بسم الله الرّحمن الرّحيم

تحریر اصول اقلیدس

کتابشناسی

سایت دائرة المعارف بزرگ اسلامی

تَحْریرِ اُقْلیدِس، روایت عربی بازنگری شدۀ اصول هندسۀ اقلیدس، توسط نصیرالدین طوسی (ه‍ م). از گزارش مسعودی که ابن‌خلدون نیز مضمون آن را تأیید می‌کند، می‌توان دریافت که دست‌کم از روزگار منصور روایتی عربی از اصول اقلیدس در دست بوده است. از آن هنگام تا روزگار نصیرالدین این اثر دو بار توسط حجاج بن یوسف بن مطر (ترجمه‌های مشهور به هارونی و مأمونی)، و یک‌بار نیز توسط اسحاق بن حنین به عربی ترجمه شد که ثابت بن قره آن را اصلاح کرد.
نگـارش آثاری در تفسیر، شرح،‌تلخیص، اصلاح، یا تحـریر و بازنگاری تمام یا بخشی از اصول اقلیدس از همان یونان باستان آغـاز و در دورۀ اسلامی نیز به صورتـی پیگیر دنبال شـد (نک‍ : ه‍ د، ترجمه، بخش ترجمه‌های نخستین؛ نیز،۹ / ۶۷۲). نصیرالدین طوسی نیز به پیروی از همین سنت کهن کوشید روایتی پاکیزه و روان و آسان فهم از اصول اقلیدس فراهم آورد. تا جایی که می‌دانیم عنوان تحریر [اصول] اقلیدس را پیش از وی، ابوالقاسم علی بن اسماعیل نیشابوری نیز ــ که ظاهراً پیش‌از سدۀ ۵ق می‌زیسته ــ برای روایت بازنگاری شدۀ خود از اصول اقلیدس به‌کار برده بود (GAS, V / ۳۸۶)، اما اثر نصیرالدین طوسی در کوتاه‌مدت چنان شهرت یافت که از آن پس تقریباً همۀ فعالیتهای دانشمندان دورۀ اسلامی دربارۀ اصول اقلیدس، روی این روایت بازنگاری شده متمرکز شد (نک‍ : ادامۀ مقاله).
نصیرالدین در بازنویسی این اثر، بر آن بوده است که از شرح مملّ و ایجاز مخلّ دوری گزیند (تحریر...، ۲). وی در این تحریر نیز همچون تحریرالمجسطی (ه‍ م) که پیش‌تر به انجام رسانده بود (همانجا، سطر ۳)، افزوده‌های خود را به شیوۀ شرحهای قال ـ اقول، با ذکر عبارت «اقول» متمایز می‌سازد و گاه در پایان این افزوده‌ها از عبارت «اعود (یا نعود) الی الکتاب» بهره می‌گیرد (مثلاً ص ۲۱، ۳۶). نصیرالدین در بازنگاری این اثر هم به روایت حجاج و هم به روایت اسحاق‌ ـ ثابت که آن را «نسخۀ ثابت» می‌نامد، دسترسی داشته است. وی روایت [ اسحاق ـ] ثابت را که در مجموع، ۱۰ قضیه بیش از روایت حجاج داشته، و گاه ترتیب قضایای آن متفاوت بوده، اساس کار خود قرار داده است (ص ۲). طوسی به‌رغم گرایش آشکار به ایجاز، یکایک این اختلافها را در موضع خود یادآور شده است. مثلاً در پایان قضیۀ ۴۵ از مقالـۀ اول (بر اساس روایـت اسحـاق ‌ـ ثابت) آورده است: این قضیه در نسخۀ حجاج نیست (ص ۲۷؛ برای دیگر کاستیهای این روایت نسبـت بـه روایت اسحـاق ‌ـ ثابت، نک‍ : همان، ۶۲، ۸۹؛ زیادات ثابت، ۱۲۴: هی من زیاداته)؛ گاه این اختلاف تنها بر سر روش دیگری برای اثبات یک قضیه یا تعاریفی بیشتر است. مثلاً در قضیۀ ۹ از مقالۀ ۳ آورده است: «ثابت گوید که در برخی نسخ که در دست داشته روش دیگری نیز آمده است...» (ص ۵۰، نیز ۷۰-۷۱، ۹۹-۱۰۰).
نصیرالدین هرگاه ترتیب قضایا در دو روایت پس و پیش بوده، ترتیب اسحـاق‌ ـ ثابت را برگزیده، و موارد اختلاف در نسخۀ حجاج را متذکر شده (ص ۱۱۳-۱۱۴، ۱۱۸، ۱۱۹: اشاره به ترتیب متفاوت قضایا در آن نسخه)، و شمارۀ هر قضیه در نسخۀ ثابت را با شنگرف، و شمارۀ آن قضیه در نسخۀ حجاج را با جوهر مشکی نوشته است (برای تصریح نصیرالدین بر این نکته، نک‍ : ص ۲، که در نسخۀ چاپی رعایت نشده است). به تأکید وی از مقالۀ ۱۱ به بعد در مبحث مجسمات هیچ اختلافی در دو روایت نیست (ص ۱۵۴).
بی‌گمان مهم‌ترین و یکی از مفصل‌ترین افزوده‌های نصیرالدین بر این کتاب پیش از قضیۀ ۲۹ مقالۀ اول اصول آمده است. اقلیدس در این قضیه برای نخستین‌بار اصل پنجم، یعنی همان اصل مشهور توازی را به کار برده است که بسیاری از ریاضی‌دانان مسلمان در به کار بردن آن به عنوان یک اصل تردید داشتند (نک‍ : ه‍ د، توازی). شرح نصیرالدین دربارۀ این قضیه چندان برایش مهم بوده که در آغاز تحریر مقالۀ نخست و پس از ذکر اصل پنجم تأکید می‌کند که این اصل به اندازۀ اصول دیگر بدیهی به نظر نمی‌رسد و شایسته است که در شمار مسائل یاد شود نه مصادرات، و وعده می‌دهد که در جایی مناسب‌تر در این‌باره سخن گوید (ص ۴، نیز الرسالةالشافیة...، ۲-۳؛ قاضی‌زاده، ۶۲-۶۳). سپس پیش از ذکر قضیۀ ۲۹، نخستین قضیه‌ای که بدون بهره‌گیری از اصل پنجم نمی‌توان آن را ثابت کرد، آورده است: اکنون هنگام ذکر آن گزاره‌ای است که اقلیدس آن را مصادره (اصل موضوع) قرار داده و بیان آن را در آغاز کتاب وعده کرده بودم. من آن را با ۷ قضیه مستدل می‌سازم (تحریر، ۱۶-۲۰).
قضیۀ هفتم الحاقی نصیرالدین درواقع همان اصل پنجم به روایت اقلیدس است (همان، ۴، ۱۹، الرسالةالشافیة، ۳۳. به گمان نصیرالدین اگر این ۷ قضیه به عنوان قضایای ۲۹ تا ۳۵ کتاب اصول فرض شود، می‌توان گزارۀ توازی را از شمار اصول موضوعه خارج ساخت. این قضایای اضافی درواقع همان قضایایی است که نصیرالدین در الرسالةالشافیة فی شک عن خطوط المتوازیۀ خود به تفصیل بیان کرده، و افزون بر این از سابقۀ توجه ریاضی‌دانان مسلمانی چون جوهری، ابن هیثم و خیام به اصل توازی سخن رانده است (ص ۲۶-۳۶، جم‍‌). نصیرالدین همچنین دو قضیۀ دیگر مطرح می‌کند که می‌توانند بدل قضایای ششم و هفتم الحاقی وی باشند و سپس می‌توان اصل توازی را به عنوان قضیۀ الحاقی هشتم ثابت کرد (نک‍ : تحریر، ۲۰-۲۱، الرسالةالشافیة، ۳۴-۳۶).
قاضی‌زادۀ رومی در شرح اشکال التأسیس نجیب‌الدین سمرقندی، روشی را که اثیرالدین ابهری (ه‍ م) برای اثبات گزارۀ توازی در اصلاح اصول اقلیدس در پیش گرفته، بهتر از روش نصیرالدین دانسته است (ص ۶۵). البته در همۀ این روشها، عملاً گزاره‌ای معادل اصل توازی، دانسته یا نادانسته به کار رفته است و نصیرالدین طوسی و ابهری نیز از این قاعده مستثنى نبوده‌اند.
چنان‌که گفته شد، تحریر نصیرالدین طوسی در اندک مدتی همۀ روایتهای عربی دیگر را کنار زد و از آن به بعد تقریباً همۀ ریاضی‌دانانی که می‌خواستند به اصول اقلیدس بپردازند، فعالیت خود را روی روایت نصیرالدین متمرکز ساختند. شماری از آثار مبتنی بر تحریر خواجه بدین قرار است:
الف ـ ترجمه‌های فارسی

۱. ترجمۀ فارسی قطب‌الدین شیرازی(۶۳۴-۷۱۰ق، شاگرد نامدار نصیرالدین)که آن را به‌عنوان فن نخست از جملۀ چهارم دانشنامۀ خود درةالتاج لغرة الدباج آورده ‌است. این ‌فن برخلاف فنون ‌دیگر جملۀ‌ چهارم به‌ چاپ نرسیده است (قربانی،۳۵۲، ۴۹۷). ۲. ترجمۀ تحریر اقلیدس توسط محمدمهدی فرزند محمدحسن منجم از سدۀ ۱۳ق (همانجا). ۳. ترجمۀ فارسی ۶ مقالۀ نخست تحریر از مترجمی ناشناس‌که در۱۸۲۴م در کلکته منتشر شده است (همو، ۴۹۶-۴۹۷).
ب ـ شرحها و حواشی

۱. حاشیۀ کمال‌الدین فارسی (۶۶۵-۷۱۸ق)، موجود در لیدن. ۲. حاشیۀ علی بن محمد مشهور به میرسید شریف جرجانی(۷۴۰-۸۱۶ق)، موجود در کتابخانۀ مرکزی دانشگاه تهران (شم‍ ۱۰۸۶). ۳. حاشیۀ موسی بن محمدبن محمود مشهور به قاضی‌زادۀ رومی (۷۶۶-۸۴۰ق). ۴. حاشیۀ قاضی کمال‌الدین حسین بن معین‌الدین حسینی یزدی میبدی (مق‍ ح ۹۱۰ق). نسخی از آن در کتابخانۀ آستان قدس و سپهسالار موجود است (نک‍ : همو، ۴۷۴). ۵. تعلیقة علی التحریر اقلیدس از شمس‌الدین محمدبن احمد خفری مشهور به فاضل خفری (د ۹۵۸ق)، که نسخۀ آن در کتابخانۀ شمارۀ یک مجلس موجود است (همو، ۴۹۷). ۶. ملخص تحریر اقلیدس توسط امیر زین‌العابدین بن محمد حسینی معاصر میرداماد، موجود در آستان قدس رضوی (نک‍ : همانجا). ۷. شرح تحریر کتاب اقلیدس به عربی توسط میرمحمد هاشم علوی (د ۱۰۶۱ق) موجود در کتابخانۀ رامپور. همچنین باید از این آثار یاد کرد: شرح محمدباقر یزدی(زنده در۱۰۴۷ق) بر مقالۀ دهم با نام شرح المقالۀ العاشرة من تحریر اصول اقلیدس که در آن جمله‌هایی از مقالۀ دهم تحریر نصیرالدین طوسی را نقل، و سپس شرح کرده است. از این اثر چند نسخه در کتابخانه‌های ایران موجود است (همو، ۴۴۰). رسالۀ مختصری به زبان عربی از ابوالحسن کاشی (د ۹۲۸ق) دربارۀ اِشکالی که به نظر او بر قضیۀ پانزدهم از مقالۀ سوم اصول اقلیدس وارد بوده است(دونسخه از این رساله در کتابخانۀ مجلس موجود است)، تقریرالتحریر تقی‌الدین ابوالخیر محمدبن محمد فارسی که ظاهراً براساس تحریر طوسی نوشته شده است (نک‍ : ه‍ د، تحریر؛ قربانی، ۴۹۷).
تحریر اقلیدس چاپ رم

: در ۱۵۹۴م متن عربی تحریر دیگری از اصول اقلیدس در رم منتشر شد. که در متن آن هیچ‌گونه اشاره‌ای به نام محرر نرفته است. گویا ناشر تنها باتوجه به شهرت بسیار تحریر اصول نصیرالدین، این تحریر را از وی پنداشته است. اما با اندک مقایسه‌ای میان این تحریر، که در تاریخ ریاضیات اهمیتی ویژه دارد (نک‍ : ادامۀ مقاله) و تحریر اقلیدس چاپ شده در تهران (که یقیناً همان تحریر طوسی است) می‌توان دریافت که نه تنها با دو اثر کاملاً متفاوت، که با اطمینان می‌توان گفت با دو مؤلف متفاوت مواجهیم. گذشته از تفاوت نثر دو نگارنده که هم در شیوۀ بیان صورت قضایا و مسائل و هم در شیوۀ ذکر توضیحات در سراسر کتاب آشکار است، می‌توان به این تفاوتها نیز اشاره کرد: در مقدمۀ تحریر چاپ رم برخلاف همۀ تحریرهای طوسی و ازجمله تحریر اقلیدس وی (نک‍ : آغاز مقاله)، به جای اشاره به روایتهای عربی متفاوت اصل اثر و اختلاف نسخ، روایت عامیانۀ مذکور در اغراض کتاب اقلیدس یعقوب بن اسحاق کندی دربارۀ سرگذشت این اثر (که آپولونیوس پرگایی را مؤلف واقعی اصول و اقلیدس را تنها محرر آن کتاب می‌داند) با تغییراتی اندک یاد شده است (تحریر اقلیدس، ۲؛ قس: ابن ندیم، ۲۶۶). محرر این روایت که ظاهراً به هر دو ترجمۀ حجاج بن یوسف و روایت اسحاق‌ـ ثابت دسترسی داشته، و در آغاز هر مقاله شمار قضایا را تنها بر اساس روایت نخست ذکر کرده، اما در متن مقالات همچون نصیرالدین ترتیب روایت دیگر را برگزیده، ولی در موارد اختلاف میان این دو، برخلاف نصیرالدین به تفصیل گراییده است (مثلاً نک‍ : تحریر اقلیدس، ۳، ۶۳: مقالۀ اول و سوم در ۴۷ و ۳۵ شکل، به‌ویژه ص ۴۴، ۹۲: چون این قضیه (که ثابت در آخر مقالۀ سوم آورده) در نسخ یونانی و سریانی نیامده، حجاج از ذکر آن خودداری کرده است؛ قس: طوسی، تحریر، ۲، ۴۵؛ در هر دو مورد، نسخۀ ثابت یک قضیۀ اضافی دارد). نگارندۀ تحریر اقلیدس چاپ رم نیز هنگام ذکر اصل پنجم وعدۀ اثبات این قضیه را چنان‌که خود یافته است، بدون افتادن در دور می‌دهد (ص ۴: صححتها ببعض مسائل‌الکتاب من غیر دور و قد استنبطت لاثباتها برهانا اذکره فی موضع یلیق). سپس پیش از قضیۀ ۲۹، برای اثبات اصل پنجم ۳ مقدمه و قضیه ذکر می‌کند (ص ۲۸-۳۳) که با روش نصیرالدین طوسی در تحریر اقلیدس و الرسالةالشافیة فرق دارد.
نسخۀ خطی مورد استفاده در چاپ رم در ۶۹۸ق (۲۶ سال پس از مرگ خواجه و ۵۲ سال پس از نگارش تحریر اقلیدس توسط وی) کتابت شده (قربانی، ۴۹۶)، و درنتیجه مؤلف احتمالاً معاصر نصیرالدین یا حداکثر اندکی جوان‌تر از وی بوده است. ترجمۀ لاتینی تحریر اقلیدس چاپ رم نیز در ۱۶۵۷م در رم منتشر شد و دانشمندانی چون والیس و ساکری در پژوهشهای خود دربارۀ اصل توازی، عمیقاً از آن تأثیر گرفتند. چنان‌که می‌دانیم این پژوهشها سرانجام به پیدایش هندسه‌های نااقلیدسی انجامید (دربارۀ چگونگی این تأثیر و تفصیل موضوع، نک‍ : ه‍ د، توازی، اصل).
مآخذ

ابن ندیم، الفهرست، به کوشش گوستاو فلوگل، لایپزیگ، ۱۸۷۱-۱۸۷۲م؛ تحریر اقلیدس، از نگارنده‌ای ناشناس، رم، ۱۵۹۴م؛ قاضی‌زادۀ رومی، موسى، شـرح اشکال‌‌التأسیـس نجیب‌ الـدین سمـرقندی، به‌کـوشش‌ محمد سویسـی، تـونس، ۱۹۸۴ق / ۱۴۰۵م؛ قربانی، ابوالقاسم، زندگی‌نامۀ ریاضی‌دانان دورۀ اسلامی، تهـران، ۱۳۶۵ش؛ نصیرالدین طوسی، محمد، تحریر اقلیدس، چ سنگی، تهران، ۱۲۹۸ق؛ همو، الرسالةالشافیة، حیدرآباد دکن، ۱۳۵۹ش؛ نیز: GAS. 

همچنین رجوع کنید به مقاله معرفی تحریر اصول اقلیدس

دانلود کتاب

لینک کتاب  تحریر اصول اقلیدس با چاپ نفیس قسطنطنیه

ترجمه کتاب

لینک نسخه خطی ترجمه کتاب به وسیله قطب الدین شیرازی

سایت تفرید

کتاب اصول اقلدیس بدون شک یکی از مهمترین کتب در علم ریاضیات و هندسه است که ۳۰۰ سال قبل از میلاد یعنی در حدود ۲۳۰۰ سال پیش نوشته شده است.

این کتاب گرانقدر را پدر هندسه، جناب اقلیدس (Euclid) که از دانشمندان برجسته یونان بود در ۱۳ مقاله به رشته قلم درآورده است.

کتاب اصول اقلیدس که بعدها دو مقاله دیگر توسط ابسقلاوس به آن افزوده شده، از همان دوران یکی از کتب درسی حوزه‌های علمیه مغرب زمین بود و از اولین کتبی بوده که توسط مسلمانان در نهضت ترجمه به زبان عربی ترجمه و مورد توجه حوزه‌های درس و بحث قرار گرفته است.

جناب خواجه نصیرالدین طوسی این کتاب را در ۶۴۶ ه.ق به زبان عربی تحریر (بازنویسی) کرد که به تحریر اصول اقلیدس مشهور شد. پس از آن قطب‌ال

دین شیرازی این تحریر را به زبان فارسی ترجمه نمود که این ترجمه را نشر مولی با تعلیق سید عبدالله انوار و تصحیح سلمان مفید در سال ۱۴۰۱ به طبع رسانیده است.

کتاب تحریر اصول اقلیدس که انشتارت مولی آن را منتشر نموده با عرضه به نسخۀ نفیس که سابق متعلق به کتابخانۀ مجلس سنا بوده تصحیح و تنظیم شده.

یکی از نسخ منبع در زمان حیات علامه شیرازی (محمودبن مسعودبن مصلح‌الدین شیرازی ملقب به قطب‌الدین شیرازی، ۶۳۳ – ۷۱۰ ه.ق) نوشته شده که بعدها میر سید شریف جرجانی آن تحشیه نموده.

در کتاب مذکور علاوه بر تصحیح و مقابله با نسخ مورد اعتماد دردست، هم حواشی میرسید شریف لحاظ شده و هم تعلیقات دانشمند گرانقدر سید عبدالله انوار.

شرح ملامهدی نراقی بر کتاب

مؤسسه پژوهشی حکمت و فلسفه ایران

توضیح الاشکال

«توضیح الأشکال» شرحی است که محمدمهدی نراقی به فارسی بر «تحریر اصول اقلیدس» نوشته است. تحریر «اصول اقلیدس» روایت بازنگری‌شدۀ خواجه نصیرالدین طوسی به زبان عربی از کتاب «اصول اقلیدس» و مهم‌ترین کتاب در ریاضیات دورۀ اسلامی است.

«توضیح الأشکال» شرحی است که محمدمهدی نراقی به فارسی بر «تحریر اصول اقلیدس» نوشته است. تحریر «اصول اقلیدس» روایت بازنگری‌شدۀ خواجه نصیرالدین طوسی به زبان عربی از کتاب «اصول اقلیدس» و مهم‌ترین کتاب در ریاضیات دورۀ اسلامی است. کتاب اصول نوشتۀ اقلیدس، مشهورترین ریاضی‌دان دوران باستان است که در آن ریاضیات یونانی تا سال سیصد قبل از میلاد، به صورت علمی، تنظیم و عرضه شده و تا زمان حاضر، مبنای تعلیم هندسۀ مقدّماتی بوده است.

اقلیدس ریاضی‌دانی یونانی بود که در قرن سوم پیش از میلاد در شهر اسکندریه می‌زیست. او نویسندۀ موفق‌ترین کتاب درسی تاریخ اصول است که مدت دوهزار سال، شالودۀ تمام آموزش هندسه در غرب بود. کتاب «تحریر» شرح بی‌بدیل کتاب «اصول» اقلیدس صوری است که به زبان عربی ترجمه شده و مهم‌ترین کتاب در ریاضیات دورۀ اسلامی است. نویسندۀ «تحریر» خواجه نصیرالدین طوسی است.

مطالب کتاب «تحریر اصول اقلیدس» بدین قرار است:

مقالۀ اول: دربارۀ تعریف مقدماتی، اصول موضوعه و اصوف متعارفی هندسه و خواص خطوط موازی و برخی روابط مثلثاتی؛ مقالۀ دوم: دربارۀ اتحادها و روابط جبری تبدیل مساحت‌ها؛ مقالۀ سوم: شامل قضایایی دربارۀ دایره‌ها، وترها و اندازه‌گیری زاویه‌های مربوط به آنها؛ مقالۀ چهارم: دربارۀ ترسیم‌های هندسی (ترسیم چندضلعی‌های منظم محاطی و محیطی)؛ مقالۀ پنجم: دربارۀ نظریۀ تناسب؛ مقالۀ ششم: دربارۀ کاربرد نظریۀ تناسب در هندسۀ مسطحه؛ مقالات هفتم تا نهم: جملگی دربارۀ نظریۀ مقدماتی اعداد (از جمله تناسب‌های مسلسل، تصاعدهای هندسی و اعداد اول)؛ مقالۀ دهم: دربارۀ اعداد گنگ با استفاده از ترسیم آنها به صورت پاره‌های خط‌های نامتوافق؛ مقالۀ چهارده و پانزده: مقالات الحاقی به صورت متمم‌هایی دربارۀ هندسۀ مسطحه و فضایی. این کتاب مشتمل بر شرح اثبات قضایای اصول به همراه بیشتر از دویست یادداشت در توضیح متن است که معمولاً با عبارت «اقول» یا «نقول» شروع شده و تمام این یادداشت‌ها را خواجه از عقل خود یا از نوشته‌های دیگران استفاده نموده است. در بعضی از این یادداشت‌ها، راه‌حل‌های جدید یا حالت‌هایی به برخی قضایای اقلیدس اضافه شده است.

اما این کتاب، یعنی «توضیح الاشکال» بیش از آنکه شرحی بر «تحریر اصول اقلیدس» باشد، آموزش شرح‌نویسی در تمام علوم به‌ویژه علم هندسه است. شرح‌نویسی فن خاصی است؛ یعنی شارح باید خود را در زمرۀ کسانی قرار دهد که کمترین شناخت و کمترین فهم در آن علم را دارند تا بتواند دقایق و ظرایف آن علم را به خواننده انتقال دهد و هر دانشجویی را با هر استعدادی بر قله‌های رفیع علم بنشاند.

مطالعۀ «تحریر اصول اقلیدس» نشان می‌دهد که با وجود تلاش خواجه نصیر، هنوز آن قلم هندسی که بتواند نگاه هندسی کامل را در مخاطب ایجاد کند، وجود ندارد؛ چراکه ارتباط میان اشکال و اصول موضوعه و علوم متعارف کم‌رنگ است و این نکته گرچه در نظر دیگران کم‌اهمیت جلوه می‌کند، اما تأمین ساختار هندسی ذهن مخاطب مرهون آن است. ملامهدی که توانسته هندسه را در تکوین جهان به‌خوبی مشاهده کند، می‌داند که رهیافت به حقیقت هندسه بدون پررنگ‌کردن ارتباط میان اشکال با یکدیگر و نیز ارتباط گام به گام اشکال با اصول موضوع و علوم متعارف امکان‌پذیر نیست و این همان چیزی است که برخی شارحان از آن غافل مانده‌اند.

ملامهدی در این کتاب در راستای همین فهم دقیق هندسی است که اصلی دیگر به اصول موضوعه اضافه می‌کند ـ اصل: و مخفی نماند که باید تسلیم نمود که زاویه قبول قسمت می‌کند ـ و می‌گوید: و این مقدمه را هرچند محرر ذکر نکرده است، اما در بعضی مواضع احتیاج به او می‌شود؛ لهذا او را ذکر کردیم.

به طور کلی می‌توان ویژگی‌های این شرح را چنین برشمرد: فارسی روان بودن آن؛ و به گفتۀ مؤلف شرح‌های پیش از این کتاب بیشتر ترجمه هستند تا شرح و نتوانسته‌اند مشکلات و معضلات تحریر خواجه را برطرف نمایند؛ بنابراین انگیزۀ نویسنده حل معضلات تحریر خواجه بوده و این کتاب توانسته در بالاترین سطح شرح آن باشد.

این کتاب از روی سه نسخۀ خطی تصحیح شده که نسخۀ دانشگاه ucla آمریکا به عنوان نسخۀ اساس بوده است. دو نسخۀ دیگر در مجمع ذخایر اسلامی و مدرسۀ عالی شهید مطهری نگه‌داری می‌شوند.

درس گفتار

دروس استاد زمانی قمشه ای بارگذاری شده در سایت آپارات

متن کتاب

توضیحات: متن اصل اول از اصول موضوعه تحریر اصول اقلیدس؛ ناقص و بدون بارگذاریِ شکل های به کار رفته در متن

تحرير اصول اقليدس

بسم الله الرّحمن الرّحيم

الحمد لله الذى منه الإبتداء و اليه الإنتهاء و عنده حقايق الأنباء و بيده ملكوت الأشياء و صلواته على محمّد و آله الأصفياء.

و بعد: ⁽¹⁾فلمّا فرغت عن تحرير المجسطي رأيت أن أحرّر كتاب اصول الهندسة و الحساب المنسوب الى اقليدس الصّورى بإيجاز غيرمخلّ و أستقصى في ثبت مقاصده إستقصاء غير مملّ و أضيف اليه ما يليق به ممّا استفدته من كتب اهل هذا العلم و استنبطته بقريحتي و أفرز ما يوجد من اصل الكتاب في نسختى الحجاج و ثابت عن المزيد عليه إمّا بالإشارة الى ذلك او باختلاف الوان الأشكال و ارقامها ففعلت ذلك متوكّلا علي الله انّه حسبي و عليه ثقتى.

اقول: ⁽²⁾الكتاب يشتمل علي خمسة عشرة مقالة مع الملحقتين بآخره و هى أربعمأة و ثمانية و ستون شكلا فى نسخة الحجاج و بزيادة عشرة اشكال فى نسخة ثابت و فى بعض المواضع فى الترتيب ايضا بينهما اختلاف و انا رقمت عدد اشكال المقالات بالحمرة لثابت و بالسواد للحجّاج اذا كان مخالفه[له].

المقالة الأولى

⁽³⁾سبعة و اربعون شكلا و فى نسخة ثابت بزيادة شكل« مه» و قد جرت العادة بتصديرها بذكر حدود و اصول موضوعة و علوم متعارفة يحتاج اليها فى بيان الأشكال.

الحدود

⁽⁴⁾النقطة: ما لا جزء له يعني من ذوات الأوضاع، ⁽⁵⁾الخط: طول بلا عرض و ينتهي بالنقطة، و ⁽⁶⁾المستقيم منه هو الذي يكون وضعه على أن يتقابل اىّ نقطة يفرض عليه بعضها لبعض، ⁽⁷⁾السّطح او البسيط: ما له طول و عرض فقط و ينتهى بالخط، و ⁽⁸⁾المستوى منه هو الذى يكون وضعه علي أن يتقابل اي خطوط يفرض عليه بعضها لبعض، ⁽⁹⁾ الزّاوية المسطّحة: هي المنحدب من السّطح الواقع بين خطّين يتصلان على نقطة من غيرأن يتحدا، فمنها مستقيمة الخطين و غيرها، و ⁽¹⁰⁾القائمة من الزّوايا هى احدى المتساويتين الحادثتين عن جنبتي خط مستقيم قام علي مثله و يسمّى القائم عمودا، و⁽¹¹⁾الحادّة هى التي يكون اصغر من القائمة و ⁽¹²⁾المنفرجة هى التى يكون اكبر سواء كانتا مستقيمى الخطين او ليستا، ⁽¹³⁾الحدّ: النهاية، ⁽¹⁴⁾الشكل: ما احاط به حدّ او حدود، ⁽¹⁵⁾الدّائرة: شكل مسطح يحيط به خط واحد و فى داخله نقطة يتساوى جميع الخطوط المستقيمة الخارجة منها اليه و ذلك الخط محيطها و تلك النقطة مركزها، ⁽¹⁶⁾و الخط المستقيم المارّ بالمركز المنتهى فى جهتيه الى المحيط قطرها و هو ينصّف الدائرة و يحيط مع نصفى المحيط بكل واحد من النّصفين، ⁽¹⁷⁾و الوترهو الذى لا يمرّ به و يحيط مع قسمى المحيط بقطعتين اصغر و اكبر من النّصف؛ ⁽¹⁸⁾الأشكال المستقيمة الأضلاع هى التى يحيط بها خطوط مستقيمة، ⁽¹⁹⁾و اوّلها المثلث و منه المتساوى الأضلاع و المتساوى السّاقين فقط و المختلف الأضلاع ⁽²⁰⁾و ايضا منه القائمة الزاوية و المنفرجة الزاوية ان وقعت فيه قائمة او منفرجة و الحادّ الزوايا إن لم يقع، ⁽²¹⁾ثمّ ذو الأربعة الأضلاع ⁽²²⁾و منه المربّع و هو متساوى الأضلاع القائم الزوايا، ⁽²³⁾و المستطيل و هو القائم الزوايا غير متساوى الأضلاع، ⁽²⁴⁾و المعيّن هو متساوى الأضلاع غير قائم الزوايا، ⁽²⁵⁾و الشبيه بالمعين و هو الذى لا يكون اضلاعه متساوية و لا زواياه قائمة و لكن يتساوى كل متقابلين من اضلاعه و زواياه، ⁽²⁶⁾و المنحرف و هو ما عداها، ⁽²⁷⁾و ما جاوز الأربعة فهو كثيرالأضلاع، ⁽²⁸⁾المتوازية من الخطوط هى المستقيمة الكائنة فى سطح مستوٍ واحد التى لايتلاقى و إن أخرجت فى جهاتها الى غير النّهاية.

الأصول الموضوعة

اقول: ⁽²⁹⁾من الواجب اوّلا أن يوضع: ⁽³⁰⁾أنّ النقطة و الخط و السّطح و المستوى و المستقيم منهما و الدائرة موجودة، ⁽³¹⁾و انّ لنا أن نعيّن نقطة علي اىّ خط او سطح كان، ⁽³²⁾و أن نفرض خطّا علي اي سطح كان او مارّا بنقطة كيف اتّفق، ⁽³³⁾و إن كلّ واحد من النقطة و الخط المستقيم و السّطح المستوي ينطبق علي مثله، ⁽³⁴⁾و إنّ الفصل المشترك بين كلّ خطين نقطة، ⁽³⁵⁾و بين كلّ سطحين خطّ، ⁽³⁶⁾و أن يوضع المقدّمات المذكورة في الأصل و هي هذه:

⁽³⁷⁾لنا أن نصل خطّا مستقيما بين كلّ نقطتين، ⁽³⁸⁾و أن نخرج خطّا مستقيما محدودا علي الإستقامة، ⁽³⁹⁾و أن نرسم علي كلّ نقطة و بكلّ بعد دائرة، ⁽⁴⁰⁾الزوايا القائمة متساوية جميعا، ⁽⁴¹⁾لا يحيط خطّان مستقيمان بسطح، ⁽⁴²⁾كلّ خطّين مستقيمين وقع عليهما خطّ مستقيم و كانت الزّاويتان الداخلتان في إحدي الجهتين أصغر من قائمتين فإنّهما ملتقيان في تلك الجهة إن أخرجا، ⁽⁴³⁾فهذا ما ذكر في الأصل

أقول: ⁽⁴⁴⁾القضية الأخيرة ليست من العلوم المتعارفة و لا ممّا يتّضح في غير علم الهندسة فإذن الأولي بها أن يترتب في المسائل دون المصادرات و أنا سأوضحها في موضع يليق بها، ⁽⁴⁵⁾و وضعت بدلها قضية أخري هي: أنّ الخطوط المستقيمة الكائنة في سطح مستوٍ إن كانت موضوعة علي التباعد في جهة فهي لا يكون موضوعة علي التقارب في تلك الجهة بعينها و بالعكس إلاّ أن يتقاطعا، ⁽⁴⁶⁾و استعمل أيضا في بيانها قضية أخري قد استعملها اقليدس في المقاله العاشرة و غيرها و هي: إنّ كلّ مقدارين محدودين من جنس واحد فإنّ الأصغر منهما يصير بالتضعيف مرة بعد أخري أعظم من الأعظم.

 ⁽⁴⁷⁾و ممّا يجب أيضا أن يوضع: ⁽⁴⁸⁾أنّ الخط المستقيم الواحد لا يتصل بالإستقامة بأكثر من خطّ واحد مستقيم غير مسامت بعضها لبعض، ⁽⁴⁹⁾و أنّ الزّاوية المساوية للقائمة قائمة.

العلوم المتعارفة

⁽⁵⁰⁾الأشياء المساوية لشيء واحد بعينه متساوية، ⁽⁵¹⁾و إذا زيد علي المتساوية أو نقص منها متساوية حصلت متساوية، ⁽⁵²⁾و إذا زيد علي غير المتساوية أو نقص منها متساوية حصلت غير متساوية، ⁽⁵³⁾و التي إذا زيد عليها أو نقص منها متساوية و حصلت متساوية فهي متساوية، ⁽⁵⁴⁾و التي كلّ واحد منها أضعاف بعدّة واحدة او اجزاء بعينها لشيء واحد فهي متساوية، ⁽⁵⁵⁾و الأشياء المتطابقة من غير تفاضل متساوية، ⁽⁵⁶⁾والكلّ أعظم من جزئه؛ ⁽⁵⁷⁾فهذا ما أردناه أن نصدّر الكلام به و سيأتى تعريفات و تصديرات أخر في مواضع يليق بها.

⁽⁵⁸⁾وليعلم أنّ جميع النقط و الخطوط الموردة من أوّل هذا الكتاب إلي آخر المقالة العاشرة إنّما وضعت علي أنّها في سطح مستوٍ واحد، ⁽⁵⁹⁾و أنا إذا أطلق الخطّ و السّطح و الزّاوية فإنّما أعني بها المستقيم و المستوي و المستقيمة الخطّين.

الأشكال

(1-1) أ: ⁽⁶⁰⁾نريد أن نرسم مثلّثا متساوي الأضلاع علي خطّ محدود كــ ( أب ) ⁽⁶¹⁾فلنرسم علي نقطتي ( أب ) ببعد الخطّ دائرتي ( أج ه، ب ج د ) و نصل ( أج، ب ج ) فمثلّث ( أ ج ب ) المرسوم علي ( أ ب ) متساوي الأضلاع ⁽⁶²⁾و ذلك لأنّ ( أ ب، أج ) الخارجين من مركز دائرة ( ب ج د ) إلي محيطها متساويان و كذلك ( ب أ ، ب ج ) الخارجان من مركز دائرة ( أ ج ه ) إلي محيطها فــ ( أ ج،ب ج ) المساويان لــ ( أ ب ) متساويان فإذن أضلاع مثلّث ( أب ج ) متساوية وهو المراد.

(2-1) ب: ⁽⁶³⁾نريد ان نخرج من نقطة مفروضة خطا مساويا لخط محدود ⁽⁶⁴⁾فليكن النقطة ( ا ) و الخط ( ب ج ) و نصل بين النقطة و أحد طرفى الخط بــ ( أ ب ) و نرسم عليه مثلثا متساوى الأضلاع و هو مثلث ( أ ب د ) و نخرج ( د أ ، د ب ) فى جهتى ( أ ب ) الى ( ه ر ) و نرسم على طرف الخط و هو ( ب ) ببعد الخط و هو ( ب ج ) دايرة ( ج ح ر ) فتمرّ بنقطة ( ر ) و على ( د ) المباينة للخط [ اب] ببعد ( د ر ) دائرة ( ر ط ه ) فخط ( أ ه ) هو المراد ⁽⁶⁵⁾و ذلك لأنّ ( ب ج، ب د ) الخارجين من مركز دائرة ( ج ح ر ) إلى محيطها متساويان و كذلك خطا ( د ر، د ه ) الخارجين من مركز دائرة ( ر ط ه ) إلى محيطها و كان ( د ب، د أ ) متساويين فيحصل ( ب ر، أه ) متساويين فــ ( أ ه، ب ج ) المساويان لــ ( ب ر ) متساويان. و ذلك ما أردناه .

اقول: ⁽⁶⁶⁾و لهذا الشكل اختلاف وقوع: فإنّ النقطة يمكن أن تقع مباينة للخط إمّا غير مسامتة إيّاه كما مرّ او مسامتة و يمكن أن تقع غير مباينة له إمّا عليه او علي طرفه و هذه أربعة و الوجه في الجميع واحد: ⁽⁶⁷⁾أمّا الأوّل فكما مرّ، و يمكن أن يقع فيه ( أ ب ) ⁽⁶⁸⁾إمّا أقصر من ( ب ج ) فيقع المثلث داخل دائرة ( ج ح ر ) کما مرّ، ⁽⁶⁹⁾او مساويا فتمرّ الدائرة على نقطتى ( أ د ) ، ⁽⁷⁰⁾او أطول منه فيقطع محيطها ضلعى ( أ ب، ب د ) و هما هكذا، ⁽⁷¹⁾و امّا الثانى فمثل الأوّل يقع الصّور الثلاث هكذا، ⁽⁷²⁾و امّا الثالث فلا يحتاج فيه الى أن نصل بين النقطة و طرف الخط لأنّ ( أ ب ) يكون بعض ( ب ج ) فلا يقع فيه إلاّ صورة واحدة هكذا، ⁽⁷³⁾و يمكن فى جميع هذه الصور أن نرسم المثلث فى كلتى جنبتى خط ( أ ب ) و يحدث بسببه أيضا فى أوضاع الخطوط إختلاف، ⁽⁷⁴⁾و أمّا الرّابع فلا يحتاج فيه أيضا إلي أن نصل بين النقطة و الطرف لإتحادهما و لا الى عمل المثلث لعدم البعد بينهما و لا الى عمل الدائرتين لكون المركزين واحدا بل يكفى فيه إخراج دائرة واحدة على طرف الخط ببعده ثمّ إخراج خط من المركز إلى المحيط كيف إتّفق.

(3-1) ج: ⁽⁷⁵⁾نريد أن نفصل من أطول الخطين مثل أقصرهما ⁽⁷⁶⁾فليكن الأطول ( أ ب ) و الأقصر ( ج ) ⁽⁷⁷⁾و نخرج من ( أ، أ د ) مساويا لــ ( ج ) و نرسم على ( أ ) ببعد ( أد ) دائرة ( د ه ر ) فيفصل بها ( أ ر ) من ( أ ب ) مساويا لــ ( أ د ) أعنى ( ج ) و هو المراد.

(4-1) د: ⁽⁷⁸⁾إذا ساوى ضلعان و زاوية بينهما من مثلث ضلعين و زاوية بينهما من مثلث آخر كلّ لنظيره تساوى الضّلعان و الزّوايا الباقية و المثلثان كلّ لنظيره ⁽⁷⁹⁾فليكن فى مثلثى ( أ ب ج ، د ه ر، أ ب ) مساويا لــ ( د ه ) و ( أج ) لــ ( د ر ) و زاوية ( أ ) لزاوية ( د ) ⁽⁸⁰⁾أقول: فــ ( ب ج ) مساو لــ ( ه ر ) و زاوية ( ب ) لزاوية ( ه ) و زاوية ( ج ) لزاوية ( ر ) و المثلث للمثلث، ⁽⁸¹⁾و ذلك لأنّا إذا توهّمنا تطبيق ( ب أ ) على ( ه د ) إنطبقت نقطة ( ب ) على ( ه ) و ( ب أ ) على ( ه د ) لإستقامتهما و ( أ ) على ( د ) لتساوى الخطين و زاوية ( أ ) على زاوية ( د ) لتساويهما و ( أج ) على ( د ر ) لإستقامتهما و ( ج ) على ( ر ) لتساوى ( أ ج، د ر ) فانطبق ضرورة ( ب ج ) على ( ه ر ) لإستقامتهما و إلاّ فأحاطا بسطح فإذن تساوت سائر الزّوايا و المثلثان لإنطباقها على نظائرها و ذلك ما أردناه.

(5-1) ه: ⁽⁸²⁾الزاويتان اللّتان على قاعدة المثلث المتساوى الساقين متساويتان و كذلك اللّتان تحدثان تحتها إن أخرج السّاقان ⁽⁸³⁾فليكن مثلث ( أ ب ج ) متساوى ساقى ( أ ب ، أ ج ) فزاويتا ( أ ه ب ، أب ج ) متساويتان و نخرج ضلعى ( أ ب ، أ ج ) فى جهتى ( ب ج ) إلى ( د ه ) فزاويتا ( ب ج ه ، ج ب د ) الحادثتان من تحت ايضا متساويتان، ⁽⁸⁴⁾و لنعيّن لبيانه على ( ب د ) نقطة ( ر ) كيف اتفق و لنفصل من ( ج ه،ج ح ) مساويا لــ ( ب ر ) و نصل ( ب ح، ج ر ) ففى مثلثى ( أ ج ر ، أ ب ح ) ضلعا ( ج أ ، أ ر ) و زاوية ( أ ) مساوية لضلعى ( ب أ ، أ ح ) و زاوية ( أ ) كلّ لنظيره فيكون ضلعا ( ج ر ، ب ح ) متساويين و كذا زاويتا ( أ ج ر ، أ ب ح ) و زاوية ( ر ) لزاوية ( ح )، و أيضا فى مثلثى ( ج ب ر ، ب ج ح ) ضلعا ( ب ر ، ر ج ) و زاوية ( ر ) مساوية لضلعى ( ج ح ، ح ب ) و زاوية ( ح ) كلّ لنظيره فيكون زاويتا ( ر ج ب ، ح ب ج ) متساويتين نلقيهما من زاويتى ( أ ج ر ، أ ب ح ) المتساويتين يبقى زاويتا ( أ ج ب ،أ ب ج ) اللّتان على القاعدة متساويتين ، و لذلك بعينه يكون زاويتا ( ج ب ر ، ب ج ح ) اللّتان تحتها متساويتين و ذلك ما أردناه.

أقول: ⁽⁸⁵⁾و هذا الشكل يلقب بالماموبى، ⁽⁸⁶⁾و يمكن أن نبيّن المطلوب الأوّل من غير إخراج السّاقين و ذلك بأن نعيّن نقطة ( د ) على ساق ( أ ب ) و نجعل ( أ ه ) مثل ( أ د ) و نصل ( ب ه، ه د، د ج ) و نبيّن بمساوات ( ب أ، أ ه ) و زاوية ( أ ) من مثلث ( أ ب ه )  لــ ( ج أ ، أ د ) و زاوية ( أ ) من مثلث ( أ ج د ) تساوى زاويتى ( أ ب ه ، أ ج د ) و ضلعى ( ب ه ، ج د ) ثمّ بتساويهما و تساوى ضلعى ( ب د ، ج ه ) من مثلثى ( ب د ه ، ج ه د ) تساوى زاويتى ( ب د ه ، ج ه د ) و زاويتى ( ب ه د ، ج د ه ) ثمّ تساوى زاويتى ( ب دج ، ب ه ج ) الباقيتين من الأوليين بعد إلقاء الأخيرتين منهما و بتساويهما و مساوات ضلعى ( ب د ، د ج ) لضلعى ( ج ه ، ه ب ) تساوى زاويتى ( أ ب ج ، أ ج ب ) و هو المراد.

(6-1) و: إذا تساوت زاويتا مثلث تساوى ضلعاه الموتران لهما ⁽⁸⁷⁾فليكن زاويتا ( ب ج ) من مثلث ( أ ب ج ) متساويتين نقول فــ ( أ ج ، أ ب ) متساويان، ⁽⁸⁸⁾و إلاّ فليختلفا وليكن ( أ ج ) أطول و نفصل منه ( ج د ) مثل ( ب أ ) و نصل ( ب د ) فيكون فى مثلثى ( أ ج ب ، د ب ج ) ضلعا ( أ ب، ب ج ) و زاوية ( أ ب ج ) مساوية لضلعى ( د ج ، ج ب ) و زاوية ( د ج ب ) كلّ لنظيره فالمثلث يساوى المثلث أعنى الكلّ لجزئه هذا خلف، فإذن هما متساويان و ذلك ما أردناه.

أقول: ⁽⁸⁹⁾و إن أخرج ( ب أ ) إلى ( د ) و جعل ( ب د ) مثل ( ج أ ) و وصل ( ج د ) لزم الخلف بمثل البيان المذكور بعينه، ⁽⁹⁰⁾و بوجه آخر إن كان ( أ ج ) أطول و فصّلنا ( ج د ) مثل ( أ ب ) فلنعيّن ( ه ) على ( أ ب ) و نفصل ( ج د ) مثل ( ب ه ) و نصل ( د ه ر ، ب ه ج ) ففى مثلثى ( ه ب ج ، ر ج ب ) ضلعا ( ه ب ، ب ج ) و زاوية ( ه ب ج ) مساوية لضلعى ( ر ج ، ج ب ) و زاوية ( ر ج ب ) بالتناظر فزاويتا ( ب ج ه ، ج ب ر ) متساويتان و كذلك ضلعا ( ه ج ، ر ب ) و المثلثان و كذلك مثلثا ( ب ه ح ، ج رح ) بعد إسقاط مثلث ( ب ج ح ) المشترك و يكون فى مثلثى ( أ ر ب ، د ه ج ) ضلعا ( أ ب، ب ر ) و زاوية ( أ ب ر ) مساوية لضلعى ( د ج ، ج ه ) و زاوية ( د ج ه ) بالتناظر فتساوى المثلثان و بقي بعد إسقاط سطح ( ه د رح ) المشترك مثلثا ( أ د ه ، ه ح ب ) معا مساويان لمثلث ( رح ج ) و كان مثلث ( ه ح ب ) وحده مساويا له فإذن مثلثا ( أ د ه ، ه ح ب ) معا مساويان لمثلث ( ه ح ب ) وحده الكلّ لجزئه هذا خلف؛ ⁽⁹¹⁾ ولو أخّر بيان هذا الشكل الى أن يبيّن بالشكل الثامن عشر لسهل جدّاً فإنّ ذلك الشكل ليس ممّا يتبيّن بهذا.

(7-1) ز: ⁽⁹²⁾إذا أخرج من طرفى خط خطان ملتقيان على نقطة فلا يمكن أن يخرج من طرفيه فى تلك الجهة آخران مساويان لهما خارجان من مخرجى نظيريهما ملتقيان على غير تلك النقطة، ⁽⁹³⁾مثلا أخرج من طرفى ( أ ب ) خطا ( أ ج ، ب ج ) فلتقيا على ( ج ) ⁽⁹⁴⁾فإن أمكن أن يخرج فى جهة ( ج ) آخران مساويان لهما ملتقيان على غير ( ج ) فليكونا ( أ د ) المساوى لــ ( أ ج ) و ( ب د ) المساوى لــ ( ب ج ) و لتلتقيا على ( د ) و نصل ( د ج ) فيكون زاويتا ( أ ج د ، أ د ج ) متساويتين لتساوى ساقى ( أ ج ، أ د ) و زاوية ( ب ج د ) أصغر من زاوية ( أ ج د ) فهى أصغر من زاوية ( أ د ج ) أيضا الّتى هى أصغر من زاوية ( ب د ج ) فزاوية ( ب ج د ) أصغر كثيرا من زاوية ( ب د ج ) لكنّهما متساويان لتساوى ساقى ( ب ج ، ب د ) هذا خلف، فإذن ثبت الحكم وذلك ما أردناه.

أقول: ⁽⁹⁵⁾و لهذا الشكل إختلاف وقوع فإنّ ( د ) يقع إمّا خارج مثلث ( أ ج ب ) بحيث يتقاطع خطان من الأربعة الخارجة من الطّرفين قبل الإلتقاء او بحيث لايتقاطعان و امّا داخله و امّا على احد ساقى ( أ ج، ج ب ) من غير إخراجه او بعد ذلك و هذا خمسة اوجه، امّا الأوّل فقد مرّ بيانه و امّا الثانى و الثالث فيكونان هكذا و نصل فيهما ( د ج ) و نخرج ضلعى ( أ د، أ ج ) الى ( ه ر ) فيكون زاويتا ( ه د ج، ر ج د ) متساويتين بالماموبى لتساوى ساقى ( أ د، أ ج ) و يلزم منه بمثل البيان المذكور تساوى الكلّ و جزئه فيظهر الخلف و امّا الرّابع و الخامس فيلزم فيهما تطابق الخطين الخارجين من احد الطرفين كخطى ( ب ج، ب د ) مثلا و كون أحدهما أكبر من الآخر مع فرض تساويهما فيظهر الخلف اسرع و هذه صورتهما.

(8-1) ح: ⁽⁹⁶⁾إذا ساوى كلّ واحد من أضلاع مثلث كلّ واحد من أضلاع مثلث آخر تساوت زواياهما كلّ لنظيرتهما و تساوى المثلثان ⁽⁹⁷⁾فليكن المثلثان ( أ ب ج ، د ه ر ) و قد تساوى ( أ ب، د ه ) و ( أ ج، د ر ) و ( ب ج، ه ر ) نقول فزاوية ( أ ) تساوى زاوية ( د ) و زاوية ( ب ) زاوية ( ه ) و زاوية ( ج ) زاوية ( ر ) و المثلث للمثلث ⁽⁹⁸⁾و ذلك لأنّا إذا توهّمنا تطبيق ضلع على نظيره مثلا ( ب ج ) على ( ه ر ) و المثلث على المثلث و جب أن ينطبق الضّلعان الباقيان على نظيريهما و يظهر المطلوب و إلاّ يلزم أن تقعا متباينين لهما مثل ( ه ح، رح ) و يلزم منه خروج خطى ( ه د ، رد ) و ( ه ح، ر ح ) المتساويين لهما جميعا من طرفى ( ه ر ) فى جهة بعينها مع إختلاف الملتقى هذا خلف، فإذن المطلوب ثابت و ذلك ما أردناه.

(9-1) ط: ⁽⁹⁹⁾نريد أن ننصّف زاوية كزاوية ( ب أ ج ) ⁽¹⁰⁰⁾فلنعيّن على ( أ ب ) نقطة ( د ) كيف وقعت و نفصل من ( أ ج، أ ه ) مثل ( أ د ) و نصل ( د ه ) و نرسم عليه مثلث ( د ر ه ) المتساوى الأضلاع و نصل ( أ ر ) فهو ينصّف الزاوية ⁽¹⁰¹⁾و ذلك لأنّ أضلاع مثلثى ( د أ ر ، ه أ ر ) متساوية بالتناظر فزواياهما متساويات فزاويتا ( ر أ د ، ر أ ه )  متساويتان و ذلك ما أردناه.

أقول: ⁽¹⁰²⁾والبيان إنّما يتمّ بأن نبيّن أنّ نقطة ( ر ) انّما تقع بين خطّي ( ب أ،ج أ ) ⁽¹⁰³⁾وذلك لأنّها لو لم تقع هناك لوقعت إمّا على أحدهما أوخارجا عنهما هكذا و يتساوي زاويتا ( رد ه، ره د ) لامحالة و كانت زاويتا ( ب د ه، ج ه د ) تحت القاعدة متساويتين فيلزم من ذلك أن يساوي الشيئ لجزئه أو يساوى ما هو أكبر من الشيئ جزئه هذا خلف، ⁽¹⁰⁴⁾و بوجه آخر نعيّن على ( د ب ) نقطة ( ر ) و نجعل ( ه ح ) مثل ( د ر ) و نصل ( د ح ، ر ه ) متقاطعين على ( ط ) و نصل ( أ ط ) فهو ينصّّف الزاوية ⁽¹⁰⁵⁾و ذلك لأنّا نبيّن بمثل ما مرّ فى الشكل الخامس أنّ زاويتى ( ر ه د ، ح د ه ) متساويتان و نبيّن أنّ ( د ط ، ط ه ) متساويان و يصير أضلاع مثلثى ( د ط أ ، ه ط أ ) متساوية فيظهر المطلوب.

(10-1) ى: ⁽¹⁰⁶⁾نريد أن ننصّف خطا محدودا كخط ( أ ب ) ⁽¹⁰⁷⁾فلنعمل عليه مثلث ( أ ج ب ) المتساوى الأضلاع و ننصّف زاوية ( ج ) بخطّ ( ج د ) فينصّف الخط به ⁽¹⁰⁸⁾و ذلك لأنّ فى مثلثى ( أ ج د ، ب ج د ) ضلعى ( أ ج ، ج د ) و زاوية ( أ ج د ) متساوية لضلعى ( ب ج ، ج د ) و زاوية ( ب ج د ) فإذن قاعدتا ( أ د ، د ب ) متساويتان و ذلك ما أردناه.

(11-1) يا: ⁽¹⁰⁹⁾نريد أن نخرج من نقطة على خط غير محدود عمودا عليه ⁽¹¹⁰⁾مثلا من نقطة ( ج ) على خط ( أ ب ) فلنعيّن على ( أ ب ) نقطة ( د ) كيف وقعت و نجعل ( ج ه ) مثل ( د ج ) و نرسم على ( د ه ) مثلث ( د ر ه ) المتساوى الأضلاع و نصل ( ر ج ) فهو العمود ⁽¹¹¹⁾و ذلك لأنّ اضلاع مثلثى ( د ر ج ، ه ر ج ) متساوية كلّ لنظيره فزاويتا ( ر ج د ، ر ج ه ) الحادثتان عن جنبتى ( ر ج ) متساويتان فهما قائمتان و ذلك ما أردناه.

أقول: ⁽¹¹²⁾فإن كانا الخط محدودا من جانب أو أردنا أن نخرج العمود من ( أ ) من غير إخراج الخط و ذلك ممّا يحتاج إليه أهل العمل كثيرا ⁽¹¹³⁾فلنعيّن ( ج ) و نجعل ( ج د ) مثل ( أ ج ) و نخرج من ( ج د ) عمودى ( ج ه ، د ر ) بالوجه المتقدّم و ننصّف زاويتى ( أ ج ه ، ج د ر ) بخطى ( ج ح ، د ه ) فــ ( ج ه، د ه ) الخارجان من خط ( ج د ) على أقلّ من قائمتين يتلاقيان بحكم المصادرة الموعودة بيانها فليتلاقيا على ( ه ) و نجعل ( ج ح ) مثل ( د ه ) و نصل ( ح أ ) فهو عمود على ( أ ب ) ⁽¹¹⁴⁾و ذلك لأنّ تساوى ضلعى ( أ ج ، ج د ) و ضلعى ( ج ح ، د ه ) و زاويتى ( أ ج ح ، ج د ه ) من مثلثى ( ح أ ج ، ه د ج ) النظائر يدلّ على أنّ زاوية ( ح أ ج ) متساوية لزاوية ( ه ج د ) القائمة.

(12-1) يب: ⁽¹¹⁵⁾نريد أن نخرج من نقطة إلى خط غير محدود ليست هى عليه عمودا ⁽¹¹⁶⁾مثلا من نقطة ( ج ) إلى خط ( أ ب ) فلنعيّن فى الجهة الأخرى من الخط نقطة ( د ) كيف وقعت و نرسم على ( ج ) ببعد ( ج د ) دائرة ( ه د ر ) فهى تقطع الخط لامحاله على نقطتين کــ ( ه ر ) و ننصّف ( ه ر ) على ( ح ) و نصل ( ج ح ) فهو العمود ⁽¹¹⁷⁾و ذلك لأنّا إذا وصلنا ( ج ه ، ج ر ) كانت أضلاع مثلثى ( ج رح ، ج ه ح ) النظائر متساوية فكانت زاويتا ( ج ح ه ، ج ح ر ) عن جنبتى ( ج ح ) متساويتين فهما قائمتان و ذلك ما أردناه.

أقول: ⁽¹¹⁸⁾و أهل العمل إذا اشترطوا أن لا يجاوز الجهة الأخرى من الخط عيّنوا على الخط نقطة ( ه ) و وصلوا ( ج ه ) و رسموا ببعده دائرة ( ه د ) حتى ينتهى إلى الخط تارة أخرى فإن انتهت على نقطة ( ه ) بعينها كان ( ج ه ) عمودا على ما تبيّن فى المقالة الثالثة و إن إنتهت على نقطة أخرى كــ ( ز ) مثلا نصّفوا خط ( ه ر ) على ( ح ) و وصلوا ( ج ح ) العمود بالبيان المذكور.

(13-1) يج: ⁽¹¹⁹⁾إذا قام خط على خط كيف كان حدثت عن جنبتيه زاويتان إمّا قائمتان أو متساويتان معا لقائمتين ⁽¹²⁰⁾فليقم ( أ ب ) على ( ج د ) و لتحدث زاويتا ( أ ب ج ، أ ب د ) ⁽¹²¹⁾فإن كان ( أ ب ) عمودا كانتا قائمتين و إلاّ أخرجنا من ( ب ) عمود ( ب ه ) على ( ج د ) فصارت الزوايا ثلاثا هى ( أ ب ج ، أ ب ه ، ه ب د ) و الثانية إذا اضيفت إلى الأولى صارتا قائمتين و إذا أضيفت إلى الثالثة كانتا كما حدثتا فإذن الحادثتان معا متساويتان لقائمتين و ذلك ما أردناه.

(14-1) يد: إذا إتّصل خطان على نقطة بخط عن جنبتيه و أحدثا معه قائمتين أو متساويتين لهما كان الخطان معا على الإستقامة خطا واحدا فليتّصل ب ( أ ب ) على نقطة ( ب ) خطا ( ج ب ، د ب ) وليكن زاويتا ( ج ب أ ، د ب أ ) معادلتين لقائمتين نقول فخط ( ج ب د ) متّصل على الإستقامة خطا واحدا و إلاّ فلنخرج ( ج ب ه ) على الإستقامة و يكون جميع زاويتى ( ج ب أ ، ه ب أ ) المعادلتين لقائمتين مساويا لجميع زاويتى ( ج ب أ ، د ب أ ) المعادلتين أيضا لهما فيبقى بعد إسقاط زاوية ( ج ب أ ) المشتركة زاويتا

( ه ب أ ، د ب أ ) الصّغرى و العظمى متساويتين هذا خلف، فإذن الحكم المذكور ثابت و ذلك ما أردناه.