اعداد متحابه-اعداد موافق

ثلاث رسائل للمحقق الدوانی، ص ٣٢٨-٣٣٠

تذليل ثمّ إنّي أريد أن أذيل هذه الرسالة بلطائف تبتنى على بعض مسائل ارثماطيقى ، استنبطها الحكماء الإلهيّون و العرفاء المتنزّهون ، من أرباب الأذواق العالية و أصحاب الحكمة الحقّة المتعالية. فمنها - إنّهم ذكروا أنّ الأعداد المتحابّة و هى كلّ عددين يكون كسور أحدهما مساويا للاخر، مثل مأتين و عشرين، و مأتين و أربعة و ثمانين، فإنّ كسور كلّ منهما يساوى الاخر، و لا محالة يكون أحد العددين زائدا و الاخر ناقصا، و العداد الزائد الّذي هو الناقص صورة، و هو (220) فى هذا المثال يسمّى عدد المحبّ، و العدد الناقص و الزائد صورة، و هو (284) فى هذا المثال، يسمّى عدد المحبوب . و طريق استخراج هذين العددين [فى المراتب الّتي يوجدان فيها] هو أن يؤخذ زوج الزوج كالأربعة فى المثال المذكور، و يضاف إليه واحد، فيصير خمسة، فيضرب فى اثنين، فيصير عشرة، فيزاد عليه واحد، يصير أحد عشر، نضربه فى الخمسة، يصير (55) نضرب هذا فى أربعة، يصير مأتين و عشرين، و هو عدد المحبّ . ثمّ نجمع الخمسة مع أحد عشر، يصير ستة عشر، نضربها فى الأربعة، يصير أربعة و ستّين، نضمّه إلى عدد المحبّ، تصير مأتين و اربعة و ثمانين، و هو عدد المحبوب. و هذان العددان لا يوجدان فى مرتبة الآحاد و العشرات، و ابتداء وجودهما من مرتبة المئات [ثمّ يوجدان فى غيرها من المراتب] و لا يوجد فى كلّ مرتبة إلاّ متحابّان فقط. و يشترط فى تحصيلها ان يكون الحاصل من زيادة الواحد على زوج الزوج فردا أوّل، و كذا الحاصل من زيادة الواحد على مضروب هذا الفرد الأوّل فى زوج الزوج [السّابق كأحد عشر فى المثال] كما بيّن في كتب الأرثماطيقى . ثم ذكروا أنّه اذا كان عند إنسان خاتم، أو لوح من فضّة أو ذهب أو غيرهما، و ينقش فيه مربع و فقه (220)، و عند آخر خاتم أو لوح من ذلك الجنس، فيه مربع وفقه (284)، فإنّ من عنده المربع الثّاني، يحبّ من عنده المربع الأوّل، و يميل إليه، بل ذكر أفلاطون: أنّه اذا اتفق أن يكون عند انسان العدد الأقل، من أىّ جنس كان، و عند آخر العدد الأكثر من ذلك الجنس، يترتّب عليه هذه الخاصيّة . و السّرفى تعيين العدد الأقلّ للمحبّ، أنّ المحبّ من حيث أنّه محبّ، أنقص من المحبوب من حيث أنّه يحتاج إليه و مشتاق إليه، فيناسب الأقلّ المحبّ، و الأكثر المحبوب. و قد قلت فى التعمية عن اسم ركن [هذا المعمّى] . گر واقفى از خواصّ أعداد بگشاى بحكمت اين معمّا اوّل عدد محبّ به دست آر بروى عدد محبّ بيافزاى و المراد بعدد المحبّ المذكور أوّلا، هو أقلّ العددين المتحابّين المذكورين و هو (ر ك  220) و بعدد المحبّ المذكور ثانيا هو عدد لفظ المحبّ بحساب الجمل و هو (ن 50). ثمّ إنّه ذكر بعض العرفاء الظرفاء الشّرفاء، أنّ جذب المغناطيس الحديد، مستند إلى كون مزاجهما على نسبة الأعداد المتحابّة، و كون مزاج أحدهما على العدد الأقلّ و الاخر على العدد الأكثر. أقول: هذا خيال لطيف، لكن لا يساعده التجربة، فإنّا شاهدنا أنّ المغناطيس يجذب المغناطيس، و قد كان عندنا قطعة قطعناها قطعا متخالفة و شاهدنا أنّ القطعة  الصغيرة تنجذب إلى الكبيرة ، و القطعتان المتساويتان تنجذب كلّ منهما إلى الاخر. و هذه التجربة تقتضى أن لا يكون الجذب و الانجذاب لما ذكره فإن أجزاء المغناطيس الواحد يجذب بعضها بعضا و لا اختلاف بينهما بحسب المزاج. و لئن توهّم أنّه لمّا كان الأجزاء العنصريّة المتمازجة فى الصغر و الكبر على تلك النسبة فهذا التوهّم مندفع : بأنّ الصغير على أىّ حدّ كان من الصغر، ينجذب إلى الكبير، و لو كان الأمر كما توهّم، لم يستمرّ الحكم فى جميع مراتب الصغر، و أيضا القطعتان المتساويتان متساويتان فى عدد أجزاء العناصر، فما وجه انجذاب كلّ منهما إلى الاخر، و لو كان العددان المتساويان مفيدا لهذه الخاصيّة لم يحتج إلى الأعداد المتحابّة [ثم لم يكن لتعيين العدد الأقلّ للمحبّ و تعيين عدد الأكثر للمحبوب وجه] فليدرك و اللّه الموفّق.

 فیثاغورثیان اولین قدمها را در رشد نظریه اعداد برداشته اند و در عین حال قسمت اعظم شالوده
ر از گرایی عددی آینده را ایجاد کرده اند لذا يا مبليخوس، فيلسوف صاحب نفود
نو افلاطونی حدود ۳۲۰ ب.م. کشف اعداد متحابه را به فیثاغورس نسبت داده است. دو
عدد متحابه اند اگر هر يك از آنها مساوی مجموع مقسوم علیه های حقیقی دیگری باشد.
برای مثال ۲۸۴ و ۲۲۰ که زوج منسوب به فیثاغورس را تشکیل می دهند، متحابه اند
زیرا مقسوم علیه های حقیقی ۲۲۰ عبارت اند از ۴۰۲،۱، ۱۱۰،۵۵،۴۴،۲۲،۲۰۰۱۱،۱۰۰۵،
و مجموع اینها ۲۸۴ است در حالی که مقسوم علیه های حقیقی ۲۸۴ عبارت اند از ۴،۲۰۱
۱۴۲،۷۱ و مجموع اینها ۲۲۰ است. این زوج اعداد در هاله ای عرفانی پوشیده شدند و
بعدها این عقیده خرافی پدید آمد که دو طلسم حاوی این اعداد دوستی تمام عیاری بین
حاملین آنها ایجاد خواهند کرد. این اعداد نقش مهمی در سحر جادو، احکام نجوم و
طالع بینی پیدا کردند به نظر میرسید هیچ زوج عدد متحابه جدیدی تا زمان اعلام اعداد
۱۷۲۹۶ و ۱۸۴۱۶ به عنوان زوج دیگری از طرف پیر دو فرما ۲ نظریه اعداددان بزرگ
فرانسوی در ۱۶۳۶، کشف نگردیده بود. مع هذا، در همین اواخر ثابت شده است که این کشف
مجددی بوده و این زوج عدد را قبلا ابن البنای مراکشی (۱۲۵۶-۱۲۳۱) در اواخر قرن
سیزدهم یا اوایل قرن چهاردهم شاید با استفاده از فرمول ثابت بن قره ( برای ملاحظه این
فرمول، به مطالعه مسئله ای ۱۱۰۷ رجوع کنید کشف کرده بوده است. دو سال بعد ریاضیدان و
فيلسوف فرانسوی رنه دکارت ۳ زوج سومی ارائه داد. ریاضیدان سویسی، لئونهارت اویلر ۴
جستجوی سازمان یافته ای برای یافتن اعداد متحابه به عمل آورد و در ۱۷۴۷، سیاهه ای
از ۳۰ زوج را عرضه کرد که بعداً به بیش از ۶۰ زوج گسترش یافت. امر عجیب دیگر
در تاریخ این اعداد کشف اعداد متحابه دور از نظر مانده و نسبتاً كوچك ۱۱۸۴ و ۱۲۱۰،
به وسیله پسرك شانزده ساله ایتالیایی نیکولو پاگانینی در سال ۱۸۶۶ بود. امروزه بیش
از ۱۰۰۰ زوج عدد متحابه معلوم شده اند.

عداد موافق (به انگلیسی: amicable numbers) دو عدد هستند که جمع ‌مقسوم علیه های یکی به غیر از خودش برابر دیگری باشد.

اعداد موافق، "دنبالهٔ عادکننده” ای (به انگلیسی: aliquot sequence) با دو جمله تشکیل می‌دهند. (دنبالهٔ عادکننده دنباله ای است که هر عدد مجموع مقسوم علیه های عدد قبلی، غیر از خودش، می‌باشد) درضمن، یک "عدد کامل" (به انگلیسی: perfect number)(که خودش مجموع مقسوم علیه هایش، به غیر از خودش، می‌باشد) یک دنبالهٔ عادکننده یک جمله ای تشکیل می‌دهد. اعدادی که جزوی از دنبالهٔ عادکننده ای با تعداد جملات بیش از ۲ هستند، “اعداد اجتماعی”(به انگلیسی: sociable numbers) نامیده می‌شوند.

اولین زوج‌های موافق به ترتیب عبارت اند از: (۲۲۰، ۲۸۴), (۱۱۸۴، ۱۲۱۰), (۲۶۲۰، ۲۹۲۴), (۵۰۲۰، ۵۵۶۴), (۶۲۳۲، ۶۳۶۸)

تاریخچه

اعداد موافق نزد پیروان مکتب فیثاغوری شناخته شده بودند و آن‌ها به این اعداد ویژگی‌های عرفانی نسبت داده بودند.

فرمولی کلی برای یافتن این اعداد توسط ثابت بن قره(۲۲۱-۲۲۸ق) کشف شد. ریاضی دانان عرب دیگری چون مسلمه المجریطی (۳۵۰-۴۰۹ ه. ق)، ابن طاهر بغدادی (۳۶۹- ۴۲۸ ه. ق.) و کمال‌الدین فارسی (۶۶۵- ۷۱۸ ه. ق.) نیز در مورد اعداد موافق مطالعه کردند.

ریاضی دان ایرانی، محمد باقر یزدی، زوج (۹۳۶۳۵۸۴، ۹۴۳۷۰۵۶) را یافت، علی‌رغم اینکه کشف این زوج معمولاً به دکارت نسبت داده شده.

قاعده ثابت بن قره دوباره توسط پییر دو فرما (۱۶۰۱–۱۶۶۵ م.) و دکارت (۱۵۹۶– ۱۶۵۰ م.) کشف شد که معمولاً به آن‌ها نسبت داده شده‌است. این قاعده بعدها توسط لئونارد اویلر کامل تر شد و در سال ۱۹۷۰ توسط "بورهو" (به انگلیسی: Borho) باز هم کامل تر شد. پییر دو فرما و دکارت همچنین زوج‌هایی موافق را کشف کردند که قبل تر توسط ریاضی دانان عرب کشف شده بود. کوچکترین زوج بعدی، (۱۱۸۴، ۱۲۱۰) در سال ۱۸۶۶ توسط B. Nicolò I. Paganini کشف شد.

در سال ۱۹۴۶، ۳۹۰ زوج کشف شده بودند اما ظهور کامپیوتر، کشف هزاران زوج دیگر را میسر کرد. در سال ۲۰۰۷ حدود ۱۲٬۰۰۰٬۰۰۰ زوج شناخته شده بودند.

یافتن اعداد موافق

برای یافتن اعداد موافق، قواعدی کشف شده‌اند که می‌توان با آن‌ها تعدادی از زوج‌های موافق را پیدا کرد.

قاعده “ثابت بن قره”

اولین قاعده “قاعده ثابت بن قره” هست^[۱] که طبق آن:

   p = ۳ × ۲n − ۱ − ۱,
   q = ۳ × ۲n − ۱,
   r = ۹ × ۲۲n − ۱ − ۱

که در آن، n>۱ عدد صحیح و p و q و r عدد اولاند. در نتیجه ۲ⁿ×p×q و ۲ⁿ×r زوجی موافق‌اند. این قاعده، زوج‌های (۲۲۰، ۲۸۴) (۱۷۲۹۶، ۱۸۴۱۶) (۹۳۶۳۵۸۴، ۹۴۳۷۰۵۶) به ترتیب با nهای ۲، ۴ و ۷ را بدست می‌دهد، ولی هیچ زوج موافق دیگری هنوز با آن پیدا نشده.

اعدادی به شکل ۳ × ۲n − ۱ به “اعداد ثابت” (منظور از ثابت، ثابت بن قره هست) معروف‌اند. برای این که این قاعده یک زوج موافق بدست بدهد، دو عدد ثابت متوالی باید عدد اول باشند.

قاعده “اویلر”

قاعده اویلر حالت کلی تر قاعده “ثابت بن قره” است.

   p = (۲(n - m)+۱) × ۲m − ۱,
   q = (۲(n - m)+۱) × ۲n − ۱,
   r = (۲(n - m)+۱)۲ × ۲m + n − ۱,

در این فرمول، n>m>۰ عدد صحیح و p و q و r عدد اولاند. ۲ⁿ×p×q و ۲ⁿ×r نیز زوجی موافق اند که بدست می‌آیند.

قاعده “ثابت بن قره” مشابه حالتی از قاعده اویلر است که m=n-۱.

با قاعده اویلر، دو زوج (۱٬۸), (۲۹٬۴۰) نیز پیدا شده‌اند اما هنوز هیچ زوج دیگری به وسیلهٔ این قاعده یافته نشده‌است.

استفاده از “رایانه”

البته امروزه می‌توان به وسیلهٔ رایانه، تک تک اعداد طبیعی را برای داشتن این شرط بررسی کرد: کد چنین برنامه‌ای در زبان c# به شکل زیر است:
(به انگلیسی: [] Error: {{Lang}}: فاقد متن (راهنما))

   {
       static Int64 Sum1(Int64 unknum1)
       {
           Int64 s = 0;
           for (int i = 1; i  -99; i++)
           {
               if (blvd1 = 11)
               {
                   Console.WriteLine("Please wait a little , next number is too large to be calculate fast");
                   Console.WriteLine("Wait...");
               }
           }

خروجی برنامه بدین شرح است خواهد بود وتا اعداد بسیار بزرگتر را نیز به مرور زمان بررسی خواهد کرد اما هرچه اعداد بزرگتر می‌شوند، زمان مورد نیاز برای بررسی اعداد بسیار بیشتر می‌شود:

زوج‌های باقاعده

اگر (m,n) زوجی موافق باشد که m>n آنگاه m=gM و n=gNرا در نظر بگیرید که g بزرگترین مقسوم علیه مشترک m و n است. اگر M و N هردو نسبت به g متباین و همچنین هردو بر هیچ مربع کاملی بخش پذیر نباشند (به عددی که به هیچ مربع کاملی بخش پذیر نیست، square free numbers می‌گویند)، این زوج موافق، با قاعده و در غیر این صورت بی قاعده‌است.

اگر (m,n) زوجی با قاعده باشد و i و j به ترتیب عوامل اول M و N باشند، آنگاه (m,n) زوجی از نوع (i,j) نامیده می‌شود. مثلاً اگر(m,n)=(۲۲۰٬۲۸۴)، بزرگترین مقسوم علیه مشترک آن‌ها ۴ است، پس M=۵۵ و N=۷۱ می‌باشند، پس (۲۲۰، ۲۸۴) زوجی با قاعده از نوع (۲، ۱)می‌باشد.

نتایج دیگر

1. تمام روج‌های موافق شناخته شده، یا هردو زوج یا هردو فرد اند، هنوز نمی‌دانیم که آیا زوجی موافق به صورت زوج-فرد وجود دارد یا خیر. اگر چنین زوجی وجود داشته باشد، عدد زوج باید یک مربع کامل یا دو برابر آن باشد و عدد فرد نیز، یک مربع کامل باشد.
2. اعداد هر زوج، حد اقل یک عامل مشترک بزرگتر از یک دارند.
3. هنوز نمی‌دانیم آیا زوج موافق متباینی وجود دارد یا خیر، ولی اگر چنین باشد، حاصلضرب آن دو باید بیشتر از ۱۰^۶۷ باشد، درضمن چنین زوجی نمی‌تواند از قاعده “ثابت بن قره” یا قاعده‌ای مشابه بدست آمده باشد

اعداد متحابه:

بررسی تاریخ شگفت انگیز و جالب عددهای متحابه نشان میدهد که این عددها در جادوگری ونجوم طالع بینی، ساخت طلسم ودرست کردن داروی محبت نقش مهمی داشته اند.
یونانیهامعتقد بودند که این عددها در ایجاد وتحکیم دوستی میان انسانها تاثیر ویژه ای دارند. ایامبلیخوس فیلسوف اهل خالکیس(۲۵۰-۳۳۰ بعد ازمیلاد) کشف زوج ۲۲۰و۲۸۴ را به فیثاغورثیان نسبت داد.

او می نویسد :
آنها برخی از عددها را عددهای متحابه می نامند وبرای عددهایی مانند ۲۲۰و۲۸۴ فضیلتها و کیفیتهای اجتماعی قایل هستند.
مفسران کتاب مقدس پی بردند که درسفر پیدایش ، تعداد حیوانات اهدایی یعقوب به عیسی۲۰۰بز ماده و۲۰ بز نر که درمجموع 220 است که عضو کوچکتر زوج کلاسیکی از اعداد متحابه است.

به گفته ی یکی از مفسران یعقوب برای تامین دوستی عیسی تعداد هدایای خویش را((به ترتیب اسرار آمیزی))خردمندانه انتخاب کرد.

عربی به نام المجریطی اهل مادرید که در سده ی یازدهم می زیسته نقل کرده که تاثیر احساسی این دو عدد را آزمایش کرده است به این ترتیب که یک شیرینی به شکل عدد۲۲۰به کسی تعارف کرده وخودیک شیرینی به شکل ۲۸۴را خورده اما نتیجه ی کار را توصیف نکرده.

یکی از نشانه های کندی پیشرفت نظریه اعداد این است که تا دهه ی ۱۶۳۰ کسی نتوانسته بودبه زوجی از عددهای متحابه که توسط یونانیها کشف شد ، زوج دیگری اضافه کند.
نخستین قاعده ی صریحی که برای پیدا کردن بعضی از گونه های اعداد متحابه وضع شدمنسوب به ثابت بن قره ریاضیدان عرب سده ی نهم است . او در یکی از دست نوشته هایش نشان می دهد که : اگر سه عدد
p=3*2^n-1 -1 and q=3*2^n-1 and r=9*2^((2*n)-1) همگی اول باشند and n>=2 then (2^(n))*p*q and (2^n)*r  متحابه هستند.

قاعده ی ثابت ، زمانی مثمر ثمر شد ، که دوباره توسط فرما و دکارت کشف شدو با استفاده از آن دومین وسومین زوج اعداد متحابه بدست آمد. فرما در نامه ای به مرسن در سال ۱۶۳۶اعلام کرد که ۱۷۲۹۶و۱۸۴۱۶زوجی متحابه هستند و دکارت درنامه اش به مرسن در۱۶۳۸ نوشت که زوج ۹۳۶۳۵۸۴و۹۴۳۷۰۵۶ متحابه را یافته.

زوج فرما به ازای ا  n=قاعده ثابت به دست آمد : ۴
عددهای اول متناظر عبارتند از:
p=23 q=47 r=1151

و زوج دکارت نیز به ازای n=7
p=191 q=383 r=73727

در دهه ی ۱۷۰۰ ایلر یکجا فهرستی از ۶۴ زوج متحابه عرضه کرد. بعدها متحابه نبودن دو تا از این زوجها یکی در۱۹۰۹ ودیگری در ۱۹۱۴ معلوم شد. در۱۸۳۰آدریان ماری لژاندر زوج دیگری پیدا کرد ۲۱۷۲۶۴۹۲و۸۵۲۰۱۹۱

نتیجه گیری:

با جستجوهای گسترده ی کامپیوتری بیش از ۷۵۰۰  زوج متحابه که برخی تا۲۸۲ رقم دارند به دست آمده است اینها شامل همه ی عددهای متحابه ای هستند که مقدارشان از ۱۰^۱۰ کوچکتر است تا کنون نه تنها متناهی یا نامتناهی بودن تعداد زوجهای متحابه معلوم نشده زوج متحابه ایی که عددها ی آن متباین باشند نیز به دست نیامده است.
فقط ثابت شده که هر یک از عددهای هر زوج از عددهای متباین متحابه باید بزرگتر از ۲۵^۱۰ باشد و حاصلضرب آنها باید بر حداقل ۲۲ عامل اول متمایز بخش پذیر باشد . بر خلاف عددها ی تام(زوج)که فرمول واحدی برای تولید آنها وجود دارد قاعده ی شناخته شده ای برای پیدا کردن همه ی زوجهای متحابه عدد ها وجود ندارد.