مبنا در ریاضیات-پایه-مراتب العدد-base-radix

فهرست علوم
فهرست مباحث ریاضیات
علم حساب
متن خلاصة الحساب


و مراتب العدد أصولها ثلاثة : آحاد و عشرات و مئات، و فروعها ما عداها ممّا لايتناهي و تنعطف الي الأصول، (۹)و قد وضع لها حكماء الهند الأرقام التسعة المشهورة و هي هذه: «۱،۲،۳،۴،۵،۶،۷،۸،۹»

 

 

ویکی پدیا

پایه یا مبنا (به انگیسی: Radix یا base) در ریاضیات به معنای تعداد رقم‌های منفردی است که برای نوشتن عدد در دستگاه عددنویسی با ارزش مکانی لازم است. مثلاً در عددنویسی دهدهی، که رایج‌ترین دستگاه در جهان امروز است، از ده رقم ۰ و ۱ و ۲ و ۳ و ۴ و ۵ و ۶ و ۷ و ۸ و ۹ استفاده می‌کنیم؛ بنابراین پایۀ این دستگاه ده است. در مبنای باینری یا دودویی دو عدد صفر و یک را داریم؛ یعنی می‌شود دو عدد. در مبنای اُکتال یا هشتایی، اعداد ۰ و ۱ و ۲ و ۳ و ۴ و ۵ و ۶ و ۷ را داریم؛ یعنی می‌شود ۸ عدد. در مبنای هِگزا دِسیمال اعداد ۰ و ۱ و ۲ و ۳ و ۴ و ۵ و ۶ و ۷ و ۸ و ۹ و a و b و c و d و e و f را داریم؛ یعنی می‌شود ۱۶ عدد.

برای به‌دست آوردن عدد x {\displaystyle x} در مبنای y {\displaystyle y}، باید x {\displaystyle x} رابر y {\displaystyle y} تقسیم کنید؛ سپس خارج قسمت آن را بر y {\displaystyle y} تقسیم کنید و همین‌طور ادامه دهید تا خارج قسمت به صفر برسد؛ سپس باقیمانده‌ها را از آخر به اول کنار هم بگذارید تا عدد x {\displaystyle x} در مبنای y {\displaystyle y} به‌دست آید.

و برای تبدیل عدد x {\displaystyle x} در مبنای y {\displaystyle y} به عدد z {\displaystyle z}، ارقام x {\displaystyle x} را از راست به چپ، به ترتیب، در y 0 {\displaystyle y^{0}}، y 1 {\displaystyle y^{1}} و ... و نهایتاً در y m − 1 {\displaystyle y^{m-1}} ضرب کنید ( m {\displaystyle m} تعداد ارقامِ x {\displaystyle x} است) و سپس حاصل‌ضرب‌های به‌دست آمده را باهم جمع کنید تا عدد z {\displaystyle z} به‌دست آید (مبنای عدد z {\displaystyle z} برابر ۱۰ است).

 


آشنایی با تاریخ ریاضیات، ج 1، ص 17

دستگاه های شمار موضعی

دستگاه شمار کنونی نمونه ای از یک دستگاه شمار موضعی با پایه ۱۰است. برای چنین دستگاهی بعد از انتخاب پایه ، علایم اصلی برایb-1,...,2,1,0اختیار می شوند. بنا بر این  b  علامت اصلی وجود دارند که غالباً در دستگاه معمولی امروزی ارقام نامیده می شوند. حال هر عدد (طبیعی) N را میتوان به طور یکتا به صورت
N=an bn  +an-1bn-1  +…+a2 b2 +a1 b +a0
نوشت که در آن  i=0,1,2,…n ; 0≤ ai < b. سپس عدد N را در پایه b an an-1 … a2 a1 a0 با رشته ای از علامتهای اصلی به صورت  نشان میدهیم از این رو هر علامت اصلی در هر عدد مفروض نمایش مضرب توانی از پایه است و این توان به موضعی بستگی دارد که علامت اصلی در آن ظاهر می شود. مثلا در دستگاه شمار هندی - عربی خودما ۲ در ۲۰۶ نشانه (۱۰۲) ۲ یا ۲۰۰ است، در حالی که در ۲۰۲۷ نشانه (۱۰) ۲ یا ۲۰ است. باید توجه داشت که برای وضوح کامل علامتی برای صفر مورد نیاز است تا توانهایی از پایه را که ممکن است وجود نداشته باشند، نشان دهد. هر دستگاه شمار موضعی محصول منطقی ولی نه لزوماً تاريخي يك دستگاه گروه بندی
ضربی است.
با بلیهای قدیم در زمانی بین سالهای ۳۰۰۰ و ۲۰۰۰ ق.م. يك دستگاه شصتگانی پدید آوردند که از اصل ارزش موضعی استفاده میکرد مع هذا این دستگاه شمار در واقع مختلط است زیرا گرچه اعداد بزرگتر از ۶۰ بر طبق اصل ارزش موضعی نوشته می شوند اعداد درون گروه ۶۰ تایی اصلی مطابق آنچه در بخش ۱- تشريح شد، به كمك يك دستگاه گروه بندی ساده در مبنای ۱۵ نوشته میشوند.

 

آشنایی با تاریخ ریاضیات، ج 1، ص 23

۱ - ۱۰ پایه های دلخواه

یادآوری می کنیم که برای نمایش عددی در يك دستگاه شمار موضعی با پایه b به علایمی اصلی برای اعداد صحیح صفر تا ۱ - نیاز داریم با آنکه پایه ۱۰ = b بخش مهمی از فرهنگ کنونی را تشکیل میدهد انتخاب ۱۰ در واقع کاملا اختیاری است و پایه های دیگر هم اهمیت عملی و نظری زیادی دارند. اگر  b≤10 میتوانیم از علایم ارقام معمولی استفاده کنیم.مثلا می توانیم ۳۰۱۲ را به عنوان عددی که در پایه ۴ با علایم اصلی ه، ۱، ۲، ۳ بیان شده تلقی کنیم برای روشن ساختن اینکه نمایش عدد در پایه ۴ در نظر گرفته شده است آن را به صورت ۴(۳۰۱۲ )مینویسیم وقتی هیچ زیر نویسی نوشته نشود، استنباط ما چنین خواهد بود که عدد در پایه معمولی ۱۰ بیان شده است. اگر  b>10 ، باید علایم اصلی جدیدی به علایم رقمی خود بیفزاییم زیرا همواره b= علامت اصلی لازم داریم. بنا بر این اگر ۱۲ b ، میتوانیم 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,t,e  را به عنوان علایم اصلی اختیار کنیم که در آن tوe علایمی برای ده و یازده هستند. به عنوان مثال می توانیم داشته
باشیم ۱۲ (۳t۱e)١٢. تبدیل عددی در پایه دلخواه به پایۀ معمولی 10 آسان است. مثلا داریم

(۳۰۱۲) ۴ = ۳ (۴۳) + ۰ (۴۲) + ۱ (۴) - ۲= ۱۹۸
(۳t۱e)=3(123)+10(122)+1(12)+11=6647


























فایل قبلی که این فایل در ارتباط با آن توسط حسن خ ایجاد شده است