بسم الله الرحمن الرحیم

تاریخچه بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال-ایسرائل کلاینر-ترجمه روح الله جهانی پور و سعید مقصودی

فرهنگ و اندیشۀ ریاضی

سال ٣٨ ،شمارۀ ۶۵) پاییز و زمستان ١٣٩٨ ،(صص. ٧٧ تا ١٢١

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در

حساب دیفرانسیل و انتگرال

ایسرائل کلاینر

مترجم: روح اله جهانی پور و سعید مقصودی

چکیده

دو مفهوم بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ در حساب دیفرانسیل و انتگرال اهمیت اساسی دارند و در طول تاریخ به صورت های گوناگونی ظاهر شده اند: بی نهایت کوچک ها، دیفرانسیل ها، کمیت های ناپدیدشونده، گشتاورها، اندازه های خیلی بزرگ و خیلی کوچک،

مجموع های نامتناهی، سری های توانی، حدود و اعداد اَبرحقیقی. آنها هم از جنبۀ فنی و هم از جنبۀ مفهومی برای حساب دیفرانسیل و انتگرال اهمیت بنیادی داشته اند؛ یعنی هم به منزلۀ ابزارهای اصلی حساب دیفرانسیل و انتگرال و هم به منزلۀ شالوده های بنیادی

آن بوده اند. در این مقاله، برای این جنبه های بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها مثال هایی ذکر خواهیم کرد که در تاریخ حساب دیفرانسیل و انتگرال طی قرن های هفدهم تا بیستم ظاهر شده اند. در ضمن ارائۀ این گزارش تاریخی، در جاهای مناسب «نکته های آموزشی» را نیز بیان خواهیم کرد.

١ .سرآغاز

  و شکل های مختلف آنها در حساب دیفرانسیل ١   و بی نهایت بزرگ کمیت های بی نهایت کوچک  

٢

و انتگرال اهمیت اساسی دارند و در واقع جزء وجوه تمایز این شاخه، از دیگر شاخه های ریاضیات

عبارات و کلمات کلیدی. حساب دیفرانسیل و انتگرال؛ بی نهایت کوچک؛ بی نهایت بزرگ؛ حد؛ مشتق؛ انتگرال؛ آنالیز نااستاندارد.

١ infinitely small ٢ infinitely large

© ١٣٩٨) انجمن ریاضی ایران)

٧٧

٧٨ ایسرائل کلاینر  

(مانند جبر) به شمار می آیند. این مفاهیم در طول تاریخ حساب دیفرانسیل و انتگرال به شکل های ، ٢١   ،دیفرانسیل ها، کمیت های ناپدیدشوندهگوناگون ظاهر شده اند: بی نهایت کوچک ها، تقسیم ناپذیرها ٣   ،اندازه های خیلی بزرگ و خیلی کوچک، مجموع های نامتناهی، سری های توانی، حدودگشتاورها

و اعداد اَبرحقیقی. آنها هم از جنبۀ فنی و هم از جنبۀ مفهومی برای حساب دیفرانسیل و انتگرال اهمیت بنیادی داشته اند؛ یعنی هم به منزلۀ ابزارهای اصلی حساب دیفرانسیل و انتگرال و هم به منزلۀ شالوده های بنیادی آن بوده اند. در این مقاله، برای این جنبه های بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها مثال هایی ذکر خواهیم کرد که در تاریخ حساب دیفرانسیل و انتگرال طی قرن های هفدهم تا بیستم ظاهر شده اند.

تاریخ [ریاضیات] چه چیزی را باید به دانشجو یا مدرس ریاضیات منتقل کند؟ اولین و مهم ترین چیز، انگیزه است. در تاریخ به سرچشمه های موضوع مورد بحث و به برخی از مفاهیم محوری آن اشاره می شود و برای اینکه «مسئلۀ حاد»ی که ابداع کنندۀ یک ایده، سعی در حل آن داشته است، به روشنی در معرض دید قرار گیرد، به اوضاع و احوال زمانۀ او نیز پرداخته می شود. مشخص تر بگویم، جورج پولیا، ریاضیدان و آموزشگر مشهور ریاضی، این اصل بنیادی ارنست هکل ۴   زیست شناس را که می گوید:

«سیر تکامل فردی، خلاصۀ سیر تکامل نژادی است»، در گفتۀ زیر به صورتی مناسب درآورده است :[ ۴٩ ]

«اگر بدانیم که آدمی دانش خود را دربارۀ حقایق و مفاهیم خاص چگونه کسب

کرده است، آن وقت بهتر می توانیم دربارۀ شیوۀ آموزش چنین دانشی [به دانشجویان]

قضاوت کنیم.»

این گفته چیزی نیست جز یک برگردان از به اصطلاح، «اصل ژنتیک» در آموزش ریاضیات. همان طور که پولیا اشاره می کند، این اصل را باید راهنمای قضاوت دانست نه جانشین آن. با این نگاه، در ضمن ارائۀ این گزارش تاریخی، در جاهای مناسب «نکته های آموزشی» را نیز بیان خواهیم کرد.

پژوهش های زیادی دربارۀ فصل مشترک تاریخ و آموزش ریاضی انجام شده است. منابع زیر، تا اندازه ای به جنبه هایی از حساب دیفرانسیل و انتگرال یا آنالیز پرداخته اند: [ ٩ ] ،[ ١٣ ] ،[ ١٧ ] ،[ ١٨ ،[ دربارۀ تر عمومی منابع]. ۶٠ ] ،[ ۵٩ ] ،[ ۵٨ ] ،[ ۵۴ ] ،[ ۵٣ ] ،[ ۴٧ ] ،[ ۴٣ ] ،[ ٣١ ] ،[ ٣٠ ] ،[ ٢٠ ] ،[ ١٩ ] نقش و کاربردهای تاریخ ریاضی در آموزش عبارت اند از: [ ٢١ ] ،[ ٢٣ ] ،[ ٣۴ ] ،[ ۴۶ ] ،[ ۴٨ ] ،[ ۶١ .[ ابداع (کشف) حساب دیفرانسیل و انتگرال، یکی از عظیم ترین دستاوردهای فکریِ تمدن بشری است. حساب دیفرانسیل و انتگرال به مدت سه قرن ابزار اصلی در تبیین کمی پژوهش های علمی بوده است و تعریف (ریاضی) مفاهیمی بنیادی همچون حرکت، پیوستگی، تغییرپذیری و (برخی از ١ indivisibles ٢ evanescent quantities ٣ moments ۴ Ernest Haeckel

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ٧٩  

صورت های) بی نهایت را دقت بخشیده است؛ اینها همان مفاهیمی هستند که مبنای بسیاری از تفکرات علمی و فلسفی را از دوران باستان تاکنون شکل داده اند. بدون حساب دیفرانسیل و انتگرال، علم فیزیک و فناوری نوین وجود نمی داشت. مهم ترین معادله های مکانیک، اخترشناسی و به طور کلی علوم فیزیکی، معادله های دیفرانسیلی و انتگرالی برآمده از حساب دیفرانسیل و انتگرال قرن هفدهم هستند. آنالیز حقیقی، آنالیز مختلط، هندسۀ دیفرانسیل و حساب تغییرات از دیگر شاخه های مهم

ریاضی اند که (علاوه بر شاخۀ معادلات دیفرانسیلی و انتگرالی) در قرن های بعد، از حساب دیفرانسیل و انتگرال نشأت گرفتند. حساب دیفرانسیل و انتگرال در نظریۀ احتمال، توپولوژی، نظریۀ گروه های لی و جنبه هایی از جبر، هندسه و نظریۀ اعداد هم نقشی اساسی دارد. حقیقت این است که بدون

مفاهیم حساب دیفرانسیل و انتگرال، ریاضیات زمانۀ ما چیز غیرقابل تصوری می بود. علاوه بر این، دستاوردهای بنیادی ریاضیات به طور کلی و حساب دیفرانسیل و انتگرال به طور خاص، در شکل گرفتن تفسیر مکانیستی جدید از طبیعت که در اوایل قرن هفدهم توسط گالیله و دکارت شروع شد و با پرینکیپیا ، شاهکار نیوتن به سال ١۶٨٧ و اثر جاودانۀ لاگرانژ، مکانیک تحلیلی (١٧٨٨ (و مکانیک سماوی لاپلاس (در ۵ جلد، ١٧٩٩-١٨٢۵ (به طرز شگرفی عمق یافت، خود به فلسفه های

ماشین وارگی، علیت گرایی و مادی گرایی انجامید که هنوز تأثیر آنها بر ما پابرجا است. نیوتن و لایب نیتس مستقل از هم در طول ثلث پایانی قرن هفدهم، حساب دیفرانسیل و انتگرال را ابداع کردند. اما عملا همۀ ریاضیدانان برجستۀ اروپایی در حدود سال های ١۶۵٠ از عهدۀ حل

بسیاری از مسائل در حد حساب دیفرانسیل و انتگرال مقدماتی امروزی برمی آمدند. در عین حال، پس از این ابداع، دو قرن دیگر طول کشید تا بنیان های حساب دیفرانسیل و انتگرال دقیق شود. اما حساب دیفرانسیل و انتگرال چیست ؟ احتمالا هیچ تعریفی نتواند چیستی غنی و چندوجهی آن را دربر بگیرد. مهم این است که توجه داشته باشیم که حساب دیفرانسیل و انتگرال سه رکن اساسی دارد: مجموعه ای از قاعده ها یا الگوریتم ها، نظریه ای برای تبیین کارآمدیِ آن قاعده ها و کاربردهایی (از نظریه و قاعده ها) در مسائل بنیادی علوم. ما در این مقاله به برخی از جنبه های سیر تکامل این مبحث مهم و به ویژه، مواردی که مفهوم بی نهایت در آنها ظاهر می شود، می پردازیم.

٢ .متقدّمان نیوتن و لایب نیتس در قرن هفدهم

دورۀ رنسانس (حدود ١۴٠٠-١۶٠٠ ،(دوره ای از رشد و تحول پر رونق و پر شور در هنر، ادبیات، موسیقی، معماری، علوم و به همان شدت، در ریاضیات بود. در این دوره شاهد برتریِ قاطع حساب اعداد اعشاری، ورود نمادگرایی جبری، حل معادلات درجه سه و درجه چهار با رادیکال ها، استفادۀ آزاد (علی رغم درک ناقص) از اعداد گنگ، معرفی اعداد مختلط، احیای مجدد مثلثات، تثبیت رابطۀ

٨٠ ایسرائل کلاینر  

ریاضیات و هنر از طریق ترسیمات مناظر و مرایا و انقلابی در اخترشناسی بوده ایم که بعدها معلوم شد اهمیت زیادی برای ریاضیات دارد. تعدادی از این تحولات همچون کشف هندسۀ تحلیلی توسط دکارت و فرما در دهه های اولیۀ قرن هفدهم، جزء پیش نیازهای لازم برای ظهور حساب دیفرانسیل و انتگرال بودند.

در دورۀ رنسانس شاهد احیای کامل و پژوهش جدی در آثار ریاضی یونانیان به ویژه شاهکارهای ارشمیدس نیز هستیم. محاسبات او دربارۀ مساحت ها، حجم ها و مرکزهای ثقل اجسام، الهام بخش بسیاری از ریاضیدانان آن دوره بود. برخی از ریاضیدانان این دوره پا را از ارشمیدس فراتر گذاشتند و تلاش کردند تا روشی قاعده مند برای محاسبۀ مرکزهای ثقل اجسام صلب بیابند. اما آنها روش متداول «افنای» یونانیان را به کار می بردند که نه به کشف نتیجه ای راه می برد و نه به ابداع الگوریتمی می انجامید. به هر حال، طبع آن دوران هم به گونه ای بود که خیلی از ریاضیدانان بیشتر علاقه مند به نتیجه بودند تا اثبات. (کاوالی یری ١   در دهۀ ١۶٣٠ اظهار می کند که «مسئلۀ دقت، یک موضوع فلسفی است نه هندسی.» [ ۴٠ ([آنها برای به دست آوردن نتایج شان، روش هایی جدید برای حل مسئله های حساب دیفرانسیل و انتگرال ابداع کردند. این روش ها اغلب مبتنی بر ترکیبی از ایده های هندسی، جبری و حسابی بودند. دو نمونه از آنها را ذکر می کنیم.

٢ . ١ .کاوالی یری. یکی از ابزارهای (هندسی) اصلی در بررسی مسائل حساب دیفرانسیل و انتگرال، مفهوم تقسیم ناپذیرها بود. ایدۀ این مفهوم -مثلا در بیان این مطلب که یک سطح از اجتماع تعداد نامتناهی خط (همان تقسیم ناپذیرها) تشکیل می شود- در افکار اتم گرایانۀ یونانیان تجلّی یافته بود و بخشی از تفکر علمی قرون وسطی نیز به شمار می رفت. ریاضیدانان قرن هفدهم، تقسیم ناپذیرها را به ابزاری پرتوان برای بررسی مسائل مساحت و حجم تبدیل کردند.

گالیله و دیگران در اوایل قرن هفدهم از تقسیم ناپذیرها در حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده کردند اما کاوالی یری بود که در کتاب هندسۀ تقسیم ناپذیرها به سال ١۶٣۵ ،مفهوم مبهم تقسیم ناپذیرها را به هیئت روشی سودمند برای تعیین مساحت و حجم درآورد. روش او مستلزم این است که شکل هندسی را مرکب از تعداد نامتناهی تقسیم ناپذیر از بعد پایین تر در نظر بگیریم. بنابراین یک رویه، متشکل از تعداد نامتناهی خط های موازی هم فاصله و یک جسم صلب، متشکل از تعدادی نامتناهی صفحه های موازی هم فاصله است. فرآیند یافتن مساحت (یا حجم) یک شکل این طور است که آن شکل را با شکل دیگری با ارتفاع (یا پهنای) برابر و حجم مشخص مقابله می کنیم، یعنی یک تناظر یک به یک بین اجزای تقسیم ناپذیر این دو شکل برقرار می سازیم و از اصل کاوالی یری استفاده می کنیم که می گوید: اگر اجزای تقسیم ناپذیر متناظر، همواره یک نسبت مفروض داشته باشند، آن گاه مساحت ها

١ Cavalieri

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ٨١  

(یا حجم ها)ی آن دو شکل همین نسبت را خواهند داشت. برای مثال، به راحتی ثابت می شود که نسبت x ٢ + y ٢ = a ٢ x به عرض های نقاط متناظر در دایرۀ ٢ /a ٢ + y عرض های نقاط بیضی ١   = b ٢ / ٢   برابر با a/b است (شکل ١ را ببینید). بنابراین مساحت بیضی برابر با a/b ضرب در مساحت دایره و در نتیجه برابر با πab است.

شکل ١

٢ . ٢ .فرما. فرما اولین کسی بود که به طور سازمان یافته به مطالعۀ مسئلۀ یافتن خط مماس پرداخت. او در دهۀ ١۶٣٠ روشی برای یافتن خط های مماس بر خم های چندجمله ای ابداع کرد. روش او را با یک مثال توضیح می دهیم.

x ٢ , x (پیدا کنیم. فرض کنید x = y را در نقطۀ (فرض کنید می خواهیم خط مماس بر سهمی   ٢

x ٢ , x (باشد (شکل ٢ را e + x نقطه ای دیگر روی محور x ها و s سایۀ مماس ١   بر خم در نقطۀ ( ٢ x .فرما می گوید k » همسنگ»ببینید). از تشابه مثلث ها نتیجه می گیریم که ( e + s/ ( k = s/ ٢   ( e + x (است (شاید منظورش این بوده که این دو «تا جایی که ممکن است تقریباً برابرند»؛ ٢ با

( e + x ∼ = ( k بنویسیم، به دست می آیدهرچند این را بیان نمی کند). اگر این مطلب را به صورت   ٢ x .با حل این رابطه برحسب s ،داریم ٢ /s ∼ = ( x + e ) ٢ / ( s + e )

s ∼ = ex ٢  

[( x + e ) ٢ − x ٢ ]= ex ٢  

e (٢ x + e )= x ٢  

٢ x + e

١ subtangent ٢ adequal

٨٢ ایسرائل کلاینر   ( x, x ٢ x شیب خط مماس بر سهمی در نقطۀ ( x .توجه دارید که s/ ٢٢ /s ∼ = ٢ x + e نتیجه در و است. در اینجا فرما e را «حذف» می کند و ادعا می کند که شیب خط مماس برابر با ٢ x است.

شکل ٢

برخی از معاصران فرما و برجسته ترین آنها، دکارت، این روش فرما را به شدت مورد انتقاد قرار دادند. آنها به معرفی و حذفِ « e یِ مرموز» در پایان کار ایراد می گرفتند: وقتی عبارت را بر e تقسیم می کنیم، پس یعنی آن را ناصفر می گیریم و وقتی آن را حذف می کنیم، یعنی آن را صفر در نظر می گیریم.

آنها به حق ادعا می کردند که چنین چیزی پذیرفتنی نیست. اما e یِ مرموز فرما باعث شکل گیریِ ایده ای مهم شد و آن، نمو» کوچک» یک متغیر بود که تازه ٢٠٠ سال بعد، رسماً به صورت مفهوم حد درآمد. با وجود این، فرما روش خود را صرفاً یک روش جبری می دانست.

مثال های بالا تصویری گذرا از حدود یک قرن جستجوهای پر تب وتاب را در حساب دیفرانسیل و انتگرال پیش از مطالعات نیوتن و لایب نیتس، در اختیار ما می گذارند. ریاضیدانان، با جسارتِ تمام، پا در سرزمینی تقریباً بکر -ریاضیات نامتناهی ها- گذاردند که اگر آن دوران، دوران سخت گیرانه تری بود، از پا گذاشتن در آن وحشت داشتند. آنها انبوهی از روش های نیرومند اما نادقیق مبتنی بر بی نهایت کوچک ها را برای حل مسائل مساحت، حجم و مماس تولید کردند. خوب! پس برای نیوتن و لایب نیتس چه کاری مانده بود؟

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ٨٣   ٣ .نیوتن و لایب نیتس: ابداع کنندگان حساب دیفرانسیل و انتگرال

در مطالعۀ حساب دیفرانسیل و انتگرال -جدای از کاربردهای آن- دو وجه عمده، یکی وجه الگوریتمی و دیگری وجه نظری، مورد توجه قرار می گیرد که به ترتیب، در پاسخ به دو پرسش چگونه و چرا مطرح می شوند. بنابراین حساب دیفرانسیل و انتگرال شامل روش ها و ابزارهای پرداخت شده

برای حل مسائل مهم نظری و کاربردی و همچنین مجموعه ای از نتایج نظری است که زیربنای آن روش ها را تشکیل می دهند. نیوتن و لایب نیتس پیش از هر چیز، در شکل دادن به جنبۀ نخست از این دو جنبه از حساب دیفرانسیل و انتگرال سهیم بودند. مشخص تر بگویم، این دو

الف) مفاهیم کلی مشتق (فلوکسیون، دیفرانسیل) و انتگرال را ابداع کردند. محاسبۀ مساحت شکل های خمیده خط و حجم جسم های صلب با استفاده از روش های پر دردسر، یک چیز است و پی بردن به اینکه چنین مسائلی را می توان در چارچوب مفهومی به نام انتگرال درآورد، کلا چیزی دیگر است. از همین گونه است تمایز میان یافتن مماس، بیشینه و کمینه و سرعت های لحظه ای از یک سو و مفهوم مشتق از سوی دیگر.

ب) پی بردند که عمل های مشتق گیری و انتگرال گیری، وارون یکدیگرند. گرچه چندین ریاضیدان ۴ پیش از نیوتن و لایب نیتس از قبیل فرما، ربِروال ١   ،توریچلی ٢   ،گریگوری ٣   و به ویژه، بارو به پیوند میان مسئله های مماس و مساحت، عمدتاً در حالت های خاص اشاره کرده بودند، تبیین آشکار این پیوند در کلی ترین شکل آن که امروزه قضیۀ بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال خوانده می شود، از آنِ نیوتن و لایب نیتس است.

پ) یک نمادگذاری اختراع و الگوریتم هایی ابداع کردند و با این کار، حساب دیفرانسیل و انتگرال را به صورت ابزار محاسباتی نیرومند کنونی درآوردند.

ت) دامنۀ کاربرد روش های حساب دیفرانسیل و انتگرال را گسترش دادند. با اینکه در گذشته فنون حساب دیفرانسیل و انتگرال را عمدتاً برای چندجمله ای ها و آن هم غالباً چندجمله ای های درجه های پایین به کار می بردند، اکنون برای همۀ تابع ها چه جبری و چه متعالی، قابل استفاده بودند.

در اینجا بد نیست چند کلمه هم دربارۀ چگونگی پیش بینی ها و اکتشافات در ریاضیات سخن بگوییم. اگر اصولا ممکن باشد، به ندرت یک نظریه یا حتی یک مفهوم یا نتیجۀ ریاضی در ذهن یک نفر تنها، به پختگی کامل می رسد. ایده های ریاضی طی زمان شکل می گیرند ؛ هرچند بیشتر اوقات

این سیر تکاملی، پیوسته و هموار نیست و در طی آن، شروع نادرست، سعی و خطا، شکست و نیز موفقیت وجود دارد. با این حال، یک فرق بزرگ بین کشفِ مصداق های یک مفهوم و آ گاهی کامل

١ Roberval ٢ Torricelli ٣ Gregory ۴ Barrow

٨۴ ایسرائل کلاینر  

دربارۀ آن مفهوم وجود دارد. معمولا این آ گاهی با درک اهمیت آن مفهوم و کاربردها و بهره گیری از آن همراه است.

در مورد حساب دیفرانسیل و انتگرال، نیوتن و لایب نیتس بودند که مفاهیم اساسی مشتق و انتگرال را از مصداق های متعدد آنها در آثار پیشینیان خود بیرون کشیدند، اهمیت آنها را با قرار دادن در بطن یک نظام جبری-الگوریتمی نشان دادند و آنها را در موقعیت های جدیدِ بسیاری به کار

بستند. در عین حال، باید گفت که آن دوره، دوره ای مساعد برای این تلفیق عظیم هم بود. به قول دیرک [ ۵٧ ،[تاریخدان برجستۀ معاصر،اشترویک ١  

«روش کلی برای مشتق گیری و انتگرال گیری را که نتیجۀ درک کامل این نکته بود

که این دو عمل عکس یکدیگرند، تنها کسی می توانست کشف کند که بر روش های

هندسی یونانیان و کاوالی یری و به همان اندازه، بر روش های جبری دکارت و والیس

اشراف داشت. چنین افرادی فقط بعد از سال ١۶۶٠ امکان ظهور داشتند و در واقع

در هیئت نیوتن و لایب نیتس ظاهر شدند.»

٣ . ١ .نکتۀ آموزشی. «اکتشافات ریاضی همچون روییدن بنفشه های جنگلی در فصل بهار، در زمانی خاص رخ می دهند و هیچ انسانی در تأخیر یا تعجیل آنها دخیل نیست.» [ ٣ [این را فارکاش   به پسرش یانوش ٣   ،یکی از کاشفان هندسۀ نااقلیدسی، می گفت. درست همان طور که تلفیقبویویی

٢

ایده های ریاضی، زمانی مناسب در تاریخ دارد، وجود چنین زمانی در آموزش ریاضی هم ضروری است. پیشینیانِ نیوتن و لایب نیتس چنین تلفیقی را صورت ندادند، زیرا به قدر کافی مثال در دسترس نداشتند که آن تلفیق را توجیه کند. مطلب پیش پا افتاده ای است ولی ارزش تکرار کردن دارد و آن اینکه: ضروری است پیش از آنکه چیزی را تعریف کنیم، تعمیم دهیم یا اثبات کنیم، مثال هایی -مثال های زیاد در زمینه های گوناگون- برای دانشجو بیان کنیم.

اکنون می پردازیم به چند مثال از حساب دیفرانسیل و انتگرال نیوتن و لایب نیتس. نخست ملاحظه می کنیم که اساس کار آنها مفهوم بی نهایت کوچک بوده است. این مفهوم به طور صوری تعریف نشده بود ولی مراد از آن، کمیتی «بی نهایت کوچک» بود که از هر کمیت متناهی ناصفر دیگری کوچکتر است.

٣ . ٢ .نیوتن. نیوتن سه روایت مختلف از حساب دیفرانسیل و انتگرال عرضه کرد. گویا در جستجوی بهترین رهیافت به این موضوع بوده است یا شاید هم همان طور که برخی گفته اند، هر روایت او مناسبِ منظوری بوده است: برای به دست آوردن مؤثر نتیجه ها و قضیه ها، تدارک دیدنِ الگوریتم های

١ Dirk Struik ٢ Farkas Bolyai ٣ Janos

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ٨۵  

مفید یا به دست آوردن اثبات های قانع کننده. به این ترتیب نیوتن بی نهایت کوچک ها را به کار می برد که تا اندازۀ زیادی، یک رهیافت هندسی بود؛ «فلوکسیون ها» را به کار می گرفت که رهیافتی سینماتیک بود؛ و سرانجام، از «نسبت های اولیه و غایی» استفاده می کرد که رهیافتی «جبری» و دقیق ترین رهیافت او بود. البته گاهی در حل مسائل مختلف این سه روش با هم به کار برده می شدند.

توجه به این نکته مهم است که حساب دیفرانسیل و انتگرالِ نیوتن (و همچنین لایب نیتس) حساب دیفرانسیل و انتگرالِ متغیرها و معادله هایی بود که این متغیرها را به هم پیوند می دادند؛ نه حساب دیفرانسیل و انتگرالِ تابع ها . واقعیت این است که مفهوم تابع به صورت یک مفهوم روشن ریاضی، ١

  می نامید. اینتازه در اوایل قرن هیجدهم پدید آمد. نیوتن متغیرهایی را که به کار می برد، «فلوئنت» نامگذاری ناشی از تصوری هندسی و سینماتیک از کمیتی است که پیوسته در حال تغییر است مثل ٢

  مداوم یک ذره در طول یک خم. این گونه متغیرها به طور ضمنی تابعی از زمان در نظر گرفته«شارش»

می شوند.

٣

  بود و آن را با ˙ x نشان می داد. فلوکسیونمفهومی اساسی که نیوتن به کار می برد، «فلوکسیون»

عبارت است از آهنگ لحظه ایِ تغییرات (سرعت لحظه ایِ) فلوئنت x ) یا با نمادهای امروزی، dt/dx .(تعریفی از سرعت لحظه ای داده نمی شد بلکه بر فهم شهودی آن تکیه می شد و هدف نیوتن بیشتر این بود که شیوۀ محاسبۀ ˙ x را نشان دهد.

چون نیوتن حرکت یک نقطه روی خم به معادلۀ ٠) = y, x ( f را ترکیبی از حرکت های افقی و عمودی با سرعت های ˙ x و ˙ y در نظر می گرفت (شکل ٣ را ببینید) و چون جهت حرکت یک نقطه روی خم، در امتداد مماس بر خم است، پس شیب خط مماس بر خم ٠) = y, x ( f در نقطۀ ( y, x (روی این خم برابر با ˙ x/ ˙ y است. اما dt/dy ˙ = y و dt/dx ˙ = x و لذا (با نمادهای امروزی) dx/dy ˙ = x/ ˙ y .به عبارت دیگر، شیب خط مماس یا همان مشتق، برابر با خارج قسمت فلوکسیون ها است.

x در نقطۀ دلخواه ( y, x ( ٣ − ax ٢ + axy − y برای مثال، مماس بر خم به معادلۀ ٠   = ٣   روی خم را محاسبه می کنیم. نیوتن o را یک بازۀ زمانی بی نهایت کوچکی می گیرد. پس ˙ xo و ˙ yo نموهای بی نهایت کوچک x و y هستند (زیرا اگر مثل نیوتن فرض کنیم که سرعت های لحظه ای ˙ x و

˙ y نقطۀ در حال حرکت ( y, x (در طول خم، طی بازۀ زمانی بی نهایت کوچک o ثابت باقی می ماند، خواهیم داشت مسافت = زمان × سرعت که برابر با ˙ xo یا ˙ yo است). نیوتن ˙ xo و ˙ yo را گشتاورها می نامد و منظورش از «گشتاورِ» یک فلوئنت، مقدار افزایش آن در یک بازۀ زمانی بی نهایت کوچک است. بنابراین ( yo + ˙ y, xo + ˙ x (نقطه ای روی خم است که فاصله ای بی نهایت کوچک از ( y, x ( دارد و به قول نیوتن «چنان که اگر مختصات نقطه در یک لحظه x و y باشند، در لحظۀ بعدی xo + ˙ x ١ fluent ٢ flowing ٣ fluxion

٨۶ ایسرائل کلاینر  

شکل ٣

و yo + ˙ y خواهند بود.» اگر ( yo + ˙ y, xo + ˙ x (را در معادلۀ اولیه جانشانی کنیم و معادله را با x ) که برابر با صفر است) و تقسیم بر o ،ساده کنیم، به دست می آوریم ٣ − ax ٢ + axy − y ٣ حذفِ

٣ x ٢ x ˙ − ٢ axx ˙ + ayx ˙ + axy ˙ − ٣ y ٢ y ˙ + ٣ xx ˙ ٢ o − ax ˙ ٢ o

+ ax ˙ yo ˙ − ٣ yy ˙ ٢ + ˙ x ٣ o ٢ − y ˙ ٣ o ٢ = ٠ .

سپس نیوتن با ذکر این مطلب که جمله های شامل o » بی نهایت کوچکتر» از جمله های دیگر هستند، ٣ x را به دست می آورد ٢ x ˙ − ٢ axx ˙ + ayx ˙ + axy ˙ − ٣ y آنها را کنار می گذارد و معادلۀ ٠˙ = ٢ y که ˙ x را به ˙ y پیوند می دهد. به کمک این پیوند، می توان شیب خط مماس بر خم داده شده را در نقطۀ ٣ x ˙ = ( x/ ˙ y به دست آورد. نیوتن متذکر می شود ٢ − ٢ ax + ay ) / (٣ y ٢ −ax ) صورت به) x, y )

که این روش، کاملا کلی است و او از این طریق می تواند شیب خط مماس بر هر خم جبری را به دست آورد.

اما موضوع سر درآوردن از نماد « o «باقی مانده بود: آیا برابر صفر است؟ یا کمیتی متناهی است؟ یا بی نهایت کوچک؟ معضل نیوتن بی شباهت به معضل نیم قرن پیش فرما نبود. نیوتن کوشید با مطرح کردن نظریۀ نسبت های غایی که شرح خواهیم داد، موضوع را روشن سازد. سری های توانی یکی از ابزارهای اصلی در حساب دیفرانسیل و انتگرال نیوتن بود. او آنها را به منزلۀ بسط های اعشاری نامتناهی در آنالیز می انگاشت و بر این ادعا بود که «محاسبه با اعداد و محاسبه با متغیرها دو عمل بسیار شبیه به هم هستند.» [ ٣۴ [از دیدگاه نیوتن، سری های توانی چیزی نبودند جز چندجمله ای های نامتناهی که روی آنها می توانستیم همان عمل های چندجمله ای های عادی را انجام دهیم. آن چیزی که برای استفادۀ نیوتن از سری های توانی در حساب دیفرانسیل و انتگرال اهمیت اساسی داشت، قضیۀ دوجمله ای بود که آن را به توان های کسری و منفی تعمیم داده بود.

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ٨٧  

نیوتن روش های مبتنی بر سری های توانی را برای انتگرال گیری از تابع های جبری و متعالی

«بدرفتار»ی به کار گرفت که محاسبۀ مستقیم انتگرال آنها ناممکن به نظر می رسید. برای مثال، نیوتن √

  که در قرن نوزدهم ثابت شد انتگرال آن تعداد متناهی جمله١ − x برای انتگرال گیری از تابع   ٣  

x − ١ (را با استفاده از قضیۀ دوجمله ای بسط می دهد و سپس از سری حاصل، ٣ )ندارد، عبارت   ٢ / ١

جمله به جمله انتگرال می گیرد.

نیوتن نخستین کسی در اروپا بود که بسط های سری توانی تابع های مثلثاتی را (که ریاضیدانان هندی ٣٠٠ سال قبل تر با آن آشنا بودند) به دست آورد و از آنها برای یافتن مساحت ناحیۀ زیر خم های   استفاده کرد. او همچنین تابع های نمایی و لگاریتمی را برحسب سری های توانی ١   و مربع سازچرخزاد

٢

توانیم می، ١ / (١+ x ) = ١ −x + x ٢ −x ٣ + x بسط داد. برای مثال، با توجه به اینکه · · · −   ۴ .log(١+ x ) = x−x ٢ / ٢+ x ٣ / ٣ −x از دو طرف، انتگرال بگیریم و به دست آوریم · · · +۴ / ۴   هرچند نیوتن هیچگاه مجاز بودنِ این انتگرال گیریِ جمله به جمله را مورد سؤال قرار نداد، به نظر می رسد از مسئلۀ همگرایی آ گاهی داشته است.

٣ . ٣ .لایب نیتس. اندیشه های لایب نیتس در حساب دیفرانسیل و انتگرال به تدریج تکامل یافتند و او نیز همانند نیوتن، چندین روایت از آنها به نگارش درآورد و این روایت ها افکار رو به تکامل او را عیان می کنند. آنچه که در همۀ این روایت ها اهمیت اساسی داشت، مفهوم «دیفرانسیل»

بود؛ هرچند این مفهوم برای لایب نیتس در دوره های مختلف معانی بسیار متفاوتی داشته است. لایب نیتس خم را یک چندضلعی با تعداد نامتناهی ضلع و هر ضلع با طول بی نهایت کوچک در نظر می گرفت (به یاد آورید که مفهوم دایره از دیدگاه یونانیان، یک چندضلعی با تعداد نامتناهی ضلع

x ١ ، x ٢ ، x ٣   . . . ،و

بود). به چنین خمی می توان یک دنبالۀ (گسستۀ) نامتناهی از طول ها مانند

x i   (مختصاتیک دنبالۀ نامتناهی از عرض ها مانند   y ١ ، y ٢ ، y ٣   . . . ،وابسته کرد که در آن، ( y i ,   نقاط خم هستند. تفاضل بین مقدارهای متوالی x را دیفرانسیل x می نامید و با dx نشان می داد؛ مشابهاً برای dy .دیفرانسیل dx کمیتی ثابت و ناصفر است و در مقایسه با x » ،بی نهایت کوچک»

  ١ − x i −x i  

است. پس به هر خم، دنباله ای از دیفرانسیل ها وابسته می شود که همان دنبالۀ تفاضل های

x ١ ، x ٢ ، x ٣   . . . ،است. لایب نیتس اضلاع چندضلعی سازندۀ خم را با ds نشان

وابسته به طول های

٣ می داد (باز تعداد نامتناهی از این گونه بی نهایت کوچک های ds وجود دارد). از اینجا مثلث مشخصه ( ds ) ٢ = ( dx ) ٢ + ( dy ) ٢ با اضلاع بی نهایت کوچک dx ، dy و ds به دست می آمد که در رابطۀ صدق می کرد (شکل ۴ را ببینید). لایب نیتس ضلع ds از خم (چندضلعی) را منطبق بر مماس بر خم (در نقطۀ x (در نظر می گرفت. در این باره می گوید [ ٣٧ :[

١ cycloid ٢ quadratrix ٣ characteristic triangle

٨٨ ایسرائل کلاینر  

«فقط باید به یاد داشته باشیم که یافتن مماس به این معنی است که خطی رسم شود

که دو نقطه از خم در فاصلۀ بی نهایت کوچک را به هم وصل کند؛ یا ضلع چندضلعی ای

را امتداد دهیم که تعداد نامتناهی گوشه دارد و برای ما در حکم خم است. همواره

می توان این فاصلۀ بی نهایت کوچک را با دیفرانسیل کوچکی مثل ds بیان کرد.»

شکل ۴

بنابراین شیب خط مماس بر خم در نقطۀ ( y, x (برابر با dx/dy است که واقعاً خارج قسمت دیفرانسیل ها است و لایب نیتس آن را خارج قسمت دیفرانسیلی می نامید.

انتگرال لایب نیتس، مجموع نامتناهی از مستطیل های بی نهایت کوچک با قاعدۀ ds و ارتفاع y است (شکل ۵ را ببینید). لایب نیتس ملاحظه می کند که «مثلث های باقیمانده، نسبت به مستطیل های مذکور در بالا بی نهایت کوچک هستند [و] می توان آنها را بدون هیچ دردسری حذف کرد.» [ ١٩ [این

مثلث های «باقیمانده» همان مثلث های مشخصۀ لایب نیتس هستند و بنابراین می توان آنها را حلقۀ

رابط بین مشتق گیری و انتگرال گیری تلقی کرد. نماد بسیار الهام بخشی که لایب نیتس (پس از چند  یک S کشیده است و «مجموع» ∫  است (موردِ نه چندان موفق) برای انتگرال معرفی کرد، ydx

∫

را نشان می دهد). لایب نیتس هم مثل نیوتن، انتگرال را از طریق پادمشتق گیری محاسبه می کرد. لایب نیتس مدتی به دنبال یافتن قاعده های درستِ مشتق گیری از حاصل ضرب و خارج قسمت بود. وقتی آنها را یافت، «اثباتشان» کار آسانی بود؛ به این ترتیب که

d ( xy ) = ( x + dx )( y + dy ) −xy = xy + xdy + ydx +( dx )( dy ) −xy = xdy + ydx.

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ٨٩  

شکل ۵

لایب نیتس جملۀ ( dy )( dx (را با ذکر این نکته که «نسبت به بقیۀ جمله ها بی نهایت کوچک است»، حذف می کند [ ١٩ .[

نمونۀ دوم از روش های حساب دیفرانسیل و انتگرال لایب نیتس، یافتن مماس بر مقطع مخروطی x در نقطۀ ( y, x (است. اگر به جای x و y به ترتیب، dx + x و dy + y قرار دهیم ٢ + ٢ xy = ۵ و ملاحظه کنیم که ( dy + y, dx + x (نقطه ای روی این خم و «بی نهایت نزدیک» به ( y, x (است، آن گاه داریم

( x + dx ) ٢ + ٢( x + dx )( y + dy ) = ۵ = x ٢ + ٢ xy.

( dx (که نسبت به dx و dy قابل اغماض ٢ با ساده کردن طرفین و حذف جمله های ( dy )( dx (و هستند، نتیجه می شود که ٠ = ٢ ydx + ٢ xdy + ٢ xdx .با تقسیم طرفین این عبارت بر dx و x ٢ + ٢ xy = ۵ اگر البته. dy/dx = ( −x − y ) /x آوریم می دست به، dy/dx برحسب آن حل x − ۵ = ( y بنویسیم و از این رابطۀ تابعی مشتق بگیریم، باز همین نتیجه را ٢ را به صورت ٢ x ) /

به دست می آوریم (به یاد داشته باشید که پیدایش حساب دیفرانسیل و انتگرال لایب نیتس، به لحاظ زمانی پیش از ظهور مفهوم تابع قرار دارد).

در دو مثال بالا مشاهده کردیم که لایب نیتس چگونه با گزینش نمادگذاری مناسب توانست بدون اثبات دقیق، خیلی سریع به درستی چند نتیجۀ مهم مجاب شود. اما نمادگذاری لایب نیتس نه تنها به  کار اثبات نتیجه ها می آمد، بلکه اکتشاف آنها را نیز بسیار آسان می کرد. مثلا چندان روشن نیست که چگونه می توان قاعدۀ مشتق گیری از تابع مرکب (( x ( g ( f ،یعنی همان قاعدۀ زنجیری را به دست آورد. اما اگر قرار دهیم ( x ( g = y و ( y ( f = z و نماد دیفرانسیل لایب نیتس را به کار ببریم و مشتق را

٩٠ ایسرائل کلاینر  

به صورت یک خارج قسمت در نظر بگیریم، فوراً نتیجه می شود که dx/dz ) مشتق (( x ( g ( f (برابر با ( dx/dy )( dy/dz (است. این شکل از قاعدۀ زنجیری، یک روش اثبات امروزیِ آن را نیز به ذهن متبادر می کند که عبارت است از نشاندن x ،∆ y ∆و z ∆به ترتیب به جای dx ، dy و dz و گرفتن حد و البته باقی حزم اندیشی ها.

نتایجی که (با عذاب وجدان؟) در درس حساب دیفرانسیل و انتگرال سال اول با استفاده از بی نهایت کوچک ها (دیفرانسیل ها) به دست می آیند، جزء میراث های لایب نیتس هستند. مثلا با انتگرال گیری از قاعدۀ حاصل ضرب لایب نیتس، ydx + xdy ) = xy ( d ،بی درنگ به دستور انتگرال گیری جزء به جزء می رسیم؛ به این ترتیب که چون

∫

∫

d ( xy ) =

∫

∫

xdy +

∫

ydx,

∫

∫

پس

.

xdy = xy −

ydx یا xy =

xdy +

ydx

اهتمامی که لایب نیتس به وضع یک شیوۀ نمادگذاری کارآمد در حساب دیفرانسیل و انتگرال داشت، جزء جدانشدنی کوشش های او در یافتن یک «زبان عمومی ١   بود که منظورش از آن، یک زبان نمادین بود با این قابلیت که بتواند هر گفتار تعقلی ٢   را به محاسبه های معمولی فرو کاهد. همان طور که از مثال های بالا برمی آید، او در انجام این کار برای حساب دیفرانسیل و انتگرال، به طرز خارق العاده ای ٣

  در این باره می نویسد [ ١٩ :[موفق شد. سی. اچ. ادواردز

«در کل تاریخ علوم و ریاضیات، حساب دیفرانسیل و انتگرالِ بی نهایت کوچک ها

[ابداعی لایب نیتس] نمونه ای ناب از یک دستگاه نمادگذاری و اصطلاحات است که

چنان بی عیب و نقص با موضوع خود درآمیخته است که اعمال منطقی اساسی و

فرآیندهای آن را بی کم وکاست می نمایاند.»

٣ . ۴ .نکتۀ آموزشی. برای ما نمادگذاری و استفاده از آنها چیزی عادی تلقی می شود. ریاضیات بدون یک شیوۀ نمادگذاری رشدیافتۀ مناسب، برای ما غیرقابل فهم می شود. با وجود این، لازم است خاطرنشان کنیم که طی این دست کم سه هزار سال، ریاضیات به ندرت بدون استفاده از نمادها رشدی داشته است! در واقع همان طور که کی. پدِرسن ۴   تاریخدان اظهار می کند [ ٢٨ :[

«یکی از دلایل پی نبردنِ ریاضیدانان [اوایل قرن ١٧ [به رویکردهای کلی موجود

در روش های گوناگون [برای حل مسائل حساب دیفرانسیل و انتگرال] احتمالا

١ universal characteristic ٢ rational discourse ٣ C. H. Edwards ۴ K. Pederson

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ٩١  

این واقعیت بوده است که آنها کارهای خود را تا اندازۀ زیادی به زبان عادی و

بدون هیچ گونه نمادگذاری خاصی، بیان می کردند و بنابراین برای آنها مشکل بود که

پیوند های بین مسئله های مورد بحث را صورت بندی کنند.»

پس همان طور که گفتیم، نمادگذاری مناسب نه تنها در اثبات نتایج، بلکه در مرحلۀ کشف آنها نیز به ما کمک می کند. علت اصلی برتریِ حساب دیفرانسیل و انتگرال لایب نیتس بر حساب دیفرانسیل و انتگرال نیوتن، در نمادگذاری مناسب او بود که به قول خودش، حقایق را بدون هیچ زحمت فکری

در اختیار ما می گذارد [ ٧ .[سی. اچ. ادواردز سودمندیِ نمادگرایی در آموزش حساب دیفرانسیل و انتگرال را به طرز جذابی بیان کرده است [ ١٩ :[

«گزافه نیست اگر بگوییم که حساب دیفرانسیل و انتگرال لایب نیتس مسائلی را در

تیررس فهم یک دانشجوی عادی قرار داد که روزگاری حل آنها نیازمند نبوغ افرادی

چون ارشمیدس و یا نیوتن بود.»

۴ .قرن هیجدهم: اویلر

هرچند دستاوردهای نیوتن و لایب نیتس، جایگاه والایی داشت، صورت بندی آنها از حساب دیفرانسیل و انتگرال عمدتاً از روش ها و مسائلی تشکیل شده بود که پیوندی سست با یکدیگر داشتند و حتی برای جامعۀ ریاضی کوچک آن زمان، به آسانی قابل فهم نبودند. متنی که نخستین بار لوپیتال در سال ١۶٩۶ با عنوان « آنالیز بی نهایت کوچک ها برای درک خط های خمیده » نوشت، به طور سازمان یافته

خواننده را با حساب دیفرانسیل لایب نیتس آشنا می کرد. در دهه های آغازین قرن هیجدهم، حساب دیفرانسیل و انتگرال در اثر کوشش های برادران برنویی به ویژه یاکوب و یوهان، گسترش بیشتری یافت. طی این دوره، کتاب های متعددی منتشر شد اما تمرکز بر خودِ موضوع همچنان مغفول مانده بود. محتوای اصلی حساب دیفرانسیل و انتگرال در آن دوره، هندسۀ خم ها بود: مماس، مساحت، حجم، طول قوس (عنوان کتاب لوپیتال را به یاد بیاورید). البته نیوتن و لایب نیتس ابزاری جبری (نمادی) معرفی کردند اما انگیزۀ آنها از معرفی این ابزار و مسائلی که می شد این ابزار را در مورد آنها به کار برد، هندسی یا فیزیکی بود و دوباره با خم ها پیوند می خورد. به ویژه (همان طور که پیشتر اشاره کردیم) حساب دیفرانسیل و انتگرال در آن دوره، حساب دیفرانسیل و انتگرالِ متغیرهایی بود که با معادله ها به هم پیوند می خوردند؛ نه حساب دیفرانسیل و انتگرالِ تابع ها.

نخستین بار اویلر در حوالی میانۀ قرن هیجدهم گشایش مفهومی بنیادینی در این زمینه انجام داد که هنوز هم با ما عجین است. او مفهوم تابع را هستۀ مرکزی حساب دیفرانسیل و انتگرال قرار داد و ادعا کرد که موضوع حساب دیفرانسیل و انتگرال، مطالعۀ خم ها نیست بلکه مطالعۀ تابع ها است.

٩٢ ایسرائل کلاینر  

مشتق (کسر تفاضلی) و انتگرال صرفاً تجرید مفاهیم مماس یا سرعت لحظه ای از یک سو، و مساحت یا حجم از سوی دیگر، نیستند بلکه مفاهیم بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال هستند که باید مورد کندوکاو قرار گیرند.

اویلر نخستین کسی نبود که مفهوم تابع را تعریف کرد، بلکه اولین فردی بود که حساب دیفرانسیل و انتگرال را شاخه ای از ریاضیات دانست که به مطالعۀ تابع ها می پردازد و از این رو تابع را به مفهومی کلیدی در ریاضیات تبدیل کرد. اما چنین حکمی حتی اگر از سوی کسی مانند اویلر هم صادر می شد، نمی توانست یک شبه دیدگاه های ریاضیدانان آن دوره را تغییر دهد. ریاضیدانان قرن هیجدهم به سادگی با کلیدی بودنِ مفهوم تابع در ریاضیات، کنار نمی آمدند به ویژه که به نظرشان، متغیرها کارآمدیِ لازم را داشتند.

۴ . ١ .نکتۀ آموزشی. حساب دیفرانسیل و انتگرال بدون تابع! ممکن است بدعت به نظر برسد. البته همان طور که نیوتن، لایب نیتس و اخلاف بلافصل آنها نشان داده اند، یقیناً می توان حساب دیفرانسیل و انتگرال را بدون تابع هم تدریس کرد. اما آیا مجاز به چنین کاری هستیم؟ اگر شرایط

محیطی اجازه دهد، شاید به لحاظ آموزشی تجربه ای معنادار باشد: هندسه و سینماتیک را انگیزه بگیریم و متغیرها و معادله ها را ابزار؛ ترکیب توانمندی است! البته اگر دانشجو با مفهوم تابع آشنا باشد، از فرض زیربنایی بودنِ تابع، دستاوردهای مفهومی و فنی بسیاری عاید خواهد شد و این کاری بود که اویلر آغاز کرد (یکی از محاسن کار با تابع این است که در تابع، برخلاف معادله، آشکارا بین متغیر مستقل و متغیر وابسته و در نتیجه بین دامنه و برد تابع، تمایز می گذاریم). البته به کارگیریِ تابع در درس های پیشرفته تر اجتناب ناپذیر است.

۴ . ٢ . اویلر دیدگاه های خود را دربارۀ اصالت نقش تابع در حساب دیفرانسیل و انتگرال، در ١

  به سال ١٧۴٨ منتشر کرد. رهیافت او به تمامی،کتابی با عنوان آشنایی با آنالیز بی نهایت کوچک ها

جبری بود. در جلد اول از این مجموعۀ دو جلدی، حتی یک نمودار هم به چشم نمی خورد. سری های توانی نقشی بنیادی داشتند و ابزاری جبری برای مطالعات آتی در حساب دیفرانسیل و انتگرال به شمار می آمدند. البته این جبری سازیِ حساب دیفرانسیل و انتگرال، حدود یک قرن بعد، زمانی که کُشی در دهۀ ١٨٢٠ پژوهش های خود را آغاز کرد، به پایان رسید.

مثال هایی که در اینجا از کارهای اویلر ارائه می کنیم، درک خوبی از هنرنمایی (که نه! جادوگریِ) او در استفاده از روش های بی نهایت کوچک ها در ما ایجاد می کند.

١ Introductio in Analysin Infinitorum

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ٩٣  

(الف) به روش مرموزی که اویلر برای یافتن بسط سری توانی تابع nx sin به کار می برد، توجه کنید: از قضیۀ دوجمله ای استفاده می کنیم تا سمت چپ اتحاد

(cos z + i sin z ) n = cos nz + i sin nz

را بسط دهیم. سپس بخش موهومی این بسط را با nz sin برابر قرار می دهیم. به دست می آوریم sin nz = n (cos z ) n− ١ sin z − [ n ( n − ١)( n − ٢) / ٣!](cos z ) n− ٢ (sin z ) ٣   + [ n ( n − ١)( n − ٢)( n − ٣)( n − ۴) / ۵!](cos z ) n− ۵ (sin z ) ۵ − · · · (١ . ۴)

اکنون فرض کنیم n یک عدد طبیعی خیلی بزرگ و z یک عدد حقیقی خیلی کوچک باشد (به نظر می رسد اویلر هیچ نیازی نمی دیده که بگوید این کمیت ها چیستند). در این صورت

cos z = ١ , sin z = z, n ( n− ١)( n− ٢) = n ٣ , n ( n− ١)( n− ٢)( n− ٣)( n− ۴) = n ۵ , . . .

(باز هم اویلر هیچ توضیحی دربارۀ درستی این روابط نمی دهد؛ هرچند می توانیم پی ببریم که در مغزش چه می گذشته است). پس معادلۀ ( ۴ . ١ (تبدیل می شود به

sin nz = nz − n ٣ z ٣  

٣!+ n ۵ z ۵  

۵! − · · · .

حال فرض می کنیم x = nz .اویلر ادعا می کند که x متناهی است، زیرا n بی نهایت بزرگ و z بی نهایت کوچک است. در پایان، نتیجه می گیرد که

sin x = x − x ٣  

٣!+ x ۵  

۵! − · · · .

تعجب برانگیز است!

(ب) اویلر بسط سری توانی تابع های نمایی و لگاریتمی را نیز به روشی مشابه به دست می آورد و با استدلال زیر به کمک بسط تابع لگاریتمی، دیفرانسیل (مشتق) x log را می یابد:

d (log x ) = log( x + dx ) − log x = log(١ + dx/x )

= dx x− ( dx ) ٢  

٢ x ٢ + ( dx ) ٣  

٣ x ٣ − · · · = dx x .

( dx . . . ،(در مقایسه با dx بسیار کوچک هستند، می توان ٣ ،( dx )اویلر استدلال می کند که چون   ٢

آنها را از بسط بالا حذف کرد.

(پ) اکنون یکی از اکتشافات هوشمندانۀ اویلر را شرح می دهیم که همان استنتاج فرمول مشهور ١ + ١ ٢ ٢ + ١ ٣ ٢ + ١ ۴ ٢ + · · · = π ٢ ۶

٩۴ ایسرائل کلاینر  

است؛ نتیجه ای که از چشم لایب نیتس و یاکوب برنویی پوشیده مانده بود: ریشه های x sin عبارت اند از

٠ , ±π, ± ٢ π, ± ٣ π, . . . .

پس اینها ریشه های «چندجمله ای نامتناهی«

x − x ٣  

٣!+ x ۵  

۵! − · · ·

نیز هستند. این همان بسط سری توانی x sin است. با تقسیم بر x و حذف ریشۀ ٠ = x ،نتیجه x − ١ عبارت اند از π ، ± ٢ π ، ± ٣ π . . . . ، ± اما ریشه ها ٢ / ٣! + x می گیریم که ریشه های − !۵ / ۴   و جملۀ ثابت چندجمله ای نامتناهی حاصل از بسط ضرب نامتناهی

(١ − x ٢ /π ٢ )(١ − x ٢ / (٢ π ) ٢ )(١ − x ٢ / (٣ π ) ٢ ) · · ·

x − ١ هستند. پس این دو ٢ / ٣! + x همان ریشه ها و جملۀ ثابت چندجمله ای نامتناهی − !۵ / ۴   چندجمله ای با هم برابرند (درست مثل چندجمله ای های عادی):

١ − x ٢  

٣!+ x ۴  

۵! − = (١ − x ٢ /π ٢ )(١ − x ٢ / (٢ π ) ٢ )(١ − x ٢ / (٣ π ) ٢ ) · · ·

x را در دو سوی این برابری مقایسه می کنیم:ضریب   ٢

− ١ ٣!= − ١ π ٢ − ١

(٢ π ) ٢ − ١

(٣ π ) ٢ − · · · .

x در سمت راست برابری، چگونه به دست می آید، تصور کنید که اینبرای اینکه متوجه شوید ضریب   ٢

بسط تنها تعدادی متناهی جمله دارد. جمله ها را بازآرایی می کنیم و سرانجام به دست می آوریم ١ + ١ ٢ ٢ + ١ ٣ ٢ + ١ ۴ ٢ + · · · = π ٢ ۶ .

این روش تحلیل صوری و جبری که اویلر و بیشترِ ریاضیدانان قرن هیجدهم آن را به طرز عالی به کار می بستند، شگفت آور است. آنها ایمان داشتند که هرچه دربارۀ سری های همگرا صادق باشد، در مورد سری های واگرا هم صادق است، هرچه دربارۀ کمیت های متناهی صادق باشد، در مورد کمیت های بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک هم صادق است و هرچه دربارۀ چندجمله ای ها صادق باشد، در مورد سری های توانی نیز صادق است.

چه چیز ریاضیدانان را وامی داشت تا به قدرت نمادها اعتماد کنند و این «اصل تسری» بسیار فراگیر را بپذیرند که هر آنچه در یک زمینه از ریاضیات برقرار باشد، در همۀ زمینه های به ظاهر مشابه

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ٩۵  

هم برقرار است؟ اول از همه به این دلیل که کاربرد این روش های صوری منجر به نتایجی مهم می شد و شهود قوی ریاضیدانان پیشرو در آن دوران، خطاهای احتمالی را به کمترین میزان ممکن می رساند. به علاوه این روش ها اغلب در مورد مسائلی به کار گرفته می شدند که معقول بودنِ جواب های آنها، درستی نتیجه ها و لذا درستی روش ها را تضمین می کرد. همچنین برخی (از جمله نیوتن) معتقد بودند که ریاضیدانان، کاشفان طرح ریاضی وار پرعظمتی هستند که خداوند، عالم را بر اساس آن خلق کرده

است. (البته این اعتقاد تا پایان قرن هیجدهم تا اندازه ای تضعیف شده بود: نقل است که وقتی لاپلاس یک نسخه از کتاب مکانیک سماوی خود را به ناپلئون تقدیم می کند، ناپلئون او را خطاب قرار می دهد و می گوید: «جناب لاپلاس! به من گفته اند شما کتابی به این بزرگی در باب نظام عالم نگاشته اید اما حتی یک بار هم نامی از خالق این نظام به میان نیاورده اید.» و لاپلاس پاسخ می دهد: «قربان! به چنین فرضی نیاز نداشتم.» [ ۴٠ ([

۴ . ٣ .نکتۀ آموزشی. همان طور که می دانیم سری های توانی ابزاری نیرومند در پرداختن به مسائل حساب دیفرانسیل و انتگرال هستند. در واقع سری توانی یک ابزار «فراگیر» است به این معنی که بیشترِ (اگر نه همۀ) تابع هایی را که در حساب دیفرانسیل و انتگرال با آنها سروکار داریم، می توان برحسب سری توانی نمایش داد. بنابراین معرفی سری های توانی در همان اوایل مطالعۀ درس حساب دیفرانسیل و انتگرال، آموزنده است. دانشجویان پس از آشنایی با سری های توانی می توانند

• همانندیِ آنها را با چندجمله ای ها (البته بااحتیاط) درک کنند. قیاس، ابزاری نیرومند در اکتشاف و اثبات ریاضی است و البته باید کاربرد آن همراه با مراقبت باشد.

• ابزارهایی برای محاسبات و تقریب های عددی در اختیار داشته باشند. برای مثال، اگر / ١ بگیریم، می توانیم √ ١ − tan را برحسب سری توانی بسط دهیم و x را ٣تابع ( x (

مقدار π را مثلا تا ٧٢ رقم اعشار به دست آوریم (با فرض ١ = x ،یک سری با آهنگ همگرایی خیلی کند به دست خواهیم آورد).

• تعریف تابع های متعالی مانند سینوس، کسینوس و لگاریتم را به حالت متغیر مختلط تعمیم دهند.

• نتایج جالبی مانند

١ + ١ ٢ ٢ + ١ ٣ ٢ + ١ ۴ ٢ + · · · = π ٢ ۶

e را به دست آورند. i x = cos x + i sin x یا فرمول اویلر-کُتس ١  

١ Euler-Cotes formula

٩۶ ایسرائل کلاینر  

۴ . ۴ .نکتۀ آموزشی. توسل به روش های ریاضی ناسازگار که در بهترین حالت درستی شان مورد تردید بود، در میان ریاضیدانان قرن های هفدهم و هیجدهم متداول بود. خودشان هم غالباً متوجه بودند که روش هایی که به کار می گیرند، [به لحاظ دقت ریاضی] رضایت بخش نیستند، اما این روش ها را روا می دانستند چون نتایجی درست به بار می آوردند. توجیه به کار بردنِ برخی مفاهیم تعریف نشده صرفاً به این بهانه که نتایجی سودمند از این کار به دست می آید، به دفعات در تاریخ تحول ریاضیات رخ داده است. البته با گذشت زمان، وضوح و درک درست از آن مفاهیم از میان سرگشتگی ها پدیدار می گشت.

گرچه در کتاب های درسی معمولا محصول پایانی یک فعالیت ریاضی ارائه می شود اما گاهی لازم است که متعلّم بتواند حقایق ریاضی را خودش کشف و ثابت کند . البته روش کشف یک نتیجۀ ریاضی ممکن است تفاوتی فاحش با روش اثبات آن داشته باشد. مثال هایی که از پژوهش های فرما، لایب نیتس و اویلر ارائه کردیم، به اجمال، شیوۀ اکتشاف ریاضی را توسط برخی از بزرگان این علم به ما نشان می دهد. آیا این نمونه ها برای استفاده در آموزش ریاضی سودمند نیستند؟

۵ .بحث های مربوط به مبانی در قرن های هفدهم و هیجدهم

حرکت در راستای دقیق کردنِ مبانی حساب دیفرانسیل و انتگرال، در اوایل قرن هفدهم کورمال کورمال آغاز شد و در دهۀ ١٨٧٠ شکل و شمایل پایانی خود را به دست آورد. این کندیِ بیش از حد در تحول مبانی منطقی، چندان هم در تاریخ ریاضیات غیرعادی نیست. دقت، صوری سازی و ارائۀ

منطقی یک مفهوم، نتیجه یا نظریه، غالباً نقطۀ پایانی یک فرآیند تحول ریاضی است. در مورد حساب دیفرانسیل و انتگرال، ریاضیدانان قرن های هفدهم و هیجدهم دستاوردهای قابل توجهی به دست آورده بودند که مبتنی بر شهود و استدلال مکاشفه ای بود و لذا دلایلی قاطع که استدلال های آنها را بر مبانی محکمی استوار سازد، در دست نداشتند. البته این بدان معنا نیست که در طی این دو قرن، هیچ

دغدغه ای در مورد منطق حاکم بر الگوریتم های حساب دیفرانسیل و انتگرال وجود نداشته است، بلکه کوشش هایی هرچند ناموفق در این باره صورت گرفته بود.

ریاضیدانان قرن های هفدهم و هیجدهم می دانستند که موضوعی که در حالِ آفرینش آن هستند، زیربنایی مستحکم ندارد. برای مثال، آنها آ گاه بودند که بی نهایت کوچک ها در اصل ارشمیدس صدق نمی کنند و لذا باید آنها را به چشم تردید نگریست. اصل ارشمیدس، اصلی بنیادی در نظریۀ نسبت

و تناسب یونانیان و همچنین جبر و هندسۀ قرن هفدهم بود. این اصل می گوید که به ازای هر دو عدد حقیقی مثبت مانند a و b عددی طبیعی مانند n موجود است به طوری که b > na .اما اگر a بی نهایت کوچک باشد و ١ = b ،آن گاه برای هر عدد طبیعی n داریم ١ < na .نیوتن به این نکته توجهی ویژه داشت.

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ٩٧  

هر وقت بحث دقت در حساب دیفرانسیل و انتگرال پیش می آمد، ریاضیدانان معمولا مدعی می شدند که می توانند با بنا کردنِ کل حساب دیفرانسیل و انتگرال بر پایۀ روش دقیق افنا که یونانیان باستان آن را ابداع کرده بودند، همۀ دلواپسی ها را در این باره برطرف کنند. اما این روش، پیچیده و غیرعملی بود. (به یاد آورید که) کاوالی یری با وجود اینکه مبحث دقت را به فلاسفه واگذار کرده بود،

یک بار خودش (در جایگاه یک فیلسوف) تقسیم ناپذیرهای خطی در یک رویۀ مسطح را به تارهای موازی در یک بافتنی تشبیه کرده بود و تقسیم ناپذیرهای مسطح در یک جسم صلب را به صفحه های موازی یک کتاب. البته این تعبیرها چیزی بر ارزش روش های او نمی افزود. فرما معتقد بود که یک فرآیند جبری ساده با تعبیر هندسی روشن برای یافتن خط مماس در دست دارد. نمونه ای از دیدگاه های ریاضیدانان آن دوران دربارۀ مبانی حساب دیفرانسیل و انتگرال، در یکی از نوشته های هویگنس در میانۀ قرن هفدهم به خوبی بیان شده است [ ١٩ :[

«برای اینکه همچون متخصصانِ موضوع [از درستی نتایج] اطمینان یابیم، لازم نیست

نتایج را تمام و کمال ثابت کنیم یا چنان شالوده ای بسازیم که کسی تردید نداشته باشد

که با تکیه بر آن، می توان اثباتی بی نقص ارائه کرد. مسلّم است که نتایج باید همچون

تمامی کارهای ارشمیدس به شکلی روشن، عالی و استادانه طرح شوند اما نخستین

و مهم ترین چیز، خودِ فرآیند اکتشاف است که طالبان علم با دانستن آن مشعوف

می شوند. بنابراین به نظر می رسد که ورای همۀ اینها، باید آن روشی را دنبال کنیم که

به کمک آن، این فرآیندِ اکتشاف به موجز ترین و روشن ترین شکل ممکن درک و ارائه

شود.»

۵ . ١ . نیوتن و لایب نیتس هر دو تلاش کردند روش های خود را به دقت تبیین کنند اما خودشان هم می دانستند که توانمندیِ این روش ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال به معنای توانایی آنها در ارائۀ پشتوانه ای منطقی برای فرآیندهای الگوریتمی شان نیست . نیوتن اظهار می کرد که وجود فلوکسیون ها «نیازمند شرحی بسیار کوتاه است نه اثباتی ژرف.» [ ١٩ [لایب نیتس دربارۀ دیفرانسیل ها می گفت که «کافی است آنها را به سان ابزاری برای مقاصد محاسباتی به کار بریم؛ درست همان طور که جبردان ها

از به کار گیریِ ریشه های موهومی سود می برند.» [ ١٩ ) [البته در آن دوره، مشروعیت منطقی عددهای موهومی بیش از بی نهایت کوچک ها نبود.)

بجز تعریف فلوکسیون، یکی از نقاط ضعف بنیادی روش نیوتن در حساب دیفرانسیل و انتگرال، فرآیند محاسبۀ فلوکسیون ها با استفاده از کمیت بی نهایت کوچک o بود (بخش ٢٬٣ را ببینید). سؤال این بود که تکلیف این o چیست؟ آیا صفر است؟ اگر چنین است، چطور می شود بر آن تقسیم کرد؟ اگر صفر نیست، چطور می شود به این موضوع بی اعتنا بود و با آن طوری برخورد کرد که انگار صفر

٩٨ ایسرائل کلاینر  

است؟ نیوتن در کتاب پرینکیپیا تلاش کرد این مشکل را با استفاده از نظریۀ «نسبت های اولیه و غایی»، برطرف کند. این نظریه، ابزاری برای پرداختن به حدود نسبت های کمیت های هندسی به زبان هندسۀ ترکیبی بود. لم I در کتاب پرینکیپیا از اهمیت مفهوم جدید «تساوی غایی» خبر می دهد که نشان از تلاش نیوتن برای تعریف حد است [ ٧ :[

«کمیت ها و نسبت های کمیت ها اگر در زمانی متناهی به طور پیوسته به تساوی میل

کنند و پیش از پایان آن زمان، از هر تخمین داده شده ای به یکدیگر نزدیک تر شوند،

سرانجام مساوی می شوند.»

از میان کاربردهایی که نیوتن برای این مفهوم ارائه می کند، یکی این است که: وتری از کمان AB روی یک خم و پاره خط نظیر آن، AD ،روی خط مماس بر خم در نقطۀ A داده شده است (شکل ۶ .(نیوتن ادعا می کند که اگر نقطه های A و B آن قدر به هم نزدیک شوند تا به یکدیگر برسند، «نسبت هر یک از کمان، وتر و مماس به دیگری، نسبت تساوی است.» [ ٧ [سپس جلوتر می رود و «نسبت های غایی کمیت های ناپدیدشونده» -با اصطلاحات امروزی، حد نسبت کمیت هایی که به صفر میل می کنند، یعنی مشتق- را توضیح می دهد [ ١٩ :[

«منظور از نسبت غایی کمیت های ناپدیدشونده، نسبتی از این کمیت ها است که با

آن نسبت، کمیت ها صفر می شوند نه نسبت آنها پیش از صفر شدن یا پس از آن...

آن نسبت های غایی که کمیت ها با آن صفر می شوند، دقیقاً نسبت های کمیت های

غایی نیستند، بلکه حدودی هستند که نسبت های کمیت های نزولی بی کران، به آنها

می گرایند و از هر تقریب داده شده ای به آنها نزدیک تر می شوند اما هیچ گاه از آنها گذر

نمی کنند و حتی به آنها نمی رسند تا اینکه آن کمیت ها در بی نهایت معدوم می شوند.»

برای مثال، وقتی نیوتن می خواهد با استفاده از این حساب دیفرانسیل و انتگرالِ پروردۀ خود، مماس x = y را بیابد، به این ترتیب عمل می کند: اگر o نموی کوچک در متغیر x ٢ + ٣ x + ٢ خم بر باشد، نمو نظیر آن در متغیر y برابر است با

[( x + o ) ٢ + ٣( x + o ) + ٢] − [ x ٢ + ٣ x + ٢]

و بنابراین نسبت این دو نمو برابر می شود با

{ [( x + o ) ٢ + ٣( x + o ) + ٢] − [ x ٢ + ٣ x + ٢] } : o

که با قدری ساده سازی معلوم می شود که این نسبت برابر است با o : o ) o + ٣ + ٢ x .(در نتیجه با تقسیم بر o ،مقدار این نسبت را ١) : o +٣+٢ x (به دست می آوریم. حال اگر o را صفر قرار دهیم،

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ٩٩  

نسبت غایی کمیت های ناپدیدشونده -یعنی کمیت هایی که به قول نیوتن «به صفر میل می کنند»- را برابر با ١) : ٣ + ٢ x (خواهیم یافت. با نمادهای امروزی داریم ٣ + ٢ x = dx/dy .

شکل ۶

روشن است که نیوتن خیلی به مفهوم امروزیِ حد نزدیک می شود؛ هرچند تعریف های او، خوشبینانه بگویم، خیلی مبهم اند. برای مثال، منظور از اینکه «سرانجام مساوی اند» چیست؟ آیا «هرگز گذر نمی کند» به این معنی است که یک متغیر نمی تواند اطراف حد خودش، نوسان کند؟ آیا از اینکه بگوییم «به آنها نمی رسند تا اینکه آن کمیت ها در بی نهایت معدوم می شوند» می توان مشخص کرد که به حد

می رسیم یا نه و اگر می رسیم، چه وقت؟ نیوتن نه تنها به این پرسش ها هیچ پاسخی نمی دهد، بلکه برای توجیه فرآیندهای الگوریتمی اش، به اندازۀ کافی از این گونه بسترسازی ها هم نمی کند. لایب نیتس چندین رهیافت برای حل مشکل مربوط به دیفرانسیل ها ارائه کرد. گاهی آنها را به سان موجوداتی واقعی می پذیرفت و به آنها به چشم کمیت های بی نهایت کوچکی می نگریست که از هر کمیت حقیقی کوچکترند (یک بار گوشزد کرده بود اندازۀ dx در مقابل x همانند اندازۀ یک دانه شن در برابر کل کرۀ زمین است). گاهی هم به دیفرانسیل ها طوری می نگریست که گویا «موجوداتی جعلی هستند که برای خلاصه نگاری و کلّی گویی مناسب اند» [ ١٩ [که البته خلاصه نگاری ها را باید برآمده از کاربرد روش افنای ائودوکسوس دانست. گهگاه هم فرض می کرد دیفرانسیل ها کمیت هایی متناهی هستند که خطاهای محاسباتی را نشان می دهند اما این خطاها را می توان تا هر اندازۀ دلخواه کوچک کرد. او می گوید [ ٧ :[

«اگر کسی دوست نداشت کمیت های بی نهایت کوچک را بپذیرد، می تواند آنها را هر

اندازه که لازم می داند کوچک فرض کند تا خطای ایجادشده [از به کارگیریِ آنها]چندان

مؤثر نباشد یا از هر مقدار مفروضی کمتر باشد.»

١٠ ٠ ایسرائل کلاینر  

لایب نیتس هیچ یک از این رویکردها را به تفصیل شرح نداد و همیشه مسئلۀ وجود دیفرانسیل ها را به کلی متمایز از مسئلۀ کاربرد آنها در حل مسائل مهم می دانست و در این دومی تردید نداشت.

۵ . ٢ . عدم یقین دربارۀ مبانی منطقی حساب دیفرانسیل و انتگرال در سراسر قرن هیجدهم پابرجا بود اما این، مانع از پیشرفت سریع این موضوع نشد. بسیاری از ریاضیدانان آن دوره، همزمان تلاش می کردند مشکل مبانی حساب دیفرانسیل و انتگرال را برطرف کنند. این کوشش ها پس از آن قوت بیشتری گرفت که اسقف جرج برکلی ١   در رساله ای به نام « آنالیزدان: خطابه ای برای ریاضیدانان ٢

  به سال ١٧٣۴ انتقادی پرزور و نافذ بر حساب دیفرانسیل و انتگرال نیوتن (و تا اندازه ای، کافر »

لایب نیتس) وارد کرد. برکلی از اینکه دانش نیوتنی پشتوانه ای برای مادی گرایی شده بود، رنجیده خاطر و حتی ترسیده بود و لذا تلاش می کرد حساب دیفرانسیل و انتگرال را که مؤلفۀ اصلی این دانش به شمار می رفت، از اعتبار بیندازد به این امید که بتواند دیدگاه های منفی دانشمندان دربارۀ حقایق دینی

را تغییر دهد. برکلی ادعا می کرد: «به نظر من، هر آن کس که فلوکسیون های دوم و سوم یا تفاضلات دوم و سوم را بپذیرد، فطرت الهی او رو به آلودگی خواهد نهاد.» [ ۴ [انتقاد اصلی و درستِ برکلی بر کاربرد بی نهایت کوچک ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال متمرکز بود [ ۴ ، ١٩ :[ «و این نموهای ناپدیدشونده چیستند؟ نه کمیت های متناهی اند و نه کمیت های

بی نهایت کوچک و نه حتی هیچ. آیا نباید آنها را روح کمیت های مرده نامید؟ . . . با

اتکا بر این اندیشۀ غلط اندر غلط، به دانش دست نمی یابید چه رسد به حقیقت!»

یکی از پاسخ های ارزشمند به انتقاد برکلی، از آنِ دالامبر است که در مقاله ای با عنوان «دیفرانسیل» به سال ١٧۵۴ در دایرةالمعارف ٣   مشهور چاپ شد. دالامبر مفهوم نیوتنی مشتق (که همان نسبت غایی بود) را با تعریف صریح مشتق به عنوان حد نسبت نموها، جایگزین کرد: «مشتق گیری از یک معادله صرفاً عبارت است از یافتن حد نسبت تفاضلات متناهی دو کمیت موجود در معادله.» [ ١٩ [از نظر دالامبر [ ٧ :[

«یک کمیت، حد کمیتی دیگر است اگر دومی بتواند هر اندازه که بخواهیم به اولی

نزدیک بشود چنان که تفاضل آنها مطلقاً قابل توجه نباشد.»

توجه کنید که دالامبر از حد کمیت سخن می گوید نه حد تابع و نوسان کمیت در پیرامون حد را مجاز نمی داند. دالامبر نتایج دیدگاه های خود را دربارۀ حد، استخراج نکرد اما پیشگویانه اعلام کرد که «نظریۀ حدود، متافیزیک واقعی حساب دیفرانسیل و انتگرال است.» [ ۴٠ [معاصران دالامبر، توجه چندانی به

کارهای او نکردند. دالامبر خودش می دانست که آنقدر جسارت ندارد که حساب دیفرانسیل و انتگرال

١ Bishop George Berkeley ٢ The Analyst: A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician ٣ Encyclopédie

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ١٠١  

را بر مبانی محکمی استوار سازد. از این رو از شاگردانش می خواست «استقامت کنند و به موفقیت خویش ایمان داشته باشند.» [ ۴٠ [اما پژوهش های او از این نظر سودمند بودند که توجه ریاضیدانان قارۀ اروپا را که تحت سیطرۀ بی نهایت کوچک ها و دیفرانسیل بود، به مسئلۀ حد جلب کردند.

اویلر از ناسازگاری هایی که در حساب بی نهایت کوچک ها وجود داشت، به خوبی آ گاه بود و لذا در اثر کلاسیک خود با عنوان مبانی حساب دیفرانسیل ١   به سال ١٧۵۵ ،بخش بزرگی از مقدمه و فصل ٢ کتاب را به تبیین این مشکلات اختصاص داد. او ادعا کرد که کمیت های بی نهایت کوچک همگی برابر با صفرند ولی دو کمیت که هر دو صفرند، می توانند نسبت متناهی خوش تعریف داشته باشند. اویلر،

منبعث از دیدگاه صورتگرایانه ای که به ریاضیات داشت، تصریح می کرد که صفر، مرتبه هایی گوناگون دارد و موضوع بحث حساب دیفرانسیل تعیین مقدارهای متناهی نسبت های ٠ / ٠ است. او نظرش را این گونه مطرح کرد که [ ۵٧ :[

«بنابراین بی نهایت کوچک ها، بی نهایت مرتبه دارند و گرچه همگی صفرند، باید با

نگریستن به رابطۀ دوبه دوی آنها که هر کدام، با یک نسبت هندسی بیان می شود،

میان انواع مرتبه ها تمایز گذاشت.»

رویکرد اویلر اساساً فرآیندی شهودی برای یافتن مقدارهای متناهی نسبت های ٠ / ٠ بود تا تلاش جدی برای پرداختن به مبانی (به کارگیریِ قاعدۀ لوپیتال را به یاد آورید) و به این موضوع دوم، توجه چندانی نشان نداد.

۵ . ٣ . در سال ١٧٨۴ آ کادمی علوم برلین اعلام کرد که به هر کس که «بتواند روشن کند چگونه این همه قضیه های درست را می توان از یک مقدمۀ تناقض آمیز [یعنی وجود بی نهایت کوچک ها] استنتاج کرد»، جایزه ای اعطا خواهد شد [ ٢٧ .[هوشمندانه ترین پاسخ به این پرسش از سوی لاگرانژ

داده شد. لاگرانژ نظراتش را دربارۀ این موضوع در دو کتاب با نام های نظریۀ تابع های تحلیلی ٢   به سال ٣

  به سال ١٨٠١ منتشر کرد.١٧٩٧ و درس هایی در حساب دیفرانسیل و انتگرال تابع ها

لاگرانژ تلاش کرد با جای دادنِ حساب دیفرانسیل در چارچوبی جبری و زدودن هر گونه اشاره به بی نهایت کوچک ها یا حد از آن، مبانی دقیقی برای حساب دیفرانسیل و انتگرال ارائه کند. به نظر او، این دیدگاه ، نمایندۀ اصول درستِ حساب دیفرانسیل و انتگرال بود. او می گفت کتاب هایش مشتمل اند بر «قضیه های اصلی حساب دیفرانسیل بدون به کارگیریِ کمیت های بی نهایت کوچک یا ناپدیدشونده، حدها و فلوکسیون ها و به جای اشاره به این موجودات، به هنر تحلیل جبریِ کمیت های متناهی پرداخته شده است.» [ ۴٠ [

١ Institutiones Calculi Differentialis ٢ Théorie des Fonctions Analytiques ٣ Leco̧ns sur le Calcul des Fonctions

١٠ ٢ ایسرائل کلاینر  

فقدان دقت در به کارگیریِ بی نهایت کوچک ها، دیگر بر همگان آشکار شده بود (انتقادات برکلی را به یاد بیاورید که لاگرانژ هم از آنها آ گاهی داشت). اما در مورد حد، لاگرانژ (و دیگران) به سختی می توانستند بفهمند که وقتی نسبت x/ ∆ y ∆به حد خود نزدیک می شود، چه بلایی بر سرش می آید. ١

  در مقاله ای در باب مبانی حساب دیفرانسیل و انتگرال با عنوان «اندیشه هاییاین معضل را لازار کارنو

٢

  به سال ١٧٩٧ به روشنی بیان کرده است [ ۵٧ :[دربارۀ متافیزیک حساب بی نهایت کوچک ها»

«اشکال بزرگ روش حدود این است که در این روش، با کمیت ها به گونه ای برخورد

می شود که گویی از کمیت بودن ساقط شده اند. گرچه همواره می توانیم تصوری خوب

از نسبت دو کمیت، مادام که متناهی بمانند، در ذهن داشته باشیم اما به محض اینکه

هر دو کمیت یکباره ناپدید می شوند، دیگر هیچ تصور روشن و دقیقی از آن نسبت،

به ذهن متبادر نمی شود.»

نقطۀ آغاز کارهای لاگرانژ این بود که ثابت کند هر تابع ( x ( f را می توان (بجز احتمالا برای تعدادی متناهی از مقدارهای x (به صورت بسط سری توانی برحسب h نمایش داد:

f ( x + h ) = f ( x ) + p ( x ) h + q ( x ) h ٢ + r ( x ) h ٣ + · · · .

او می خواست این کار را به کمک یک فرآیند کاملا جبری انجام دهد. تیلور (و دیگران) این روش به اصطلاح، بسط سری تیلور را در اوایل قرن هیجدهم با استفاده از تفاضلات متناهی و یک فرآیند حدگیری به دست آورده بودند. لاگرانژ ادعا داشت این بسط را به طور جبری و بدون به کارگیریِ مفهوم

حد، به دست آورده است (پژوهش های فرما را دربارۀ خط مماس به یاد آورید). لاگرانژ ضریب h در بسط ( h + x ( f ،یعنی ( x ( p را «تابع مشتق اول» ( x ( f می نامد و آن f نشان می دهد. سپس تذکر می دهد (و بعداً با روش هایی که درستی آنها پرسش برانگیز ١ را با ( x (

f ١ است، ثابت می کند) که مقدار بسیار کمی آ گاهی از حساب دیفرانسیل لازم است تا بفهمیم که ( x ( همان مشتق (کسر تفاضلی) تابع ( x ( f است. بنابراین مشتق ( x ( f را ضریب h در بسط سری توانی ( h + x ( f تعریف می کند و مدعی می شود که می توان آن را برای هر تابعی به طور کاملا جبری به دست آورد.

پس از آن، لاگرانژ نشان می دهد که در بسط سری فوق برای ( h + x ( f ،به همان روشی که ( x ( p را از ( x ( f مشتق کردیم، (با اختلاف یک مضرب ثابت) می توان ( x ( q را از ( x ( p و ( x ( r را f به سری توانی برحسب h و غیره. اگر ١ از ( x ( q و · · · به دست آورد، یعنی با بسط جبری ( h + x ( f و غیره نشان دهیم، ١١١ ( x ) با را ff و تابع مشتق اول ( x ( ١١١١ ( x ) با را f ١ تابع مشتق اول ( x (

١ Lazare Carnot ٢ Reflections on the methaphysics of the infinitesimal calculus

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ١٠٣   لاگرانژ · · · . و r ( x ) = c ٣ f ١١١ ( x ) ، q ( x ) = c ٢ f ادعای لاگرانژ به این معنی است که ( x ( ١١  

= c n   و لذا مدعی شد که بسط سری تیلور را با ابزارهای کاملا جبری به دست  

ثابت کرد که ! n/ ١آورده است.

از دیدگاه ما، طرح لاگرانژ اشکال های اساسی دارد. برای به دست آوردن بسط تیلور یک تابع به فرآیندهای نامتناهی نیاز است و بسیاری از تابع ها را نمی توان این گونه بسط داد. به علاوه چنان که کُشی دو دهۀ بعد نشان داد، حتی اگر تابعی نمایش سری تیلور داشته باشد ، ممکن است مقدار این سری، به ازای همۀ مقادیر متغیر در دامنۀ تعریف تابع، با مقدار تابع برابر نباشد. برای مثال، کُشی تابع در. f ( x ) = ٠ ، x = ٠ اگر و f ( x ) = e − ١ /x ٢ f را چنین تعریف کرد که به ازای x های ناصفر این مورد، سری تیلور f فقط در ٠ = x تابع را نمایش می دهد.

اما نظرات لاگرانژ را باید در بستر زمانی خودش ارزیابی کرد. آنالیز جبری شده که در آن، سری توانی (که به چشم یک چندجمله ای نامتناهی نگریسته می شد) نقشی اساسی داشت، جریان غالب در قرن هیجدهم بود. همۀ تابع هایی که در عمل به آنها برمی خوردند، بسط به سری توانی داشتند و اگر موارد استثنا هم پیش می آمد، چندان جدی گرفته نمی شد. در واقع نوعی دلبستگی به برنامۀ لاگرانژ در چارچوب فکری آن دوران مشاهده می شود (این دلبستگی هنوز هم در حوزۀ آنالیز مختلط وجود دارد. برای مثال، این نقیصه ای که در مورد برابر نبودنِ مقدار یک تابع با مقدار سری تیلور آن، بیان کردیم، در آنالیز مختلط وجود ندارد).

از نظر ما، سهم اصلی لاگرانژ در شفاف سازیِ مبانی حساب دیفرانسیل، تمرکز او بر نمادگذاریِ تابعی برای مشتق بود؛ درست در تقابل با نمادهای فلوکسیونی و دیفرانسیلی. پژوهش های او شاید برای نخستین بار منجر به این شد که روشن و صریح بفهمیم که مشتق یک تابع، خودش یک تابع است و به این ترتیب، حساب دیفرانسیل تبدیل به حساب دیفرانسیل تابع ها و مشتق های آنها شد؛ نه حساب فلوکسیون ها [ی نیوتن] و دیفرانسیل ها [ی لایب نیتس] (بخش ۴ را بخوانید).

۶ .حساب دیفرانسیل و انتگرال دقیق می شود: کُشی و وایرشتراس

اکنون به دوره ای سرنوشت ساز در سیر تحول تاریخی دقت در بنیانگذاریِ حساب دیفرانسیل می رسیم که در هیئت پژوهش های کُشی، بولتسانو و وایرشتراس نمایان شد. به یاد آورید که حساب دیفرانسیل در قرن هفدهم عمدتاً هندسی و در قرن هیجدهم مبتنی بر جبر بود. اما حساب دیفرانسیل در دوره ای که اکنون می خواهیم بررسی کنیم و از سال ١٨٢١ آغاز می شود، بر پایۀ علم حساب قرار گرفت. ویژگی های اصلی متمایز کنندۀ این دوره عبارت اند از:

(الف) خودنمایی» حد» به عنوان مفهوم زیربنایی در حساب دیفرانسیل؛

١ ٠۴ ایسرائل کلاینر  

(ب) به رسمیت شناختن نقش مهمی که نامساوی ها در تعریف ها و اثبات ها ایفا می کنند؛ (پ) پی بردن به اینکه درستی نتایج در حساب دیفرانسیل به دامنۀ تعریف تابع ها هم بستگی دارد (در قرن هیجدهم، صدق قضیه های حساب دیفرانسیل را به اتکای درستی صوریِ محاسبات جبری، همه جایی تلقی می کردند)؛

(ت) پی بردن به این واقعیت که برای پایه ریزیِ منطقی حساب دیفرانسیل و انتگرال، باید درک روشنی از ماهیت دستگاه اعداد حقیقی داشته باشیم و این درک باید بر پایۀ علم حساب باشد نه مفهوم هندسی پیوستار اعداد حقیقی.

۶ . ١ .کُشی. کار اصلی کُشی در دقیق سازیِ حساب دیفرانسیل و انتگرال، با چاپ کتابش با ١

  به سال ١٨٢١ آغاز شد و با انتشار دو اثر دیگر در سال های ١٨٢٢ و ١٨٢٩عنوان درسی در آنالیز

ادامه یافت. او چند مفهوم بنیادی، یعنی حد، پیوستگی، همگرایی، مشتق و انتگرال را برگزید، همۀ مفاهیم دیگر را بر پایۀ مفهوم حد استوار ساخت و با ابزارهایی نسبتاً جدید و دقیق، نتایج اصلی حساب دیفرانسیل و انتگرال را استخراج کرد. اینکه امروزه این مفاهیم در نگاه ما پیش پا افتاده هستند، همه را مدیون برنامۀ کُشی هستیم؛ پروژه ای عظیم که عالی اجرا شد. در واقع بیشترِ مفاهیمی که هم اینک اشاره کردیم، یا (به آن صورتی که ما می فهمیم) شناخته شده نبودند یا پیش از زمان کُشی، به درستی صورت بندی نشده بودند.

چه چیز کُشی را بر آن داشت تا این گونه از عادات جاافتادۀ آن دوران به کلی دست بکشد؟ دلایل متعددی وجود دارد که بیان می کنیم:

(الف) کُشی از پژوهش های بنیادی لاگرانژ دربارۀ حساب دیفرانسیل آ گاه بود و از برخی پیشرفت های فنی که لاگرانژ فراهم آورده بود، سود می جست اما با طرح بزرگ لاگرانژ مبتنی بر اندیشۀ جبری سازیِ حساب دیفرانسیل، به شدت مخالف بود. در واقع هدف کُشی این بود که جبر را از مبانی حساب دیفرانسیل حذف کند [ ٣٧ :[

«در این روشی که من در پیش گرفته ام، کوشیده ام همان دقتی را به حساب دیفرانسیل

ببخشم که از هندسۀ اقلیدسی انتظار داریم. در این روش، هرگز به استدلال هایی که

معمولا در جبر به کار می روند، استناد نمی شود. به نظر من، دلایلی از این دست، هرچند

پذیرش همگانی یافته اند -بیش از همه در مجاز شمردنِ گذر از سری های همگرا به

سری های واگرا و گذر از کمیت های حقیقی به کمیت های موهومی- ابزارهایی صرفاً

مناسب برای کشف حقیقت هستند و در چارچوب آن دقتی که علوم ریاضی به آن

می بالد، ضعیف ظاهر می شوند. حتی باید دقت کرد که به کارگیریِ این روش ها،

١ Cours d’Analyse

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ١٠۵  

متضمن پذیرش کلیتی بی حد و مرز برای فرمول های جبری است؛ در حالی که بیشترِ این فرمول ها تحت شرایطی خاص و برای مقدارهایی خاص از کمیت های موجود،

برقرارند.»

(ب) دو مسئلۀ عملی خیلی مهم -یکی مسئلۀ نوسان فنر و دیگری مسئلۀ انتقال گرما (به ترتیب مربوط به قرن های هیجدهم و نوزدهم)- پرسش هایی در باب مباحث اصلی در حساب دیفرانسیل و انتگرال پیش آوردند. در مورد مسئلۀ دوم، فوریه با پژوهش هایی که بعداً به نظریۀ سری های فوریه مشهور شد، جامعۀ ریاضی را تکان داد. فوریه ادعا کرد هر تابع f را که بر بازۀ ( l, l ( − تعریف شده باشد، می توان روی این بازه، با یک سری برحسب تابع های سینوس و کسینوس نمایش داد:

f ( x ) = a ٠ ٢+ ∑ ∞  n =١

( a n cos( nπx/l ) + b n sin( nπx/l )) a n   و   b n   از دستورهای زیر به دست می آیند:

که در آن،

a n = ١ l ∫ l −l f ( t ) cos( nπt/l ) dt, b n = ١ l ∫ l −l f ( t ) sin( nπt/l ) dt. اویلر و لاگرانژ می دانستند که برخی از تابع ها چنین نمایشی دارند. بنابر «اصل تسری» که در قرن هیجدهم و اوایل قرن نوزدهم بر اندیشۀ ریاضیدانان حاکم بود، این بسط نمی توانست برای همۀ تابع ها برقرار باشد: چون تابع های سینوس و کسینوس پیوسته و متناوب هستند، پس مجموع این گونه تابع ها هم باید چنین باشد (به یاد داشته باشید که با مجموع های متناهی و نامتناهی به یک شکل برخورد

می شد). در واقع نتیجه ای که فوریه به دست آورده بود، تا اندازه ای درست بود و کوشش های بسیاری لازم بود تا شرایطی فراهم گردد که تحت آنها این نتیجه برقرار باشد. به این منظور، مفاهیم همگرایی، پیوستگی و انتگرال باید دقیق سازی می شد و کُشی بود که به این کار مبادرت ورزید.

(پ) حوالی پایان قرن هیجدهم، تحول اجتماعی بزرگی در جامعۀ ریاضیدانان فرانسوی رخ داد. در حالی که در گذشته ریاضیدانان غالباً دانشمندانی منتسب به دربار به حساب می آمدند، پس از انقلاب فرانسه، بیشترِ آنها از راه تدریس شروع به امرار معاش کردند. کُشی در مؤسسۀ متنفذ اکول پلی تکنیک پاریس که به سال ١٧٩۵ تأسیس شده بود، مشغول به تدریس شد. آنجا مرسوم بود که هر مدرسی اگر می خواست مباحثی را تدریس کند که محتوای آنها در متون استاندارد موجود نبود، می بایست جزوه ای دربارۀ موضوعی که درس می داد برای دانشجویان می نوشت. به همین سبب بود

که کُشی کتاب خود با عنوان درسی در آنالیز و به دنبال آن، دو رسالۀ دیگر را نوشت. ریاضیدانان وقتی می خواهند دربارۀ موضوعی که تدریس می کنند، برای دانشجویان مطلبی بنویسند، خیلی بیش از زمانی که برای همکاران خود قلم می زنند، در بیان مفاهیم بنیادیِ آن موضوع، دقت به خرج می دهند.

١ ٠۶ ایسرائل کلاینر  

لذا این عامل هم ممکن است در تحلیل دقیق کُشی از مفاهیم بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال نقش داشته باشد.

(ت) جدا از دلایل فوق، (دست کم از دیدگاه تاریخی) طبیعی است که هر دوره از کنکاش در یک موضوع، دوره ای از اندیشیدن دربارۀ تحکیم مبانی آن را نیز در پی داشته باشد. وضعیت هندسه در یونان باستان، نمونه ای تأمل برانگیز است. در مورد حساب دیفرانسیل و انتگرال هم پس از حدود ٢٠٠ سال رشد سریع بدون کمترین توجه به مبانی، زمان آن فرارسیده بود که به لحاظ منطقی مورد

مداقّه قرار گیرد. به علاوه در نیمۀ اول قرن نوزدهم، جدّی گرفتن دقت، شیوع یافته بود و بولتسانو و آبل (علاوه بر کُشی) در آنالیز، پیکاک ١   و دمورگان در جبر و گاوس در همۀ شاخه های ریاضیات، شارحان این جریان انتقادی جدید بودند.

۶ . ٢ . اکنون طرحی مختصر از کوشش های کُشی را برای برطرف کردن مشکلات مربوط به مبانی حساب دیفرانسیل و انتگرال با تمرکز بر مفاهیم حد، پیوستگی، مشتق، انتگرال و همگرایی، ارائه می کنیم.

حد : کُشی مفهوم حد را این گونه تعریف می کند [ ٣٧ :[

«اگر مقدارهای متوالی منسوب به یک متغیر، خیلی خیلی به یک مقدار ثابت نزدیک

شوند طوری که اختلاف آنها با آن مقدار ثابت هر اندازه بخواهیم کوچک باشد، آن

مقدار ثابت را حد مقدارهای دیگر می نامیم.»

توجه می کنیم که کُشی، برخلاف نیوتن و دالامبر، هیچ اشاره ای به این نمی کند که وقتی متغیر به حدش نزدیک می شود، چه اتفاقی می افتد و همچنین نمی گوید که متغیر نمی تواند پیرامون حدش نوسان داشته باشد. البته گرچه از حد متغیر سخن می گوید نه از حد تابع، در ذهنش حد متغیر وابستۀ تابع f ،یعنی ( x ( f بوده است. هرچند کُشی مفهوم حد را در قالب ε - δ یی کنونی بیان نکرده است، در اثبات های نتایج متعدد متضمن مفهوم حد، از چنین استدلالی سود می برد.

پیوستگی : کُشی (به همراه بولتسانو) نخستین فردی بود که اساساً تعریفی جدید برای پیوستگی ارائه کرد [ ١٩ :[

«تابع ( x ( f که متغیر x در آن محدود به دو کران است، تابعی پیوسته نسبت به این

متغیر است اگر به ازای هر مقدار x بین آن دو کران، مقدار عددیِ عبارت تفاضلی

( x ( f ) −α + x ( f خیلی خیلی کم شود به شرط آنکه α خیلی خیلی کوچک باشد.

به عبارت دیگر، تابع ( x ( f نسبت به x بین آن دو کران، پیوسته است اگر یک نمو

١ Peacock

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ١٠٧  

بی نهایت کوچک از آن متغیر، همیشه منجر به نموی بی نهایت کوچک در مقدار تابع

شود .»

توجه کنید که کُشی در تعریف پیوستگی (و در جاهای دیگر) از بی نهایت کوچک ها استفاده می کند. اما از دید او، بی نهایت کوچک متغیری است که حد آن صفر است و چنان که در قرن های هفدهم و هیجدهم مرسوم بود، یک ثابت نیست [ ٣٧ :[

«وقتی قدرمطلق های پیاپی یک متغیر، بی نهایت کاهش می یابند طوری که از هر

کمیت از پیش داده شده ای کمتر می شوند، آن متغیر را بی نهایت کوچک می نامیم. چنین

متغیرهایی حدشان صفر است.»

بنابراین کُشی بی نهایت کوچک ها را چنان به کار می گرفت که گویی راهی میانبر هستند برای کوتاهنویسی عبارت های پیچیده شامل حدود و لذا تعریف او برای پیوستگی را می توان این گونه بازگویی کرد که f پیوسته است اگر وقتی α به صفر میل می کند، | ( x ( f ) − α + x ( f | نیز به صفر میل کند.

مشتق : تحول مفهوم مشتق بازتاب تحول کل حساب دیفرانسیل و انتگرال است. دورۀ رشد و بلوغ حساب دیفرانسیل و انتگرال، البته همراه با خطاها و سرِ هم بندی ها، نزدیک به سه سده طول کشید؛ از حوالی سال ١۶٠٠ آغاز شد و در دهۀ ١٨٧٠ اساساً به شکل کنونی آن درآمد. جودیت ١   ،تاریخ نگار معاصر ریاضی، به خوبی این فرآیند را جمعبندی کرده است [ ٢۶ :[گرابینر «مشتق ابتدا به کار گرفته شد ، بعد کشف شد ، سپس شرح و بسط یافت و سرانجام،

تعریف شد .»

در واقع مشتق را فرما و دیگران در نیمۀ اول قرن هفدهم، به عنوان خط مماس به کار گرفتند؛ نیوتن و لایب نیتس در نیمۀ دوم همان قرن، آن را به ترتیب در قالب مفاهیم فلوکسیون و دیفرانسیل کشف کردند؛ در قرن هیجدهم شرح و بسط بسیار یافت و سرانجام، در قرن نوزدهم تعریف شد. خودِ تعریف

مشتق هم در چند مرحله به انجام رسید: لاگرانژ در دهۀ ١٧٩٠ مشتق را به شکل جبری تعریف کرد؛ کُشی در دهۀ ١٨٢٠ مشتق را برحسب حدود و بی نهایت کوچک ها تعریف کرد و سرانجام، وایرشتراس در دهۀ ١٨٧٠ بیان اپسیلون-دلتایی آن را ارائه داد. تعریف کُشی از این قرار است [ ١٩ :[ «اگر تابع ( x ( f = y که متغیر x آن به دو کران مشخص محدود است، پیوسته

باشد و اگر به چنین متغیری، مقداری در بازۀ محدود به آن دو کران نسبت دهیم،

آن گاه یک نمو بی نهایت کوچک در آن متغیر، نموی بی نهایت کوچک در مقدار خودِ

تابع ایجاد می کند. در نتیجه اگر قرار دهیم i = x ،∆آن گاه صورت و مخرج کسرِ

تفاضلی i )] /x ( f ) −i + x ( f [کمیت هایی بی نهایت کوچک خواهند بود. اما گرچه

١ Judith Grabiner

١ ٠٨ ایسرائل کلاینر  

این دو کمیت همزمان به صفر میل می کنند، خودِ این کسر ممکن است به حدی دیگر

همگرا شود؛ مثبت یا منفی. این حد اگر وجود داشته باشد، به ازای هر مقدار خاص

x ،مقداری معین دارد اما همراه با تغییرِ x ،تغییر می کند . . . . شکل تابع جدید که

مقدارهایش همان حدود کسر تفاضلی i )] /x ( f ) − i + x ( f [هستند، به شکل

تابع داده شدۀ ( x ( f = y بستگی دارد. برای اینکه این وابستگی را نشان دهیم، نام

f نشان می دهیم.» ١ ( x ) یا y ١ این تابع جدید را تابع مشتق می گذاریم و آن را با نماد

این تعریف گرچه خیلی کلامی است، آنقدر دقیق هست که استاندارهای بالایی را که کُشی در مورد دقت پیش روی خود قرار داده بود، برآورده سازد.

انتگرال : طی قرن هیجدهم، انتگرال به چشم مساحت یا پادمشتق نگریسته می شد که باید مقدارهای آن در حدود بالایی و پایینی انتگرال حساب می شدند. گرچه اندیشیدن دربارۀ مساحت به عنوان حد مجموع نیز متداول بود، این تعبیر فقط برای محاسبۀ تقریبی انتگرال ها به کار می رفت

زمانی که پادمشتق را به آسانی نمی شد پیدا کرد. در اوایل قرن نوزدهم، پژوهش های فوریه دربارۀ نمایش تابع ها به صورت بسط سری مثلثاتی که ضرایب آن برحسب انتگرال بودند، به تحلیل دقیق مفهوم انتگرال منجر شد.

کُشی نخستین کسی بود که تعریفی روشن برای انتگرال تابع های پیوسته به صورت حد مجموع ارائه کرد که اساساً با تعریف کنونی آن یکسان است. سپس ثابت کرد که انتگرال این گونه تابع ها وجود دارد. به این ترتیب توانست قضیۀ بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال را بدون توسل به تعبیر مساحتی

انتگرال ثابت کند (در قرن هیجدهم و پیش از آن، مساحت، مفهومی بدیهی شمرده می شد). کارهای کُشی روی مفهوم انتگرال باعث شد توجه ها از انتگرال نامعین (یعنی پادمشتق) به سوی انتگرال معین (یعنی حد مجموع) تمرکز یابد.

همگرایی : در قرن های هفدهم و هیجدهم، استفادۀ آزادانه از سری های عددی و سری های تابعی بدون ملاحظۀ چندانی دربارۀ همگرایی آنها، متداول بود. هدف فقط به دست آوردنِ نتیجه بود. برای مثال، اویلر خودش می دانست که دارد از سری های واگرا استفاده می کند، اما مادام که در اثر این کار، نتایج جالب و البته درست به دست می آمد، پریشان خاطر نمی شد. اما وقتی کار روی سری های فوریه آغاز شد، درستی خودِ نتایج، مورد تردید واقع شد. آبل در اوایل قرن نوزدهم ادعا کرد که «سری های واگرا ساخته و پرداختۀ دست شیطان هستند و با به کارگیریِ آنها هر نتیجه ای را که بخواهیم می توانیم به دست آوریم و به همین دلیل است که این سری ها اینقدر مغالطه و پارادکس به وجود آورده اند.» [ ۴٠ [کُشی سری های واگرا را تحریم کرد و در کتاب درسی در آنالیز به سال ١٨٢١ ،نخستین مطالعۀ سازمان یافته از همگرایی سری های نامتناهی را ارائه کرد (در سال ١٨١۶ گاوس مطالعه ای دقیق روی

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ١٠٩  

همگرایی سری های اَبرهندسی انجام داده بود). کُشی همگرایی سری نامتناهی را برحسب وجود حد دنبالۀ مجموع های جزئی آن تعریف کرد و برخی آزمون های استاندارد همگرایی مانند آزمون نسبت و آزمون ریشه را به دست آورد.

۶ . ٣ .وایرشتراس. پیشنهاده های کُشی برای دقیق سازی حساب دیفرانسیل و انتگرال، منجر به پیدایش مسائلی تازه شدند که نسل جدیدی از ریاضیدانان را به حل آنها واداشت. دو مشکل زیربنایی در رویکرد کُشی عبارت بودند از:

(الف) تعریف های کلامی برای حد و پیوستگی و استفادۀ مکرر کُشی از زبان بی نهایت کوچک ها. تعریف هایی که کُشی برای حد، پیوستگی و بی نهایت کوچک ارائه کرده بود، متضمن مفهوم شهودیِ حرکت پیوسته بودند. به علاوه در صورت بندیِ او از تعریف حد و پیوستگی، تمایز بین سورهای عمومی و وجودی و جایگاه آنها پیش از x ، ϵ و δ در تعریفِ کنونی حد و پیوستگی، آشکار نبود. این کوتاهی ها احتمالا منشأ دو خطای مهم بوده است: کُشی نتوانست بین پیوستگی نقطه ای و پیوستگی یکنواخت یک تابع و بین همگرایی نقطه ای و همگرایی یکنواخت یک سری تابعی نامتناهی فرق بگذارد. در برخی از اثبات های او، فقط حالت های اول این موارد در نظر گرفته می شود در حالی که حالت های دوم مورد نیاز بوده اند.

(ب) توسل به ابزارهای شهودیِ هندسی در اثبات وجود حدهای گوناگون. چون تعریف هایی که کُشی برای مفاهیم بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال ارائه کرد، بر پایۀ مفهوم حد بودند، اثبات وجود حد دنباله ها و تابع های گوناگون، اهمیت زیادی داشت. وجود بسیاری از این حدها، نتیجۀ «ویژگی کمال» اعداد حقیقی است که (به تعبیری) می گوید هر دنبالۀ صعودیِ از بالا کراندار در مجموعۀ اعداد

حقیقی، حد دارد. کُشی این نتیجۀ بنیادی را بر پایۀ شهود هندسی، بدیهی می دانست و از آن در اثبات برخی نتایج زیربنایی مانند وجود انتگرال تابع های پیوسته، همگرایی دنباله های (به اصطلاح) کُشی و قضیۀ مقدار میانی استفاده کرد.

بیش از همه، وایرشتراس و ددکیند در صدد برآمدند برای رفع این اختلاط ناخوشایند صورت بندی های حسابی-جبری و استدلال های شهودیِ هندسی راه علاجی بیایند. ددکیند بیانی روشن از اوضاع و احوال غالب در آن زمان دارد [ ١۶ :[

«اولین بار که مجبور شدم اصول حساب دیفرانسیل را تدریس کنم، زمانی بود که

مدرس مدرسۀ پلی تکنیک زوریخ بودم. اشتیاقم برای این کار حتی بیش از آن دوره ای

بود که حساب، مبنای درستِ علمی نداشت. هنگام توضیح مفهوم میل کردنِ یک

کمیت متغیر به یک مقدار حدیِ ثابت و به ویژه در اثبات این قضیه که هر کمیتی که

به طور پیوسته رشد کند اما از همۀ کران ها فراتر نرود، یقیناً باید به یک مقدار حدی

١١ ٠ ایسرائل کلاینر  

نزدیک شود، به شهود هندسی متوسل شدم. حتی هنوز هم معتقدم توسل به شهود

هندسی در نخستین مواجهه با حساب دیفرانسیل، از دیدگاه آموزشی بسیار سودمند

است و اگر نخواهیم زمان زیادی را از دست بدهیم، اجتناب ناپذیر است. اما هیچ کس

منکر نیست که این شیوۀ ارائۀ حساب دیفرانسیل، اصلا علمی نیست. این احساس

نارضایتی در خودِ من آنقدر زیاد بود که مصمم شدم تا وقتی مبانی کاملا دقیق و

حسابی ناب برای اصول آنالیز بی نهایت کوچک ها نیافته ام، تمرکزم را بر اندیشیدن

دربارۀ حل این مشکل، از دست ندهم. قول مشهوری است که حساب دیفرانسیل

به کمیت های پیوسته می پردازد؛ اما هنوز هیچ جا شرحی از این مفهوم پیوستگی داده

نشده است. حتی در دقیق ترین تقریرهای حساب دیفرانسیل هم اثبات ها بر پایۀ

مفهوم پیوستگی نیست، بلکه کم و بیش آ گاهانه، یا بر مفاهیم هندسی و مفاهیمی

که ریشه در هندسه دارند، متکی هستند یا به قضیه هایی وابسته اند که هرگز بر اساس

روش های ناب حسابی ثابت نشده اند. مثلا قضیۀ پیش گفته یکی از این گونه قضیه ها

است و با پژوهش های عمیق تر در این باره متقاعد شدم که این قضیه یا هر قضیه ای را

که هم ارز با آن باشد، می توان به نوعی، مبنایی مناسب برای تحلیل بی نهایت کوچک ها دانست. فقط می ماند منشأ درست آن را در مبانی علم حساب کشف کنیم و همزمان

تعریفی واقعی از ماهیت مفهوم پیوستگی به دست دهیم.»

همین اندیشۀ اثبات قضیه ها به روش های ناب حسابی، منجر به آن چیزی شد که به «حسابی سازیِ آنالیز» مشهور است. از آغاز پیدایش حساب دیفرانسیل و انتگرال و حتی در زمان کُشی، دیدگاه هندسی در مطالعۀ اعداد حقیقی حاکم بود و صورت بندیِ روشنی از ویژگی های اعداد حقیقی وجود

نداشت و چون اعداد حقیقی هم در زیربنا و هم در روبنای آنالیز حضور داشتند، اثبات های بسیاری از قضیه ها ناگزیر هندسی و شهودی بودند. ددکیند و وایرشتراس از روشن بینی هوشمندانه شان بود که فهمیدند اگر تعریفی دقیق بر پایۀ علم حساب برای اعداد حقیقی ارائه کنند، یکی از موانع اصلی در دقیق سازی مبانی حساب دیفرانسیل و انتگرال برطرف خواهد شد.

کار اساسی دیگری که مانده بود انجام شود، ارائۀ تعریف دقیق جبری، به جای تعبیر شهودی و «سینماتیکی «کُشی، برای مفهوم حد بود و این کار را وایرشتراس انجام داد که تعریف «استاتیکی« حد را برحسب نامساوی هایی شامل ϵ و δ ارائه کرد -همان تعریفی که امروزه (دست کم در چارچوب صوری و دقیق مان) به کار می بریم. طنز ماجرا اینجا است که نامساوی ها که در قرن هیجدهم به منظورِ تخمین زدن به کار می رفتند و ϵ که برخی از آن برای نشان دادن مقدار خطا استفاده می کردند، در دستان وایرشتراس به ابزارهایی برای بیان منتهای دقت تبدیل شدند.

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ١١١  

صورت بندی ϵ - δ یی وایرشتراس، بینهایت کوچک ها را که کُشی و پیشینیان او بیش از دو سده (اگر سهم یونانیان باستان را هم در نظر بگیریم، دو هزاره) به کار می بردند، از صحنه کنار زد. طی چند دهه بعد، نشان داده شد که پیوستار اعداد حقیقی را می توان به طور منطقی به گردایۀ گسستۀ اعداد صحیح مثبت تبدیل کرد. اینک حسابی سازی آنالیز کامل شده بود. از دیدگاه افلاطون، خداوند همه چیز را هندسی آفریده بود و از دیدگاه ژاکوبی، همه چیز را حسابی. اما این صدرنشینی منطقی حساب،

دیر نپایید و در دهۀ ١٨٨٠ ددکیند و فرگه، علم حساب را بر مبنای نظریۀ مجموعه ها و منطق بازسازی کردند که آن خود روایت دیگری دارد.

۶ . ۴ .نکتۀ آموزشی. اینکه در تدریس حساب دیفرانسیل و انتگرال، چه مطالبی و به چه شیوه ای باید تدریس شود، از مباحثی است که همواره محل مناقشه بوده است. ما چند تذکر کلی - خواهش- داریم که ملهم از گزارش های تاریخی هستند. چنان که پیش تر اشاره کردیم، حساب دیفرانسیل

و انتگرال ملغمه ای از الگوریتم ها، نظریه و کاربردها است. پس بالأخره یک جایی باید دانشجویان را با توانایی های فنی، هماهنگی منطقی و سودمندیِ آن آشنا کنیم. حساب دیفرانسیل و انتگرال، پاسخ به پرسشی با پیشینۀ دو هزار ساله است و آن اینکه پیوستگی و تغییر چیست؟ حساب دیفرانسیل و

انتگرال از دستاوردهای ادراکی درجۀ یک اندیشۀ بشری است. ماهیت این اندیشه ها باید به تدریس ما نشاط ببخشد. ایده های اصلی را باید از میان صدها فرمول و دستور بیرون کشید و برجسته ساخت. هیلبرت بازۀ زمانی تکامل یک نظریۀ ریاضی را متشکل از سه دوره می دانست: طبیعی، صوری و بحرانی. در مورد حساب دیفرانسیل و انتگرال، دورۀ طبیعی در قرن هفدهم، دورۀ صوری در قرن

هیجدهم و دورۀ بحرانی در قرن نوزدهم بود. تحول یک اندیشۀ ریاضی، اغلب در چهار مرحله صورت می گیرد: کشف (ابداع)، کاربرد، درک و توجیه (رجوع کنید به توضیح مفهوم مشتق در بخش ١٬١٬۶.( مهم است که حین تشریح هر مفهوم یا نظریه ای، ترتیب این مراحل را در ذهن داشته باشیم.

بحث دقت در تدریس حساب دیفرانسیل و انتگرال هم از دغدغه های جاری است. جی. اف. سیمونز توصیۀ خوبی در این زمینه دارد [ ۵٣ :[

«دقت ریاضی مثل لباس است. باید به قواره باشد؛ اگر خیلی گشاد یا خیلی تنگ

باشد، راحتی را از بین می برد و آزادیِ حرکت را سلب می کند.»

دقت، یک مفهوم مطلق نیست. دیدگاه ریاضیدانان دربارۀ مؤلفه های تشکیل دهندۀ یک برهانِ پذیرفتنی، تغییر یافته است و لذا دیدگاه دانشجویان نیز باید تغییر یابد. آغاز درس حساب دیفرانسیل و انتگرال با مفهوم حد، به لحاظ منطقی سازنده است اما از نظر آموزشی، مخرب. به طور کلی، به کارگیریِ دقت به خاطر دقت، دانشجویان را از درس زده می کند. دانشجو باید متقاعد شود که در دست داشتن تعریف ها

١١ ٢ ایسرائل کلاینر  

و اثبات های دقیق آن مفاهیم و نتایجی که شهودی به نظر می رسند، سودمند است. برای مثال، بیان تعریف صوریِ پیوستگی و اثبات دقیق قضیۀ مقدار میانی برای دانشجویی که پیوستگی را به روش «طبیعی» با حرکت دادنِ پیوستۀ قلم بر نمودار تابع روی کاغذ آموخته است، کار چندان باارزشی نیست. برای اینکه نیاز به استانداردهای دست بالای دقت را به دانشجو گوشزد کنیم، باید برای برخی مفاهیم به ظاهر معقول و همه پسند (مثل اینکه هر تابع پیوسته بجز در تعداد متناهی نقطه، مشتق پذیر است) مثال نقض بیاوریم. در نبودِ چنین مثال های نقضی، مشروع و گاهی مطلوب است که تعریف ها را به تناسبِ حال، شهودی -البته نه در هم و بر هم- ارائه کنیم و هر گاه ( اگر ) لازم شد، آنها را اصلاح کنیم. این درسی است که از تاریخ می گیریم و خللی در آن راه ندارد.

٧ .قرن بیستم: آنالیز نااستاندارد رابینسون

سال ١٩۶٠ ،یعنی حدود یک قرن پس از آنکه وایرشتراس بی نهایت کوچک ها را برای همیشه از ریاضیات رانده بود و همه چنین می اندیشیدیم، آبراهام رابینسونِ منطق دان، آنها را در هیبت اشیایی ریاضی که در چارچوب «آنالیز نااستاندارد» به دقت تعریف شده بودند، به صحنۀ زندگی بازگرداند (نمونه ای دیگر از احیای مفاهیم از یاد رفته، سری های واگرا است که چنان که گفتیم، کُشی و آبل در

اوایل قرن نوزدهم آنها را غیرمجاز می دانستند اما در پایان همان قرن، پوانکاره و استیلتیِس آنها را به عنوان سری های مجانبی به دقت بازتعریف کردند).

در حالی که آنالیز استاندارد، یعنی همان حساب دیفرانسیل و انتگرالی که از وایرشتراس (و دیگران) به ارث برده ایم، بر پایۀ میدان مرتب کامل (و لذا ارشمیدسی) اعداد حقیقی بنا شده است، R است که از اعداد «اَبرحقیقی» تشکیل یافته است.اساس آنالیز نااستاندارد، میدان مرتب اما ناکامل   ∗

ϵ ∈ R ∗ R میدان توسیعی R است که در آن، می توان بی نهایت کوچک ها را به دقت تعریف کرد: ∗   بی نهایت کوچک است اگر به ازای هر R ∈ a مثبت داشته باشیم a < ϵ < a . − بنابراین صفر، تنها بی نهایت کوچک حقیقی است و وارون یک بی نهایت کوچک ناصفر، یک عدد اَبرحقیقی نامتناهی است.

رابینسون می گوید که آنالیز نااستاندارد «تا اندازه ای ملهم از مدل های به اصطلاح نااستاندارد حساب بود که نخستین بار، اسکولم به سال ١٩٣۴ به وجود آنها اشاره کرد.» [ ۵٠ [پژوهش های اسکولم و رابینسون بخشی از زیرشاخۀ جدید منطق ریاضی به نام نظریۀ مدل ها بودند. رابینسون در این باره می نویسد [ ۵٠ :[

«در پاییز سال ١٩۶٠ متوجه شدم که مفاهیم و روش های منطق ریاضی معاصر

می توانند چارچوبی مناسب برای ارائۀ حساب دیفرانسیل و انتگرال با استفاده از

اعداد بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ فراهم کنند.»

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ١١٣  

طنز ماجرا اینجا است که در قرن نوزدهم بی نهایت کوچک ها را کنار گذاشتند چون معلوم شده بود از نظر منطقی، پذیرفتنی نیستند در حالی که در قرن بیستم با تکیه بر منطق!، موجودات پذیرفتنی ریاضی به حساب آمدند. رابینسون خیلی شادمان بود از اینکه منطق ریاضی پشتوانۀ آنالیز نااستاندارد است. گودل بر کار رابینسون ارج بسیار نهاد، چراکه بین منطق و ریاضیات پیوندی بنیادی ایجاد کرده بود و ریاضیدان معاصر سیمون کوشن ١   هم به تقلید از گودل گفته است: «رابینسون با ارائۀ نظریۀ مدل ها، پیوندی ژرف میان منطق و ریاضیاتِ جاری ایجاد کرد.» [ ١۴ [

رابینسون در پژوهش هایش بر روی آنالیز نااستاندارد متأثر از تاریخ نیز بود. او بنمایه های آنالیز نااستاندارد را در کارهای لایب نیتس، اویلر و کُشی مرسوم می دید و در واقع معتقد بود که به کمک نظریۀ دقیقی که برای بررسی بی نهایت کوچک ها ارائه کرده است، «می توان همۀ اندیشه های لایب نیتس را به طور کامل محقَق کرد.» [ ۵٠ [در این باره بعداً بیشتر خواهیم گفت.

چنان که دیدیم، تلاش لایب نیتس برای مستدل کردن نتایج پژوهش هایش دربارۀ بی نهایت کوچک ها بر دو پایه استوار بود: یکی اثربخشی (یعنی نتایجی که به دست می آیند، درست باشند) و دیگری منطقی بودن (یعنی نتایج را بتوان با استفاده از روش افنا دقیق ساخت). او تلاش کرد توسل به بی نهایت کوچک ها را در چارچوب اصل تسری که اصلی مبهم بود، توجیه کند. این اصل (به زبان امروزی) می گوید ویژگی های اعداد حقیقی برای اعداد اَبرحقیقی هم برقرارند (البته روشن است که نه همۀ ویژگی ها؛ مثلا ویژگی ارشمیدسی برقرار نیست). رابینسون متوجه شد که [ ۵٠ [

«آنچه [در زمان لایب نیتس] مفغول مانده بود، وجود یک زبان صوری بود که به کمک

آن بتوان احکامی را که فرض می شد هم برای اعداد متناهی و هم برای دستگاه اعداد

وسعت یافته شامل بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها برقرارند، به دقت تبیین کند

و محدودیت های آنها را روشن سازد.»

اما کارهای رابینسون را خارج از این برنامه باید مورد ارزیابی قرار داد. به ویژه لازم بود الف) یک میدان ناارشمیدسی اعداد اَبرحقیقی تعریف (ساخته) شود که شامل اعداد حقیقی باشد و چارچوبی برای تعریفِ دقیق بی نهایت کوچک ها فراهم آورد.

ب) «اصل گذار» صورت بندی شود. این اصل بیانی صوری برای اصل تسری لایب نیتس ارائه می کند و آن ویژگی هایی را که از اعداد حقیقی به اعداد اَبرحقیقی گذرپذیر هستند، دقیق می سازد. ٢

  که با نوشتن کتاب های درسی، بی نهایت کوچک های رابینسون را به کلاس درس حسابان آورد،کایزلر

می گوید [ ٣۵ :[

١ Simon Kochen ٢ Keisler

١١ ۴ ایسرائل کلاینر  

«دلیل اینکه پیش از رابینسون، کس دیگری به نتایج پژوهش های او دست نیافته

بود، این است که اصل گذار برای اعداد اَبرحقیقی، نوعی اصل است که تا همین

اواخر هم در ریاضیات ناشناخته بود.»

برای جامۀ عمل پوشاندن به برنامۀ فوق دو رویکرد وجود دارد: یکی رویکرد اصل موضوعی و دیگری، رویکرد سازنده. در رویکرد اول، اصول زیر را وضع می کنیم:

R و در نتیجه وجود بی نهایت کوچک ها در ∗ الف) وجود یک میدان توسیعی مرتب و سره از R به نام .R ∗  

ب) یک اصل گذار که به کمک آن بتوانیم همۀ گزاره های «مقدماتی» (یعنی آنهایی که برحسب عضوها R منتقل کنیم. به بیان دقیق تر، همۀ ∗ کمی سازی شده اند نه بر پایۀ زیرمجموعه های R (را از R به

R گسترش پذیر باشند و صدق یک گزارۀ مقدماتی در R ∗ اعمال و رابطه های متناهی وار در R باید به

√

R نتیجه دهد. ∗ باید صدق آن را در

  که در آن R ∈ x و ١ ≤ x ≤ ١ − را می توان به تابع١ − x ٢ برای مثال، تابع با ضابطۀ R ∈ a (و از آنجا که ∗ R گسترش داد (یعنی در اینجا f روی   ∗∗ ( a ) = √ ١ − a ٢ با ضابطۀ a − ١ اگر و ٢ ≥ ٠ داریم a ∈ R ∗ x − ١ اگر و تنها اگر ١ ≤ x ≤ ١ ، − پس با فرض ٢ ≥ ٠ . − ١ ≤ a ≤ ١ اگر تنها

گزارۀ «به ازای هر R ∈ b, a اگر ٠ > b ،آن گاه عددی صحیح و مثبت مانند n موجود است R گسترش داد. به تعبیرِ ∗ به طوری که a > nb «یک گزارۀ مقدماتی نیست و لذا نمی توان آن را به منطق جدید، رابینسون یک زبان صوری فراهم می آورد که تنها آن ویژگی هایی را می توان با آن زبان R گذرپذیر باشند. ∗ بیان کرد که بین R و

٧ . ١ . درست همان گونه که می توان آنالیز استاندارد را بر اساس توصیف اصل موضوعی R به عنوان یک میدان مرتب کامل بنیان گذاشت، آنالیز نااستاندارد را هم می توان بر مبنای توصیف R ،بنا نهاد. در واقع می توان همۀ نتایج در حساب دیفرانسیل و انتگرالاصل موضوعی بالا برای   ∗

استاندارد را با ابزارهای نااستاندارد و با استفاده از بی نهایت کوچک ها به دست آورد (همان کاری که لایب نیتس، اویلر و دیگران کرده بودند). روش اصلی انجام این کار چنین است: اگر بخواهیم قضیه ای را در R ثابت کنیم (یعنی یک قضیۀ عادی در حساب دیفرانسیل و انتگرال)، با استفاده از اصل گذار R ترجمه می کنیم، سپس با استفاده از روش های نااستاندارد آن را ثابت می کنیم ∗ آن را به گزاره ای در

که معمولا این کار آسان تر است، زیرا می توان بی نهایت کوچک ها را در برهان به کار گرفت و سرانجام، به R برمی گردیم (تأویل حرف آدامار در این باره این است که کوتاه ترین مسیر بین دو واقعیت در دامنۀ حقیقی، از دامنۀ اَبرحقیقی می گذرد). مرحلۀ پایانی کار، با استفاده از قضیۀ بخش استاندارد صورت

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ١١۵  

می گیرد. این قضیه می گوید به ازای هر عدد اَبرحقیقی مانند a دقیقاً یک عدد حقیقی بی نهایت نزدیک به a وجود دارد که آن را با ( a ( st نشان می دهیم (دو عدد اَبرحقیقی بی نهایت نزدیک هستند اگر تقاضل آنها بی نهایت کوچک باشد). برای مثال، می توان نشان داد که به ازای هر تابع (استاندارد) مانند f که ١ ( x ) = st [( f ( x + ε ) − f ( x )) /ε ] اینکه با است معادل f مشتق متداول تعریف f ( x ) در آن، ε یک بی نهایت کوچک است.

چگونه می توان این کار را با تعریفی که لایب نیتس برای شیب ارائه می کند، مقایسه کرد؟ لایب نیتس شیب خم ( x ( f = y در نقطۀ ( y, x (را dx/dy تعریف می کند که در آن، dx دیفرانسیل x و ( x ( f ) − dx + x ( f = dy دیفرانسیل متناظر آن برای y است. پس بنابر تعریف لایب نیتس، f ولی چنان که دیدیم، صورت بندی نااستاندارد این تعریف ١ ( x ) = ( f ( x + dx ) − f ( x )) /dx

f .برای مثال، در مرحلۀ پایانی محاسبۀ ١ ( x ) = st [( f ( x + ε ) − f ( x )) /ε ] از است عبارت

x ) = x ( f ،لایب نیتس dx + ٢ x را با ٢ x یکی می گیرد در حالی که رابینسون ٢ مشتق تابع

می نویسد ٢ x ) = dx + ٢ x ( st .همین یکی گرفتن) ضمنی (عددهای اَبرحقیقی با بخش استاندارد آنها و به ویژه یکی گرفتن بی نهایت کوچک ها با صفر، منجر به مشکلات منطقی در حساب دیفرانسیل و انتگرال لایب نیتس شده بود. در آنالیز نااستاندارد رابینسون، قضیۀ بخش استاندارد جایگزین به کار گیریِ حد می شود.

اما رابینسون از کجا می دانست که اصول موضوع اعداد اَبرحقیقی، سازگارند؟ پاسخ این است: با ساختن یک «مدل» برای آنها و استنتاج اصل های موضوع به عنوان قضیه هایی در آن مدل. این روش ساخت، مشابه همان روش ساختن اعداد حقیقی به عنوان رده های هم ارزیِ دنباله های کُشی است. رابینسون اعداد اَبرحقیقی را رده های هم ارزیِ دنباله های دلخواه - همۀ دنباله های- اعداد حقیقی تعریف و رابطۀ هم ارزی را هم برحسب عمل «فراضرب» بیان می کند. چون روش او متضمن مفاهیم بسیار فنی در منطق ریاضی است، تاکنون چندین ساده سازی برای آن پیشنهاد شده است. چه چیز باعث شد آنالیز نااستاندارد جا بیفتد و مورد پذیرش جامعۀ ریاضی قرار گیرد؟ رابینسون روش های خود را در توپولوژی، هندسۀ دیفرانسیل، نظریۀ اندازه، آنالیز مختلط و نظریۀ گروه های لی به کار برد. این روش ها در آنالیز تابعی، معادلات دیفرانسیل، احتمال، بخش هایی از فیزیکِ ریاضیاتی و اقتصاد نیز به کار گرفته شده اند. تاخت و تاز این موضوع در این بازۀ زمانی کوتاه، شگفت انگیز است. البته بدگویان استدلال می کنند که اساساً چیز جدیدی در این موضوع نیست، زیرا بنابر اصل گذار و قضیۀ بخش استاندارد، هر نتیجه ای که با روش های نااستاندارد اثبات پذیر باشد، دست کم به لحاظ نظری، یک برهان استاندارد نیز دارد. خوب! به همان صورت می شود ادعا کرد که هر نتیجۀ هندسی را که به روش های هندسۀ ترکیبی اثبات پذیر باشد، می توان به طور تحلیلی هم ثابت کرد. آیا این باعث

١ ١۶ ایسرائل کلاینر  

بی ارزش شدنِ هندسۀ ترکیبی می شود؟ نکتۀ مهم این است که به کمک روش های نااستاندارد، نتایج جدیدی کشف یا برای اولین بار ثابت شده اند. شیوه های جدید نگریستن به یک مفهوم را باید تشویق کرد.

٧ . ٢ . گرچه بی نهایت کوچک های رابینسون در بطن بی نهایت کوچک های لایب نیتس جای دارند، رابینسون آنالیز نااستاندارد را پشتیبان حساب دیفرانسیل و انتگرال لایب نیتس (و اویلر) می دانست. در واقع او قائل بود که باید تاریخ حساب دیفرانسیل و انتگرال را بازنویسی کرد. نظریه ای که رابینسون ارائه کرد، نه تنها نشان داد که آنالیز در قرن های هفدهم و هیجدم بر پایۀ یک مفهوم تیره و موهومی به نام بی نهایت کوچک بنا نشده بود -وگرنه چطور می توانست آن همه نتایج توانمند به بار آورد؟- بلکه فعالیت های آنالیزدانان معاصر را با این احساس اطمینان همراه ساخت که بی نهایت کوچک ها را می توان با اتکا به این نظریه به دقت استنباط کرد.

اما بسیاری از تاریخدانان ریاضیات، با اعتباربخشی ساختار رابینسون به بی نهایت کوچک های قرن های هفدهم و هیجدهم به شدت مخالف هستند و می پرسند کدام یک از این مفاهیم پیچیده ای که در آنالیز نااستاندارد رابینسون وجود دارد، در بی نهایت کوچک های لایب نیتس به چشم می خورد؟ خوب! همان گونه می شود پرسید کدام یک از تعبیرهای ε − δ یی وایرشتراس در نسبت های غایی نیوتن به چشم می خورد؟ یا اینکه چطور برخی معتقدند تعریف ائودوکسوس برای ضرب نسبت ها، پیش درآمدِ نظریۀ گروه ها بوده است؟ بازسازی های تاریخی را باید با احتیاط فراوان مورد بررسی قرار داد. ای. تی. بل ١   به ریاضیدانان و تاریخدانان ریاضی گوشزد می کند که «از پس بینی، چیزهایی می فهمیم که موقع پیش بینی از درک آنها عاجز بوده ایم.» [ ٣ [

بجز مسئلۀ «بازسازی»، آنالیز نااستاندارد پرتو نوری بر اندیشه های لایب نیتس (و دیگران) دربارۀ وجود بی نهایت کوچک ها افکند. البته معنای امروزیِ وجود در ریاضیات کاملا متفاوت با تلقی R ∗ هم عصران لایب نیتس است. ما (دست کم بیشترمان) وجود بی نهایت کوچک ها را به واسطۀ وجود R .اما ریاضیدانان پیش از قرن نوزدهم وپذیرفته ایم: بی نهایت کوچک ها چیزی نیستند جز عضوهای   ∗

در واقع بسیاری از ریاضیدانان قرن نوزدهم، با چنین تعبیری از وجود بیگانه بودند. در آن دوران، عدد   همه را به چشم اشیایی √ ، نقطۀ ایدآل (نقطه ای در بی نهایت) و عددهای ایدآل کومرموهومی ١ −

٢

«خیالی» (غیرواقعی) می نگریستند که برای برآورده شدنِ اهدافی ویژه، فراهم آمده اند؛ در حالی که برای ما، این اشیاء معنای متافیزیکی خود را از دست داده اند. آیا نباید بی نهایت کوچک ها را هم با همان چوب راند؟ آیا تعبیر لایب نیتس که بی نهایت کوچک ها را «استعاره هایی برای خلاصه نگاری و کلی گویی» می دانست، با نگرش فوق سازگار نیست؟

١ E. T. Bell ٢ Kummer

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ١١٧  

٧ . ٣ .نکتۀ آموزشی. آیا باید حساب دیفرانسیل و انتگرال را با روش های آنالیز نااستاندارد تدریس کرد؟ پاسخ این سؤال تا اندازۀ زیادی به اهداف ما در تدریس بستگی دارد. جنبه های مطلوب یک نظریۀ ریاضی به طور کلی عبارت اند از وضوح مفاهیم و توانایی در تبیین شهودیِ آنها، زیبایی و سادگی آن نظریه و راحتی در به کار بردنِ ابزارهای فنی. بر این مبانی، آنالیز نااستاندارد را می توان کاملا توصیه کرد.

به نظر می رسد استفادۀ غیررسمی از بی نهایت کوچک ها دست کم به اندازۀ استفاده از حدود، جاذبه داشته باشد. فیزیکدانان و مهندسان مدت طولانی پس از آنکه از ریاضیات نفی بلد شدند، از بی نهایت کوچک ها استفاده کرده اند و ریاضیدانان هنوز هم مطمئن از وجودِ یک پشتوانۀ دقیق منطقی، به طور غیررسمی از آن استفاده می کنند چنان که همۀ ما با عبارت «فلان کمیت آنقدر کوچک است که می توان از آن چشم پوشی کرد» آشنا هستیم. همان طور که مفهوم حد بر پایۀ اعداد حقیقی استوار است، تعریفِ رسمی بی نهایت کوچک هم بر پایۀ اعداد اَبرحقیقی استوار است. فرقش این است که اعداد حقیقی خیلی «واقعی تر» از اعداد اَبرحقیقی هستند و شهود قابل ملاحظه ای که از اعداد حقیقی داریم،

ناشی از مدل هندسی آنها، یعنی نقاط واقع بر خط حقیقی است. با وجود این، مدل های هندسی برای خط اَبرحقیقی هم ارائه شده است [ ٣۵ .[

کسانی هم هستند که با تدریس حساب دیفرانسیل و انتگرال نااستاندارد به شدت مخالف اند. ارت بیشاپ ١   ،منطق دان ساختگرا، این کوشش ها را «بی ریشه کردن معانی» می داند و می افزاید که «تخریب واقعی آنجا رخ می دهد که آن همه معانی شگفت انگیز [در حساب دیفرانسیل و انتگرال استاندارد] را از درونمایه تهی و دچار تیرگی می کنیم.» [ ١٩ [

به نظر می رسد آنقدر شواهد تاریخی فراهم شده باشد که مدرسان دست کم از مفاهیم و روش های مقدماتی حساب دیفرانسیل و انتگرال نااستاندارد آ گاهی یابند و در آموزش های آتی دانشجویان رشتۀ ریاضی، جایگاهی هم برای آنها در نظر بگیرند. بیش از دو هزار سال کسانی همچون ارشمیدس، لایب نیتس، نیوتن، اویلر و کُشی روش های بی نهایت کوچک ها را با موفقیت فراوان به کار بردند اما آنالیز نااستاندارد رابینسون اگر نگوییم پشتوانۀ منطقی این روش ها است، نقطۀ اوج شکوفایی آنها است و گواهی است بر اینکه (به قول لین استین ٢ » (مبانی معرفت شناختی آنالیز ریاضی هنوز بدور از استحکام است.» [ ۵۵ [

مراجع

[1] Andersen, K., Cavalieri’s method of indivisibles, Archive for History of the Exact Sciences , 31 (1985), 291–367.

١ Errett Bishop ٢ Lynn Steen

١ ١٨ ایسرائل کلاینر  

[2] Baron, M. E., The Origins of the Infinitesimal Calculus , Dover, New York, 1987. [3] Bell, E. T., The Develoment of Mathematics , McGraw-Hill, New York, 1945. [4] Bell, J. L., Infinitesimals, Synthesis , 75 (1988), 285–315.

[5] Bos, H. J. M., Differentials, higher order differentials and the derivative in the Leibnizian calculus, Archive for History of the Exact Sciences , 14 (1974), 1–90.

[6] Bottazzini, U., The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass , Springer-Verlag, New York, 1986.

[7] Boyer, C. B., The History of the Calculus and its Conceptual Development , Dover, New York, 1959.

[8] Boyer, C. B., Cavalieri, limitis and discarded infinitsimals, Scripta Mathematica , 8 (1941), 79–91.

[9] Bressoud, D., A Radical Approach to Real Analysis , Mathematical Association of America, Washington, DC., 1994.

[10] Cajori, F., Indivisibles and “ghosts of departed quantities” in the history of mathematics, Scientia , 37 (1925), 301–306.

[11] Cajori, F., Grafting of the theory of limits on the calculus of Leibniz, American Mathe matical Monthly , 30 (1923), 223–234.

[12] Cajori, F., Discussion of fluxions: from Berkeley to Woodhouse, American Mathematical Monthly , 24 (1917), 145–154.

[13] Calinger, R. (ed.), Vita Mathematics: Historical Research and Integration with Teaching , Mathematical Association of America, Washington, DC., 1996.

[14] Dauben, J. W., Abraham Robinson and nonstandard analysis: History, philosophy, and foundations of mathematics, in Aspray, A., Kitcher, P. (eds.), History and Philosophy of Modern Mathematics , University of Minnesota Press, 177–200.

[15] Davis, M., Hersh, R., Nonstandard analysis, Scientific American , 226 (1972), 78-86. [16] Dedekind, R., Essays on the Theory of Numbers , Dover, New York, 1963. [17] Dudley, U. (ed.), Readings from Calculus , Mathematical Association of America, Wash ington, DC., 1993.

[18] Dunham, W., Journey Through Genesis: The Great Theorems of Mathematics , John Wiley & Sons, New York, 1990.

[19] Edwards, C. H., The Historical Development of the Calculus , Springer-Verlag, New York, 1979.

[20] Eves, H., Great Moments in Mathematics , 2 vols., Mathematical Association of America, Washington, DC., 1983.

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ١١٩  

[21] Fauvel, J. (ed.), The use of history in teaching mathematics, special issue of For the Learn ing of Mathematics , 11 (1991), no. 2.

[22] Fauvel, J. (ed.), History in the Mathematics Classroom: The IREM Papers , vol. 1, The Mathematical Association, London, 1990.

[23] Fauvel, J., van Mannen, J., (eds.), History of Mathematics Education: The ICMI Study , Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000.

[24] Fraser, C., The calculus as algebraic ananlysis: some observations on mathematical anal ysis in the 18th century, Archive for History of the Exact Sciences , 39 (1989), 317–335. [25] Grabiner, J. W., Who gave you the epsilon? Cauchy and the origins of rigorous calculus, American Mathematical Monthly , 90 (1983a), 185–194.

[26] Grabiner, J. W., The changing concept of change: The derivative from Fermat to Weier strss, Mathematics Magazine , 56 (1983b), 195–206.

[27] Grabiner, J. W., The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus , MIT Press, Cambridge, Mass, 1981.

[28] Grattan-Guinness, I. (ed.), From the Calculus to Set Theory: 1630-1910 , Duckworth, Lon don, 1980.

[29] Grattan-Guinness, I., The Development of the Foundations of Mathematical Analysis from Euler to Riemann , MIT Press, Cambridge, Mass., 1970.

[30] Hairer, E., Wanner, G., Analysis by Its History , Springer-Verlag, New York, 1996. [31] Harnik, V., Infinitesimals from Leibniz to Robinson: Time to bring them back to school, Mathematical Intelligencer , 8 (1986), no. 2, 41–47, 63.

[32] Kalman, K., Six ways to sum a series, College Mathematics Journal , 24 (1993), 402–421. [33] Katz, V. J. (ed.), Using History to Teach Mathematics: An International Perspective , Mathematical Association of America, Washington, DC., 2000.

[34] Katz, V. J., A History of Mathematics , 2nd ed., Addison-Wesley, New York, 1998. [35] Keisler, J., Elemantary Calculus: An Infinitesimal Approach , 2nd ed., Prindle, Weber & Schmidt, Boston, 1986.

[36] Keisler, J., Foundations of Infinitesimal Calculus , Prindle, Weber & Schmidt, Boston, 1976.

[37] Kitcher, P., The Nature of Mathematical Knowledge , Oxford University Press, New York, 1983.

[38] Kitcher, P., Fluxions, limitis, and infinite littleness: A study of Newtons’s presentation of the calculus, Isis , 64 (1973), 33–49.

[39] Kline, M., Euler and infinite series, Mathematics Magazine , 56 (1983), 307–314.

١ ٢٠ ایسرائل کلاینر  

[40] Kline, M., Mathematical Thought from Ancient to Modern Times , Oxford University Press, New York, 1972.

[41] Lakatos, I., Cauchy and the continuum: The significance of non-standard analysis for the history and philosophy of mathematics, Mathematical Intelligencer , 1 (1978), 151–161. [42] Langer, R. E., Fourier series: The gensis and evolution of a theory, American Mathematical Monthly , 54 (1947), 1–86.

[43] Laubenbacher, R., Pengelley, D., Mathematical Expeditions: Chronicles by the Explorers , Springer-Verlag, New York, 1999.

[44] Laugwitz, D., On the historical development of infinitesimal mathematics (I and II), Amer ican Mathematical Monthly , 104 (1997), 445–455, 660–669.

[45] MacKinnon, N. (ed.), Use of the history of mathematics in the teaching of the subject, special issue of Mathematical Gazzette , 76 (1992).

[46] May, K. O., History in the mathematical curriculum, American Mathematical Monthly , 81 (1974), 899–901.

[47] NCTM, Historical Topics for the Mathematics Classroom , 2nd. ed., National Council of Teachers of Mathematics, Reston, Virginia, 1989.

[48] Pimm, D., Why the history and philosophy of mathematics should not be rated X, From the Learning of Mathematics , 3 (1982), 12–15.

[49] Polya, G., Mathematical Discovery , combined ed., John Wiley & Sons, New York, 1962. [50] Robinson, A., Non-standard Analysis , North-Holand, Amsterdam, 1966. [51] Roy, R., The discovery of the series formula for π by Leibniz, Gregory, and Nilakantha, Mathematics Magazine , 63 (1990), 291–306.

[52] Simmons, G. F., Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics , McGraw-Hill, New York, 1992.

[53] Simmons, G. F., Differential Equations , McGraw-Hill, New York, 1972. [54] Stahl, S., Real Analysis: A Historical Approach , John Wiley & Sons, NEw York, 1999. [55] Steen, L. A., New Models of the Real-Number Line, Scientific American , 225 (1971), 92–99.

[56] Stillwell, J., Mathematics and Its History , Springer-Verlag, New York, 1989. [57] Struik, D. J., A Concise History of Mathematics , 4th. edn., Dover, New York, 1989. [58] Swetz, F., et al. (eds.), Learn from Masters , Mathematical Association of America, Wash ington, DC., 1995.

[59] Toeplitz, O., The Calculus: A Genetic Approach , The University of Chicago Press, Chicago, 1963.

تاریخچۀ بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگ ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ١٢١  

[60] Vilenkin, N. Y., In Search of Infinity , translated from Russian by A. Shenitzer, Birkhäuser, Boston, 1995.

[61] Wilder, R. L., History in the mathematics curriculum: Its status, quality, and function, American Mathematical Monthly , 79 (1972), 479–495.

[62] Young, R. M., Excursions in Calculus , Mathematical Association of America, Washington, DC., 1992.

روح اله جهانی پور: دانشگاه کاشان، دانشکدۀ علوم ریاضی

jahanipu@kashanu.ac.ir : رایانامه

سعید مقصودی: دانشگاه زنجان، گروه ریاضی

s_maghsodi@znu.ac.ir : رایانامه