تابع ارزش

مقدمه

«دو عبارت

١) کتاب در اتاق روی طاقچه است

٢) روی است اتاق طاقچه کتاب در

از نشانه‌های یکسانی ساخته شده‌اند، اما تفاوت اساسی با هم دارند. در بیان این تفاوت می‌توان مفهوم معنی را به کار برد و گفت (١) عبارتی است با معنی و (٢) عبارتی است بی‌معنی و یا (١) زنجیره بامعنایی از واژه هاست و (٢) زنجیره بی معنایی از واژه‌ها. روش دیگر این است که مفهوم قاعده‌های نحوی را به کار بریم و بگوییم در (١) واژه‌ها براساس قاعده‌های نحو زبان فارسی مرتب شده‌اند ولی در (٢) این ترتیب رعایت نشده است. در زبان منطق، قاعده‌های نحوی –که آن‌ها را قاعده‌های ساخت نامیدیم- قاعده‌هایی هستند به تمامی صوری؛ یعنی به کمک آن‌ها و بدون آن‌که نیازی به دانستن معنای نشانه‌ها در هر مورد داشته باشیم می‌توان دریافت که هر زنجیره‌ای از نشانه‌ها با کاربرد درست قاعده‌ها ساخته شده است یا نه. برتری روش صوری بر معنایی، دقّت و کلّیّت آن است.

در زبان منطق جمله‌ها -که کوچک ترین عبارتی که با قاعده‌های ساخت می‌سازیم جمله است- این قاعده‌ها جمله‌های درست ساخت را از عبارت‌های دیگر جدا می‌کنند. اما ازآنجاکه زبان منطق زبانی صوری است و نشانه‌های آن می‌توانند تعبیرهای دیگری هم جز آنچه تاکنون دیدیم داشته باشند و نیز ازآنجاکه در منطق محمول ها به عبارت دیگری نیز جز جمله‌ها نیاز پیدا می‌کنیم، از این پس به جای جمله اصطلاحِ کلّی تر «زنجیره» و به جای «جمله درست ساخت» هم عبارت «زنجیره درست ساخت» (well-formed formula)را به کار می‌بریم و به جای این عبارت که فراوان در منطق به کار می‌رود کوتهنوشت «زدس» را.»(درآمدی به منطق جدید، ص ۶٩)

یکی از ویژگی‌های اساسی معنی شناسی منطق جمله‌ها این است که برای پیدا کردن ارزش هر زدس، تنها چیزی که از آن باید بدانیم ارزش جمله نشانه‌های آن است، برای مثال در زدس

 &( )(q p )

کافی است بدانیم «p» و «q» چه ارزشی دارند تا به آسانی ارزش آن زدس را پیدا کنیم. این ویژگی را چنین نیز می‌توان بیان کرد: در زبان منطق جمله‌ها ارزش هر زدس، تابع ارزش جمله نشانه‌های آن است. ازاین‌رو در منطق جمله‌ها هر زدس را یک تابع ارزش می‌نامند.

اصطلاح تابع در اینجا در همان مفهومی که در ریاضی به کار می‌رود به کار رفته است. در ریاضیات وقتی می‌گوییم «x+y» تابعی از ارزش دو متغیر «x»و «y» است، یعنی اگر به جای x یک عدد و به جای yهم عددی بگذاریم برای  «x+y» مقدار معینی که آن هم یک عدد است ،‌به دست می‌آید. از اینجا می‌گویند مقدار  تابع مقدار x  و مقدار y  است و این تابع را برای مثال چنین می‌نویسند:

الف) f(x,y)=x+y

اگر در تابع بالا علامت «+» را به «×» تبدیل کنیم،‌تابع دیگری به دست می‌آید. ازاین‌رو برای متمایز کردن آن از f(x,y)=x+y  آن را برای مثال به g(x,y)=x y نشان می‌دهند:

ب) g(x,y)=x y

…اکنون اگر در دو تابع بالا به جای  به ترتیب«P» و «Q»  و به جای «+» و «×» هم « » و «&» را قرار دهیم، تابع های بالا چنین می‌شوند:

پ) f(P,Q)=P Q

ت) g(P,Q)=P&Q

در این دو نیز اگر به جای  به ترتیب برای مثال دو ارزش T و  F [ارزش درست و نادرست] را قرار دهیم،‌بنا بر جدول های ارزش :

ث) f(T,F)=F

ج) g(F,T)=F&t=F

از این مثال‌های شباهت نسبی تابع (ث) و (ج) با تابع های ریاضی (الف ) و (ب )و علت نامیدن آن‌ها به تابع ارزش آشکار می‌شود.(درآمدی به منطق جدید، ص ١١۵-١١۶)