وقتی دو گزاره با قرار دادن واژه "اگر" قبل از گزاره اول و واژه "آنگاه" بین آن‌ها ترکیب شوند، گزاره حاصل را یک گزاره شرطی (همچنین یک گزاره فرضی، یا یک استلزام) می‌نامند.

در یک شرطی، مؤلفه‌ای که پس از "اگر" می‌آید مقدم و مؤلفه‌ای که پس از "آنگاه" می‌آید تالی نام دارند. برای مثال "اگر آقای پرویزی همسایه دیوار به ‌دیوار سوزنبان است، آنگاه آقای پرویزی دقیقاً سه برابر سوزنبان درآمد دارد" یک گزاره شرطی است که مقدم آن "آقای پرویزی همسایه دیواربه‌دیوار سوزنبان است" و تالی آن "آقای پرویزی دقیقاً سه برابر سوزنبان درآمد دارد" است.

یک گزاره شرطی مدعی است در هر حالتی، اگر مقدم درست باشد آنگاه تالی نیز درست است. گزاره شرطی مدعی نیست تالی آن درست است، بلکه تنها ادعای آن این است که، اگر مقدم درست باشد، تالی آن نیز درست است. معنی اصلی و اساسی یک گزاره شرطی ادعای برقراری یک رابطه بین مقدم و تالی به آن ترتیب که گفته شد است. بنابراین برای فهم معنی گزاره شرطی باید ابتدا دانست رابطه استلزامی چیست.

چنین به نظر می‌رسد که استلزام بیش از یک معنی داشته باشد. همان‌ طور که در قسمت قبل دیدیم، قبل از نظیر کردن یک نماد منطقی به معنی خاصی از یا (در ترکیب فصلی) که بیش از یک معنی داشت، بررسی همه برداشت‌های گوناگون از آن (واژه "یا" در زبان فارسی) بسیار راهگشا بود. اگر این بررسی انجام نمی‌شد، چندمعنایی موجود در زبان فارسی نمادگرایی منطقی ما را آلوده می‌کرد و مانع از برقراری خلوص و دقت که منظور ما است می‌گردید. به همان اندازه نیاز است تا پیش از معرفی یک نماد خاصِ منطقی برای گزاره‌های شرطی، برداشت‌های مختلف از استلزام یا اگر – آنگاه را بررسی کنیم.

به چهار گزاره شرطی زیر توجه نمایید، چنین به نظر می‌رسد که هر یک از آن‌ها گونه مختلفی از استلزام و متناظر با برداشت مختلفی از "اگر – آنگاه" هستند.

(آ): اگر همه انسان‌ها میرا باشند و سقراط یک انسان باشد، آنگاه سقراط میرا است.
(ب): اگر پرویز مجرد است، آنگاه پرویز همسر ندارد.
(ج): اگر این قطعه کاغذ آبی آغشته به تورنسل در اسید قرار گیرد، آنگاه این کاغذ آبی آغشته به تورنسل قرمز خواهد شد.
(د): اگر امروز افزایش دریافتی بگیرم، آنگاه یک ماشین جدید می‌خرم.

حتی یک بررسی سطحی این چهار گزاره نشان می‌دهد آن‌ها گونه‌های کاملاً متفاوتی هستند. مطابق با برداشت معمولی از عبارات، در (آ) تالی به شیوه منطقی از مقدم به دست آمده، حال‌آنکه در (ب) تالی طبق تعریف عبارت مجرد از مقدم به دست آمده. تالی (ج) نه صرفاً منطقی و نه طبق تعریف از مقدمه آن به دست آمده. رابطه تالی و مقدم در (ج) باید تجربی کشف شود، زیرا استلزام بیان‌شده در اینجا عِلّی (سببی) است. سرانجام تالی (د) نه منطقاً و نه طبق تعریف و نه مطابق با یک قانون علی از مقدم به دست آمده. بیشتر قوانین علی که برای مثال در فیزیک و شیمی کشف می‌شوند، فارغ از امیدها و خواست‌های انسان، به ایضاح آنچه در جهان رخ می‌دهد می‌پردازند؛ و البته چنین چیزی در رابطه با گزاره (د) وجود ندارد. این گزاره تصمیم فردی را گزارش می‌کند که رفتار خاصی تحت شرایط خاصی را انجام خواهد داد.

چهار گزاره بررسی‌شده در پاراگراف قبل ازاین‌جهت متفاوت هستند که هر یک مدعی نوع ویژه‌ای از رابطه استلزام را بین مقدم و تالی هستند. اما آن‌ها به‌تمامی متفاوت از یکدیگر نیستند زیرا همه آن‌ها بیان‌کننده یک رابطه استلزامی هستند. آیا می‌توان یک معنای مشترک و به‌عبارت‌دیگر معنای جزئی به این گونه‌های متفاوت استلزام نسبت داد، گرچه به‌تمامی و کمال معنی هریک از آن‌ها نباشد؟

چنانچه دنباله اعمالی را که برای از کار درآوردن یک نماد به نمایندگی برای کلمه "یا" در فارسی (در معرفی ترکیب فصلی) انجام دادیم، به یاد آوریم، آنگاه جستجو برای یک معنای جزئی مشترک دارای اهمیت افزون خواهد شد. در آن حالت به شیوه آنچه در پی آمده عمل کردیم. اول به تفاوت دو برداشت از کلمه "یا" تأکید و مغایرت "یا"ی قوی و "یا"ی ضعیف بررسی گردید. ترکیب فصلی ضعیف دو گزاره این‌گونه در نظر گرفته شد که یکی از گزاره‌های آن درست باشد و ترکیب فصلی قوی دو گزاره این‌گونه در نظر گرفته شد که حداقل یک گزاره ولی نه هر دو گزاره درست باشند. دوم مشاهده شد که این دو گونه ترکیب فصلی مختلف دارای یک معنی جزئی مشترک هستند. این معنی مشترک عبارت از این بود ‌که، یکی از فصل‌های آن‌ها درست است. همان‌طور که دیدیم یکی معنی کامل "یا"ی ضعیف و دیگری جزئی از معنای "یا"ی قوی است. سپس علامت ویژه ⋁ را برای نمایش این معنای جزئی مشترک (که معنی کامل "یا" در برداشت ضعیف است) معرفی کردیم. سوم ملاحظه شد که نماد نشان‌دهنده معنی جزئی مشترک، با هدف قوام قیاس منفصله به‌عنوان یک استدلال معتبر‌، یک برگردان قابل‌قبول از هر برداشت "یا" است. به عبارتی پذیرفته ‌شد که در برگردان "یا"ی منع جمع به ⋁"، از بخشی معنی کلمه چشم‌پوشی و معنای آن کاسته شده است. اما آن قسمت از معنا که باقی می‌ماند همه آن چیزی بود تا قیاس منفصله را به‌عنوان یک استدلال معتبر‌ باقی نگهدارد. ازآنجاکه قیاس منفصله گونه‌ای از استدلال است که در آن ترکیب فصلی بکار می‌رود، که آنجا موردنظر ما بود، این برگردان جزئی واژه "یا" که از معنای "تمام" یا "کامل" آن در بعضی حالات جداشده، به‌طور کامل برای آنچه موردنظر بود قابل‌قبول بود.

اکنون همین کار را و به همین شیوه، اما این بار برای عبارت فارسی "اگر – آنگاه"، پیش خواهیم برد. قسمت اول انجام‌شده است: هم‌اکنون به چهار برداشت متفاوت از "اگر – آنگاه" متناظر با چهار نوع از استلزام تأکید کردیم. حال برای قدم دوم آماده هستیم، یعنی یافتن برداشتی که حداقل بخشی از معنای این چهار گونه استلزام مختلف باشد.

یک روش برای این کار چنین است که پرسیده شود چه حالتی برای نادرست بودن یک گزاره شرطی کفایت می‌کند. تحت چه شرایطی می‌توان به این عقیده رسید که گزاره شرطی:

اگر قطعه‌ای از کاغذ تورنسلی آبی در حلال اسیدی قرار داده شود، آنگاه این قطعه کاغذ تورنسلی آبی به رنگ قرمز درخواهد آمد.

نادرست است؟ مهم است توجه شود که این شرطی مدعی نیست، یک کاغذ تورنسلی آبی واقعاً در حلال اسیدی قرار داده‌شده، یا یک کاغذ تورنسلی قرمز شده است. فقط می‌گوید اگر این قطعه کاغذ تورنسلی در حلال قرار داده شود، آنگاه این قطعه کاغذ تورنسلی آبی به رنگ قرمز درخواهد آمد. این گزاره وقتی ثابت می‌شود نادرست است که این قطعه کاغذ تورنسلی آبی واقعاً در حلال قرار داده شود و قرمز نشود. بررسی نادرستی این آزمون اسیدی بودن وقتی میسر است که مقدم برقرار باشد و به‌عبارت‌دیگر درست باشد و آن‌وقت در عین آنکه مقدم درست است تالی نادرست باشد و خود شرط از این طریق است که ثابت می‌شود نادرست است.

هر گزاره شرطی "اگر- آنگاه" وقتی دانسته می‌شود نادرست است که بدانیم ترکیب p•~q درست است، یعنی وقتی مقدم آن درست و تالی آن نادرست باشد. بنابراین برای درستی گزاره شرطی، ترکیب عطفی اشاره‌شده باید نادرست باشد، به‌عبارت‌دیگر نقیض آن یعنی، (p•~q)~ باید درست باشد. به طریق دیگر، برای آنکه هر گزاره شرطی اگر p آنگاه q درست باشد، باید (p•~q)~، یعنی نقیض ترکیب عطفی مقدم و نقیض تالی نیز درست باشد. اکنون می‌توان (p•~q)~ را به‌عنوان بخشی از معنای "اگر p آنگاه q" در نظر گرفت.

هر گزاره شرطی معنی انکار درست بودن مقدم و نادرست بودن تالی را دارد، اما این می‌تواند همه معنی آن نباشد. یک شرطی مانند:

(آ) در بالا بعلاوه‌یِ آنچه هم‌اکنون گفته شد بیان یک پیوند منطقی بین مقدمه و تالی آن نیز است؛ شرطی (ب) بیانگر پیوند بر مبنای تعریف است؛ شرطی (ج) یک پیوند علی را بیان می‌کند و سرانجام شرطی (د) بیان یک پیوند بر مبنای اتخاذ تصمیم است. ولی فارغ از آنکه یک گزاره شرطی چه استلزامی را بیان می‌کند، بخشی از معنای آن نقیض ترکیب عطفی مقدم با نقیض تالی خود است.

اکنون وقت آن است تا نمادی را معرفی کنیم که نشان‌دهنده این معنای جزئی عبارت اگر— آنگاه باشد. برای این کار نماد جدید ⊂ (که نام آن نعل اسبی است) را با گرفتن p⊃q به‌عنوان خلاصه‌شده (p•~q)~ معرفی می‌کنیم. معنای دقیق نماد “⊂” را می‌توان به‌وسیله جدول ارزش نشان داد:

در این جدول دو ستون اول ستون‌های راهنما هستند؛ آن‌ها فقط همه ترکیبات ممکن درستی و نادرستی را برای p و q نشان می‌دهند. ستون سوم با رجوع به ستون دوم پرشده؛ ستون چهارم با رجوع به ستون اول و سوم، ستون پنجم با رجوع به ستون چهارم، و ستون ششم نیز که مطابق تعریف با ستون پنجم برابر است.

نباید نماد "⊂" دلالت بر معنی "اگر – آنگاه" و همین‌طور بجای رابطه استلزام در نظر گرفت. این کار ممکن نیست، زیرا "اگر – آنگاه" یک معنای واحد ندارد؛ بلکه دارای چندین معنا است. یک رابطه واحد استلزامی وجود ندارد که بتوان آن را (به روش یگانه) نشان داد، بلکه چندین رابطه متفاوت استلزام موجود است. همچنین قرار نیست نماد "⊂" به طریقی بجای معنی‌های "اگر-آنگاه" بنشیند. همه آن‌ها متفاوت هستند و هر کوشش برای نهادن آن‌ها در یک نشان منطقی باعث خواهد شد آن نشان چندمعنایی شود— همان‌طور که در زبان فارسی "اگر-آنگاه" و "استلزام" چندمعنایی هستند. اما نماد "⊂" کاملاً تک معنایی است. آنچه p⊃q کوتاه شده آن است، عبارت است از (p•~q)~ که معنای آن در همه انواع استلزام لحاظ شده، اما تمام معنای هیچ‌یک از آن‌ها را در برندارد.

می‌توان نماد "⊂" را به‌عنوان نوع دیگری از استلزام لحاظ کرد، این لحاظ کردن سودمند است، زیرا در این صورت یک راه برای خواندن p⊃q عبارت خواهد بود از "اگر p آنگاه q ، اما این با هیچ‌یک از استلزام‌هایی که قبلاً دیدیم یکسان نیست. منطقی‌ها نام آن را استلزام مادی نهاده‌اند و دادن این نام ویژه به آن، تأکید بر این است که آن، یک مفهوم خاص است و نباید با انواع دیگر استلزام، که بیشتر نیز معمول هستند، اشتباه شود.

چنین نیست که همه عبارت‌های گزاره‌ای شرطی در انگلیسی (فارسی) دربردار ادعای یکی از چهار نوع دلالتی که قبلاً دیدیم باشند. استلزام مادی نوع پنجمی را نیز دارد که ممکن است در گفتار عادی بیاید. این جمله را در نظر بگیرید: "اگر هیتلر یک نابغه نظامی بود، پس من هم عموی میمون هستم." آشکار است که ادعای این استلزام منطقی نه تعریفی و نه علّی است. نمی‌تواند دلالتی بر تصمیم‌گیری داشته باشد، زیرا بسیار دور است که گوینده بتواند درستی تالی را نشان دهد. هیچ «ارتباط واقعی» چه منطقی، چه تعریفی، یا علّی، در اینجا بین مقدم و تالی بدست نمی‌آید. از یک شرطی از این نوع اغلب بعنوان یک روش تاکیدی یا طنزآمیز برای انکار مقدم استفاده می‌شود. نتیجه چنین گزاره شرطی معمولاً گزاره‌ای است که آشکارا یا به طرز مضحک نادرست است. و از آنجا که هیچ گزاره شرطی درست نمی‌تواند هم مقدم درست و هم تالی نادرست داشته باشد، پذیرش چنین شرطی به منزله انکار مقدم آن است. چنین می‌آید که معنای کامل این شرطی انکار این است که «هیتلر یک نابغه نظامی بود» یک گزاره درست است وقتی که گزاره «من عموی میمون هستم» نادرست است. از آنجا که دومی آشکارا نادرست است، این شرطی باید بعنوان انکار اولی در نظر گرفته شود. مثل اینکه کسی بگوید: «یا هیتلر یک نابغه نظامی نبود یا من عموی میمون هستم (و آشکار است که من عموی میمون نیستم).»➥

نکته در اینجا این است که هیچ "ارتباط واقعی" بین مقدم و تالی توسط یک استلزام مادی در برابر گذاشته نمی‌شود و تمام آنچه که یک گزاره شرطی «اگر p، آنگاه q» (یعنی p⊃q) مدعی آن است اینکه اینطور نیست که مقدم درست باشد و تالی نادرسی‌شود [(یعنی ~(p⊃~q)] یعنی مدعی است که یا مقدم نادرست است یا تالی درست است [یعنی ~p∨q)]. ما p⊃q را بعنوان کوتاه‌شده ~(p•~q) تعریف کردیم. اکنون در جدول ارزش زیر می‌توان دید که ستون‌های T و F برای هر یک از این سه صورت یکسان هستند.

p	q	~p	~q	p • ~q	p ⊃ q	~p ∨ q	~(p • ~q)
T	T	F	F	F	T	T	T
T	F	F	T	T	F	F	F
F	T	T	F	F	T	T	T
F	F	T	T	F	T	T	T

همه این سه صورت گزاره‌ای

~(p•~q)
p⊃q
~p∨q

 هم‌ارز منطقی یکدیگر هستند، واقعیتی که قسمت ۹ این فصل آن را توضیح خواهیم داد و در ۱۰.۶ نتایخ آن را بسیار بکار خواهیم زد.

استلزام مادی یا گزاره شرطی یک گزاره تابع-ارزشی است و نماد نعل اسبی، یعنی >، یک رابط تابع-ارزشی است. بنابراین جدول ارزش زیر، گزاره شرطی - استلزام مادی - و نیز نماد نعل اسبی را تعریف می‌کند.

p	q	p ⊃ q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

یک گزاره شرطی فقط و فقط وقتی نادرست که مقدم آن درست و تالی آن نادرست باشد؛ در غیر ای صورت درست است.

علامت نعل اسبی "⊂" آن‌طور که توسط جدول ارزش تعریف شد دارای بعضی از ویژگی‌ها است که در نظر اول ممکن است عجیب به نظر برسند. بخشی از این ظاهر عجیب می‌تواند با ملاحظاتی که در پی می‌آید ازنظر محو شود. ازآنجاکه عدد ۲ کوچک‌تر از عدد ۴ است (واقعیتی که با ۴>۲ نمادین است) نتیجه می‌شود که هر عدد کوچک‌تر از ۲ از ۴ نیز کوچک‌تر است. فرمول شرطی:

اگر ۲ > x آنگاه ۴ > x

برای هر عدد x هرچه که باشد درست است. چنانچه توجه خود را بروی اعداد ۱، ۳، ۴ و جایگزین کردن آن‌ها به ترتیب بجای متغیر عددی x در فرمول شرطی قبل معطوف کنیم، می‌توان مشاهدات زیر را به دست آوریم. در

اگر ۲>۱ آنگاه ۴>۱

مقدمه و تالی هردو درست هستند و البته گزاره شرطی هم درست است. در

اگر ۲>۳ آنگاه ۴>۳

مقدم نادرست و نتیجه درست است و البته بازهم گزاره شرطی درست است. در

اگر ۲>۴ آنگاه ۴>۴

هم مقدم و هم تالی نادرست هستند ولی هنوز گزاره شرطی درست است. این سه حالت متناظر با سطرهای اول، سوم، چهارم جدولی است که علامت نعل اسبی "⊂" را تعریف می‌کند. بنابراین در اینکه یک شرطی وقتی درست است که مقدم و تالی آن درست یا، مقدم آن نادرست و تالی آن درست یا مقدم و تالی نادرست باشند، چیز ویژه و تعجب‌آوری نباید باشد. البته، عددی نیست که از ۲ کوچک‌تر باشد و از ۴ کوچک‌تر نباشد؛ به‌عبارت‌دیگر، گزاره شرطی درست با مقدم درست و تالی نادرست وجود ندارد. این دقیقاً همان چیزی است که جدول تعریف علامت "⊂" معین می‌کند.

اکنون پیشنهاد کرده که هر رویداد عبارت اگر – آنگاه به نماد منطقی ⊂ برگردانده شود. معنای این پیشنهاد درواقع چنین است که در برگردان گزاره شرطی، در سیستم نمادین خود، برخورد ما با همه آن‌ها فقط به‌عنوان استلزام مادی باشد. البته، بیشتر گزاره‌های شرطی چیزی بیشتر از استلزام مادی را بین مقدم و تالی خود بیان می‌کنند. بنابراین، پیشنهاد ما معادل با این بیان است که هنگام برگردان گزاره شرطی به زبان نمادین، از بخشی معنای آن چشم ‌پوشی، کنارگذاری، یا "چکیده ‌سازی" شود. چگونه این پیشنهاد می‌تواند موجه باشد؟

موجه بودن پیشنهاد قبلی در مورد برگردان ترکیب فصلی چه انحصاری (قوی) و چه غیرانحصاری (ضعیف) به‌وسیله نماد "⋁" با زمینه تداوم اعتبار قیاس فصلی (منفصله)، ولو آنکه از معنای اضافی "یا"ی انحصاری چشم‌پوشی شود، بود. اکنون، این پیشنهاد نیز در برگردان همه گزاره‌های شرطی به صرفاً استلزام مادی با نماد "⊂" دقیقاً به همان طریق توجیه می‌شود. در بسیاری از استدلال‌ها، انواع مختلف گزاره‌های شرطی به‌کاربرده می‌شوند، اما اعتبار همه گونه‌های کلی استدلال‌های معتبر که ما با آن‌ها روبرو خواهیم شد باقی خواهند ماند، حتی اگر از معنای اضافی گزاره‌های شرطی چشم‌پوشی شود.

گزاره‌های شرطی را می‌توان به روش‌های مختلف پیکربندی کرد. گزاره:

اگر وکیل خوب بگیرد آنگاه تبرئه می‌شود.

می‌تواند به‌طور معادل بدون استفاده از واژه "آنگاه" مانند زیر نوشته شود:

اگر وکیل خوب بگیرد تبرئه می‌شود.

و به‌شرط آنکه "اگر" در ابتدای مقدم باقی بماند جای مقدم و تالی می‌تواند عوض شود.

تبرئه می‌شود، اگر وکیل خوب بگیرد.

باید روشن باشد که در هریک از مثال‌های آورده شده واژه "اگر" می‌تواند با عباراتی نظیر "چنانچه"، "در حالتی که" "به‌شرط آنکه" بدون تغییر در معنی جایگزین شود.

اندک تغییری در عبارت بندی مقدم و تالی بازآرائی‌های زیر از یک گزاره را میسر می‌سازد.

چنانچه یک وکیل خوب بگیرد موجب خواهد شد تبرئه شود.

یا

وقتی تبرئه می‌شود که یک وکیل خوب بگیرد.

گرفتن یک وکیل خوب، تبرئه شدنش را در پی خواهد داشت.

همه این گزاره‌ها با "⊂" نمادین می‌شود.

مفاهیم شرط لازم و شرط کافی پیکربندی‌های دیگری را برای گزاره‌های شرطی فراهم می‌آورد. برای رخ دادن هر رویداد خاص لازم است تا رویدادهای زیادی رخ دهد. برای آنکه یک اتومبیل معمولی کار کند لازم است بنزین در باک آن باشد، شمع و پلاتین آن میزان باشد، پمپ روغن کار کند و مانند آن‌ها. بنابراین، اگر رویداد رخ دهد، هر یک از شرط‌های لازم برای رخ دادن آن باید برقرار شده باشند. بنابراین وقتی می‌گوییم

بودن بنزین در باک شرط لازم برای کار کردن اتومبیل است.

می‌توان آن را به‌طور معادل به‌صورت زیر نیز بیان کرد.

اتومبیل وقتی کار می‌کند که بنزین در باک آن باشد.

که این خود طریقه دیگری برای گفتن عبارت زیر است:

اگر اتومبیل حرکت کند آنگاه در باک آن بنزین است.

همه این‌ها با A⊃K نمادین می‌شوند.

به‌طورکلی، «q شرط لازم برای p است» به‌صورتp ⊃ q نمادین می‌شود. به همین قسم «p فقط اگر q» به ‌صورت p ⊃ q نمادین می‌شود.

برای یک وضعیت خاص، گزینش رویدادهای زیادی وجود دارد، به‌گونه‌ای که هرکدام از آن‌ها برای این وضعیت خاص کفایت می‌کنند. ازاین‌قرار، برای آنکه در یک کیف بیشتر از هزار تومان پول باشد، کافی است که در آن هزار تومان و یک ریال باشد، هزار و پانصد تومان باشد و مانند آن‌ها. اگر یکی از این رویدادها حاصل باشد، آن وضعیت خاص نیز حاصل خواهد بود. بنابراین گفتن اینکه "بودن دو هزار تومان پول در کیف یک شرط کافی برای بودن بیش از هزار تومان پول در کیف است" مانند آن است که گفته شود، "اگر در کیف دو هزار تومان پول است آنگاه در کیف بیش از هزار تومان پول است".

به‌طورکلی، «p یک شرط کافی برای q است» به‌ صورت p⊃q نمادین می‌شود.

اگر p شرط کافی برای q باشد، داریم p⊃q و q باید شرط لازم برای p باشد. اگر q یک شرط لازم برای q باشد، داریم q⊃p و q باید شرط کافی برای p باشد.

چنین نیست که هر گزاره شامل واژه اگر یک گزاره شرطی است. هیچ‌کدام از گزاره‌های بعدی شرطی نیستند:

«اگر غذا می‌خواهی کمی در یخچال هست»؛
«اگر لطف کنید غذا آماده است»؛
«اگر برایتان جالب است، باید بگویم یک نامه جدید دارید»؛
«جلسه برگزار می‌شود حتی اگر مجوز هم صادر نشود».

بودن یا نبودن یک واژه خاص هرگز موجب فریب نمی‌شود. درهرصورت ابتدا باید معنی جمله را فهمید و سپس معنی آن را در یک فرمول نمادین دوباره بیان کرد.