات رسیده‌است، اما اولین اثبات کامل از آن توسط گاوس در کتاب تحقیقات حساب منتشر شده‌است.

همچنین، با گسترش جبرمجرد و نظریه حلقه مفهومی مشابه در نظریه حلقه به عنوان حوزه تجزیه یکتا (UFD) به وجود آمد که در آن‌ها خاصیتی مشابه برقرار است که توسط کومر و زمانی که بروی قضیه آخر فرما کار می‌کرد معرفی شد. این نشان می‌دهد که اگر چه قضیه اساسی حساب در حلقه اعداد صحیح بدیهی جلوه می‌کند اما چنین چیزی در مورد هر حلقه دلخواه بدیهی نیست و ممکن است نادرست باشد.

قضیه اساسی حساب
هر عدد صحیح n که ۱± ≠ n، را می‌توان به صورت حاصل ضرب عوامل اول نوشت. بعلاوه، این نمایش به عوامل اول صرف نظر از ترتیب عوامل یکتا است.[۳]

اثبات
[۴] برای اثبات کافی است قضیه را فقط برای اعداد طبیعی ثابت کنیم.

برهان قضیه شامل دو قسمت وجود و یکتایی است. ابتدا نشان می‌دهیم هر عدد را می‌توان به صورت حاصل ضربی از عوامل اول نوشت. این کار را مبتنی بر اصل استقراء روی n {\displaystyle n\!} n \! انجام می‌دهیم.

اگر n = ۲ چون ۲ خود عددی اول است پس حکم برقرار است. فرض می‌کنیم حکم برای هر عدد طبیعی کوچک‌تر از n برقرار باشد. نشان می‌دهیم حکم برای n نیز درست است و بنابر اصل استقراء ریاضی نتیجه می‌گیریم حکم برای هر عدد طبیعی درست است.

اگر n اول باشد در این صورت چیزی برای اثبات نمی‌ماند و حکم برقرار است. اگر n اول نباشد در این صورت اعداد صحیح a, b وجود دارند که n = ab و 1 < a ≤ b < n {\displaystyle 1
حال نشان می‌دهیم این تجریه صرف نظر از ترتیب عوامل یکتا است. برای اثبات این مطلب فرض می‌کنیم n عددی طبیعی بزرگ‌تر از یک، دلخواه و از این پس ثابت باشد و n = p1p2p3...pr و n = q1q2q3...qs دو تجزیه n به عوامل اول باشند. نشان می‌دهیم r = s و احیاناً با تجدید اندیس گذاری داریم p1=q1,p2=q2,... ,pr=qs.

اثبات را به استقرا روی r انجام می‌دهیم. اگر r=۱ به وضوحً حکم برقرار است. فرض می‌کنیم حکم در مورد هر عدد کوچک‌تر از r درست باشد و نشان می‌دهیم حکم در مورد r نیز درست است.

چون p r | n {\displaystyle p_{r}|n} p_r|n و n=q1q2q3...qs پس pr حداقل یکی از qiها را عاد می‌کند، بی‌آنکه به کلیت مطلب خللی وارد شود می‌توان فرض کرد pr|qs(چرا که می‌توان اندیس گذاری را تجدید کرد و به صورت دلخواه نوشت) اما چون qs اول است و 1
p 1 p 2 p 3 . . . p r − 1 = q 1 q 2 q 3 . . . q s − 1 {\displaystyle p_{1}p_{2}p_{3}...p_{r-1}=q_{1}q_{2}q_{3}...q_{s-1}} p_1p_2p_3...p_{r-1}=q_1q_2q_3...q_{s-1}

و بنابر فرض استقراء، r-1=s-1 و احیاناً با تجدید اندیس گذاری:

p 1 = q 1 , p 2 = q 2 , . . . , p r − 1 = q s − 1 {\displaystyle p_{1}=q_{1},p_{2}=q_{2},...,p_{r-1}=q_{s-1}} p_1=q_1,p_2=q_2,...,p_{r-1}=q_{s-1}

پس r=s و احیاناً با تجدید اندیس گذاری:

p 1 = q 1 , p 2 = q 2 , . . . , p r − 1 = q s − 1 , p r = q s {\displaystyle p_{1}=q_{1},p_{2}=q_{2},...,p_{r-1}=q_{s-1},p_{r}=q_{s}} p_1=q_1,p_2=q_2,...,p_{r-1}=q_{s-1},p_r=q_s

تجزیه استاندارد

در ابتدا مفهوم تجزیه به عوامل اول را توضیح دادیم و دیدم که بنابر قضیه اساسی حساب هر عدد صحیح بجز یک و منفی یک به حاصل ضرب اعداد اول قابل تجزیه است اما این عوامل اول ممکن است متمایز نباشند. اگر عدد صحیح n را به صورت n = p 1 α 1 . p 2 α 2 . . . p r α r {\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}.p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{r}^{\alpha _{r}}} n=p_1^{\alpha_1}.p_2^{\alpha_2}...p_r^{\alpha_r} بنویسم که در آن piها اعداد اول متمایز هستند، این تجزیه به عوامل اول را تجزیه استاندارد یا کانونیک n به عوامل اول می‌گوییم. به عنوان مثال 1200 = 2 4 × 3 × 5 2 {\displaystyle 1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}} 1200=2^4\times 3\times 5^2.
کاربرد

از قضیه اساسی حساب نشان می‌دهد چگونه اعداد اول مانند بلوک‌های ساختمان در تولید سایر اعداد صحیح نقش دارند. تجزیه یک عدد به عوامل اول می‌تواند اطلاعات زیادی را در مورد مقسوم علیه‌های آن عدد و به‌طور کلی ساختار آن عدد در اختیار ما بگذارد.
یافتن تعداد مقسوم علیه‌های یک عدد

فرض کنید n عددی طبیعی و بزرگ‌تر از یک باشد و n = p 1 α 1 . p 2 α 2 . . . p r α r {\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}.p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{r}^{\alpha _{r}}} n=p_1^{\alpha_1}.p_2^{\alpha_2}...p_r^{\alpha_r} تجزیه استاندارد n به عوامل اول باشد. همچنین فرض می‌کنیم (T(n معرف تعداد مقسوم علیه‌های عدد n باشد. تجزیه n به عوامل اول نشان می‌دهد که هر مقسوم علیه n باید به صورت n = p 1 β 1 . p 2 β 2 . . . p r β r {\displaystyle n=p_{1}^{\beta _{1}}.p_{2}^{\beta _{2}}...p_{r}^{\beta _{r}}} n=p_1^{\beta_1}.p_2^{\beta_2}...p_r^{\beta_r} باشد که 0 ≤ β i ≤ α i , 1 ≤ i ≤ r {\displaystyle 0\leq \beta _{i}\leq \alpha _{i},{\mbox{ }}1\leq i\leq r} 0\le \beta_i \le \alpha_i,\mbox{ } 1\le i \le r به وضوحً برای هر i، مقدار β i {\displaystyle \beta _{i}} \beta_i را به α i + 1 {\displaystyle \alpha _{i}+1} \alpha_i+1 طریق می‌توان انتخاب کرد (با احتساب مقدار صفر) و در هر حالت یک مقسوم علیه n حاصل می‌شود. این کار بنا بر اصل شمارش به:

( α 1 + 1 ) . ( α 2 + 1 ) . ( α 3 + 1 ) . . . ( α r + 1 ) {\displaystyle (\alpha _{1}+1).(\alpha _{2}+1).(\alpha _{3}+1)...(\alpha _{r}+1)} (\alpha_1+1).(\alpha_2+1).(\alpha_3+1)...(\alpha_r+1)

طریق امکان‌پذیر است. پس (T(n تعداد مقسوم علیه‌های عدد n برابر است با:

T ( n ) = ( α 1 + 1 ) . ( α 2 + 1 ) . ( α 3 + 1 ) . . . ( α r + 1 ) {\displaystyle T(n)=(\alpha _{1}+1).(\alpha _{2}+1).(\alpha _{3}+1)...(\alpha _{r}+1)} T(n)=(\alpha_1+1).(\alpha_2+1).(\alpha_3+1)...(\alpha_r+1)

به عنوان مثال T ( 1200 ) = ( 4 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( 2 + 1 ) = 30 {\displaystyle T(1200)=(4+1)(1+1)(2+1)=30} T(1200)=(4+1)(1+1)(2+1)=30.
یافتن مجموع مقسوم علیه‌های یک عدد

تجزیه یک عدد به عوامل اول در مطالعه توابع حسابی مانند تابع مقسوم علیهی کاربرد فراوان دارد. برای هر عدد طبیعی n، مجموع قوای αام مقسوم علیه‌های n را با σ α ( n ) {\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)} \sigma_{\alpha}(n) نشان می‌دهیم که در آن α عددی حقیقی یا مختلط است. پس:

σ α ( n ) = ∑ d | n d α {\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=\sum _{d|n}d^{\alpha }} \sigma_{\alpha}(n)=\sum_{d|n}d^{\alpha}

که مجموع فوق روی مقسوم علیه‌های n است. حال اگر ۰=α در این صورت عبارت فوق همان تعداد مقسوم علیه‌های n است که در قسمت قبل آن را بررسی کردیم. در حالت خاص دیگر اگر ۱=α در این صورت:

σ 1 ( n ) = σ ( n ) = ∑ d | n d {\displaystyle \sigma _{1}(n)=\sigma (n)=\sum _{d|n}d} \sigma_1 (n)=\sigma (n)=\sum_{d|n}d

که همان مجموع مقسوم علیه‌های عدد n است که اکنون می‌خواهیم آن را بررسی کنیم. ابتدا فرض می‌کنیم n توانی از عدد اول p چون n=pa باشد. در این صورت مقسوم علیه‌های n عبارت‌اند از:

1 , p , p 2 , . . . , p a − 1 , p a {\displaystyle 1,p,p^{2},...,p^{a-1},p^{a}} 1,p,p^2,...,p^{a-1},p^a

پس:

σ ( n ) = σ ( p a ) = 1 + p + p 2 + . . . + p a = p a + 1 − 1 p − 1 {\displaystyle \sigma (n)=\sigma (p^{a})=1+p+p^{2}+...+p^{a}={\frac {p^{a+1}-1}{p-1}}} \sigma (n)=\sigma (p^a)=1+p+p^2+...+p^a=\frac{p^{a+1}-1}{p-1}

حال در حالتی کلی‌تر فرض می‌کنیم n = p 1 α 1 . p 2 α 2 . . . p r α r {\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}.p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{r}^{\alpha _{r}}} n=p_1^{\alpha_1}.p_2^{\alpha_2}...p_r^{\alpha_r} تجزیه استاندارد n به عوال اول باشد. در این صورت هر مقسوم علیه n به صورت n = p 1 β 1 . p 2 β 2 . . . p r β r {\displaystyle n=p_{1}^{\beta _{1}}.p_{2}^{\beta _{2}}...p_{r}^{\beta _{r}}} n=p_1^{\beta_1}.p_2^{\beta_2}...p_r^{\beta_r} خواهد بود که 0 ≤ β i ≤ α i , 1 ≤ i ≤ r {\displaystyle 0\leq \beta _{i}\leq \alpha _{i},{\mbox{ }}1\leq i\leq r} 0\le \beta_i \le \alpha_i,\mbox{ } 1\le i \le r پس:

σ ( n ) = ∑ β 1 = 0 α 1 ∑ β 2 = 0 α 2 . . . ∑ β r = 0 α r ( p 1 β 1 p 2 β 2 . . . p r β r ) {\displaystyle \sigma (n)=\sum _{\beta _{1}=0}^{\alpha _{1}}\sum _{\beta _{2}=0}^{\alpha _{2}}...\sum _{\beta _{r}=0}^{\alpha _{r}}(p_{1}^{\beta _{1}}p_{2}^{\beta _{2}}...p_{r}^{\beta _{r}})} \sigma(n)=\sum_{\beta_1=0}^{\alpha_1}\sum_{\beta_2=0}^{\alpha_2}...\sum_{\beta_r=0}^{\alpha_r}(p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}...p_r^{\beta_r})

پس:

σ ( n ) = ∑ β 1 = 0 α 1 p 1 × ∑ β 2 = 0 α 2 p 2 β 2 × . . . × ∑ β r = 0 α r p r β r {\displaystyle \sigma (n)=\sum _{\beta _{1}=0}^{\alpha _{1}}p_{1}^{}\times \sum _{\beta _{2}=0}^{\alpha _{2}}p_{2}^{\beta _{2}}\times ...\times \sum _{\beta _{r}=0}^{\alpha _{r}}p_{r}^{\beta _{r}}} {\displaystyle \sigma (n)=\sum _{\beta _{1}=0}^{\alpha _{1}}p_{1}^{}\times \sum _{\beta _{2}=0}^{\alpha _{2}}p_{2}^{\beta _{2}}\times ...\times \sum _{\beta _{r}=0}^{\alpha _{r}}p_{r}^{\beta _{r}}}

در نتیجه:

σ ( n ) = p 1 α 1 + 1 − 1 p 1 − 1 × p 2 α 2 + 1 − 1 p 2 − 1 × . . . × p r α r + 1 − 1 p r − 1 {\displaystyle \sigma (n)={\frac {p_{1}^{\alpha _{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\times {\frac {p_{2}^{\alpha _{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\times ...\times {\frac {p_{r}^{\alpha _{r}+1}-1}{p_{r}-1}}} {\displaystyle \sigma (n)={\frac {p_{1}^{\alpha _{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\times {\frac {p_{2}^{\alpha _{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\times ...\times {\frac {p_{r}^{\alpha _{r}+1}-1}{p_{r}-1}}}

پس دیدیم که چگونه می‌توان مجموع مقسوم علیه‌های عدد طبیعی n را محاسبه کرد و البته مطلب فوق از ضربی بودن تابع مقسوم علیهی نیز قابل استنتاج است.
تعیین حاصل ضرب مقسوم علیه‌های یک عدد

فرض کنید n عددی طبیعی بزرگ‌تر از یک باشد و

D = { d 1 , d 2 , . . . , d T ( n ) } {\displaystyle D=\{d_{1},d_{2},...,d_{T(n)}\}} D=\{d_1,d_2,...,d_{T(n)}\}

مجموعه همه مقسوم علیه‌های n باشد. بعلاوه حاصل ضرب مقسوم علیه‌های n را با (P(n نشان می‌دهیم. در این صورت برای هر di چون di|n پس عددی چون qi وجود دارد که n=diqi. اما چون qi|n پس qiها نیز یک مقسوم علیه‌های n و لذا اعضای D می‌باشند، پس:

P ( n ) = d 1 . d 2 . . . d T ( n ) = d 1 q 1 . d 2 q 2 . . . d T ( n ) q T ( n ) {\displaystyle P(n)=d_{1}.d_{2}...d_{T(n)}={\sqrt {d_{1}q_{1}.d_{2}q_{2}...d_{T(n)}q_{T(n)}}}} P(n)=d_1.d_2...d_{T(n)}=\sqrt{d_1q_1.d_2q_2...d_{T(n)}q_{T(n)}}

پس

P ( n ) = n T ( n ) {\displaystyle P(n)={\sqrt {n^{T(n)}}}} P(n)=\sqrt{n^{T(n)}}

به این ترتیب حاصل ضرب مقسوم علیه‌های n را نیز محاسبه کردیم. به عنوان مثال P ( 1200 ) = 1200 T ( 1200 ) = 1200 3 0 = 1200 15 {\displaystyle P(1200)={\sqrt {1200^{T(1200)}}}={\sqrt {1200^{3}0}}=1200^{15}} P(1200)=\sqrt{1200^{T(1200)}}=\sqrt{1200^30}=1200^{15}
محاسبه ب.م. م و ک.م. م از راه تجزیه به عوامل اول

روش دیگری بجز روش الگوریتم اقلیدس برای تعیین بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک (ب.م. م) و کوچک‌ترین مضرب مشترک (ک.م. م) دو عدد از راه تجزیه آن‌ها به عوامل اول وجود دارد که البته از آنجایی که تجزیه اعداد بزرگ پیچیده خواهد بود چندان روشی کارساز نخواهد بود.

فرض کنید a,b دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک باشند و a = p 1 α 1 . p 2 α 2 . . . p r α r {\displaystyle a=p_{1}^{\alpha _{1}}.p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{r}^{\alpha _{r}}} a=p_1^{\alpha_1}.p_2^{\alpha_2}...p_r^{\alpha_r} و b = p 1 β 1 . p 2 β 2 . . . p r β r {\displaystyle b=p_{1}^{\beta _{1}}.p_{2}^{\beta _{2}}...p_{r}^{\beta _{r}}} b=p_1^{\beta_1}.p_2^{\beta_2}...p_r^{\beta_r} تجزیه استاندار a,b به عوامل اول باشد. در این صورت اگر ب.م. م a,b را با (a,b) نشان دهیم داریم:

( a , b ) = p 1 θ 1 . p 2 θ 2 . . . p r θ r {\displaystyle (a,b)=p_{1}^{\theta _{1}}.p_{2}^{\theta _{2}}...p_{r}^{\theta _{r}}} (a,b)=p_1^{\theta_1}.p_2^{\theta_2}...p_r^{\theta_r}

که در آن برای هر i داریم θ i = min { α i , β i } {\displaystyle \theta _{i}={\mbox{min}}\{\alpha _{i},\beta _{i}\}} \theta_i=\mbox{min} \{\alpha_i,\beta_i\}.

به عبارت دیگر ب.م. م دو عدد a,b عبارت است از حاصل ضرب عوال اول مشترک آن‌ها با کمترین توان.

همچنین اگر ک.م. م a,b را با [a,b] نشان دهیم داریم:

[ a , b ] = p 1 θ 1 . p 2 θ 2 . . . p r θ r {\displaystyle [a,b]=p_{1}^{\theta _{1}}.p_{2}^{\theta _{2}}...p_{r}^{\theta _{r}}} [a,b]=p_1^{\theta_1}.p_2^{\theta_2}...p_r^{\theta_r}

که در آن برای هر i، داریم θ i = max { α i , β i } {\displaystyle \theta _{i}={\mbox{max}}\{\alpha _{i},\beta _{i}\}} \theta_i=\mbox{max} \{\alpha_i,\beta_i\}.

به عبارت دیگر ک.م. م دو عدد a,b عبارت است از حاصل ضرب عوال اول مشترک یا غیر مشترک آن‌ها با بزرگ‌ترین توان. برای اثبات قضایای فوق می‌توانید به مقالات بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک و کوچک‌ترین مضرب مشترک مراجعه کنید.
جستارهای وابسته

نظریه اعداد
عدد اول
بزرگترین مقسوم علیه مشترک
کوچک‌ترین مضرب مشترک
اصل استقرای ریاضی

منابع

Colilli, Paul (1981-01). "Bernardo, Aldo S. and Rigo Mignani. Ritratto Dell'Italia. 2nd Ed. Lexington, Massachusetts and Toronto: D.C. Heath and Company, 1978Bernardo, Aldo S. and Rigo Mignani. Ritratto Dell'Italia. 2nd Ed. Lexington, Massachusetts and Toronto: D.C. Heath and Company, 1978. Pp. IX, 317". Canadian Modern Language Review. 37 (2): 351–352. doi:10.3138/cmlr.37.2.351. ISSN 0008-4506. Check date values in: |date= (help)
J. H. P. (1970-06). "Rei Río, Amelia Agostini de. Flores del romancero. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1970Rei Río, Amelia Agostini de. Flores del romancero. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1970. 276 pp. $3.95 U.S." Canadian Modern Language Review. 26 (4): 77–77. doi:10.3138/cmlr.26.4.77b. ISSN 0008-4506. Check date values in: |date= (help)
ویلیام دبلیو. ادامز، لری جوئل گولدشتین (۱۳۸۴)، آشنایی با نظریه اعداد، ترجمهٔ دکتر آدینه محمد نارنجانی، تهران: مرکز نشر دانشگاهی، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۰۷۰-۶

تام آپوستل (۱۳۷۶)، نظریه تحلیلی اعداد (۱)، ترجمهٔ دکتر علی‌اکبر عالم‌زاده-علی‌اکبر رحیم‌زاده، تهران: نشر منصوری، شابک ۹۶۴-۶۱۶۶-۰۶-۷

نبو

Divisibility-based sets of integers
Overview

تجزیه اعداد طبیعی مقسوم‌علیه Unitary divisor Divisor function عدد اول قضیه اساسی حساب Arithmetic number


Divisibility of 60
Factorization forms

عدد اول اعداد مرکب Semiprime Pronic Sphenic Square-free عدد قدرتمند Perfect power عدد آشیل Smooth Regular Rough Unusual

Constrained divisor sums

عدد کامل Almost perfect Quasiperfect Multiply perfect Hemiperfect Hyperperfect اعداد فوق کامل Unitary perfect Semiperfect Practical Erdős–Nicolas

With many divisors

Abundant Primitive abundant Highly abundant Superabundant Colossally abundant Highly composite Superior highly composite Weird

Aliquot sequence-related

Untouchable اعداد موافق Sociable Betrothed

Other sets

Deficient اعداد دوست اعداد دوست Sublime Harmonic divisor Frugal Equidigital Extravagant

نبو

Fundamental mathematical theorems

قضیه اساسی حساب قضیه اساسی جبر قضیه اساسی حسابان Geometry
Curves Projective Riemannian Groups
Cyclic Finitely generated Abelian Linear algebra Linear programming Calculus of variations قضیه هلمهولتز Homomorphisms Galois theory

رده‌ها:

قضیه‌ها درباره اعداد اولقضیه‌های ریاضینظریه اعداد









المبرهنة الأساسية في الحسابيات
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل
اذهب إلى البحث
Disambigua compass.svg ميّز عن المبرهنة الأساسية في الجبر.
المبرهنة المتعلقة بالتحليل الأوحد لجداء عوامل بُرهنت من طرف غاوس في كتابه استفسارات حسابية الذي نُشر عام 1801.[1] في هذا الكتاب استعمل غاوس المبرهنة الأساسية من أجل البرهان على قانون التقابل التربيعي.[2]

المبرهنة الأساسية في الحسابيات (بالإنجليزية: Fundamental theorem of arithmetic)‏ أو ما يعرف بمبرهنة التحليل إلى جداء أعداد أولية هي مبرهنة رياضية تنص على أن كل عدد صحيح طبيعي غير منعدم يمكن كتابته على شكل جداء أعداد أولية، وهذه الكتابة وحيدة. ومثال ذلك:

6936 = 2 3 × 3 × 17 2 {\displaystyle 6936=2^{3}\times 3\times 17^{2}} {\displaystyle 6936=2^{3}\times 3\times 17^{2}} أو 1200 = 2 4 × 3 × 5 2 {\displaystyle 1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}} {\displaystyle 1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}}

محتويات

1 تطبيقات
1.1 التمثيل القانوني لعدد صحيح موجب
2 برهان أقليدس
2.1 الأعداد المؤلفة غير الأولية
2.2 برهان على الوحدانية
2.3 برهان أخر على الوحدانية
3 تعميمات
4 انظر أيضا
5 مراجع
6 وصلات خارجية

تطبيقات
التمثيل القانوني لعدد صحيح موجب

n = p 1 α 1 p 2 α 2 ⋯ p k α k = ∏ i = 1 k p i α i {\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}} {\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}}

برهان أقليدس
الأعداد المؤلفة غير الأولية
برهان على الوحدانية
برهان أخر على الوحدانية
تعميمات
انظر أيضا

دالة القاسم,
المبرهنة الأساسية في الجبر,
المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل,
تعميل عدد صحيح.

مراجع

Gauss & Clarke (1986, Art. 16)

Gauss & Clarke (1986, Art. 131)

وصلات خارجية


˂

عنت

Divisibility-based sets of integers

أيقونة بوابةبوابة رياضيات أيقونة بوابةبوابة نظرية الأعداد

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg
هذه بذرة مقالة عن الرياضيات او موضوع متعلق بها بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.
تصنيفات:

حسابيات نمطيةقسمةمبرهنات أساسيةمبرهنات حول الأعداد الأولية