بسم الله الرحمن الرحیم
هندسه فراکتال
فهرست هندسه
فهرست علوم
فهرست مباحث ریاضیات
هندسه فراکتال
مجموعه کانتور
خودمتشابه
مجموعه کانتور نمونه‌ای فرکتال است. این مجموعه خودهمانند است چون با دو کپی از خود یکسان است . بطور دقیقتر دو تابع وجود دارد , تغییر دهندهٔ چپ و راست. T L ( x ) = x / 3 {\displaystyle T_{L}(x)=x/3} {\displaystyle T_{L}(x)=x/3} و T R ( x ) = ( 2 + x ) / 3 {\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3} {\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3} , که باعث می‌شود مجموعه کانتور ویژگی هم‌ریختی داشته باشد T L ( C ) ≅ T R ( C ) ≅ C {\displaystyle T_{L}(C)\cong T_{R}(C)\cong C} {\displaystyle T_{L}(C)\cong T_{R}(C)\cong C} .
تکرار T L {\displaystyle T_{L}} {\displaystyle T_{L}} و T R {\displaystyle T_{R}} {\displaystyle T_{R}} می‌تواند به شکل درخت دودویی نامحدود مشاهده شود. هر گرهٔ درخت می‌تواند به عنوان زیر درخت برای یک گرهٔ چپ یا راست در نظر گرفته شود. مجموعه { T L , T R } {\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}} {\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}} با هم با ترکیب تابع به شکل یک مونوئید دوتایی است. automorphisms درخت دودویی چرخش‌های یایپربولیک ان است. بنابراین مجموعه کانتور یک فضای همگن است به این معنا که برای هر دو نقطهٔ x {\displaystyle x} x و y {\displaystyle y} y در مجموعه کانتور C {\displaystyle C} C یک هم ریختی h : C → C {\displaystyle h:C\to C} {\displaystyle h:C\to C} with h ( x ) = y {\displaystyle h(x)=y} {\displaystyle h(x)=y} وجود دارد. بعد هاسدورف مجموعه کانتور برابر با (ln(2)/ln(3) = log3(2 است.
فراکتال