بسم الله الرحمن الرحیم
فهرست علوم
كتاب الرياضيات و الفقه-یعقوبي
فهرست مباحث ریاضیات
فهرست مباحث ریاضیات در فقه
ما وراء الفقه، ج8، ص: 521
ملاحظات: در ضمن ج 8 آن كتاب" الرياضيات و الفقه" تأليف جناب آقاى محمد يعقوبى به چاپ رسيده است
الرياضيات و الفقه، ص: 521
مقدمة:
(بسم اللَّه الرحمن الرحيم) دأبت كتب الفقه على عرض المسائل الفقهية ذات الطابع الرياضي بأسلوبها القديم الذي يتميز بالصعوبة و التطويل خصوصا لأبناء الأجيال الحاضرة التي صبغت أفكارها بالأسلوب الحديث ذي الشمولية و العمق و تناول أصول العمليات و ليس ممارستها بشكل آلي دون معرفة أصلها أو اشتقاقها- كما يقولون- و هي- أي الرياضيات المعاصرة- غير ذلك بسيطة و ضرورية لمجاراة التطور الذي طرأ على مختلف المجالات، و سنتعرض هنا إن شاء اللَّه تعالى لبعض العمليات التي ترى أن طالب العلوم الدينية يحتاجها في دراسته للفقه أو في حياته العملية و لا شك أن منها ما هو معروف لدى أكثر الطلبة خصوصا المنتمين للمدارس الرسمية، و عذرنا في إثباتها:
1- أن عرضنا لها قد يتضمن معلومات أو أساليب جديدة أو مبسطة.
2- أننا قد نحتاجها في مواضيع لاحقة فتكون مقدمة لها.
(1) الأعداد الأولية:
و هي الأعداد التي لا تقبل القسمة إلّا على نفسها أو الواحد و منها 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19 .. إلخ.
(2) قابلية القسمة:
يقال إن عددا ما يقبل القسمة على عدد آخر إذا كان الأول يتكون من
الرياضيات و الفقه، ص: 522
مرة أو عدة مرات من الثاني أي لو طرحت الثاني مرة أو عدة مرات من الأول لم يتبق شي ء، و الذي يهمنا الآن هو كيفية التعرف على قابلية قسمة أي عدد على الأعداد الأولية لأول وهلة قبل الخوض في عملية القسمة:
أولا: قابلية القسمة على 2:
يكون العدد قابلا للقسمة على 2 إذا كانت آحاده أي أول رقم من جهة اليمين عددا زوجيا أو صفرا كالأعداد 6، 84، 306، 4000.
ثانيا: قابلية القسمة على 3:
يكون العدد قابلا للقسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه بقيمتها المطلق قابلا للقسمة على 3 فالعدد 342 يقبل القسمة على 3 لأن و هو يقبل القسمة على 3.
ثالثا: قابلية القسمة على 5:
يكون العدد قابلا للقسمة على 5 إذا كانت آحاده (5) أو صفرا.
رابعا: قابلية القسمة على 11.
يكون العدد قابلا للقسمة على 11 إذا كان الفرق بين مجموع المراتب الفردية و الزوجية بأقيامها المطلقة صفرا أو عددا يقبل القسمة على (11) فالعدد 1089 يقبل القسمة على (11) لأن. (المراتب الفردية) و (المراتب الزوجية) و الفرق بينهما كذلك فالعدد 1958 يقبل القسمة على 11 لأن و أن و تحقيقه.
(3) ضرب الأعداد و قسمتها:
من السهل إجراء عملية الضرب و القسمة للأعداد ذوات المرتبة الواحدة بشكل مباشر و سريع و تصعب العملية كلما ازداد عدد المراتب لذلك نلجأ إلى عملية الضرب و القسمة الطويلة.
الرياضيات و الفقه، ص: 523
أولا: عملية الضرب الطويلة، و ذلك كما في المثال الآتي:
و طريقتها أن نضرب الرقم الأول فينتج العدد الثاني في جميع أرقام العدد الأول فينتج الصف الأول من الناتج ثم نضرب الرقم الثاني من العدد الثاني في جميع أرقام العدد الأول فينتج الصف الثاني من النتيجة و يكتب ابتداء من المرتبة الثانية من الصف الأول أي تترك مرتبة عند كل انتقال إلى صف جديد و هذا يعني وجود (صفر) في محل الفراغ لأنه من مرتبة العشرات السابقة و نستمر حتى تنفد جميع أرقام العدد الثاني ثم نجمع الصفوف لنحصل على الناتج النهائي.
ثانيا: القسمة الطويلة.
و نشرحها بتطبيقها على مثال كالآتي:
نأخذ عددا من أرقام المقسوم بقدر المقسوم عليه و نجري عملية القسمة و نكتب الناتج أعلى الخط فإن لم يكف أخذنا معه رقما آخر كما في المثال حيث أن 19 (أول رقمين من المقسوم) لا تكفي للقسمة على 39 فنأخذ رقما ثالثا فيكون 198 و لمعرفة ناتج قسمته تقريبا- لتسهيل الوصول إلى الناتج بسرعة- نحذف رقما من يمين المقسوم و رقما من يمين المقسوم عليه أي و هو يساوي 6 فالناتج هو هذا الرقم بعينه أو يفرق عنه بواحد حيث يدرك الناتج المضبوط بالتجربة و في ذلك اختصار للجهد، و نعود إلى شرح أصل العملية حيث نضرب الناتج في المقسوم عليه و نكتب حاصل الضرب تحت الرقم الذي اقتطعناه للقسمة و نطرح ثم ننزل رقما آخر من المقسوم عليه الأصلي و نضعه بجنب ناتج الطرح فإن كفى للقسمة و إلّا وضعنا صفرا في الناتج على الخط و أنزلنا رقما جديدا من المقسوم و هكذا حتى نصل إلى ناتج طرح يساوي صفرا.
الرياضيات و الفقه، ص: 524
و نلاحظ هنا أن المقسوم عند ما يكون أصغر من المقسوم عليه نضع الناتج بعد فارزة (و يسمى العدد حينئذ كسرا عشريا و سنفرد لشرحه فقرة خاصة إن شاء اللَّه تعالى) و نعطي صفرا للمقسوم مثلا: و في الأرقام إلى يسار الفارزة. نظل نعطي أصفارا لناتج الطرح و نستمر حتى نصل إلى تصفيته و إذا أعطينا صفرا و لم يف الرقم بالقسمة على المقسوم عليه نضع صفرا في ناتج العملية و نضيف صفرا آخر لناتج عملية الطرح و إذا كان المقسوم أكبر من المقسوم عليه لكنه يبقى منه باق فنفرز في الناتج و نعطي أصفارا لناتج الطرح و نستمر بالعملية حتى تصفية الناتج أو الاكتفاء بثلاث مراتب بعد الفارزة كما هو المألوف (راجع فقرة تقريب الكسور العشرية).
مثال:
و هنا ملاحظتان:
1) عند ما وصلنا إلى العملية وضعنا فارزة في الناتج و هذا يعني إعطاء صفر لناتج الطرح فلم يكف العدد الناتج فأعطيناه صفرا آخر و نضع قباله صفرا في الناتج و هو ما شرحناه سابقا.
2) إننا لم نستطع تصفية الناتج و عندئذ يمكن الاكتفاء بثلاث مراتب بعد الفارزة و إهمال الباقي لضآلته.
الخاصية التجميعية و التوزيعية:
من خصائص عملية الضرب مثلا أنها توزيعية أي لو ضرب عدد
الرياضيات و الفقه، ص: 525
بمجموعة أعداد فإنه يضرب بكل واحد منها مثلا تعني و التجميعية تعني صحة عزل كل مجموعة من الأعداد مثلا هي نفسها أو و كذلك هي نفسها
ترتيب العمليات:
إذا اجتمعت عدة عمليات فينبغي تنفيذها حسب الترتيب الآتي و إلّا اختل نظامها:
1- تصفية ما في داخل الأقواس إن وجدت.
2- إجراء عمليات الضرب و القسمة.
3- إجراء عمليات الجمع و الطرح.
مثال:
و لو أجرينا 5- 3 أولا لكان الناتج خاطئا.
(4) الكسور العشرية و الاعتيادية:
الكسر العشري: هو العدد الذي يحتوي على جزء أقل من 1 تفصله عن العدد الصحيح- إن وجد- فارزة كالعدد 25، 3 فهنا العدد الصحيح هو 3 و الباقي 25، 0 أقل من واحد.
و من خصائصه:
1)- إن إضافة الأصفار إلى يمين العدد بعد الفارزة لا أثر لها في زيادة أو نقصان قيمة الكسر فالعدد 25، 3 هو نفسه 250، 3 و هو نفسه 2500، 3 و هكذا.
2)- إن دفع أو نقل الفارزة إلى اليمين مرتبة واحدة تعني ضرب العدد
الرياضيات و الفقه، ص: 526
في 10 و مرتبتين في 100 و هكذا و إن دفع الفارزة إلى اليسار تعني قسمته على 10 أو 100 تبعا لعدد المراتب «1»، فالعدد 387، 652 إذا ضرب في 10 يصبح 87، 6523 و في 100 يصبح 7، 65238 و إذا قسم على 10 يصبح 2387، 65 و إذا قسم على 100 يصبح 52387، 6 و هكذا.
الكسر الاعتيادي: هو الذي يتألف من عددين أحدهما فوق يسمى البسط و الآخر تحته يسمى المقام و بينهما خط و قد يرافقهما عدد صحيح يخرج من البسط إذا كان أكبر من المقام، فالعدد فيه عدد صحيح هو 15 و كسر و بسط 5 و مقامه 8 من خصائصه:
1) إن ضرب المقام و البسط معا بأي عدد- أو قسمتهما معا عليه- لا يغيّر من قيمة الكسر فالكسر هو عينه (بالضرب في اثنين للبسط و المقام) و هو عينه (بالقسمة على 3 للبسط و المقام).
2) تركيب الكسر و هي عملية إرجاع العدد الصحيح المرافق للكسر إلى البسط و ذلك بضرب المقام في العدد الصحيح و إضافته للبسط فالعدد يكون و نحتاج إلى هذه العملية عند ضرب الكسور أو قسمتها أو جمعها أو طرحها كما سيأتي إن شاء اللَّه تعالى.
(5) جمع الكسور العشرية و طرحها:
يجب أولا توحيد عدد المراتب إلى يمين الفارزة بإضافة أصفار «2» ثم إجراء عملية الجمع أو الطرح، مثلا 287، 26- 23، 15 فتصبح 287، 26- 230، 15 أو تكتب عموديا هكذا.
حيث يستخرج الناتج بسهولة.
(6) ضرب الكسور العشرية و قسمتها:
عند ضرب الكسور العشرية ببعضها نحذف الفارزة مؤقتا و يعامل
الرياضيات و الفقه، ص: 527
الرقمان كأرقام طبيعية ثم يفرز من الناتج- ابتداء من اليمين- بقدر مجموع عدد المراتب بعد الفارزة في الرقمين المضروبين، مثلا فنضرب بعملية الضرب الطويل التي مرت علينا حيث يكون الناتج 52266، و مجموع المراتب المفرزة ثلاثة فالناتج يكون 255، 52.
أما قسمة الكسور العشرية على بعضها فنضرب كلا من الكسرى ب 10 و مضاعفاتها الأسّية (راجع عنوان الأسس) أي 100، 1000 و هكذا بقدر أكبر عدد من المراتب بعد الفارزة موجودة في أحد الكسرين فينتج عددان طبيعيان نقسمهما اعتياديا كما تعلمنا، مثلا 75، 48 25، 3 فكلا العددين له مرتبتان بعد الفارزة فنضرب فتصبح العملية:
و بإجراء عملية القسمة الطويلة يكون الناتج 15.
(7) المضاعف المشترك الأصغر:
المضاعف المشترك الأصغر هو أقل رقم يقبل القسمة على مجموعة من الأرقام بدون باق فالعدد 12 مثلا هو أقل عدد يقبل القسمة على 3 و 4 و 6 في آن واحد بدون باق فيقال عنه إنه المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد و طريقة استخراجه نشرحها من خلال المثال التالي:
ما هو المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 24، 28، 33 الحل: 1- نضع الأعداد متجاورة في صف واحد إلى يمين خط عمودي.
2- نبدأ بتحليلها إلى عواملها الأولية حيث نبدأ بالأصغر و هو (2).
ما وجد أحد من الأعداد يقبل عليها فإذا نفدت أخذنا 3 حتى تنفد الأعداد القابلة للقسمة على 3 فنجرب 5 ثم 7 ثم 11 و هكذا، و كل عدد
الرياضيات و الفقه، ص: 528
ينقسم نكتب نتيجته في الصف الذي يليه و الذي لا ينقسم ينقل كما هو إلى أن نصل إلى صف جميع أرقامه 1.
3- عندئذ فالمضاعف المشترك الأصغر، حيث لا يوجد رقم أصغر منه يقبل القسمة على 24/ 28/ 33 في آن واحد بدون باق. و من طريف ما نقل في الأثر من تطبيقات المضاعف المشترك الأصغر ما ورد عن أمير المؤمنين (ع) أن يهوديا سأله عن عدد يقبل القسمة على الأرقام من 1 إلى 10 بدون باق فقال له الإمام (ع) إن أجبتك تسلم، قال: نعم، فأجاب الإمام (ع) على البديهة- و هو صاحب العلم اللدني الإلهامي- اضرب أيام سنتك في أيام أسبوعك أي فأسلم اليهودي.
و الحل يمكن أن نتوصل إليه بطريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر، كما في المخطط المجاور، حيث المضاعف يساوي حاصل ضرب العوامل يسار الخط أي:
(8) جمع الكسور الاعتيادية و طرحها:
لا يمكن جمع الكسور الاعتيادية و طرحها إلّا بعد توحيد مقاماتها بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات و كتابة الكسور من جديد بمقامات مساوية للمضاعف هذا و بسط كل كسر يساوي حاصل قسمة المضاعف على المقام الأصلي مضروبا في البسط الأصلي ثم تجري عملية الجمع و الطرح على البسوط فقط و يبقى المقام نفسه للناتج.
الرياضيات و الفقه، ص: 529
مثال:
و من ثمرات توحيد المقامات التعرف على مقارنة الكسور ففي المثال أعلاه لا يمكن لأول نظرة معرفة ذلك و لكن بعد توحيد مقاماتها و تعديل بسوطها أمكن التعرف على أن أكبر من و هذا أكبر من.
(9) ضرب الكسور الاعتيادية و قسمتها:
يفضل قبل إجراء عملية ضرب الكسور أو قسمتها اختصار البسوط مع المقامات أي تقسيمها على رقم مشترك بينهما «1» ثم تضرب البسوط لنحصل على بسط الناتج و تضرب المقامات لنحصل على مقام الناتج، أما في عملية القسمة فيجب تحويلها إلى عملية ضرب أولا بقلب الكسر الذي يلي عملية القسمة، مثلا ثم قسمة البسوط و المقامات على أرقام مشتركة حتى يصل الناتج إلى أبسط صورة.
(10) القاسم المشترك الأعظم:
و هو أعلى رقم يقسم رقمين أو أكثر بدون باق فالعددان 12، 18 يشتركان بال 2، 3، 6 فالقاسم المشترك الأعظم لهما هو 6 و كيفية إيجاده بأن نحلل كل عدد إلى عوامله الأولية و نأخذ العوامل المشتركة في تحليل جميع الأعداد، مثلا العددان 48، 36 يشتركان بالعوامل أي 12 وفق التحليل المجاور لكل منهما فالعدد
الرياضيات و الفقه، ص: 530
12 هو أكبر عدد يقسم ال 48 و ال 36 بدون باق و تظهر فائدة هذا الموضوع في تبسيط الكسور إلى أقل رقم ممكن بالقسمة على القاسم المشترك الأعظم أو لنقل الإسراع بعملية الاختصار.
(11) الوسطان و الطرفان «1»:
من خصائص الكسور المتساوية أن حاصل ضرب الوسطين يساوي حاصل ضرب الطرفين، و الطرفان هما بسط الكسر اليمين و مقام اليسار، و الوسطان هما مقام اليمين و بسط اليسار، مثلا فالطرفان 3، 64 و الوسطان 8، 24 حيث نلاحظ أن.
و من تطبيقات هذه الفكرة تحويل الكسر العشري إلى اعتيادي، مثلا إذا أريد جعل الكسر العشري 25، 8 كسرا اعتياديا مقامه 8 فبسط الكسر الاعتيادي مجهول و لنرمز له بالحرف س و مقامة.
أما مقام الطرف الأيمن فإنه يساوي أي أن س 66.
(12) حل المعادلات ذا المجهول الواحد:
الموضوع هو من فروع علم الجبر و يتناول حل المسائل من قبيل أن خمسة أشياء 40 فكم الشي ء الواحد فنرمز للشي ء بالرمز س و نقول إن 5 س 40 و لكي نجد قيمة س نقسم الناتج على مرافق العدد س أي أن س.
مسألة: رجل أعطى خمس ماله فكان المال المخمّس الباقي 800 دينار فكم كان أصل المال؟
الحل: لما كان الشخص قد أعطى خمس ماله فالمتبقي
الرياضيات و الفقه، ص: 531
فإذا عبّرنا عن المال ب س فإن.
بضرب الوسطين و الطرفين أو بطريقه أخرى نقول و بتحويل القسمة إلى ضرب و قلب الكسر:
مثال آخر: عدد لو ضربت ثلاثة أمثاله في 5 كان المجموع 30 فما هو العدد؟
الحل: ليكن العدد س فيكون ثلاثة أمثاله 3 س.
(13) تحويل الكسر الاعتيادي إلى عشري و بالعكس:
يحول الكسر الاعتيادي إلى عشري بقسمة البسط على المقام فالكسر يساوي و ذلك كالآتي أي بإجراء عملية القسمة الطويلة و هنا لا يفي المقسوم بالمقسوم عليه فنضيف له صفرا و نضع فارزة في الناتج و هكذا و قد أشرنا إلى ذلك سابقا.
الرياضيات و الفقه، ص: 532
أما تحويل الكسر العشري إلى اعتيادي فيجري على مرحلتين:
الأولى: تحديد المقام المطلوب للكسر الاعتيادي.
الثانية: إجراء عملية ضرب الوسطين و الطرفين.
مثال: إذا أريد للكسر العشري 625، أن يكون كسرا اعتياديا مقامه 8 أو س أي أن
(14) تقريب الكسور العشرية:
يحدث أحيانا في عملية القسمة أن يبقى باق لا ينقسم فنضع فارزة و نستمر بالعملية و قد تستمر إلى ما لا نهاية، مثلا و في مثل هذه الحالات و غيرها يقرّب الكسر وراء الفارزة إلى عدد معين من المراتب و يهمل الباقي و العدد المألوف من المراتب التي تؤخذ وراء الفارزة هو ثلاثة ينظر إلى أول رقم بعدها فإن كان 5 أو أكثر فيضاف (1) إلى الرقم الثالث بعد الفارزة و يهمل الباقي و إلّا فيبقى كما هو و يهمل الباقي فالعدد 5324 و 1 يقرّب إلى 532، 1 و حيث تهمل ال 4 دون تعديل في العدد الذي يسبقها و العدد 5648، 8 يقرّب إلى 565، 8. حيث تهمل ال 8 مع تعديل الرقم الذي يسبقها.
(15) التربيع و التكعيب:
التربيع هو ضرب العدد في نفسه و يرمز له بالعدد و فوقه رقم 2 صغير مثلا و التكعيب هو ضرب العدد في نفسه 3 مرات و يرمز له بالعدد و فوقه رقم 3 أصغر منه أي أن.
(16) الأسّ:
و هي حالة أوسع من التربيع و التكعيب فعند ضرب أي عدد في نفسه
الرياضيات و الفقه، ص: 533
عدة مرات يقال عنه إنه مرفوع للأسّ كذا بقدر عدد مرات الضرب و يكون العدد هو الأساس، مثلا.
فالأساس 3 و الأس 4 و يقرأ 3 أس 4 أو 3 مرفوعة 4 فالعدد 100 هو و ال 1000 هو 10 و المليون هو 10 و يلجأ إليه اختصارا فالعدد 32 يحلل إلى و يكتب باختصار حيث تظهر فائدة هذه الفقرة في تثبيت العوامل الأولية عند تحليل الأرقام.
(17) الجذر التربيعي و الجذر التكعيبي:
الجذر التربيعي لأي عدد هو عدد آخر لو ضربته في نفسه لنتج العدد الأصلي فجذر ال 16 يساوي 4 لأن و جذر ال 25 5 لأن و يمكن معرفته بطريقة التخميس و التجربة حتى الوصول إلى الرقم المطلوب و في ضوئه نقدر عدد آخر و نجربه و هكذا إلى أن نصل إلى الجذر الصحيح.
و هناك طرق أخرى لإيجاد الجذور التربيعية و التكعيبية منها:
1) طريقة اللوغاريتمات و سيأتي شرح هذا الموضوع لاحقا إن شاء اللَّه تعالى.
2) بتحليل العدد إلى عوامله الأولية ثم نأخذ عاملا واحدا من كل عاملين متشابهين و نضرب العوامل لنحصل على الجذر، هذا في الجذر التربيعي أما التكعيبي فنأخذ عاملا من كل ثلاثة عوامل مشتركة.
و يلاحظ هنا أنه إذا تبقى عند التحليل عامل واحد (في حالة التربيع) أو عاملان (في حالة التكعيب) ليس له نظير فمعنى ذلك أن العدد ليس له جذر صحيح.
مثال: ما هو الجذر التربيعي للعدد 1764.
نبدأ أولا بالتحليل إلى العوامل الأولية كما في المخطط
الرياضيات و الفقه، ص: 534
المجاور و نأخذ من كل عاملين متشابهين واحدا منهما فالجذر هو و تحقيقه و هو العدد الأصلي.
(18) النسب و النسبة المئوية:
إذا قسم أي شي ء على آخر فالكسر الناتج هو النسبة بينهما فإذا أريد قسمة عدد على أشخاص بنسب معينة تجمع النسب و تجعل مقاما واحدا و البسوط هي الأعداد نفسها و كل كسر يضرب في العدد الأصلي لتنتج حصة صاحب ذلك الكسر، و من تطبيقاته في الإرث ردّ الباقي على بعض ذوي الفروض من الورثة.
و مما يناسب المقام ما ورد في الأثر أن شخصا توفي و ترك (17) جملا و أوصى لأبنائه الثلاثة بالنصف و الثلث و التسع حيث لا تغطي الفروض كل التركة و يبقى باق يوزّع عليهم على نسب حصصهم و قد حلها أمير المؤمنين (ع) بأن أضاف جملا فأصبحت (18) فأعطى لصاحب النصف و لصاحب الثلث و لصاحب التسع فالمجموع و أخذ جمله، و تفسيرها وفق الموضوع الذي نحن فيه كالآتي:
فالباقي من مجموع التركة يوزع عليهم بنفس النسب (مجموع البسوط).
حصة السهم الواحد من الباقي فيكون للأول و للثاني و للثالث بنسب حصصهم و نضاعف الحصص الأولية لتوحيد المقامات فتصبح:
و تصبح الحصص الكلية كنسب فنضربها في المقدار الكلي لنحصل على حصة كل واحد.
لصاحب النصف لصاحب الثلث لصاحب التسع
الرياضيات و الفقه، ص: 535
و من تطبيقات الموضوع أيضا ما روي أن رجلين اصطحبا في سفر كان لأحدهما خمسة أرغفة و للآخر ثلاثة رافقهما ثالث في الطريق و أكلوا جميع الأرغفة و أعطاهما ثمانية دراهم فقال صاحب الخمسة للآخر خذ ثلاثة ولي خمسة فأبى الآخر إلا المناصفة و احتكما إلى أمير المؤمنين (ع) فقضى لصاحب الخمسة بسبعة دراهم و للآخر بواحد و تفسير الحل أن الأرغفة الثمانية تقاسمها ثلاثة فيكون كل منهم قد أكل رغيفا أي فبقي للأول من أرغفته الخمسة و للثاني فتوزع الدراهم على نسبة ما أعطوا من الخبز إلى الثالث أي أو فمجموع الحصص 8 للأول 7 منها و للثاني 1.
و ثمرة معرفة التوزيع بحسب النسب تظهر بوضوح عند حصول حالة الرد على الورثة بحسب حصصهم و أمثلته كثيرة في كتب الإرث.
(19) العلاقات الطردية و العكسية:
إذا زاد شي ء بزيادة آخر و نقص بنقصانه فيقال عن العلاقة بينهما إنها طردية كالعلاقة بين ارتفاع درجة الحرارة و التبخر فكلما زادت الحرارة ازدادت كمية الماء المتبخر و العكس بالعكس.
و إذا كانت العلاقة بين س، ص طردية فان س عدد ثابت ص.
(بشروط يحتاج تفصيلها إلى مستوي أعلى).
و إذا زاد شي ء بنقصان آخر و نقص بزيادته فيقال عن العلاقة بينهما إنها عكسية كالعلاقة بين العرض و الطلب في الحاجات الاستهلاكية في السوق فكلما ازداد وجود الحاجة قلّ الطلب عليها و انخفض سعرها و كلما قلّ وجود الحاجة في السوق ازداد الطلب عليها و غلا ثمنها. و إذا كانت العلاقة بين س، ص عكسية فإن س (راجع نفس الملاحظة السابقة).
مثال عام لحل المسائل المتضمنة لعلاقات طردية:
إذا كان الأول 10 فإن الثاني 12 فإذا أصبح الأول 15 فكم يكون الثاني؟
الرياضيات و الفقه، ص: 536
الحل:
حيث توضح العملية بالشكل المجاور و اتجاه السهم يمثل عملية الضرب.
حاصل ضرب الوسطين حاصل ضرب الطرفين أي أن س مثال عام لحل العلاقات العكسية:
إذا كان الأول 10 فإن الثاني 18 فكم يكون الثاني إذا أصبح الأول 15 الحل:
و يمكن حل مثل هذه المسائل بطريقة أخرى و هي كتابة أحد القانونين أعلاه حسب نوع العلاقة و إخراج قيمة الثابت ثم تطبيقه مرة أخرى لاستخراج المطلوب و هذان مثالان عمليان على العلاقات الطردية و العكسية وفق هذه الطريقة.
مسألة: حين يسقط جسم من الكون تحت تأثير الجاذبية الأرضية يتغير بعده عن نقطة السقوط بتغير مربع الزمن أي زمن السقوط فإذا سقط جسم مسافة 5، 122 مترا في 5 ثوان فما المسافة التي يقطعها في 10 ثوان؟
الحل: المسافة تتغير طرديا مع مربع زمن السقوط.
ثم نعيد تطبيق القانون مرة أخرى لإيجاد المطلوب.
الرياضيات و الفقه، ص: 537
المسافة الثابت مربع الزمن مترا.
مسألة: إن شدة الصوت تتغير عكسيا مع مربع بعد مصدر الصوت و المطلوب المقارنة بين شدة الصوت لسامع كان أولا على بعد 440 مترا ثم أصبح بعد 1760 مترا عن مصدر الصوت.
الحل: شدة الصوت ثابت/ مربع البعد لأن العلاقة عكسية.
شدة الصوت في الحالة الأولى شدة الصوت في الحالة الثانية و المقارنة بين الحالتين تعني شدة الصوت في الحالة الأولى/ شدة الصوت في الحالة الثانية و هذا يساوي قسمة الطرفين الآخرين أي باختصار الثابت: النسبة أي أن شدة الصوت تقلّ 16 مرة عند الانتقال من بعد 440 مترا إلى 1760 مترا عن مصدر الصوت 20- المعدل الحسابي.
معدل أية مجموعة من الأرقام يساوي مجموعها مقسوما على عددها و يفيد المعدل في أخذ فكرة إجمالية عن مجموعة معينة كمعدل درجات الطالب في الامتحان لتقييمه إجمالا. و نسمع في نشرات الأخبار أن درجة الحرارة لهذا اليوم كذا و هي أكثر أو أقل من المعدل بكذا و المعدل هو مجموع درجات الحرارة لمثل هذا اليوم من آخر خمسين سنة مقسوما على 50 و يقال إن معدل الطالب الفلاني كذا حيث تجمع درجاته لجميع الدروس و يقسم المجموع على عدد الدروس و المعدل في مثل هذه الأمثلة ضروري لأخذ فكرة إجمالية.
الرياضيات و الفقه، ص: 538
(20) الكثافة و تحويل الوزن إلى حجم و بالعكس «1»:
الكثافة هي تعبير عن شدة تركيز المادة «2». و الكثافة الوزنية هي شدة تركيز الوزن في حجم معين، فمثلا وزن سنتمتر مكعب من الحديد أكثر من وزن سنتمتر مكعب من الماء فكثافة الحديد أكثر من كثافة الماء لأن وزن حجم معين من الحديد أكثر من وزن نفس الحجم من الماء. و كثافة أية مادة تساوي الوزن/ الحجم و كثافة الماء في ظروف معينة تساوي (غرام لكل سنتمتر مكعب فإذا أريد معرفة وزن حجم معين من مادة ضرب هذا الحكم في الكثافة (يلاحظ هنا انسجام وحدات قياس كل من الحجم و الكثافة، مع بعضها وفق أحد أنظمة الوحدات القياسية)، فتحصل على الوزن، و إذا أريد معرفة الحجم قسّم الوزن على الكثافة، و ما دامت كثافة الماء 1 غم/ سم 3 فإن حجم الماء بالسنتمترات المكعبة يساوي- رقما- وزنه بالغرامات، و العكس بالعكس.
مثال: ما حجم الكر إذا كان وزنه 400 كغم، على قول بعض الفقهاء.
الجواب: الحجم الوزن/ الكثافة (مشتق من القانون الأصلي) الحجم (نضرب 1000 لتحويل كغم إلى غم لتنسيق وحدات القياس).
400000 سم 3 و لما كان الليتر الواحد 1000 سم 3 فإن حجم الكر 400 ليتر و هذه كثافات بعض المواد المتداولة منسوبة إلى كثافة الماء.
الألمنيوم 70، 2 الفضة 50، 10 الذهب 32، 19 الزنك 14، 7 الحديد 87، 7 الرصاص 55، 13 النيكل 90، 8 الثلج 92، 0
الرياضيات و الفقه، ص: 539
(21) الزوايا و طول القوس:
للزوايا مسميات عديدة تبعا لمقدارها كالزاوية القائمة و هي التي يحصرها خطان متعامدان و شكلها هكذا و الزاوية الحادة هي التي أقل من القائمة و مثالها و المستقيمة هي التي تقع بين مستقيمين على امتداد واحد و شكلها و المنفرجة هي بين القائمة و المستقيمة و مثالها و الدائرية و هي دورة كاملة.
و هناك ثلاثة مقاييس للزوايا و الذي يهمنا منها هنا اثنان أحدها بالدرجات فيقال عن الزاوية القائمة إنها تساوي 90 و عن الدائرية (التي تساوي أربع زوايا قوائم) أنها تساوي 360 و المستقيمة 180 و يرمز للدرجة بدائرة صغيرة فوق الرقم. و تتألف الدرجة من 60 دقيقة و الدقيقة من 60 ثانية و يرمز للدقيقة بخط فوق الرقم و للثانية بخطين فالزاوية هي 60 درجة و أربعين دقيقة و 35 ثانية.
الثاني: القياس القطري أو النصف قطري حيث تساوي فيه الزاوية القائمة حيث ط هي رمز لعدد ثابت هو 7/ 22 أو 4 أو 3 و الزاوية المستقيمة تساوي ط، و الدائرية 2 ط.
و القياس الأول هو المألوف و المتداول أما الثاني فيستعمل في حالات معينة كحساب طول جزء معين من قوس دائرة حيث أن:
طول القوس نصف قطر الدائرة الزاوية (بالقياس نصف القطري) التي تقابله و تحوّل الزوايا بالقياس الأول إلى الثاني و بالعكس كالآتي:
الزاوية المطلوبة بالقياس نصف القطري الزاوية المعيّنة بالدرجات/ 180 ط و الزاوية المطلوبة بالدرجات الزاوية بالنصف قطري/ ط 180 و هو كسابقه بعد ضرب الوسطين و الطرفين.
مسألة تطبيقية:
إذا كان التسامح في القبلة هو شبر إلى يمين موضع سجود المصلي و شبر
الرياضيات و الفقه، ص: 540
إلى يساره فكم يساوي هذا التسامح بقياس الزوايا أي الزاوية المسموحة لانحراف المصلي عن القبلة؟ (على تفصيل فقهي ليس هذا محله).
الحل: تقدر المسافة بين موقف المصلي و محل سجوده بمتر واحد أو 100 سم و هذا يمثل نصف قطر دائرة مركزها موقف المصلي و إحدى نقاطها موضع سجوده.
و يقدّر طول الشبر ب 22 سم و يمثل هذا طول القوس على محيط الدائرة. و هو مقدار التسامح.
طول القوس الزاوية بالقياس نصف قطري نصف قطر الدائرة.
22 ه 100 حيث ه مقدار زاوية التسامح.
ه قياس نصف قطري.
و لكي نحول الرقم إلى قياس الدرجات المألوف:
الزاوية بالدرجات ه/ ط 180 22، 0/ 14، 3 180 6، 12 أي أن الزاوية المسموحة لانحراف المصلي هي 6، 12 إلى اليمين و إلى اليسار و منه يعرف الصحيح من كلام الفقهاء حول الزاوية المسموحة لانحراف المصلي.
(22)- المساحات و الحجوم:
مساحة الدائرة نصف القطر نصف القطر النسبة الثابتة 7/ 22.
مساحة المستطيل الطول العرض.
مساحة المربع الضلع نفسه.
مساحة المثلث نصف طول القاعدة الارتفاع و ارتفاع المثلث هو طول الضلع النازل عموديا من رأس المثلث على قاعدته.
الرياضيات و الفقه، ص: 541
حجم الأسطوانة «1» مساحة القاعدة الدائرية الارتفاع نصف قطر القاعدة نفسه 7/ 22 الارتفاع حجم متوازي المستطيلات «2» مساحة القاعدة المستطيلة الارتفاع الطول العرض الارتفاع حجم المكعب «3» (طول الضلع) حجم الكرة 3/ 4 ط (نصف القطر)
مسألة:
حوض ماء قاعدته مستطيلة طولها 80 سم و عرضها 70 سم و ارتفاعه 80 سم، هل يبلغ ما فيه من ماء عند امتلائه كرا؟ خذ الكر 400 كغم.
الحل: مساحة القاعدة 80 70 5600 سم.
حجم الحوض مساحة القاعدة الارتفاع 5600 80 448000 سم.
بما أن كثافة الماء 1 غم/ سم.
وزن الماء في الحوض 448000 1 448000 غم.
أو 448000/ 1000 448 كغم و هو يزيد على الكر.
مسألة أخرى:
حوض ماء أسطواني الشكل طول قطر قاعدته 140 سم كم يجب أن يكون ارتفاع الماء فيه ليبلغ كرا؟
الحل: نصف قطر القاعدة القطر/ 2 140/ 2 70 سم.
حجم الحوض مساحة القاعدة الارتفاع.
الرياضيات و الفقه، ص: 542
نصف القطر نفسه 7/ 22 الارتفاع وزن الكر 400 كغم 400000 غم.
حجم الكر 40000/ 1 غم/ سم 3 400000 سم.
فالجسم معلوم و الارتفاع مجهول أي أن أي أن حوضا بهذا الشكل يكفي أن يصل الماء فيه إلى ارتفاع 97، 25 سم ليبلغ كرا.
) (23) الوحدات القياسية:
أولا: وحدات الطول:
تحويل الوحدات الإنجليزية إلى فرنسية
الرياضيات و الفقه، ص: 543
ثانيا: وحدات الوزن:
في النظام الفرنسى في النظام الإنجليزي تحويل النظام الإنجليزي إلى فرنسي ثالثا: وحدات الحجم:
رابعا: وحدات إسلامية «1» قديمة:
المثقال الصيرفي: 884، 4 غرام الحقة البقالية 3/ 31 حقة عطارية 944، 4557 غرام الحقة العطارية 280 مثقال صيرفي 365، 1 كغم و هي حقة إسلامبول و الحقة الصغيرة أما البقالية فهي الكبيرة.
الوزنة 24 حقة (بقالية أو عطارية) و الحقة 4 أواق
الرياضيات و الفقه، ص: 544
الصاع 9 رطل عراقي فالرطل العراقي 9/ 3 كغم 3/ 1 كغم 6 رطل مدني فالرطل المدني 6/ 3 2/ 1 كغم 5، 4 رطل مكي فالرطل المكي 5، 4/ 3 3/ 2 كغم الكر 1200 رطل عراقي 600 رطل مكي 800 رطل مدني 400 كغم الدينار مثقال شرعي 18 قيراط المثقال الصيرفي 24 قيراط فالدينار 4/ 3 المثال الصيرفي 4/ 3 884، 4 66، 3 غرام أما الدرهم فهو درهمان:
1- درهم كعملة و وزنة كالدينار 18 قيراط إلّا أنهما يختلفان في المعدن الذي يصنعان منه.
2- درهم كوزن 16 قيراط أي 3/ 2 من المثقال الصيرفي 256، 3 غرام الحبة 064، 0 غرام فالغرام 064، 0/ 1 63، 15 حبة.
تحليلات رقمية لبعض الأوزان الفقهية:
1- في منهاج الصالحين للسيد الخويي (1/ 22) «مقدار الكر وزنا بحقة الاسلامبول التي هي مائتان و ثمانون مثقالا صيرفيا (مائتان و اثنتان و تسعون حقة و نصف حقة) و بحسب وزنة النجف التي هي ثمانون حقة إسلامبول (ثلاث وزنات و نصف و ثلاث حقق و ثلاث أواق، و بالكيلو (ثلاثمائة و سبعة و سبعون كيلو تقريبا).
بحساب حقة إسلامبول: 5، 292 حقة 280 مثقال صيرفي لكل حقة 884، 4 غرام لكل مثقال صيرفي 1000 لتحويل الناتج إلى كيلو غرام مباشرة 9996، 399 كغم أي 400 كغم.
بحساب حقة النجف: الوزنة البقالية 24 حقة بقالية
الرياضيات و الفقه، ص: 545
الحقة البقالية 3/ 31 حقة عطارية فالوزنة البقالية 24 3/ 31 80 حقة عطارية أو إسلامبول.
فوزن الكر 5، 3 وزنة 80 حقة عطارية لكل وزنة+ 3 حقق 3/ 1 3 لتحويلها إلى حقة عطارية+ 4/ 3 (حيث 3 أواق 4/ 3 حقة) 3/ 1 3 بتحويلها إلى حقة عطارية 280+ 10+ 5، 2 5، 292 حقة عطارية و هو نفس الحساب السابق بحقة إسلامبول الذي يؤدي إلى أن وزن الكر 400 كغم.
و منه يتضح الخطأ في ما يليه من الكلام من أن الكر 377 كغم.
2- و في نصاب زكاة الغلات قال السيد الخويي في منهاج الصالحين (1/ 325) «و هو بوزن النجف- في زماننا هذا- ثمان وزنات و خمس حقق و نصف إلّا ثمانية و خمسين مثقالا و ثلث مثقال، و الوزنة أربع و عشرون حقة، و الحقة ثلاث حقق إسلامبول و ثلث و بوزن الإسلامبول سبع و عشرون وزنة و عشر حقق و خمسة و ثلاثون مثقالا صيرفيا، و الوزنة أربع و عشرون حقة و الحقة مائتان و ثمانون مثقالا صيرفيا، و بوزن الكيلو يكون النصاب ثمانمائة و سبعة و أربعين كيلو تقريبا» إلخ.
بحساب حقة النجف: النصاب 8 وزنة 24 حقة لكل وزنة 3/ 1 3 لتحويل الحقة البقالية إلى عطارية 280 مثقال لكل حقة عطارية+ 5، 5 حقة 3/ 1 3 280 مثقال لكل حقة عطارية- 3/ 1 58 179200+ 3/ 1 5133- 3/ 1 58.
184275 مثقال صيرفي 884، 4 غرام لكل مثقال 1000 لتحويل الناتج إلى كغم 26، 899 كغم أو 900 كغم بحساب حقة الإسلامبول 27 وزنة 24 حقة لكل وزنة 280 مثقال لكل حقة+ 10 حقة 280 مثقال لكل حقة+ 35 184275
الرياضيات و الفقه، ص: 546
مثقال صيرفي و هو نفس الرقم السابق. و بطريق آخر لحساب النصاب نقول إن النصاب هو خمسة أوسق و الوسق 60 صاعا و الصاع 3 كغم.
النصاب 5 60 3 900 كغم و لا يصح ما ذكر بعدئذ أنه بحساب الكيلو 847 كغم.
3- و في زكاة الفطرة قال (1/ 342) المقدار الواجب صاع و هو ستمائة و أربعة عشر مثقالا صيرفيا و ربع مثقال و بحسب حقة النجف يكون نصف حقة و نصف وقية و واحدا و ثلاثين مثقالا إلّا مقدار حمصتين و إن دفع ثلثي حقة زاد مقدار مثاقيل و بحسب حقة الإسلامبول حقتان و ثلاثة أرباع الوقية و مثقالان إلا ربع مثقال» إلخ.
قد علمنا أن الصاع 3 كغم تقريبا. حيث الصاع 25، 614 مثقال صيرفي 884، 4 غرام لكل مثقال فالصاع 3 كغم.
بحساب حقة النجف، زكاة الفطرة 2/ 1 حقة 3/ 1 3 لتحويلها إلى حقة عطارية 280 مثقال لكل حقة عطارية+ 2/ 1 وقية 3/ 1 3 لتحويلها إلى وقية عطارية 70 مثقال لكل وقية عطارية+ 31 مثقال 66، 466+ 66، 116+ 31 32، 614 صيرفي و هو نفس الرقم السابق بزيادة مقدار ضئيل هو 32، 0- 25، 0 07، 0 مثقال أو 07، 0 884، 4 342، 0 غرام و هو مقدار حمصتين.
ثلثا حقة بحساب حقة النجف 3/ 2 3/ 1 3 280 22، 622 و هي تزيد بسبعة مثاقيل عن المقدار الأصلي.
بحساب حقة إسلامبول 2 حقة 280 مثقال لكل حقة+ 3/ 4 وقية 70 مثقال لكل وقية+ 75، 1 مثقال 560+ 5، 52+ 75، 1 25، 614 مثقال صيرفي.
(24) طرق ثلاث لحساب القسامات الشرعية:
الطريقة الأولى:
بالتعامل مع رأس المال مباشرة فنعطي أولا لأهل الفروض الذين
الرياضيات و الفقه، ص: 547
يستحقون من رأس المال الأصلي ثم نبدأ بتوزيع المتبقي على الذين يأخذون حصصهم من الباقي.
و هذه الطريقة هي الأبسط إلّا أن نتائجها خاصة فنحتاج إلى إجراء تقسيم في كل مال جديد.
الطريقة الثانية:
و هي المتبعة في كتب الفقه حيث يعامل جميع الورثة مباشرة في قسام شرعي واحد و تعدّل مقامات الكسور كلما احتجنا إلى مضاعفة بسبب حصص الورثة التي لا تنقسم و هي أشمل الطرق و أعمها إلّا أنها قد تكون صعبة أحيانا في بعض القسامات المعقدة كما أن فيها جهدا لا مبرر له في التعامل مع ذوي الفروض الثابتة من أصل المال.
الطريقة الثالثة:
و هي بحسب فهمي القاصر تجمع حسنات الثانية من حيث الشمولية و الأولى من حيث التجزئة و ليس فيها عيب الأولى و الثانية و ذلك بتجزية القسام حيث تعزل ابتداء نسب ذوي الفروض الثابتة من أصل المال ثم يصنع قسام للورثة الذين يأخذون الباقي بالقرابة و يضرب هذا القسام بحصتهم الكلية من القسام الأصلي و تضاعف مقامات ذوي الفروض الثابتة لتوحيد المقامات و سنوضح الطرق الثلاث من خلال مثال مشترك إن شاء اللَّه تعالى.
مسألة: توفي شخص و ترك زوجة و أبوين و خمسة ذكور و ثلاث إناث و كانت التركة 24 ألف دينار
الطريقة الأولى:
للزوجة الثمن أي 8/ 24 3 آلاف دينار و لكل من الأبوين السدس أي 6/ 1 24 4 آلاف دينار لكل منهما فالمتبقي ثلاثة عشر ألف دينار يقسم على الباقي و هم خمسة ذكور بعشرة أسهم و ثلاث إناث
الرياضيات و الفقه، ص: 548
بثلاثة أسهم فالمجموع ثلاثة عشر سهما و المبلغ ثلاثة عشر ألف دينار فالسهم ألف دينار لكل ذكر سهمان أي ألفا دينار و لكل أنثى سهم واحد أي ألف دينار.
الطريقة الثانية «1»:
فحصة كل شخص هي سهمه في القسام 24 ألف فللزوجة 24/ 3 24 3 آلاف دينار و لكل من الأبوين 24/ 4 24 4 آلاف دينار و لكل ذكر 24/ 2 24 ألفا دينار و لكل أنثى 24/ 1 24 ألف دينار.
الطريقة الثالثة:
قسام الذرية هو للزوجة و لكلا من الأبوين 6/ 1 فمجموع حصصهم و الباقي.
فالقسام للذرية يكون و بعد توحيد المقامات للزوجة و الأبوين يكون القسام النهائي:
الرياضيات و الفقه، ص: 549
و قد لا تتميز الخصائص التي ذكرناها للطرق الثلاث في المثال المذكور لكن كثرة التطبيقات خصوصا في ورثة الدرجتين الثانية و الثالثة كفيلة بإيضاحها.
(25) اللوغاريتمات:
لوغاريتم أي عدد لأساس معين هو العدد الذي لو جعلته أسا لذلك الأساس لنتج العدد الأصلي مثلا لوغاريتم 16 للأساس 4 2 لأن الأساس 4 لو رفع للأس 2 لكان الناتج 16 و يكتب هكذا لو 4 16 2.
و الأساس المألوف في عملية اللوغاريتمات هو 10 حيث اتفق عليه و يتبادر إليه الذهن إذا لم يذكر الأساس لذلك فإن لو 100 2 حيث أن الأساس هو 10 و أن 10 أس أو 10 100.
و من تطبيقات عملية اللوغاريتمات إيجاد الجذور التربيعية و التكعيبية و غيرها للأعداد و يستعمل لحل مسائل الربح المركب التي ستأتي إن شاء اللَّه تعالى. و يمكن معرفة لوغاريتم أي عدد باستعمال الحاسبات الألكترونية المتداولة حاليا أو باستعمال جداول خاصة معدّة لهذا الغرض.
من خواص اللوغاريتمات: 1- أن لوغاريتم عددين مضروبين يساوي لوغاريتم الأول+ لوغاريتم الثاني مثلا لو 5 6 لو 5+ لو 6 و العكس بالعكس.
2- لوغاريتم عدد مقسوم على عدد يساوي لوغاريتم الأول- لوغاريتم الثاني أي لو 3/ 12 لو 12- لو 3 و العكس بالعكس.
3- لوغاريتم عدد مرفوع لأس يساوي الأس مضروبا في اللوغاريتم.
أي لو 6 5 لو 6.
4- إذا تساوى عددان تساوى لوغاريتماهما.
مثال: ما هو الجذر التربيعي للعدد 57.
ليكن الجذر التربيعي س
الرياضيات و الفقه، ص: 550
لو س لو 57 (خاصية 4).
2 لو س لو 57 (خاصية 3).
من الجداول لو 57 756، 1.
لو س 756، 1 لو س 756 و 1/ 2 878،. من الجداول المقابلة للوغاريتمات فإن العدد الذي لوغاريتمه 878،. هو 55، 7 و هو جذر 57.
و تحقيقه 55، 7 55، 7 57
(26) الربح البسيط و المركب:
الربح البسيط هو الربح الذي يشكل نسبة مئوية من المبلغ الأصلي مثلا، 10 أو 20 حيث يمكن إيجاده بسهولة بضرب النسبة في المبلغ فتحصل على الربح. أما الربح المركب فهو الذي تتضاعف نسبته مع مرور الزمن و إنما يسمى ربحا مركبا لأن نسبة الزيادة تكون من المبلغ الجديد لا من أصل المبلغ فإذا كان المبلغ في بداية الاستثمار ألف دينار و نسبة الزيادة 20 فسيصبح في نهاية السنة 1000+ 100/ 20 1000 1200 و في نهاية السنة الثانية 1200+ 100/ 20 1200 1440 و هكذا تتركب الزيادة بينما في الربح البسيط تحسب عدد السنوات و تضرب في نسبة الربح فالمبلغ أعلاه يصبح بعد السنتين 1000+ 2 100/ 20 1000 1400.
مثال: مال يربح 20 في استثمار عن طريق المضاربة (أي له الخمس) كم سيصبح بعد 10 سنين؟ حيث يمكن إيجاده بأن نضيف نسبة الربح إلى أصل المال و نرفعه لأس بقدر عدد السنين ففي المثال يصبح المبلغ: (1+ 2 و.) 10 أي (2، 1) 10 و تحل مثل هذه المسائل بعدة طرق منها اللوغاريتمات:
حيث نفرض أن س (2، 1) 10.
الرياضيات و الفقه، ص: 551
من الجداول المقابلة للوغاريتمات نجد أن العدد الذي لوغاريتمه 792 و 0 هو 19، 6 أي أن س 19، 6 يتضاعف المبلغ بعد 10 سنين 19، 6 مرة أي ست مرات و خمس بينما في الربح البسيط أي الذي يعطي نسبة ثابتة من رأس المال الأصلي يكون المبلغ مع الربح بعد 10 سنين 1+ 10 100/ 20 3 أي يتضاعف 3 مرات.
مثال آخر:
إذا كان معدل نمو الاستثمار في العقارات هو 16 فبعد كم سنة تتضاعف قيمة العقار؟
الحل: نفرض عدد السنين س و يفترض أن المبلغ يتضاعف بعد س من السنين أي يصبح مرتين بقدر المبلغ الأصلي أي:
أي أن من يستثمر مبلغا في شراء عقار فإن المبلغ يصبح ضعفه بعد أربع سنوات و ثلثي السنة بنسبة الزيادة المفترضة.
(27) المتواليات العددية:
المتوالية العددية هي سلسلة من الأعداد يكون الفرق بين كل عدد و الذي يليه أو يسبقه ثابتا و يسمى هذا الفرق أساس المتوالية.
الرياضيات و الفقه، ص: 552
و الأركان الرئيسية في المتواليات العددية هي أساس المتوالية و أول عدد فيها و عدد عناصرها، فإذا كان العدد الأول فيها هو أ و أن أساسها هو ر و عدد عناصرها ن فإن أي عدد في المتوالية تسلسله ن و يسمى الحد النوني يمكن معرفته حيث يساوي أ+ (ن- 1) ر ففي المتوالية (2، 6، 10، 14، 18، 00) الحد الأول 2 و أساسها (ر) و هو الفرق بين عددين متتاليين).
6- 2 4 فالحد الخامس مثلا أ+ (ن- 1) ر 2+ (5- 1) 4 18 و يمكن التأكد منه بمتابعة المتوالية أعلاه.
و مجموع حدود أية متتالية عددية يساوي الحد الأول+ الحد الأخير/ 2 عدد حدود المتتالية و لما كان الحد الأول أ و الحد الأخير أو النوني أ+ (ن- 1) ر مجموع حدود أية متوالية أ+ أ+ (ن- 1) ر/ 2 ن ن/ 2 [2 أ+ (ن- 1) ر] و في الفقه يمثل النصاب الثاني لزكاة النقدين متتالية عددية حدها الأول في الذهب عشرون دينارا و أساسها 4 دنانير و في الفضة حدها الأول مئتا درهم و أساسها 40 درهما و كذلك فإن فريضتي الزكاة تمثل متتالية عددية حدها الأول في الذهب نصف دينار و أساسها عشرة دنانير و في الفضة حدها الأول خمسة دراهم و أساسها درهم واحد.
مثال: شخص يملك 100 دينار من الذهب كم زكاته؟
الحل: يمكن إجراء الحساب بطريقة غير المتتاليات «1» و هي هنا أبسط إلّا أنه يبقى الفن و زيادة المعرفة في استعمال طريقة المتتاليات.
الرياضيات و الفقه، ص: 553
و نجري حساب المتتاليات على مرحلتين:
الأولى: نجد منها (ن) بتطبيق المتوالية على النصاب.
ح ن (الحد النوني) أ+ (ن- 1) ر الثانية: استعمال ن التي عرفناها الآن لنجد الفريضة للحد النوني
(28) الشغل:
في وسائل الشيعة «1» عن أبي شعيب المحاملي الرفاعي (قال: سألت أبا عبد اللَّه (يعني الإمام الصادق (ع)) عن رجل أقنع رجلا «2» حفر بئر عشر قامات بعشرة دراهم فحفر قامة ثم عجز، فقال: تقسم عشرة على خمسة و خمسين جزءا، فما أصاب واحدا فهو للقامة الأولى، و الاثنان للثانية، و الثلاثة للثالثة، و على هذا الحساب إلى العشرة.
و هذا هو مفهوم الشغل في الفيزياء الذي يعني الجهد المبذول لإنجاز عمل و يتوقف على شيئين القوة المبذولة و مسافة العمل فلو استعملت قوة معينة لرفع ثقل إلى مسافة معينة أيضا فالشغل أو الجهد المصروف يساوي القوة المسافة و منه نعلم أنه كلما زادت القوة المصروفة لإنجاز العمل أو زادت المسافة المقطوعة فإن الشغل سيزداد و العكس بالعكس.
ففي المسألة التي أجاب عنها الإمام الصادق (ع) يحتاج الإنسان لرفع كغم من التراب مسافة متر واحد إلى 1 كغم متر و إلى مسافة مترين 2
الرياضيات و الفقه، ص: 554
كغم متر و هكذا تزيد كلما زاد عمق الحفر، فالأجير في المسألة أعلاه يحتاج إلى زيادة جهده كلما زاد عمق الحفر حيث يحتاج إلى شغل مقداره وحدة واحدة في القامة الأولى و وحدتين في الثانية حيث تضاعفت المسافة و ثلاث وحدات في الثالثة إلخ هذا مع فرض بقاء مساحة مقطع الحفر ثابتة.
فيكون مجموع الوحدات المصروفة لإكمال الحفر 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10 55 وحدة تتوزع عليها الأجرة أي 55/ 10 و هذا المقدار هو أجرة حفر قامة واحدة و تكون أجرة حفر قامتين 2 55/ 10 55/ 20 و ثلاث قامات 3 55/ 10 55/ 30.
و يمكن استعمال طريقة المتواليات العددية لجمع وحدات الشغل المصروفة: حيث تشكل الأرقام 1، 2، 00003، 10 متوالية عددية أساسها ر (1) و الحد الأول أ (1) و الحد الأخير 10، و عدد حدود المتوالية ن 10.
مجموع حدود متتالية عددية 2/ ن (أ+ ل ن) حيث ل ن الحد النوني أو الحد الأخير هنا في المسألة أ+ (ن- 1) ر مجموع حدود المتتالية 2/ 10 (1+ 1+ (10- 1) 1) 2/ 10 (2+ 9) 5 11 55 وحدة
(29) الاستبدال و التركيب:
يرد حساب الاحتمالات في الفقه في كتاب الإرث حيث يصار إليه كمحاولة لمعرفة عدد الصور المحتملة لاجتماع الورثة في جميع الطبقات و هناك عمليتان رياضيتان لحساب الاحتمالات.
(بسم الله الرحمن الرحيم) هناك عمليتان رياضيتان لحساب الاحتمالات و هما
الرياضيات و الفقه، ص: 555
1- الاستبدال Permutation و تحسب عدد الاحتمالات عند ما يراد أخذ ترتيب العناصر بنظر الاعتبار فمثلا (1، 2) و (2، 1) يعتبر اجتماعهما احتمالان منفصلان و مثالهما العملي عند ما يراد حساب احتمالات تشكيل كلمة ذات حرفين من خمسة حروف فيقال 5 استبدال 2 و فيها (أ ب) ليس ك (ب أ) فهما احتمالان منفصلان.
2- التركيب Combination و «1» و تحسب عدد الاحتمالات عند ما لا يكون ترتيب العناصر مطلوبا و مثالها موضوع الإرث الذي نحن بصدده فإن احتمال أن يكون الوريث زوجا و ابنا كاحتمال أن يكون ابنا و زوجا فهما احتمال واحد.
و لكل من العمليتين قانونان أحدهما يدخل العناصر المكررة كاحتمال كما في مثال الحروف و الكلمات السابق فإن من الاحتمالات الواردة (أ ب أ) في عملية 5، استبدال 3، و الآخر عند ما لا تدخل كما في موضوعنا حيث لا يسمح بتكرار العنصر فعندما يكون الورثة ثلاثة عناوين فلا نتوقع أن يتكرر بينها عنوان كاحتمال (زوج، أب، أب) على تفصيل سيأتي إن شاء اللَّه تعالى.
و يمكن لمن يريد إجراء العملية أن يطبق القانون الموضوع لها، أما العملية المستعملة في موضوعنا هنا فهي عملية التركيب في حالة رفض تكرار أي عنصر و قانونها:
و تقرأ ن تركيب ك و سنفهم مما يأتي إن شاء اللَّه تعالى تفصيلا أكثر حيث:
ن عدد العناصر أو العناوين الكلية.
ك عدد العناصر في كل احتمال.
! عملية رياضية تسمى المفكوك فمثلا 5! مفكوك 5 و يساوي 1 2 3 4 5 و هكذا.
----------
«1» كتبنا المصطلح الانجليزي لأنه هو الأصل أما الترجمة فيمكن الاختلاف فيها.
الرياضيات و الفقه، ص: 556
و هناك حاسبات تستطيع إجراء عملية التركيب مباشرة و هو ما استعملناه في هذا البحث.
حساب توافيق الطبقة الأولى:
نحصر أولا عدد العناوين الرئيسية للإرث في هذه الطبقة و هي:
1- الزوج.
2- الزوجة.
3- الأب.
4- الأم.
5- أولاد (ذكور و إناث).
6- بنت منفردة.
7- بنات متعددة (اثنتان أو أكثر).
و إنما عزلنا العنوانين الأخيرين لأنها تمثل فروضا مستقلة.
و ما عدا هذه العناوين فهي متضمنة فيها و تبقى العملية حسابية بحتة كاختلاف عدد الأولاد أو عدد الزوجات.
و يمكن أن يكون الوريث واحدا من هذه العناوين أو اثنين أو ثلاثة أو أربعة و لا يمكن أن يكون أكثر من ذلك لأن العنوانين (1، 2) لا يجتمعان معا و العناوين (5، 6، 7) لا يجتمع أي منها مع الآخر.
فالمجموع الكلي للعناصر أي العناوين هنا (7) فعند ما نحسب احتمال أن يكون الوريث واحدا من هذه العناوين نقول 7 تركيب (1) و إذا أردنا حساب احتمالات أن يكون الوريث اثنين نقول 7 تركيب 2 و هكذا، و عليه فسيكون عدد توافيق الطبقة الأولى كالآتي:
7 تركيب 1 7 أي أن الوريث واحد من العناوين فقط.
7 تركيب 2 21 أي أن الوريث اثنان من العناوين يجتمعان معا.
7 تركيب 3 35 أي أن الوريث ثلاثة من العناوين تجتمع معا.
7 تركيب 4 35 أي أن الوريث أربعة من العناوين تجتمع معا.
و المجموع 98
الرياضيات و الفقه، ص: 557
لكن يجب أن ننتبه إلى مسألة خارجة عن الرياضيات و هي أن العنوانين (1، 2) أي الزوج و الزوجة لا يجتمعان معا و كذلك العناوين (5، 6، 7) أي الذرية فهم إما ذكور أو إناث مجتمعين أو بنت منفردة أو بنات متعددة و لا يمكن اجتماع أي عنوان مع الآخر فيجب استثناء مثل هذه الاحتمالات من عدد التوافق كالآتي:
1- في حالة أن الوريث واحد فقط لا يوجد أي استثناء حيث يمكن لأي من العناوين السابقة أن يكون وريثا لوحدة.
2- في حالة أن الوريث اثنان من العناوين تستثنى أربع صور و هي (1، 2)، (5 و 6)، (5، 7)، (6، 7) (الأرقام تمثل تسلسل العناوين حسبما حصرناها سابقا).
فيبقى عدد توافيق هذه الحالة أي (7) تركيب 2 21- 4 17.
3- في حالة أن الوريث ثلاثة من هذه العناوين تستثنى (18) صورة و هي:
(1، 2، 3) (1، 2، 4) (1، 2، 5) (1، 2، 6) (1، 2، 7) (5، 6، 1) (5، 6، 2) (5، 6، 3) (5، 6، 4) (5، 6، 7) (5، 7، 1) (5، 7، 2) (5، 7، 3) (5، 7، 4) (6، 7، 1) (6، 7، 2) (6، 7، 3) (6، 7، 4) فيبقى عدد توافيق هذه الحالة 35- 18 17.
4- في حالة أن الوريث أربعة من هذه العناوين تستثنى (29) صورة و تبقى (6) صور محتملة فقهيا و نظريا نذكر المتبقية اختصارا و هي:
(1، 3، 4، 5) (1، 3، 4، 6) (1، 3، 4، 7) (2، 3، 4، 5) (2، 3، 4، 6) (2، 3، 4، 7) فمجموع توافيق الطبقة الأولى 7+ 17+ 17+ 6 47 صورة.
حساب توافيق الطبقة الثانية:
يمكن حصر عناوين الطبقة الثانية بما يلي
الرياضيات و الفقه، ص: 558
1- زوج.
2- زوجة.
3- أخ أو أخوة أشقاء أو لأب.
4- أخ منفرد لأم.
5- أخوة متعددون لأم (اثنان فأكثر).
6- أخت واحدة.
7- أخوات متعددة (اثنتان فأكثر).
8- أخوة و أخوات.
9- جد لأب.
10- جدة لأب.
11- جد أو جدة لأم.
12- أجداد لأب من الطبقة الثانية، و يفترض أنهم كالطبقة الأولى و إنما فصلناهم بعنوان مستقل لأنهم يعاملون مباشرة كالإخوة في حالة اجتماعهم معهم).
و لم ندخل الأجداد من الطبقات الأخرى و لا فصلنا الطبقة الأولى لأن الجميع يتقاسمون بالتساوي فالمسألة حسابية بحتة.
فمجموع التوافق في ضوء ما مر كما يلي:
12 تركيب 1 12 12 تركيب 2 66 12 تركيب 3 220 12 تركيب 4 495 12 تركيب 5 792 12 تركيب 6 924 12 تركيب 7 792 12 تركيب 8 495 12 تركيب 9 220 12 تركيب 10 66
الرياضيات و الفقه، ص: 559
12 تركيب 11 12 12 تركيب 12 1 المجموع 4095 صورة و إذا أهملنا أحد العنوانين (1، 2 لأنه كالآخر و لا يجتمعان معا و اختلافهم في الفرض فقط و كذا إذا أهملنا العنوان 11 لأنه كالعنوانين 4 أو 5 بقي عدد العناوين (10) و يكون عدد التوافق كالآتي:
العناوين المتبقية 10 تركيب 1 10 1- زوج أو زوجة.
10 تركيب 2 45 2- أخ أو أخوة أشقاء أو لأب (ذكور و إناث) 10 تركيب 3 120 3- أخت شقيقة أو لأب منفردة.
10 تركيب 4 210 4- أخت متعددة لأب (اثنتان فأكثر).
10 تركيب 5 252 5- أخ منفرد لأم.
10 تركيب 6 210 6- أخوة متعددون لأم.
10 تركيب 7 120 7- جد لأب.
10 تركيب 8 45 8- جدة لأب.
10 تركيب 9 10 9- جد أو جدة لأم.
10 تركيب 10 1 10- أجداد لأب من الطبقة الثانية.
و المجموع (1023) صورة و تستثنى منها صور كثيرة مثلا:
(1) في 10 تركيب (1) أي عند ما يكون الوريث واحدا من العناوين فقط لا يستثنى شي ء فيمكن لأي عنوان أن يكون وريثا لوحدة.
(2) في (10) تركيب (2) تستثنى (10) صور اجتماع (2، 3)، (2، 4)، (3، 4)، (3، 7)، (3، 8) (3، 10) (5، 6) (5، 9) (7، 10) (8، 10).
الرياضيات و الفقه، ص: 560
(3) في 10 تركيب 3 تستثنى صور كثيرة و هي أية صور تضم 10 تركيب 2 المستثناة حيث تسبب كل صورة مستثناة هناك 8 صور مستثناة هنا فمثلا (2، 3) تسبب استثناء (2، 3، 1) (2، 3، 4) (2، 3، 5) (2، 3، 6) (2، 3، 7) (2، 3، 8) (2، 3، 9) (2، 3، 10) فمجموع الصور المستثناة هنا بسبب (10) تركيب (2) 8 10 80 صورة و المتبقي 120- 80 40 صورة في (10) تركيب 3.
(4) في حالة (10) تركيب 4 تسبب: (2، 3) 28 استثناء و (2، 4) 27 استثناء و هكذا تسبب الاستثناءات العشرة في 10 تركيب 2 (235) استثناء هنا.
و لو أردنا الدخول في التفاصيل لطال ذكرها و شرحها و يكفي ما ذكرناه في إعطاء فكرة عن وتيرة الاحتمالات و عن تعقيد المسألة و دقتها.
حساب توافيق الطبقة الثالثة:
العناوين الرئيسية:
1- زوج أو زوجة.
2- عم أو أعمام أشقاء أو لأب.
3- عم لأم منفرد.
4- عم لأم متعدد.
5- خال أو أخوال أشقاء أو لأب.
6- خال لأم منفرد.
7- خال لأم متعدد.
و يكون حساب توافيقها كالآتي:
7 تركيب 1 7 7 تركيب 2 21 7 تركيب 3 35 7 تركيب 4 35
الرياضيات و الفقه، ص: 561
7 تركيب 5 21 و مجموعها 119 صورة.
أما أن يكون الوريث ستة أو سبعة من هذه العناوين مجتمعين فهو غير وارد لأن العنوان 3 لا يجتمع مع (4) و أن (6) لا يجتمع مع (7)، أما الاستثناءات فهي كما يلي:
1- لا يستثنى من 7 تركيب (1) شي ء.
2- يستثنى من 7 تركيب (2) صورتان هما (3، 4)، (6، 7).
3- يستثنى من 7 تركيب (3) (10) صور هي:
(4) يستثنى من 7 تركيب 4 (19) صورة هي:
(5) يستثنى من 7 تركيب 5 (17) صورة هي:
فمجموع الاستثناءات 2+ 10+ 19+ 17 48.
و المتبقي من عدد التوافق 119- 48 71 صورة.
و يمكن أن نختصر العملية باختصار عدد العناوين كالآتي:
1- زوج أو زوجة.
الرياضيات و الفقه، ص: 562
2- أعمام أشقاء أو لأب.
3- أعمام لأم.
4- خال أو أخوال أشقاء أو لأب.
5- خال أو أخوال لأم.
حيث يمكن التعامل مع العم أو الخال المنفرد أو المتعدد حسابيا في المسألة نفسها.
5 تركيب 1 5 5 تركيب 2 10 5 تركيب 3 10 5 تركيب 4 5 5 تركيب 5 1 المجموع 31 صورة و لا يوجد أي استثناء فيها، و سنحاول عمل جدول يبين الاحتمالات كلها مع تفصيل المسألة الإرثية لكل احتمال كمحاولة لربط العمليات الرياضية بالواقع.
الرياضيات و الفقه، ص: 564
نتائج:
1- إن طريقة حساب أو حصر الصور الإرثية رياضيا تحتاج من الجهد في حصر العناوين و استثناء الاحتمالات غير الواردة فقهيا الشي ء الكثير.
2- إن الطريقة الأفضل لحساب الميراث و عرض توافيقه هي ما أتبعها المؤلف من ذكر فروض و سهام كل طبقة بتفاصيل احتمالاتها الرئيسية مع ذكر أمثلة تغطي هذه التفاصيل و تنوف عليها حيث لا أظن أن حالة تشذ عنها فقهيا و إنما تبقى المسألة حسابية بحتة كتقسيم فرض الزوجة على عدد الزوجات أو تقسيم الحصص على عدد الذريّة ذكورا و إناثا مهما اختلفوا أو على الأجداد و الأخوة و هكذا و هو شي ء لا يستحق المبالغة في حساب التوافق و استثناءاتها.
(30) الرسم البياني للعلاقة بين المتغيرات «1»:
لمعرفة شكل العلاقة بين متغيرين يرسم شكل بياني يتألف من خطين متعامدين يمتد أحدهما إلى اليمين من نقطة التقاطع و الآخر إلى الأعلى و يقسم كلاهما بتقسيمات متساوية مثلا كل سنتمتر واحد يمثل جزءا معينا من المتغير و نعين تقسيمات أحد المتغيرين على الخط الأفقي و الآخر على العمودي ثم نبدأ بتعيين النقاط على المربع المتكون من تقاطع الخطين و تتألف كل نقطة من رقمين أحدهما و هو الأول يمثل مقدارها على الخط الأفقي أي مقدارها من المتغير على الخط الأفقي و الثاني يمثل مقدارها من المتغير على الخط العمودي فالمرحلة الأولى أذن هي في عمل جدول لبعض
الرياضيات و الفقه، ص: 565
أرقام مختارة من المتغيّر الأول و كتابة ما يقابلها من المتغير الثاني و من ثم تأليف نقاط كل نقطة فيها واحد من المتغير الأول و مقابلة من الثاني و كيفية تعيين النقاط يتم بأن نسير على الخط الأفقي بمقدار المتغير الأول ثم نصعد إلى الأعلى بمقدار المتغير الثاني و نعين النقطة.
و لهذه الأشكال البيانية ثمرات متعددة:
1- معرفة نوع العلاقة بين متغيرين هل هي طردية أو عكسية أو ثابتة و معدل تغير العلاقة فإذا كانت العلاقة متجهة هكذا فهي طردية و إذا كانت هكذا فهي عكسية و إذا كانت هكذا فهي ثابتة و كلما كان شكل العلاقة مقتربا للعمود فالتغير كبير لذا فإن تغير العلاقة هو أكثر من تغيّر العلاقة و لنقل كلما اقتربت زاوية الميل لشكل العلاقة نحو 90 كان الاطراد في العلاقة أكبر.
2- معرفة أرقام جديدة بالاستفادة من الشكل الناتج بإسقاط المتغيّر المعلوم على الشكل و قراءة ما يقابله من المتغير الثاني كما توضح حركة الأسهم في الشكل المجاور و هذه النقاط المستخرجة من الشكل قد يصعب إيجادها بالطرق الاعتيادية أو أننا نعلم عددا من المعلومات و نريد معلومات أخرى فنرسم شكلا بيانيا للنقاط المعلومة و نستخرج المعلومات الأخرى من الشكل نفسه.
و يلاحظ هنا أن النقاط إذا ترتبت بشكل مستقيم أيا كان وضعه مارا بنقطة تقاطع المحورين فمعنى ذلك أن المتغير الثاني يساوي نسبة ثابتة مع الأول كالربع و الثلث و النصف و غيرها إلّا إذا كان وضعه أفقيا تماما فمعنى ذلك أن العلاقة ثابتة أو أن الثاني لا يتغير بتغير الأول. أما إذا كان شكل العلاقة منحنيا فلا يمكن أن يكون أحد المتغيرين نسبة من الآخر و منه نفهم التهافت فيما نقل عن أحد الفقهاء أن طول الفجر يساوي عشر طول الليل أو سبعة حيث أن العلاقة بين طول الفجر و الليل على شكل منحن كما أن
الرياضيات و الفقه، ص: 566
الفجر لو كان نسبة من الليل لطال بطوله و قصر بقصره و هذا غير موجود- كما سيأتي إن شاء اللَّه تعالى. حيث أن الفجر لا يتغيّر طرديا، و لا عكسيا لا مع الليل و لا مع النهار و قد أجرينا التحليل الإحصائي التالي و رسمنا المخططات المرافقة فوجدنا أن الفجر يتغير طرديا مع الفرق بين الليل و النهار لكن هذه العلاقة الطردية تختلف شدة و ضعفا تبعا لنوع الفصل من فصول السنة الأربعة، فأطول فجر هو يوم (21، 6) و فيه أطول فرق بين الليل و النهار (5 ساعات) و أقصر فجر عند تساوي الليل و النهار أي أن الفرق بينهما يساوي صفرا (راجع جدول رقم 1). و أن العلاقة بين طول الفجر و الفرق بين الليل و النهار على شكل منحن فلا يمكن أن يكون الفجر بنسبة ثابتة من هذا الفرق كالنصف أن الثلث و يلاحظ أيضا أن تغير الفجر يكون بشكل حاد في فصلي الربيع و الصيف و بشكل بطي ء نسبيا في فصلي الشتاء و الخريف (راجع المخطط 1) إلّا أنه تحدث زيادة في الفجر في فصل الربيع و الخريف و نقصان في فصلي الشتاء و الصيف مع اختلاف في مقداريهما.
و قد اخترنا لإجراء هذا التحليل بدايات الشهور و تواريخ تغيّر الليل و النهار كنقاط مختارة معتمدين في تحديد مواقيت الصلاة على كتيب صغير أعد لهذا الغرض بالاستعانة بساعة إلكترونية تغطي هذه المواقيت حسب موقع البلد من الكرة الأرضية و رغم أن الوثوق لم يحصل مئة بالمئة بنتائج هذه الساعة إلّا أنها قريبة جدا من الواقع و لا يؤثر الفرق على نتائج هذا البحث.
الرياضيات و الفقه، ص: 567
المخطط رقم (1) تغيّر طول الفجر خلال أشهر السنة:
أشهر السنة و يلاحظ هنا:
1- عند ما نبدأ بالرسم نختار تقسيمات متساوية و يمكن للورقة أن
الرياضيات و الفقه، ص: 568
تستوعب جميع النقاط من خلالها و قد اخترنا هنا كل سنتمتر واحد يمثل شهرا في الخط الأفقي و أربع دقائق في الخط العمودي و يمكن تقدير الأرقام التي تكون أجزاء من السنت متر.
2- يمرر المنحني أو شكل العلاقة على جميع النقاط إن أمكن لكن لا بتعسف بل بانسيابية و أن لا يحتوي الشكل على رؤوس مدببة تجنبا المرور بنقطة 21، 6.
3- إذا لم يمكن ضم جميع النقاط في المنحني فيجب تخيل أفضل منحني يضم أكثر النقاط أو أن تتوزع النقاط حوله بالتساوي أو بشكل تقريبي (كما في المخطط رقم 2).
و في المخطط رقم (2) نلاحظ أن شذوذ بعض النقاط هو بسبب جمع فصول السنة في مخطط واحد دون الأخذ بنظر الاعتبار أن التزايد و التناقض يختلف في حدته بين الفصول حيث أن تغير الفجر يكون بشكل حاد في فصلي الربيع و الصيف و بشكل بطي ء نسبيا في فصلي الشتاء و الخريف إلّا أنه تحدث زيادة في الفجر في فصلي الربيع و الخريف و نقصان في فصلي الشتاء و الصيف مع اختلاف في مقداريهما و هذا ما توضحه تفاصيل المخطط (2) و المنحني المرسوم في المخطط هو إشارة إجمالية لنوع العلاقة و لا يمثل العلاقة الفعلية التفصيلية.
و عند ما جزأت فصول السنة كما هو مبين في الأشكال أ، ب، ج، د من المخطط (3).
الرياضيات و الفقه، ص: 569
المخطط رقم (2) العلاقة بين الفرق بين الليل و النهار و طول الفجر:
الفرق بين الليل و النهار (بالساعات)
الرياضيات و الفقه، ص: 570
«مخطط رقم 3» العلاقة بين الفرق بين الليل و النهار من جهة و طول الفجر من جهة أخرى بتقسيم السنة إلى أربعة فصول منفصلة
الرياضيات و الفقه، ص: 572
و في ختام هذه الفقرة أقول كان بودّي و قد بدأت فعلا قبل عدة سنوات بتحليل و دراسة العلاقة بين أيام السنة و طول الشاخص لمعرفة وقت بلوغ ظل الشاخص مثله أو مثلية أو سبعيه أو أربعة أسباعه على مدار السنة لمعرفة وقت فضيلتي الظهر و العصر و نوافلها لكني شغلت عنه و لم أتمّه و يمكن أن نذكر هنا مراحل العمل آملين ممن كتب له التوفيق لإنجاز هذا العمل أن يؤديه بإتقان و يقدّم خدمة للأجيال.
خطوات العمل:
1- اختيار أيام محددة من السنة كنقاط مختارة لإجراء التجربة و لتكن أوائل الشهور الشمسية و منتصفاتها (كلما زاد عدد النقاط قل احتمال الخطأ).
2- في كل يوم محدد يثبت تاريخه و طول الشاخص و طول ظله عند الزوال و مقدار سبعي الشاخص و سبعيه و مثله و مثليه و يثبت الشاخص بأحكام ثم تراقب حركة الظل فمتى بلغ طول المقادير السابقة «1» يسجل الوقت و يمكن لكي يكون العمل دقيقا و أقل مئونة أن ترسم دوائر مركزها الشاخص و أنصاف أقطارها المقادير السابقة و متى وصل الظل إلى أحد هذه الدوائر يثبّت الوقت على أنه وقت بلوغ الظل ذلك المقدار.
3- تجمع المعلومات في الفقرة (2) بشكل جداول تبين تواريخ أيام السنة و بلوغ الظل أحد هذه المقادير في كل جدول ثم ترسم العلاقة.
4- عندئذ يكون من السهل معرفة وقت بلوغ ظل الشاخص أحد هذه المقادير بإسقاط التاريخ على شكل العلاقة الخاصة به و استخراج الوقت مباشرة و دون كلفة.
الرياضيات و الفقه
مقدمة:
(1) الأعداد الأولية:
(2) قابلية القسمة:
(3) ضرب الأعداد و قسمتها:
ترتيب العمليات: ..... ص : 525
(4) الكسور العشرية و الاعتيادية:
(5) جمع الكسور العشرية و طرحها:
(6) ضرب الكسور العشرية و قسمتها:
(7) المضاعف المشترك الأصغر:
(8) جمع الكسور الاعتيادية و طرحها:
(9) ضرب الكسور الاعتيادية و قسمتها:
(10) القاسم المشترك الأعظم:
(11) الوسطان و الطرفان:
(12) حل المعادلات ذا المجهول الواحد:
(13) تحويل الكسر الاعتيادي إلى عشري و بالعكس:
(14) تقريب الكسور العشرية:
(15) التربيع و التكعيب:
(16) الأس:
(17) الجذر التربيعي و الجذر التكعيبي:
(18) النسب و النسبة المئوية:
(19) العلاقات الطردية و العكسية:
(20) الكثافة و تحويل الوزن إلى حجم و بالعكس:
(21) الزوايا و طول القوس:
مسألة تطبيقية: ..... ص : 539
(22) - المساحات و الحجوم:
مسألة: ..... ص : 541
مسألة أخرى: ..... ص : 541
)(23) الوحدات القياسية:
تحليلات رقمية لبعض الأوزان الفقهية: ..... ص : 544
(24) طرق ثلاث لحساب القسامات الشرعية:
مسألة: توفي شخص و ترك زوجة و أبوين و خمسة ذكور و ثلاث إناث و كانت التركة 24 ألف دينار ..... ص : 547
(25) اللوغاريتمات:
(26) الربح البسيط و المركب:
(27) المتواليات العددية:
(28) الشغل:
(29) الاستبدال و التركيب:
حساب توافيق الطبقة الأولى: ..... ص : 556
حساب توافيق الطبقة الثانية: ..... ص : 557
حساب توافيق الطبقة الثالثة: ..... ص : 560
نتائج: ..... ص : 564
(30) الرسم البياني للعلاقة بين المتغيرات:
خطوات العمل: ..... ص : 572